Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Boa noite! Faltou a menção que N(r1) escreveu: > Boa tarde! > > seja x = yq+r1 e x = zq+r2, onde x,y,z,q, r1 e r2 pertencem a Z[i] > > 1) Realmente [ N(r1-r2) = 2N(q) ou N(r1-r2)=N(q) ] e (r1-r2) | q > Curiosamente, não há solução para x,y pertencentes a Z[i], x<>0 com N(x) > = 3N(y) > > Saudações, > PJMS > > Em seg, 10 de set de 2018 às 14:49, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Anderson, >> desculpe-me mas não compreendi o que você referenciou como isso, pois >> fizera três observações. >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em Seg, 10 de set de 2018 14:09, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã >>> consciência consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de >>> y^2-q ser múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar >>> isso. >>> Conjectura na mão, aí é demonstração. >>> >>> Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio Buffara" >>> escreveu: >>> Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) pelo mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática. A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios. Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por exemplo, aqui: http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf []s, Claudio. On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Cláudio, > devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o > material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da > parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os > casos que há mais de uma divisão de ß por > §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por > N(§), dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos > casos do exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para > facilitar o estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma > dese assunto. Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. > 2007, > que não estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até > compreender ou desistir. > Só que ao final tinha: Agora é > só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) > no intervalo [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você > encontra 670 valores. > Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas > 7. Outro ponto é que 2^12*17> 2007. > Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre. > Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros > de Gauss? > Saudações, > PJMS. > > Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra >> "invertível" é sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar >> justamente a confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética >> elementar, significa apenas 1. >> >> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José >> wrote: >> >>> Boa tarde! >>> Grato. >>> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos >>> coeficientes será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. >>> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em >>> Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. >>> Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, >>> também >>> não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... >>> -1 também é uma unidade em Z? >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o termo "invertível" E daí sim, -1 é invertível em Z. Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas também não muito difícil - é provar que não há outros). Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de Eisenstein). Ou então dê um google em "Gaussian Integers". []s, Claudio. On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José wrote: > Bom dia! > Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que > não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por > eles, a > menos que permita publicações em domínio público. > Aproveito, para pedir auxílio sobre uma
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Boa tarde! seja x = yq+r1 e x = zq+r2, onde x,y,z,q, r1 e r2 pertencem a Z[i] 1) Realmente [ N(r1-r2) = 2N(q) ou N(r1-r2)=N(q) ] e (r1-r2) | q Curiosamente, não há solução para x,y pertencentes a Z[i], x<>0 com N(x) = 3N(y) Saudações, PJMS Em seg, 10 de set de 2018 às 14:49, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Anderson, > desculpe-me mas não compreendi o que você referenciou como isso, pois > fizera três observações. > Saudações, > PJMS. > > Em Seg, 10 de set de 2018 14:09, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã consciência >> consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de y^2-q ser >> múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar isso. >> Conjectura na mão, aí é demonstração. >> >> Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio Buffara" >> escreveu: >> >>> Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) >>> pelo mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática. >>> >>> A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de >>> motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma >>> sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios. >>> >>> Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por >>> exemplo, aqui: >>> http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José wrote: >>> Boa tarde! Cláudio, devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os casos que há mais de uma divisão de ß por §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§), dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto. Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou desistir. Só que ao final tinha: Agora é só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no intervalo [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra 670 valores. Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7. Outro ponto é que 2^12*17> 2007. Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre. Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de Gauss? Saudações, PJMS. Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" > é sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a > confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar, > significa apenas 1. > > On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José > wrote: > >> Boa tarde! >> Grato. >> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos >> coeficientes será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. >> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em >> Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. >> Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, >> também >> não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... >> -1 também é uma unidade em Z? >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor >>> usar o termo "invertível" >>> E daí sim, -1 é invertível em Z. >>> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial >>> - mas também não muito difícil - é provar que não há outros). >>> >>> Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de >>> Eisenstein). >>> Ou então dê um google em "Gaussian Integers". >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José >>> wrote: >>> Bom dia! Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos que permita publicações em domínio público. Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Boa tarde! Anderson, desculpe-me mas não compreendi o que você referenciou como isso, pois fizera três observações. Saudações, PJMS. Em Seg, 10 de set de 2018 14:09, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã consciência > consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de y^2-q ser > múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar isso. > Conjectura na mão, aí é demonstração. > > Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio Buffara" > escreveu: > >> Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) >> pelo mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática. >> >> A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de >> motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma >> sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios. >> >> Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por >> exemplo, aqui: >> http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José wrote: >> >>> Boa tarde! >>> Cláudio, >>> devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o >>> material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da >>> parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os >>> casos que há mais de uma divisão de ß por >>> §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§), >>> dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do >>> exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o >>> estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto. >>> Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não >>> estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou >>> desistir. >>> Só que ao final tinha: Agora é >>> só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no >>> intervalo [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra >>> 670 valores. >>> Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7. >>> Outro ponto é que 2^12*17> 2007. >>> Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre. >>> Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de >>> Gauss? >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar, significa apenas 1. On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Grato. > Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes > será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. > Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em > Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. > Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também > não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... > -1 também é uma unidade em Z? > > Saudações, > PJMS > > Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor >> usar o termo "invertível" >> E daí sim, -1 é invertível em Z. >> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - >> mas também não muito difícil - é provar que não há outros). >> >> Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de >> Eisenstein). >> Ou então dê um google em "Gaussian Integers". >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José >> wrote: >> >>> Bom dia! >>> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que >>> não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a >>> menos que permita publicações em domínio público. >>> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia >>> que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] >>> é >>> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo." >>> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1. >>> Sds, >>> PJMS >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã consciência consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de y^2-q ser múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar isso. Conjectura na mão, aí é demonstração. Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio Buffara" escreveu: > Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) pelo > mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática. > > A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de > motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma > sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios. > > Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por > exemplo, aqui: http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/ > HistoryQR.pdf > > []s, > Claudio. > > > > On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José wrote: > >> Boa tarde! >> Cláudio, >> devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o >> material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da >> parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os >> casos que há mais de uma divisão de ß por >> §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§), >> dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do >> exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o >> estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto. >> Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não >> estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou >> desistir. >> Só que ao final tinha: Agora é >> só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no >> intervalo [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra >> 670 valores. >> Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7. >> Outro ponto é que 2^12*17> 2007. >> Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre. >> Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de >> Gauss? >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é >>> sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a >>> confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar, >>> significa apenas 1. >>> >>> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José wrote: >>> Boa tarde! Grato. Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... -1 também é uma unidade em Z? Saudações, PJMS Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor > usar o termo "invertível" > E daí sim, -1 é invertível em Z. > Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - > mas também não muito difícil - é provar que não há outros). > > Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de > Eisenstein). > Ou então dê um google em "Gaussian Integers". > > []s, > Claudio. > > > On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José > wrote: > >> Bom dia! >> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que >> não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a >> menos que permita publicações em domínio público. >> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia >> que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é >> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo." >> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1. >> Sds, >> PJMS >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Boa tarde! Cláudio, repassei o primeiro material e achei alguns pontos interessantes. 1) A demonstração de que um primo côngruo a 1 mod4 podia ser escrito como a soma de quadrados de dois inteiros que conhecia, usava um conceito de involução, e era super complicada. Nem me recordo mais. Aqui saiu de forma simples. 2) O conjunto de elementos que são iguais a soma de dois quadrados de inteiros é fechado para multiplicação. 3) Como a divisão eucidiana, adaptada para Z[ i] pode ter mais de um resto, a subtração desses restos tem que dividir o quociente. Então cheguei a conclusão, embora não esteja seguro ainda, de que N(r1-r2)= N(qouciente) ou N(r1-r2) =2* N(quociente), onde N significa Norma. Gostaria que alguém me explicasse a contagem, apresentada na solução do problema 2 da OBM 2007, que afirma haver 670 ocorrências de números do tipo 2^2k(8k+1) no intervalo [-2007,2007]. Estou no celular e não consegui copiar o caminho. Mas se procurar no Google por "Porque você deveria ter resolvido o problema 2 da OBM 2007"... Saudações, PJMS Em Sáb, 8 de set de 2018 01:02, Claudio Buffara escreveu: > Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) pelo > mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática. > > A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de > motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma > sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios. > > Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por > exemplo, aqui: > http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf > > []s, > Claudio. > > > > On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José wrote: > >> Boa tarde! >> Cláudio, >> devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o >> material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da >> parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os >> casos que há mais de uma divisão de ß por >> §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§), >> dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do >> exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o >> estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto. >> Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não >> estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou >> desistir. >> Só que ao final tinha: Agora é >> só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no >> intervalo [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra >> 670 valores. >> Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7. >> Outro ponto é que 2^12*17> 2007. >> Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre. >> Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de >> Gauss? >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é >>> sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a >>> confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar, >>> significa apenas 1. >>> >>> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José wrote: >>> Boa tarde! Grato. Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... -1 também é uma unidade em Z? Saudações, PJMS Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor > usar o termo "invertível" > E daí sim, -1 é invertível em Z. > Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - > mas também não muito difícil - é provar que não há outros). > > Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de > Eisenstein). > Ou então dê um google em "Gaussian Integers". > > []s, > Claudio. > > > On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José > wrote: > >> Bom dia! >> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que >> não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a >> menos que permita publicações em domínio público. >> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia >> que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é >> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) pelo mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática. A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios. Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por exemplo, aqui: http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf []s, Claudio. On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Cláudio, > devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o > material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da > parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os > casos que há mais de uma divisão de ß por > §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§), dá > um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do > exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o > estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto. > Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não > estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou > desistir. > Só que ao final tinha: Agora é > só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no > intervalo [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra > 670 valores. > Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7. > Outro ponto é que 2^12*17> 2007. > Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre. > Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de > Gauss? > Saudações, > PJMS. > > Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é >> sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a >> confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar, >> significa apenas 1. >> >> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José wrote: >> >>> Boa tarde! >>> Grato. >>> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes >>> será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. >>> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". >>> Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1, >>> também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não >>> conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... >>> -1 também é uma unidade em Z? >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o termo "invertível" E daí sim, -1 é invertível em Z. Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas também não muito difícil - é provar que não há outros). Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de Eisenstein). Ou então dê um google em "Gaussian Integers". []s, Claudio. On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José wrote: > Bom dia! > Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não > seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos > que permita publicações em domínio público. > Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que > trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é > qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo." > Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1. > Sds, > PJMS > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Boa tarde! Cláudio, devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os casos que há mais de uma divisão de ß por §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§), dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto. Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou desistir. Só que ao final tinha: Agora é só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no intervalo [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra 670 valores. Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7. Outro ponto é que 2^12*17> 2007. Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre. Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de Gauss? Saudações, PJMS. Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara escreveu: > Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é > sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a > confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar, > significa apenas 1. > > On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José wrote: > >> Boa tarde! >> Grato. >> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes >> será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. >> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". >> Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1, >> também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não >> conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... >> -1 também é uma unidade em Z? >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar >>> o termo "invertível" >>> E daí sim, -1 é invertível em Z. >>> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - >>> mas também não muito difícil - é provar que não há outros). >>> >>> Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de >>> Eisenstein). >>> Ou então dê um google em "Gaussian Integers". >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José wrote: >>> Bom dia! Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos que permita publicações em domínio público. Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo." Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1. Sds, PJMS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar, significa apenas 1. On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Grato. > Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes > será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. > Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". Se > esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1, > também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não > conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... > -1 também é uma unidade em Z? > > Saudações, > PJMS > > Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o >> termo "invertível" >> E daí sim, -1 é invertível em Z. >> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas >> também não muito difícil - é provar que não há outros). >> >> Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de >> Eisenstein). >> Ou então dê um google em "Gaussian Integers". >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José wrote: >> >>> Bom dia! >>> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não >>> seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos >>> que permita publicações em domínio público. >>> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que >>> trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é >>> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo." >>> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1. >>> Sds, >>> PJMS >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Boa tarde! Grato. Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano. Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás... -1 também é uma unidade em Z? Saudações, PJMS Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o > termo "invertível" > E daí sim, -1 é invertível em Z. > Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas > também não muito difícil - é provar que não há outros). > > Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de > Eisenstein). > Ou então dê um google em "Gaussian Integers". > > []s, > Claudio. > > > On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José wrote: > >> Bom dia! >> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não >> seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos >> que permita publicações em domínio público. >> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que >> trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é >> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo." >> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1. >> Sds, >> PJMS >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Acho que essa referência aqui tem tudo o que você precisa e mais um pouco: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/Zinotes.pdf Aliás, os artigos desse cara tendem a ser muito bons. Estão aqui: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ []s, Claudio. On Mon, Aug 27, 2018 at 12:23 PM Claudio Buffara wrote: > Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o > termo "invertível" > E daí sim, -1 é invertível em Z. > Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas > também não muito difícil - é provar que não há outros). > > Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de > Eisenstein). > Ou então dê um google em "Gaussian Integers". > > []s, > Claudio. > > > On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José wrote: > >> Bom dia! >> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não >> seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos >> que permita publicações em domínio público. >> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que >> trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é >> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo." >> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1. >> Sds, >> PJMS >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros de Gauss
Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o termo "invertível" E daí sim, -1 é invertível em Z. Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas também não muito difícil - é provar que não há outros). Sugiro o artigo na Eureka no. 14 (Inteiros de Gauss e Inteiros de Eisenstein). Ou então dê um google em "Gaussian Integers". []s, Claudio. On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José wrote: > Bom dia! > Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não > seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos > que permita publicações em domínio público. > Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que > trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é > qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo." > Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1. > Sds, > PJMS > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
