Re: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???)
Se não estiver enganado com meus conceitos, na passagem de 2 para 3 é realizado um procedimento que diz: a raiz quadrada de uma divisão é equivalente a divisão das raizes quadradas, porém para se aplicar isso é necessario que os numeros involvidos na divisão sejam numeros positivos e o numerador diferente de zero. Como no caso tinhamos o valor menos um nesse procedimento acarretou no absurdo final. Acho que é isso. Abraços Graciliano --- Em qua, 17/12/08, Albert Bouskela bousk...@gmail.com escreveu: De: Albert Bouskela bousk...@gmail.com Assunto: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???) Para: OBM (Lista) obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 17 de Dezembro de 2008, 15:45 Descubra onde está o erro da seguinte “demonstração”: 1] 1/(-1) = (-1)/1 2] sqrt [ 1/(-1) ] = sqrt [ (-1)/1 ] 3] sqrt(1) / sqrt [ (-1) ] = sqrt [ (-1) ] / sqrt (1) 4] [ sqrt (1) ]^2 = sqrt [ (-1) ] x sqrt [ (-1) ] 5] 1 = i^2 (???) Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???)
Não, Graciliano. Esse princípio vale sempre. Veja: sejam a e b complexos. a^2 / b^2 = (a * a) / (b * b) = (a / b) * (a / b) = (a / b)^2. O problema na verdade está de 4 para 5. A questão é que não está muito bem definido o conceito função para a raiz quadrada de números complexos. Nesse caso, precisamos falar de função multivaloradahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_multivalorada(conceito que eu não gosto muito). O que acontece é que a função elevar ao quadrado não é injetiva, então para podermos fabricar uma inversa precisamos arrancar uma parte do seu domínio. Assim, se eu te perguntar: quais sao os números que ao quadrado dão 4?, vc me responde, prontamente: 2 e -2. Agora, se eu te perguntar, quanto é sqrt(4), vc me responde, tb prontamente, 2, pois, convencionous que a função sqrt(x), quando tomada com domínio em R+, terá contra-domínio tb em R+. Eu poderia tb te perguntar: quais sao os números que ao quadrado dão -1?, vc me responde facilmente i e -i. O problema é que a resposta à questão quanto vale sqrt(-1) não é tão rapida assim. A questão é: qual número devemos escolher para a resposta? o i ou o -i? O fato é que não escolhemos nenhum deles a princípio, então temos que tomar cuidado com os cálculos. É aí que entra a noção de função multivalorada. Muito bem, vimos então que quando estamos nos complexos, não podemos saber imediatamente de *qual* das raízes quadradas de um número estamos falando. Assim, é INCORRETO assumir que o quadrado da raiz quadrada de x da x. Isso foi assumido quando dissemos que sqrt(-1) = i. Se tomarmos o primeiro sqrt(-1) como i e o segundo como -i, pronto, a equação funciona: 1 = -i*i. O fato é que na prática, o que fazemos é dizer que (sqrt(x))^2 = abs(x). Nesse caso, o problema tb é resolvido: abs(1) = abs(-1) * abs(-1) == 1 = 1*1 Abraço Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://www.brunoreis.com http://blog.brunoreis.com e^(pi*i)+1=0 2008/12/17 Graciliano Antonio Damazo bissa_dam...@yahoo.com.br Se não estiver enganado com meus conceitos, na passagem de 2 para 3 é realizado um procedimento que diz: a raiz quadrada de uma divisão é equivalente a divisão das raizes quadradas, porém para se aplicar isso é necessario que os numeros involvidos na divisão sejam numeros positivos e o numerador diferente de zero. Como no caso tinhamos o valor menos um nesse procedimento acarretou no absurdo final. Acho que é isso. Abraços Graciliano --- Em *qua, 17/12/08, Albert Bouskela bousk...@gmail.com* escreveu: De: Albert Bouskela bousk...@gmail.com Assunto: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???) Para: OBM (Lista) obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 17 de Dezembro de 2008, 15:45 Descubra onde está o erro da seguinte demonstração: 1] 1/(-1) = (-1)/1 2] sqrt [ 1/(-1) ] = sqrt [ (-1)/1 ] 3] sqrt(1) / sqrt [ (-1) ] = sqrt [ (-1) ] / sqrt (1) 4] [ sqrt (1) ]^2 = sqrt [ (-1) ] x sqrt [ (-1) ] 5] 1 = i^2 (???) -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
Re: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???)
Bruno, O comentário que você fez me parece correto, mas isto não implica que o do Graciliano esteja errado. Se você ver a raiz quadrada complexa como uma função multivalorada, tudo o que você fala faz total sentido. Se, no entanto, você escolher um ramo específico da raiz quadrada, a observação do Graciliano é pertinente. Tudo depende de como você vê a raiz quadrada mencionada no enunciado: O enunciado poderia ser claro e mencionar o que quer dizer com sqrt(-1) especificamente, visto que a raiz quadrada que não requer maiores esclarecimentos só está definida de R+ para R+, mas logicamente isto não é feito, visto que esta é a graça da questão. Eu resolvi assumir que estávamos falando de ramos ao escrever minha resposta porque os livros que usei ao estudar variáveis complexas (Conway, Ahlfors e Alcides) preferem falar em funções multivaluadas apenas quando vão motivar o conceito de extensões analíticas. Outro motivo é que é difícil de gostar de um conceito cujo nome basicamente é função que não é função :P -- Abraços, Maurício 2008/12/17 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com: Não, Graciliano. Esse princípio vale sempre. Veja: sejam a e b complexos. a^2 / b^2 = (a * a) / (b * b) = (a / b) * (a / b) = (a / b)^2. O problema na verdade está de 4 para 5. A questão é que não está muito bem definido o conceito função para a raiz quadrada de números complexos. Nesse caso, precisamos falar de função multivalorada (conceito que eu não gosto muito). O que acontece é que a função elevar ao quadrado não é injetiva, então para podermos fabricar uma inversa precisamos arrancar uma parte do seu domínio. Assim, se eu te perguntar: quais sao os números que ao quadrado dão 4?, vc me responde, prontamente: 2 e -2. Agora, se eu te perguntar, quanto é sqrt(4), vc me responde, tb prontamente, 2, pois, convencionous que a função sqrt(x), quando tomada com domínio em R+, terá contra-domínio tb em R+. Eu poderia tb te perguntar: quais sao os números que ao quadrado dão -1?, vc me responde facilmente i e -i. O problema é que a resposta à questão quanto vale sqrt(-1) não é tão rapida assim. A questão é: qual número devemos escolher para a resposta? o i ou o -i? O fato é que não escolhemos nenhum deles a princípio, então temos que tomar cuidado com os cálculos. É aí que entra a noção de função multivalorada. Muito bem, vimos então que quando estamos nos complexos, não podemos saber imediatamente de *qual* das raízes quadradas de um número estamos falando. Assim, é INCORRETO assumir que o quadrado da raiz quadrada de x da x. Isso foi assumido quando dissemos que sqrt(-1) = i. Se tomarmos o primeiro sqrt(-1) como i e o segundo como -i, pronto, a equação funciona: 1 = -i*i. O fato é que na prática, o que fazemos é dizer que (sqrt(x))^2 = abs(x). Nesse caso, o problema tb é resolvido: abs(1) = abs(-1) * abs(-1) == 1 = 1*1 Abraço Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://www.brunoreis.com http://blog.brunoreis.com e^(pi*i)+1=0 2008/12/17 Graciliano Antonio Damazo bissa_dam...@yahoo.com.br Se não estiver enganado com meus conceitos, na passagem de 2 para 3 é realizado um procedimento que diz: a raiz quadrada de uma divisão é equivalente a divisão das raizes quadradas, porém para se aplicar isso é necessario que os numeros involvidos na divisão sejam numeros positivos e o numerador diferente de zero. Como no caso tinhamos o valor menos um nesse procedimento acarretou no absurdo final. Acho que é isso. Abraços Graciliano --- Em qua, 17/12/08, Albert Bouskela bousk...@gmail.com escreveu: De: Albert Bouskela bousk...@gmail.com Assunto: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???) Para: OBM (Lista) obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 17 de Dezembro de 2008, 15:45 Descubra onde está o erro da seguinte demonstração: 1] 1/(-1) = (-1)/1 2] sqrt [ 1/(-1) ] = sqrt [ (-1)/1 ] 3] sqrt(1) / sqrt [ (-1) ] = sqrt [ (-1) ] / sqrt (1) 4] [ sqrt (1) ]^2 = sqrt [ (-1) ] x sqrt [ (-1) ] 5] 1 = i^2 (???) Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???)
Vou tentar responder abaixo... Lá vem spoiler, quem quiser tentar resolver a questão, não continue lendo. . . . . . Bom... A função sqrt é definida de R+ para R+. Ao usá-la para calcular sqrt(-1), supõe-se implicitamente que você está escolhendo um ramo da raiz quadrada complexa. Não fica claro na questão, no entanto, qual ramo da raiz quadrada. O ramo principal da raiz quadrada S(x) = exp^(1/2 * L(x)), onde L é o ramo principal do logaritmo complexo, não está definido para os reais negativos e para o zero. Sabe-se, no entanto, que é possível definir um ramo do logaritmo que esteja definido simultaneamente para 1 e -1, então vamos supor que estamos usando um desses ramos para definir nossa raiz quadrada S(x). Nessas condições, no entanto, não é possível provar que S(a/b) = S(a)/S(b). De fato, isto é equivalente a provarmos que o logaritmo satisfaz L(a/b) = L(a) - L(b) (ou L(ab) = L(a) + L(b), tanto faz), o que *não* é verdade em geral. Para ver isto, suponhamos que isto vale. Então, como 4 * L(i) = L(i^4) = L(1) = i * 2kpi (para algum k), concluímos que i = 1 ao dividirmos por 4 e aplicarmos a exponencial a ambos os lados da equação, absurdo. De fato, o que a prova enviada faz é justamente provar que a igualdade L(a/b) = L(a) - L(b) não necessariamente vale quando a e b são complexos. Para dar um pouco mais de intuição, lembremos o que fazemos para provar que log(a*b) = log a + log b no caso real: A gente parte de e^(a + b) = e^a * e^b (que ainda vale no caso complexo) e coloca a = log c, b = log d (pois log é uma bijeção cuja imagem é toda a reta) para obter e^(log c + log d) = c * d. Aplicando o log dos dois lados, o resultado segue. Agora, onde isso falha no caso complexo? Um ramo qualquer do logaritmo complexo não tem o plano complexo todo como imagem. De fato, a parte imaginária de L(a) é o ângulo que o número complexo a faz com a origem, e portanto, está num intervalo da forma (y, y + 2pi) para algum y (o y depende do ramo escolhido)*. Segue-se que se tomarmos a e b com partes imaginárias não ambas no mesmo intervalo da forma acima, teremos que escolher diferentes ramos do logaritmo para fazer o mesmo truque e completar a prova acima. Desse jeito, no entanto, não obtemos nenhuma identidade interessante. * Isto não é contradição nenhuma com o teorema de Liouville ou com o pequeno teorema de Picard, pois nossa função não está definida em todo o plano complexo (e portanto não é inteira). -- Abraços, Maurício On 12/17/08, Albert Bouskela bousk...@gmail.com wrote: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???)
Oi Maurício. Tem toda razão. Obrigado pelas observações! E sou totalmente de acordo com vc quanto ao nome função que não é função!! -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://www.brunoreis.com http://blog.brunoreis.com e^(pi*i)+1=0 2008/12/17 Maurício Collares mauric...@gmail.com Bruno, O comentário que você fez me parece correto, mas isto não implica que o do Graciliano esteja errado. Se você ver a raiz quadrada complexa como uma função multivalorada, tudo o que você fala faz total sentido. Se, no entanto, você escolher um ramo específico da raiz quadrada, a observação do Graciliano é pertinente. Tudo depende de como você vê a raiz quadrada mencionada no enunciado: O enunciado poderia ser claro e mencionar o que quer dizer com sqrt(-1) especificamente, visto que a raiz quadrada que não requer maiores esclarecimentos só está definida de R+ para R+, mas logicamente isto não é feito, visto que esta é a graça da questão. Eu resolvi assumir que estávamos falando de ramos ao escrever minha resposta porque os livros que usei ao estudar variáveis complexas (Conway, Ahlfors e Alcides) preferem falar em funções multivaluadas apenas quando vão motivar o conceito de extensões analíticas. Outro motivo é que é difícil de gostar de um conceito cujo nome basicamente é função que não é função :P -- Abraços, Maurício 2008/12/17 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com: Não, Graciliano. Esse princípio vale sempre. Veja: sejam a e b complexos. a^2 / b^2 = (a * a) / (b * b) = (a / b) * (a / b) = (a / b)^2. O problema na verdade está de 4 para 5. A questão é que não está muito bem definido o conceito função para a raiz quadrada de números complexos. Nesse caso, precisamos falar de função multivalorada (conceito que eu não gosto muito). O que acontece é que a função elevar ao quadrado não é injetiva, então para podermos fabricar uma inversa precisamos arrancar uma parte do seu domínio. Assim, se eu te perguntar: quais sao os números que ao quadrado dão 4?, vc me responde, prontamente: 2 e -2. Agora, se eu te perguntar, quanto é sqrt(4), vc me responde, tb prontamente, 2, pois, convencionous que a função sqrt(x), quando tomada com domínio em R+, terá contra-domínio tb em R+. Eu poderia tb te perguntar: quais sao os números que ao quadrado dão -1?, vc me responde facilmente i e -i. O problema é que a resposta à questão quanto vale sqrt(-1) não é tão rapida assim. A questão é: qual número devemos escolher para a resposta? o i ou o -i? O fato é que não escolhemos nenhum deles a princípio, então temos que tomar cuidado com os cálculos. É aí que entra a noção de função multivalorada. Muito bem, vimos então que quando estamos nos complexos, não podemos saber imediatamente de *qual* das raízes quadradas de um número estamos falando. Assim, é INCORRETO assumir que o quadrado da raiz quadrada de x da x. Isso foi assumido quando dissemos que sqrt(-1) = i. Se tomarmos o primeiro sqrt(-1) como i e o segundo como -i, pronto, a equação funciona: 1 = -i*i. O fato é que na prática, o que fazemos é dizer que (sqrt(x))^2 = abs(x). Nesse caso, o problema tb é resolvido: abs(1) = abs(-1) * abs(-1) == 1 = 1*1 Abraço Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://www.brunoreis.com http://blog.brunoreis.com e^(pi*i)+1=0 2008/12/17 Graciliano Antonio Damazo bissa_dam...@yahoo.com.br Se não estiver enganado com meus conceitos, na passagem de 2 para 3 é realizado um procedimento que diz: a raiz quadrada de uma divisão é equivalente a divisão das raizes quadradas, porém para se aplicar isso é necessario que os numeros involvidos na divisão sejam numeros positivos e o numerador diferente de zero. Como no caso tinhamos o valor menos um nesse procedimento acarretou no absurdo final. Acho que é isso. Abraços Graciliano --- Em qua, 17/12/08, Albert Bouskela bousk...@gmail.com escreveu: De: Albert Bouskela bousk...@gmail.com Assunto: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???) Para: OBM (Lista) obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 17 de Dezembro de 2008, 15:45 Descubra onde está o erro da seguinte demonstração: 1] 1/(-1) = (-1)/1 2] sqrt [ 1/(-1) ] = sqrt [ (-1)/1 ] 3] sqrt(1) / sqrt [ (-1) ] = sqrt [ (-1) ] / sqrt (1) 4] [ sqrt (1) ]^2 = sqrt [ (-1) ] x sqrt [ (-1) ] 5] 1 = i^2 (???) Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
