[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERC EIRA FASE – Nà VEL 3 -- 2ª questão
Rafael, você está correto, eu havia visto essa falha, na verdade existe uma restrição para que c seja resíduo quadrático módulo 2^m, se bem me lembro ele deve ser da forma 4^n(8m + 1)** quando você diz: digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha percebido que quadrados impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse que sao da forma 4a+1. Nao deixa de estar correto, certo? essa conclusão está errada, os quadrados ímpares só podem ser da forma 8a + 1, logo os números no intervalo seriam necessariamente desta forma o que faltou na resolução foi considerar que realmente não são todos os números da forma 8a + 1, e sim os tais que a é um número triangular, pois 8a + 1 é quadrado se e somente se a é triangular, e devem ser resíduos quadráticos, assim tb os múltiplos de 4, isto é, os números da forma 4^n(8m + 1) tais que m seja triangular e os números sejam resíduo quadrático (então falta demonstrar os que são resíduo quadrático, senão, como você disse, será somente uma quota superior) estou certo? **link do wikipedia com esta afirmação http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue - Original Message - From: Rafael Ando To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, June 13, 2008 5:48 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – Nà VEL 3 -- 2ª questão hm... Rodrigo, no item 2, acho que na verdade vc quis dizer: 8 divide c+1, entao c assume valores tais que c+1 seja multiplo de 8 e no intervalo [-2006, 2008] (pois eh c+1...). Conta-se o zero sim, pois ele nao foi contado anteriormente c+1=0 eh o caso c = -1, afinal... e como temos o 2008 (c = 2007) a mais tb, sua resposta seria 1505. Segundo, e mais importante desculpe mas nao estou convencido que sua resolucao funcione digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha percebido que quadrados impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse que sao da forma 4a+1. Nao deixa de estar correto, certo? Eu chegaria a conclusao que na verdade temos umas 2000 solucoes se a sua resposta eh correta, entao essa tem que estar errada, mas onde estaria o erro? Na realidade acredito que vc encontrou apenas um limitante superior para a solucao usando que quadrados impares sao 4a+1 daria um limitante maior, o que eh natural adicionando informacao (passando de 4a pra 8a) teriamos um intervalo mais preciso, mas nao incompativel. Dizer que 4 (ou 8) divide c (ou c+1) eh correto, mas a partir disso nao podemos afirmar que c (ou c+1) pode valer TODOS os multiplos possiveis o que voces acham? On Fri, May 30, 2008 at 2:14 AM, douglas paula [EMAIL PROTECTED] wrote: Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ? abraços Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisÃvel por 4 **prova: tome x^2 par == x é par == x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito Ãmpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 Ãmpar == x é Ãmpar == x é da forma 2n+1 == x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a == 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 == c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 == 4 divide w2^2007 - 4k^2 == 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocÃnio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é Ãmpar, temos que x^2 = 8a + 1 == c + 8a + 1 = w2^2007 == c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a == 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007, mesmo raciocÃnio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocÃnio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão rodrigo,  ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1 n 2007, como todo número pode ser
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERC EIRA FASE â? NÃVEL 3 -- 2ª questão
Vlw douglas! Cara, não mandei pra lugar algum, acho q eles devem ter uma solução melhor que a minha, com certeza Se invertermos o problema, dizendo que 2^2007 é múltiplo de c + x^2, e quisermos somente os valores de c no intervalo [0,2007], como seria? - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 29, 2008 9:14 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE â? NÃVEL 3 -- 2ª questão Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ? abraços Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisÃvel por 4 **prova: tome x^2 par == x é par == x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito Ãmpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 Ãmpar == x é Ãmpar == x é da forma 2n+1 == x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a == 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 == c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 == 4 divide w2^2007 - 4k^2 == 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocÃnio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é Ãmpar, temos que x^2 = 8a + 1 == c + 8a + 1 = w2^2007 == c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a == 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007, mesmo raciocÃnio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocÃnio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 -- 2Ã,ª questÃf£o rodrigo,  ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1 n 2007, como todo nÃfºmero pode ser expresso como diferenÃf§a de dois quadrados, sÃf³ existem c tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferenÃf§a de dois quadrados - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 -- 2Ã,ª questÃf£o XXIX OLIMPÃfADA BRASILEIRA DE MATEMÃfTICA TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 (Ensino MÃf©dio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA 2 Para quantos números inteiros c, - 2007 = c = 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? alguém se habilita? grato,                 Douglas Abra sua conta no Yahoo! Mail, o Ãfºnico sem limite de espaÃf§o para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERC EIRA FASE â NÃVEL 3 -- 2ª questão
Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ? abraços Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisÃshy;vel por 4 **prova: tome x^2 par == x é par == x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito Ãshy;mpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 Ãshy;mpar == x é Ãshy;mpar == x é da forma 2n+1 == x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a == 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 == c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 == 4 divide w2^2007 - 4k^2 == 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃshy;vel por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocÃshy;nio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é Ãshy;mpar, temos que x^2 = 8a + 1 == c + 8a + 1 = w2^2007 == c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a == 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃshy;vel por 2^2007, mesmo raciocÃshy;nio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocÃshy;nio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ¬â NÃVEL 3 -- 2ê questão rodrigo,  ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1 n 2007, como todo número pode ser expresso como diferença de dois quadrados, só existem c tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferença de dois quadrados - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ¬â NÃVEL 3 -- 2ê questão XXIX OLIMPÃADA BRASILEIRA DE MATEMÃTICA TERCEIRA FASE ââ¬â NÃVEL 3 (Ensino Médio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA 2 Para quantos números inteiros c, - 2007 = c = 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? alguém se habilita? grato,                 Douglas Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
