Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Olá Artur, Não sei se vale esta, mas considere f(x) = 1/(x-p)^2, com p um número irracional. O único ponto onde f(x) não é analítica é p. Embora ela cresça indefinidamente nos racionais também, não atinge a singularidade. Isto é, se adotarmos como definição de continuidade que f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua nos racionais e descontinua no irracionais. Também os limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita de p. Porém apesar de continua, f(x) também não é limitada nos racionais... []´s Demétrio --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais. ] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de claudio.buffara Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Oi, pessoal: Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido: Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio. Outros dois bonitinhos são: Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos racionais. e Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem. No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado? []s, Claudio. ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Thu, 13 Oct 2005 17:20:24 + (GMT)
Assunto:
Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Olá Artur,
Não sei se vale esta, mas considere f(x) = 1/(x-p)^2,
com p um número irracional. O único ponto onde f(x)
não é analítica é p.
De fato, f não está nem definida em p,já que não podemos dividir por 0.
Embora ela cresça indefinidamente
nos racionais também, não atinge a singularidade. Isto
é, se adotarmos como definição de continuidade que
f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua nos
racionais e descontinua no irracionais.
Não entendi o que você quis dizer com isso. Supondo que estamos trabalhando com funções reais, o domínio máximo de f é R - {p}.
Neste domínio, f é contínua, derivável e, de fato, analítica em cada ponto.
Também os
limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita de
p.
f é ilimitada em qualquer vizinhança furada de p.
Porém apesar de continua, f(x) também não é
limitada nos racionais...
[]´s Demétrio
--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
Agora, eu quero ver alguem
dar um exemplo de funcao
continua nos racionais e descontinua nos
irracionais.
] -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005
22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Oi, pessoal:
Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto
denso em R e de medida nula.
Isso me lembrou de outro problema parecido:
Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
positiva e interior vazio.
Outros dois bonitinhos são:
Dê um exemplo de função real contínua nos
irracionais e descontínua nos
racionais.
e
Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo
ponto, tal que f'(0)
0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo
contendo a origem.
No mais, alguém já descobriu por que um chicote
estala quando é usado?
[]s,
Claudio.
___
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá Artur,
Não sei se vale esta, mas considere f(x) =
1/(x-p)^2,
com p um número irracional. O único ponto onde
f(x)
não é analítica é p.
De fato, f não está nem definida em p, já que não
podemos dividir por 0.
Embora ela cresça indefinidamente
nos racionais também, não atinge a singularidade.
Isto
é, se adotarmos como definição de continuidade que
f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua
nos
racionais e descontinua no irracionais.
Não entendi o que você quis dizer com isso. Supondo
que estamos trabalhando com funções reais, o domínio
máximo de f é R - {p}.
Neste domínio, f é contínua, derivável e, de fato,
analítica em cada ponto.
Claúdio, acho que esta discução é que está fora do meu
domínio :-) Certamente eu não entendi o que o Arur
pedia... Teorema de Baire... isso é demais para mim...
Assim acho melhor ficar quieto e não dar mais
pitacos! Mas, com relação ao domínio de uma função
real, isso depende de escolha na hora definição,
correto? Por exemplo f(x) = sin(x-p)/(x-p). x=p
pertence ou não ao domínio de f? Creio que depende de
como vc define f, já que vc precisa dizer que f(p) =
lim f(x) x-p... No caso, dizer que um ponto em R não
pertence ao domínio de uma função não equivale a dezer
que f não é contínua em R?
[]´s Demétrio
Também os
limites de f(x) são iguais à esquerda e à direita
de
p.
f é ilimitada em qualquer vizinhança furada de p.
Porém apesar de continua, f(x) também não é
limitada nos racionais...
[]´s Demétrio
--- Artur Costa Steiner
escreveu:
Agora, eu quero ver alguem
dar um exemplo de funcao
continua nos racionais e descontinua nos
irracionais.
] -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005
22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior
Vazio
Oi, pessoal:
Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto
denso em R e de medida nula.
Isso me lembrou de outro problema parecido:
Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
positiva e interior vazio.
Outros dois bonitinhos são:
Dê um exemplo de função real contínua nos
irracionais e descontínua nos
racionais.
e
Dê um exemplo de uma função real f derivável em
todo
ponto, tal que f'(0)
0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo
contendo a origem.
No mais, alguém já descobriu por que um chicote
estala quando é usado?
[]s,
Claudio.
___
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Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
E eu ainda escrevi discussão com ç na última msg...
Sem dúvida é melhor ficar quieto..
--- Demetrio Freitas
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá Artur,
Não sei se vale esta, mas considere f(x) =
1/(x-p)^2,
com p um número irracional. O único ponto onde
f(x)
não é analítica é p.
De fato, f não está nem definida em p, já que não
podemos dividir por 0.
Embora ela cresça indefinidamente
nos racionais também, não atinge a
singularidade.
Isto
é, se adotarmos como definição de continuidade
que
f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é continua
nos
racionais e descontinua no irracionais.
Não entendi o que você quis dizer com isso.
Supondo
que estamos trabalhando com funções reais, o
domínio
máximo de f é R - {p}.
Neste domínio, f é contínua, derivável e, de fato,
analítica em cada ponto.
Claúdio, acho que esta discução é que está fora do
meu
domínio :-) Certamente eu não entendi o que o Arur
pedia... Teorema de Baire... isso é demais para
mim...
AssClim acho melhor ficar quieto e não dar mais
pitacos! Mas, com relação ao domínio de uma função
real, isso depende de escolha na hora definição,
correto? Por exemplo f(x) = sin(x-p)/(x-p). x=p
pertence ou não ao domínio de f? Creio que depende
de
como vc define f, já que vc precisa dizer que f(p) =
lim f(x) x-p... No caso, dizer que um ponto em R
não
pertence ao domínio de uma função não equivale a
dezer
que f não é contínua em R?
[]´s Demétrio
Também os
limites de f(x) são iguais à esquerda e à
direita
de
p.
f é ilimitada em qualquer vizinhança furada de p.
Porém apesar de continua, f(x) também não é
limitada nos racionais...
[]´s Demétrio
--- Artur Costa Steiner
escreveu:
Agora, eu quero ver alguem
dar um exemplo de funcao
continua nos racionais e descontinua nos
irracionais.
] -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de
2005
22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior
Vazio
Oi, pessoal:
Noutro dia o Artur pediu um exemplo de
conjunto
denso em R e de medida nula.
Isso me lembrou de outro problema parecido:
Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
positiva e interior vazio.
Outros dois bonitinhos são:
Dê um exemplo de função real contínua nos
irracionais e descontínua nos
racionais.
e
Dê um exemplo de uma função real f derivável
em
todo
ponto, tal que f'(0)
0 mas que não seja crescente em nenhum
intervalo
contendo a origem.
No mais, alguém já descobriu por que um
chicote
estala quando é usado?
[]s,
Claudio.
___
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Re: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
E eu ainda escrevi discussão com ç na última msg...
Sem dúvida é melhor ficar quieto..
--- Demetrio Freitas
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
--- claudio.buffara
[EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá Artur,
Não sei se vale esta, mas considere f(x) =
1/(x-p)^2,
com p um número irracional. O único ponto onde
f(x)
não é analítica é p.
De fato, f não está nem definida em p, já que
não
podemos dividir por 0.
Embora ela cresça indefinidamente
nos racionais também, não atinge a
singularidade.
Isto
é, se adotarmos como definição de continuidade
que
f(x) seja derivável, então 1/(x-p)^2 é
continua
nos
racionais e descontinua no irracionais.
Não entendi o que você quis dizer com isso.
Supondo
que estamos trabalhando com funções reais, o
domínio
máximo de f é R - {p}.
Neste domínio, f é contínua, derivável e, de
fato,
analítica em cada ponto.
Claúdio, acho que esta discução é que está fora do
meu
domínio :-) Certamente eu não entendi o que o Arur
pedia... Teorema de Baire... isso é demais para
mim...
AssClim acho melhor ficar quieto e não dar mais
pitacos! Mas, com relação ao domínio de uma função
real, isso depende de escolha na hora definição,
correto? Por exemplo f(x) = sin(x-p)/(x-p). x=p
pertence ou não ao domínio de f? Creio que depende
de
como vc define f, já que vc precisa dizer que f(p)
=
lim f(x) x-p... No caso, dizer que um ponto em R
não
pertence ao domínio de uma função não equivale a
dezer
que f não é contínua em R?
[]´s Demétrio
Também os
limites de f(x) são iguais à esquerda e à
direita
de
p.
f é ilimitada em qualquer vizinhança furada de
p.
Porém apesar de continua, f(x) também não é
limitada nos racionais...
[]´s Demétrio
--- Artur Costa Steiner
escreveu:
Agora, eu quero ver alguem
dar um exemplo de funcao
continua nos racionais e descontinua nos
irracionais.
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De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] nome
de
claudio.buffara
Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de
2005
22:53
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior
Vazio
Oi, pessoal:
Noutro dia o Artur pediu um exemplo de
conjunto
denso em R e de medida nula.
Isso me lembrou de outro problema parecido:
Dê um exemplo de subconjunto de R com medida
positiva e interior vazio.
Outros dois bonitinhos são:
Dê um exemplo de função real contínua nos
irracionais e descontínua nos
racionais.
e
Dê um exemplo de uma função real f derivável
em
todo
ponto, tal que f'(0)
0 mas que não seja crescente em nenhum
intervalo
contendo a origem.
No mais, alguém já descobriu por que um
chicote
estala quando é usado?
[]s,
Claudio.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: RES: [obm-l] Medida
Eh sim, mas na realidade o enunciado do problema
estava mesmo correto. Se A tem medida nula, entao para
qualquer B, A X B tem medida nula, mesmo que B nmao
seja mensuravel. Eh o caso da sigma-algebra completa.
Abracos
Artur
--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE
definir uma funçao
medida para todos os subconjuntos de R (portanto
pode esquecer R^n),
pois existe um jeito (utilizando o Axioma da
Escolha) de construir um
conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva.
A idéia principal
é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em
conjuntos que tem
que ter a mesma medida. Para criar esta
decomposiç~ao, você utiliza o
Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo
disto.
Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma
coisa bem legal, e
lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja,
aquelas para as quais
X tem medida nula = todo Y contido em X está na
sigma-álgebra e
também - por estar contido em X, nao poderia ser
diferente - tem
medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram,
A x R^m tem medida
nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B
contido em A x R^m,
e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que
contém os abertos
de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida
zero. Esta
demonstraçao está contida na que você deu (bastando
notar que B está
contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 7/6/05, Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Artur,
Consegui fazer algo parecido, embora mais
elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para
cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um
cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um
destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido
para
qq subconjunto de Rn.
Tertuliano
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
pouquinho mais simples do que
a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
paralelepipedos abertos e
limitados para conjuntos genericos limitados,
poderiamos ter invocado
diretamente a sigma-subaditividade da medida.
Antes
de apresentar a prova,
uma observacao de um fato sutil que me passou
desapercebido. O enunciado
deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a
medida de
Lebesgue). No caso, B
teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
gerada pelos conjuntos
abertos de R^n
A prova poderia ser assim:
Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
paralelepipedo limitado e aberto
de R^n de hipervolume
V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula,
para
todo eps0 podemos
cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada
um
com hipervolume V_k, tal
que Soma(k1)V_k eps/V. Temos
entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel
de A
X P por paralelepipedos
abertos de R^(m+n). O
hipervolume total desta colecao eh Soma(k=1)V_k
* V
= V * Soma(k=1)V_k
V * eps/V = eps. Como eps eh
arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula
em
R^(m+n).
O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
colecao enumeravel (nao
precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de
paralelepipedos
abertos de hipervolume
1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
(nao necessariamente
disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida
nula e
cada Q_k eh um
paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
anterior nos mostra que cada A
X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
sigma-sub-aditividade da medida,
concluimos que A X R^n tem medida nula. E
valendo
esta conclusao para o caso
B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
qualquer subconjunto
MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em
A X
R^n e subconjuntos
mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
A sigma-sub-aditividade da medida eh a
propriedade
segundo a qual se {A_n}
eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
mensuraveis e A eh a uniao desta
colecao, entao u(A) = Soma(n=1) u(A_n),
entendendo-se esta desigualdade no
sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
disjunta 2 a 2, ocorre
igualdade.
Artur
--- Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi para todos!
Alguem pode me ajudar neste?
Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em
Rm
um
conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
Grato,
Tertuliano
__
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Re: RES: [obm-l] Medida
Oi Artur,
Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
qq subconjunto de Rn.
Tertuliano
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
pouquinho mais simples do que
a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
paralelepipedos abertos e
limitados para conjuntos genericos limitados,
poderiamos ter invocado
diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
de apresentar a prova,
uma observacao de um fato sutil que me passou
desapercebido. O enunciado
deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
Lebesgue). No caso, B
teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
gerada pelos conjuntos
abertos de R^n
A prova poderia ser assim:
Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
paralelepipedo limitado e aberto
de R^n de hipervolume
V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
todo eps0 podemos
cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
com hipervolume V_k, tal
que Soma(k1)V_k eps/V. Temos
entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
X P por paralelepipedos
abertos de R^(m+n). O
hipervolume total desta colecao eh Soma(k=1)V_k * V
= V * Soma(k=1)V_k
V * eps/V = eps. Como eps eh
arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
R^(m+n).
O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
colecao enumeravel (nao
precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
abertos de hipervolume
1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
(nao necessariamente
disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
cada Q_k eh um
paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
anterior nos mostra que cada A
X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
sigma-sub-aditividade da medida,
concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
esta conclusao para o caso
B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
qualquer subconjunto
MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
R^n e subconjuntos
mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
segundo a qual se {A_n}
eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
mensuraveis e A eh a uniao desta
colecao, entao u(A) = Soma(n=1) u(A_n),
entendendo-se esta desigualdade no
sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
disjunta 2 a 2, ocorre
igualdade.
Artur
--- Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi para todos!
Alguem pode me ajudar neste?
Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
um
conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
Grato,
Tertuliano
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Re: RES: [obm-l] Medida
Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE definir uma funçao
medida para todos os subconjuntos de R (portanto pode esquecer R^n),
pois existe um jeito (utilizando o Axioma da Escolha) de construir um
conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva. A idéia principal
é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em conjuntos que tem
que ter a mesma medida. Para criar esta decomposiç~ao, você utiliza o
Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo disto.
Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma coisa bem legal, e
lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja, aquelas para as quais
X tem medida nula = todo Y contido em X está na sigma-álgebra e
também - por estar contido em X, nao poderia ser diferente - tem
medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram, A x R^m tem medida
nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B contido em A x R^m,
e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que contém os abertos
de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida zero. Esta
demonstraçao está contida na que você deu (bastando notar que B está
contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 7/6/05, Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Artur,
Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
qq subconjunto de Rn.
Tertuliano
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
pouquinho mais simples do que
a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
paralelepipedos abertos e
limitados para conjuntos genericos limitados,
poderiamos ter invocado
diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
de apresentar a prova,
uma observacao de um fato sutil que me passou
desapercebido. O enunciado
deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
Lebesgue). No caso, B
teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
gerada pelos conjuntos
abertos de R^n
A prova poderia ser assim:
Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
paralelepipedo limitado e aberto
de R^n de hipervolume
V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
todo eps0 podemos
cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
com hipervolume V_k, tal
que Soma(k1)V_k eps/V. Temos
entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
X P por paralelepipedos
abertos de R^(m+n). O
hipervolume total desta colecao eh Soma(k=1)V_k * V
= V * Soma(k=1)V_k
V * eps/V = eps. Como eps eh
arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
R^(m+n).
O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
colecao enumeravel (nao
precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
abertos de hipervolume
1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
(nao necessariamente
disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
cada Q_k eh um
paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
anterior nos mostra que cada A
X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
sigma-sub-aditividade da medida,
concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
esta conclusao para o caso
B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
qualquer subconjunto
MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
R^n e subconjuntos
mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
segundo a qual se {A_n}
eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
mensuraveis e A eh a uniao desta
colecao, entao u(A) = Soma(n=1) u(A_n),
entendendo-se esta desigualdade no
sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
disjunta 2 a 2, ocorre
igualdade.
Artur
--- Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi para todos!
Alguem pode me ajudar neste?
Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
um
conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
Grato,
Tertuliano
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Re: RES: [obm-l] Medida Exterior
On Mon, Jan 24, 2005 at 12:47:26PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: O conjunto dos diofantinos eh enumeravel sim. Não é não, tem até medida total. As conclusoes da Sandra me parecem corretas. Se particionarmos [0,1] em difantinos e Liouviles, entao os dois conjuntos da particao sao mensuraveis, de modo que suas medidas externas confunde-se com a medida de Lebesgue. Entao, o primero conjunto tem medida nula (pois eh enumeravel) e o segundo medida 1, de modo que a soma de suas medidas eh 1, igual aa medida de [0,1]. Conforme disse a Sandra, para encontramos exemplos de conjuntos que satisfacam aa sub-aditividade da medida externa com desigualddade estrita, temos que achar pelo menos um que nao seja mensuravel. Estes conjuntos sao um tanto patologicos. O proprio conjunto de Cantor, apesar de sua estrutura um tanto complicada, eh mensuravel com medida de Lebesgue nula. Por definicao, um conjunto E eh mensuravel se, para todo conjunto A, tivermos que m(A) = m(A inter E) + m(A inter E'), sendo m a medida externa e E' o complementar de E. Você precisa do axioma da escolha para construir conjuntos não mensuráveis. Um exemplo do que vocês querem é o seguinte. Considere o anel Q_2 dos racionais com denominador ímpar. Dizemos que um elemento de Q_2 é par de o seu numerados for par e é ímpar caso contrário. Assim, o conjunto Q_2 fica particionado em pares (2Q_2) e ímpares (2Q_2 + 1), ambos enumeráveis densos. Definimos em R uma relação de equivalência: x é equivalente a y se x-y pertence a Q_2. Seja X (axioma da escolha) um conjunto com um representante de cada classe de equivalência. Sejam X0 = X + Q_2 (o conjunto de todas as somas x+y com x em X e y em Q_2) e X1 = X0 + 1. Claramente X0 e X1 formam uma partição de R. Fica como exercício mostrar que para todo intervalo I medida exterior(X0 inter I) = medida exterior(X1 inter I) = medida(I). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Medida Exterior
On Tue, Jan 25, 2005 at 05:24:09PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Entao me enganei.. Numa outra mensagem eu disse que o conjunto dos diofantinos era enumeravel Entao o conjunto os diofantinos, embora magro, tem medida infinita? Correto. Tem até medida total (i.e., seu complemento tem medida zero). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Medida Exterior
Um amigo meu parece que fez o problema, ainda nao olhei mas a ideia dele foi essa mesma de vcs: Podemos construir um conjunto A contido em [0,1] nao mensuravel a Lebesgue, se fizermos m*(A u [0,1]-A) teremos 1 menor ou igual a 1 o q nao resolve. A ideia dele foi transladar o conjunto A por racionais e ai ele chegou a umas conclusoes q ainda nao olhei, mas ele disse que deu certo.Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: O conjunto dos diofantinos eh enumeravel sim. As conclusoes da Sandra meparecem corretas. Se particionarmos [0,1] em difantinos e Liouviles, entaoos dois conjuntos da particao sao mensuraveis, de modo que suas medidasexternas confunde-se com a medida de Lebesgue. Entao, o primero conjunto temmedida nula (pois eh enumeravel) e o segundo medida 1, de modo que a soma desuas medidas eh 1, igual aa medida de [0,1].Conforme disse a Sandra, para encontramos exemplos de conjuntos quesatisfacam aa sub-aditividade da medida externa com desigualddade estrita,temos que achar pelo menos um que nao seja mensuravel. Estes conjuntos saoum tanto patologicos. O proprio conjunto de Cantor, apesar de sua estruturaum tanto complicada, eh mensuravel com medida de Lebesgue nula.Por definicao, um conjunto E eh mensuravel se, para todo conjunto A,tiverm! os que m(A) = m(A inter E) + m(A inter E'), sendo m a medida externa eE' o complementar de E. Artur-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]nome de SandraEnviada em: Monday, January 24, 2005 12:12 PMPara: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Medida ExteriorAcabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois nao melembro das definicoes exatas neste momento. Mas tenho quase certeza que oconjunto dos diofantinos e enumeravel (ao menos o nome difantino sugereisto...). Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medida nula, de modoque o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medida infinita. Se isto formesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(I inter D) + m(I interL).Assim, nao temos um exemplo conforme pedido pelo colega da mensagemoriginal. Sandra--- On Mon 01/24, Sandra [EMAIL PROTECTED] wrote:From: Sandra [mailto: [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brDate: Mon, 24 Jan 2005 06:53:42 -0500 (EST)Subject: Re: [obm-l] Medida ExteriorAcabei de pensar numa coisa, gostaria que alguem confirmasse, pois naome lembro das definicoes exatas neste momento. O conjunto dos diofantinos eenumeravel, certo? Se de fato for, entao ele eh mensuravel e tem medidanula, de modo que o cojunto dos Liouvilles eh mensuravel com medidainfinita. Se isto for mesmo verdade, entao para todo intervalo I, m(I) = m(Iinter D) + m(I inter L).Sandra--- On Mon 01/24,Sandra [EMAIL PROTECTED] wrote:From: Sandra [mailto:[EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Date: Mon, 24 Jan2005 06:20:51 -0500 (EST)Subject: Re: [obm-l] MedidaExteriorEu nao tenho certeza, msas acho que o conjunto dosdiofantinos e o dos Liouville sao mensuraveis (um eh o complementar dooutro, de modo que a mensurabilidade de um implica a do outro). Se de fatoforem, entao m(D U L) = m(D) + m(L), porque a colecao dos conjuntosmensuraveis eh uma sigma-algebra. E as interseccoes de D e de L comintervalos sera, entao, mensuravel, de modo que m(I) = m(I inter D) + m(Iinter L) para todo intervalo I.Para que tenhamos m(AUB)
