Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
b_k - 0 significa que lim(k - infinito) b_k = 0 Isso quer dizer que, dado eps 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal que: se k n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| eps. Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma sequencia. Que tal entrar no Google e digitar: Cesaro sum? De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a sequencia (b_n) dada por: b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente todos os livros de analise demonstram ou pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n - a, entao b_n - a. Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar um exemplo disso? []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT) Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II Ola Claudio, não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2? Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. vlw. - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0. Seja eps 0. b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k eps/2. Mas entao, tomando k n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k = |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n == a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k. Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Oi, Klaus:
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente,
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)
Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
- Mensagem original
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps 0 existir um natural
N tal que para todo n N teremos |a_n - L| eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).
Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps 0 podemos
encontrar N natural tal que n N == |b_n - 0| eps == |b_n| eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à
distância eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A
e b_n - B implica (a_n + b_n) - (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural
n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento,
estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2
para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo
estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois
naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para
qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do
respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N
estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que para
qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a seq.
c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Claudio,
não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que :
1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps 0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k
eps/2.
Mas entao, tomando k n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos
a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche,
Re:RES: [obm-l] sequencias
Seja ( a_n) um sequencia tal a_n 0 para todo n e [ a_(n+1) / a_n ] = q^n, onde q e constante e 0 q 1. Calcule o valor da serie S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ... Um Abraco a todos Paulo Santa Rita Oi, Paulo: A soma eh S = a_1*(1 + q + q^3 + q^6 + ... + q^(n(n-1)/2) + ... ) Nao consegui achar uma formula fechada, mas se alguma existir nao deve ser muito obvia pois se a_1 for racional e q = 1/m, onde m eh um inteiro positivo 1, entao S eh irracional. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:RES: [obm-l] sequencias
Pensando bem, a formalizacao eh uma adaptacao simples da solucao abaixo. Dado a em [-1,1], tome b em [-pi/2,pi/2] tal que sen(b) = a. Tome a subsequencia (x_n_k) onde n_k eh o maior indice tal que: x_n_k = 2*pi*k + b x_(n_k + 1). Entao sen(x_n_k) converge para sen(b) = a. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 2 Feb 2007 14:21:44 -0200 Assunto: RES: [obm-l] sequencias De fato a sequencia eh densa [-1,1]. Justamente porque ln(n) - oo e l(n+1) - ln(n) - 0. Uma forma de ver isso dem formalizar: à media em que n vai aumentando, vamos percorrendo o círculo, sendo que a diferença entre pontos consecutivos é cada vez menor. Assim , se x está em [-1,1], entao qulquer intevalo aberto contendo x eh visitado infinitas vezes por elentos de sin(ln(n)). Eh claro que isso noa eh prova, soh a ideia Artur -Mensagem original- De: claudio.buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 2 de fevereiro de 2007 10:30 Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] sequencias Soh pra complementar: sen(log(n+1)) - sen(log(n)) - 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) - 0 e a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer dizer que |sen(x) - sen(y)| = |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R. Pra ver isso, faca: |sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| = 2*|sen((x-y)/2)| = 2*|(x-y)/2| = |x-y|. O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n divergente implica sen(x_n) divergente. Por exemplo, se a_n - a entao x_n = a_n + 2*pi*n - infinito, mas sen(x_n) - sen(a). O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n)) seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons tempos aqueles...). No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de aderencia. Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) - 0 (esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada, podemos tomar indices n_1, n_2, tais que: n_k = maior indice tal que x_n_k = k*pi + pi/2 == x_n_k = k*pi + pi/2 x_(n_k + 1) (**) Mas (x_(n+1) - x_n) - 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso quer dizer que: lim(k - +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. Logo, como seno eh continua: (i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) - sen((2m-1)*pi + pi/2) = -1; e (ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) - sen(2m*pi + pi/2) = 1. Acho que eh isso. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200 Assunto: Re: [obm-l] sequencias Olá Artur, sabemos que sen(x) diverge qdo x-inf... e que, se g(x) - inf qdo x-inf, entao: lim (x-inf) f(g(x)) = lim (x-inf) f(x) ... deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)-inf qdo n-inf e sen(x) diverge qdo x-inf.. bom, qquer erro, por favor, me corrija! abraços, Salhab - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM Subject: RES: [obm-l] sequencias Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente valida Artur -Mensagem original- De: Artur Costa Steiner Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] sequencias No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq. cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2, depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0 por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes dadas mas não converge. Artur -Mensagem original- De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] sequencias sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências, i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que (x_n) é limitada. Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). Mostre que 1 = a_n = 2. Na primeira não tive muito progresso. Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não consegui, cheguei
