RES: Um tal de Newton...
Bom... nas minhas contas aqui o coeficiente esta dando 17.578.125, eu usei a formula para (x1+x2+...+xp)^n que é: sum[n!/(a1!a2!...ap!)] somando sobre todos os ai´s tais que a1+a2+...+ap=n no nosso caso x1=1, x2=3x, x3=2x^2, a3+a2=8 e a1=2 temos então uma soma de 9 termos da forma 3^(a2)*2^(a3)*10!/(2!a2!a3!) fazendo as contas na calculadora achei aquele numero enorme... []'s Guilherme Pimentel http://sites.uol.com.br/guigous -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 21 de novembro de 2001 01:16 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Um tal de Newton... Meus cumprimentos, Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês... Questão (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780. Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ... Caso alguém queira tentar... Muito grato, Héduin Ravell _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
Re: Um tal de Newton...
On Wed, Nov 21, 2001 at 02:15:43AM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Meus cumprimentos,
Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão
interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês...
Questão (FFCLUSP)
Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento
de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780.
Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o
coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ...
Caso alguém queira tentar...
Não sei qual deveria ser o enunciado correto, mas acho que este está
errado, vejam as contas feitas em Maple:
boto:~maple
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(1 + 3*x + 2*x^2)^10;
2 10
(1 + 3 x + 2 x )
expand(%);
2 3 4 5 67
1 + 30 x + 425 x + 3780 x + 23670 x + 110916 x + 403530 x + 1167120 x
8910 11 12
+ 2725365 x + 5188590 x + 8097453 x + 10377180 x + 10901460 x
13141516 17
+ 9336960 x + 6456480 x + 3549312 x + 1514880 x + 483840 x
18 19 20
+ 108800 x + 15360 x + 1024 x
Notem que o coeficiente de x^3 é 3780 e o de x^8 é 2725365. []s, N.
Re: Um tal de Newton...
Ola Ravell, Tudo Legal ? Ja que voce estava estudando Um tal de Newton e se embaralhou um pouco com a questao interessante, entao deveria passar a estudar um tal de Leibniz que desenvolveu uma formula que nao se limita a binomios, trinomios e etc. Muitas pessoas conhecem a formula desta tal de Leibniz aplicada a um trinomio, como segue : (a + b + c)^N = SOMATORIO DE [ N!/(j!*k!*m!) ]*((a^j)*(b^k)*(c^m)) Onde : j + k + m = N No seu caso : a=1, b=3x , c=2*(x^2) e N=10 Aplicando isso ficara : [10!/(j!*k!*m!)]*[((3x)^k)*((2x^2)^m)] = [10!/(j!*k!*m!)]*[(3^k)*(2^m)*(x^(k+2m))] Para que o expoente seja 8, devemos ter : k+2m=8 e j+k+m=10 com qualquer das variaveis (j,k,m) sendo inteiras e indo de 0 ate 10. Encontre agora todas as solucoes inteiras possiveis, substitua na formula que achamos e mostre o que voce pretende. Observe que essa formula desse tal de Leibniz ( conhecida tambem como expansao multinomial ) permite voce atacar este tipo de questao diretamente, sem lancar mao de artificios e pode ser aplicada no caso de um Binomio : e portanto mais geral ! Vale a pena conhece-la. So para complementar, esse tal de Leibniz descobriu o calculo infinitesimal, percebeu o conceito de energia( que o tal de Newton nao percebeu ), anteviu a logica matematica ( atraves do que ele chamava de Caracteristica Universal ), ampliou a calculadora de Pascal para incluir multiplicacoes e divisoes, estudou os numeros binarios e publicou, entre outras coisas, a Monadologia, que e um tratamento axiomatico de temas metafisicos. Tudo feito entre as atividades de Estadista e Filosofo. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1719,211101 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Um tal de Newton... Date: Wed, 21 Nov 2001 02:15:43 -0200 Meus cumprimentos, Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês... Questão (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780. Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ... Caso alguém queira tentar... Muito grato, Héduin Ravell _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Re: Um tal de Newton...
Uma pequena distracao: (1 + 3x + 2x^2) = 2(x+1)(x+1/2) e nao (1 + 3x + 2x^2) = (x+1)(x+1/2) -Mensagem Original- De: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 21 de Novembro de 2001 02:41 Terezan Assunto: Re: Um tal de Newton... [EMAIL PROTECTED] wrote: Meus cumprimentos, Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês... Questão (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780. Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ... Vale lembrar q se vc estiver tentando usar a fórmula do Binômio de Newton, ela só vale para BInômios, ou seja, algo como (x+a)^n. Nós temos um TRInômio... Bem, mas vamos tentar... Sabemos q o trinômio pode ser reescrito como (x+1)(x+1/2). Assim, queremos saber o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de [(x+1)(x+1/2)]^10= [(x+1)^10][(x+1/2)^10] Seja a[i]x^i o termo de grau i do primeiro binômio e, p/não confunidir as letras, a[j]x^j o de grau j do segundo binômio. Assim, o nosso polinômio final terá termos da forma a[i]a[j]x^(i+j), com i e j variando (independentemente) de 0 a 10. Dessa forma, temos que achar i+j=8. As soluções (i;j) que estão no nosso intervalo são: (0;8), (1;7), (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), (7;1) e (8;0). Agora sim podemos utilizar a fórmula do Binômio de Newton, calcular os coeficientes com i e j das soluções, fazer as devidas contas e pronto. Sei q deve dar algum trabalho, mas depois posso até fazer caso alguém queira. Como a essa hora meus neurônios já foram dormir, fico devendo uma solução mais concisa e prática. []'s Alexandre Tessarollo Caso alguém queira tentar... Muito grato, Héduin Ravell _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
Re: Um tal de Newton...
Alexandre F. Terezan wrote: Uma pequena distracao: (1 + 3x + 2x^2) = 2(x+1)(x+1/2) e nao (1 + 3x + 2x^2) = (x+1)(x+1/2) Razões pelas quais pessoas como eu não deveriam mandar e-mails às 2:40 da manhã... Não sei pq ainda insisto... hehehe []'s Alexandre Tessarollo -Mensagem Original- De: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 21 de Novembro de 2001 02:41 Terezan Assunto: Re: Um tal de Newton... [EMAIL PROTECTED] wrote: Meus cumprimentos, Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês... Questão (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780. Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ... Vale lembrar q se vc estiver tentando usar a fórmula do Binômio de Newton, ela só vale para BInômios, ou seja, algo como (x+a)^n. Nós temos um TRInômio... Bem, mas vamos tentar... Sabemos q o trinômio pode ser reescrito como (x+1)(x+1/2). Assim, queremos saber o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de [(x+1)(x+1/2)]^10= [(x+1)^10][(x+1/2)^10] Seja a[i]x^i o termo de grau i do primeiro binômio e, p/não confunidir as letras, a[j]x^j o de grau j do segundo binômio. Assim, o nosso polinômio final terá termos da forma a[i]a[j]x^(i+j), com i e j variando (independentemente) de 0 a 10. Dessa forma, temos que achar i+j=8. As soluções (i;j) que estão no nosso intervalo são: (0;8), (1;7), (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), (7;1) e (8;0). Agora sim podemos utilizar a fórmula do Binômio de Newton, calcular os coeficientes com i e j das soluções, fazer as devidas contas e pronto. Sei q deve dar algum trabalho, mas depois posso até fazer caso alguém queira. Como a essa hora meus neurônios já foram dormir, fico devendo uma solução mais concisa e prática. []'s Alexandre Tessarollo Caso alguém queira tentar... Muito grato, Héduin Ravell _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
Um tal de Newton...
Meus cumprimentos, Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês... Questão (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780. Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ... Caso alguém queira tentar... Muito grato, Héduin Ravell _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
