[obm-l] Álgebra linear
Boa tarde a todos!
Encontrei isso aqui no livro de álgebra linear do Elon Lages Lima e não
consegui entender, espero que alguém possa me ajudar.
Seja X um conjunto não vazio. O símbolo F(X;R) representa o conjunto de
todas as funções reais f,g: X-R. Ele se torna um espaço vetorial quando se
define a soma f+g de duas funções e o produto a*f da seguinte maneira:
(f+g)(x) = f(x)+g(x), (a*f)(x) = a*f(x).
Eis aqui a parte que não entendi:
Variando o conjunto X, obtêm-se diversos exemplos de espaços vetoriais na
forma F(X;R). Por exemplo, se X = {1,...,n} então
F(X;R) = R^n, se X = N então F(X;R) = R^∞; se X é o produto cartesiano dos
conjuntos {1,...,n} e {1,...,n} então F(X;R) = M(mxn).
Alguém pode me explicar porque estas afirmações são verdadeiras?
Obrigado
Re: [obm-l] Números algébricos
Temos que sen(x graus) é algébrico para todo x racional. De fato, z = exp(2 pi i p/q) é algébrico para quaisquer inteiros p, q (q 0) pois z satisfaz a equação z^q = 1. Analogamente o conjugado conj(z) de z também é algébrico. Temos a = sen(2 pi p/q) = (z - conj(z))/(2i). Supondo que você saiba que a soma e o produto de números algébricos também é algébrico temos que a é algébrico, que é o que você queria. N. On Feb 18, 2008 8:22 PM, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos... Quais são os valores naturais de x para os quais senx° é um número algébrico? Cgomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Números algébricos
Só um comentário/dúvida: Sabe-se, porém, que sen1 é transcendente (não sen(1º), mas sen(1rad)). Alguém saberia responder, se é que já foi encontrada uma resposta geral para essa pergunta, quando sen x é transcendente, para x, agora, natural e dado em radianos. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 12:22:14 Assunto: Re: [obm-l] Números algébricos Temos que sen(x graus) é algébrico para todo x racional. De fato, z = exp(2 pi i p/q) é algébrico para quaisquer inteiros p, q (q 0) pois z satisfaz a equação z^q = 1. Analogamente o conjugado conj(z) de z também é algébrico. Temos a = sen(2 pi p/q) = (z - conj(z))/(2i). Supondo que você saiba que a soma e o produto de números algébricos também é algébrico temos que a é algébrico, que é o que você queria. N. On Feb 18, 2008 8:22 PM, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos... Quais são os valores naturais de x para os quais senx° é um número algébrico? Cgomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Álgebra linear
Olá, João Paulo,
Observe que um valor em R^n é, na verdade, um vetor de n coordenadas. Assim,
tomando X={1,2,3,...,n}, estaremos associando, à primeira ordenada, qualquer
valor real, idem para a segunda, e assim por diante, até a n-ésima coordenada.
Com essa explicação, fica fácil de entender também o caso X=N (naturais), que
se corresponde com R^(infinito). E, se X é o prouto cartesiano de {1,2,3,...,n}
por {1,2,3,...,m}, cada um dos (m x n) elementos de X pode ser associado com um
número real, o que estabelece uma correpondência com o conjunto das matrizes
M(mxn).
Espero ter ajudado, um abraço,
Eduardo
- Mensagem original
De: João Paulo V. Bonifácio [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 11:49:31
Assunto: [obm-l] Álgebra linear
Boa tarde a todos!
Encontrei isso aqui no livro de álgebra linear do Elon Lages Lima e não
consegui entender, espero que alguém possa me ajudar.
Seja X um conjunto não vazio. O símbolo F(X;R) representa o conjunto de todas
as funções reais f,g: X-R. Ele se torna um espaço vetorial quando se define a
soma f+g de duas funções e o produto a*f da seguinte maneira:
(f+g)(x) = f(x)+g(x), (a*f)(x) = a*f(x).
Eis aqui a parte que não entendi:
Variando o conjunto X, obtêm-se diversos exemplos de espaços vetoriais na forma
F(X;R). Por exemplo, se X = {1,...,n} então
F(X;R) = R^n, se X = N então F(X;R) = R^∞; se X é o produto cartesiano dos
conjuntos {1,...,n} e {1,...,n} então F(X;R) = M(mxn).
Alguém pode me explicar porque estas afirmações são verdadeiras?
Obrigado
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[obm-l] Radiciação 8ª série
Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade.
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Meu, a racionalização só serve para deixar o valor mais entendível... E, depois, fica mais fácil ensinar divisão dos números complexos... Em 19/02/08, vitoriogauss[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Pelo que eu sei, a muitos anos atrás era menos trabalhoso calcular o valor dígito à dígito de uma fração onde havia radicando só no numerador do que uma fração com radicando só no numerador. Hoje em dia com calculadoras e computadores as pesoas nem se lembram mais disso. Na minha opinião acho que seria mais interessante mostrar, por exemplo, que raiz de dois não é racional (e convencer os alunos que matemática não é uma coisa arbitrária ou inventada a esmo) do que ficar ensinando fazer várias contas que o coitado do aluno trabalha, trabalha, trabalha e depois se esquece um passso tem que estudar denovo. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. -- Julio Cesar Conegundes da Silva
[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série
Olá, De fato, se pensarmos bem, racionalizar um denominador significa torná-lo racional. Por exemplo, em vez de se escrever 1/raiz(2), escreve-se raiz(2)/2. Todavia, responda-me, com sinceridade, existe algum impedimento para que as raízes fiquem no denominador? De qualquer modo, creio que saber racionalizar, é, na verdade, importante, pois que quando assim o fazemos estamos treinando o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc, no sentido de que um número, para sair da raiz n-ésima, precisa estar elevado à n-ésima potência. Talvez seja uma justificativa. O problema é que, em sala de aula, sempre vão ter aqueles que perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como matemático, não pode dizer que fica. Outra pergunta do tipo é: Professor, mas precisa sempre simplificar a fração? Enfim, talvez uma outra justificativa seja a elegância, pois que a matemática precisa ser elegante. Assim sendo, diga ao aluno: Precisa, para ficar mais elegante... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 14:03:02 Assunto: [obm-l] Radiciação 8ª série Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Então, o que eu ja pensei um pouco sobre isso. Acho que a unica função da racionalização é tornar o resultado mais facil de interpretar. Vamos supor que vc esta fazendo um exercicio e chega ao resultado: 1/sqrt(3). Eh muito mais facil de vc ter rapidamente uma noção de quanto isso vale se vc olhar a forma com o denominador racionalizado: sqrt(3) / 3; sabendo que sqrt(3) é mais ou menos 1.73, sabemos que isso ai da um pouquinho menos que 0.58, enquanto que seria mais dificil de chegar à mesma conclusão, com essa mesma precisão, so olhando pra 1/sqrt(3) (mesmo usando que sqrt(3) ~ 1.73, não é tao evidente que 1/1.73 ~= 0.6). Eu acho importante nesse aspecto, para que o aluno possa ter uma noção mais proxima à sua realidade (ie, ao valor que ele pode medir com a régua no triangulo que tinha o angulo cuja tangente originou o valor 1/sqrt(3) por exemplo) do que significa o valor que encontrou. Um exemplo mais evidente: suponha que vc concluiu que um segmento tem medida 1/(2 + sqrt(3)) cm. Quanto é isso, mais ou menos? Ora, multiplique por 2 - sqrt(3) em cima e em baixo, obtenha (2 - sqrt(3))/(4 - 3) = 2 - sqrt(3) ~= 0.27 cm, um valor bem mais facil de ver (tudo bem, forcei o denominador dar 1 neste caso, mas isso sempre deixa mais facil de ver o resutlado) Mais pra frente, quando os alunos forem estudar numeros complexos, se tiver um i no denominador, ele desaparecera com o mesmo raciocinio, e é muito mais facil dividir por um real do que por um complexo não real (muito mais facil no sentido de enxergar o quanto da) Abraço Bruno On 19/02/2008, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Particularmente, acho importante. Certa vez, para uma turma de cursinho, escrevi: 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2 A maioria ficou abismada. [ ]´s Angelo vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Julio, concordo que com o uso de calculadoras e computadores o quadro é muito diferente. Porem acho importante formar o senso critico das pessoas. E com um passo tão simples, que pode até mesmo ser feito mentalmente em muitos casos, o aluno pode julgar e interpretar o seu resultado antes mesmo do seu colega do lado terminar de abrir o zipper da mochila pra pegar a calculadora. Alem disso, é importante conhecer o funcionamento daquilo que a calculadora ou o computador faz, para nao nos tornarmos escravos da tecnologia e acreditarmos em barbaridades que programas podem nos dizer. Não é raro vc achar um programa que solta uma resposta completamente absurda para um dado calculo, devido a limites da manipulacao de dados na memoria do computador que não foram previstos pelo programador (e não é raro programadores não tomarem o devido cuidado...) Abraço Bruno On 19/02/2008, Julio Cesar Conegundes da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Pelo que eu sei, a muitos anos atrás era menos trabalhoso calcular o valor dígito à dígito de uma fração onde havia radicando só no numerador do que uma fração com radicando só no numerador. Hoje em dia com calculadoras e computadores as pesoas nem se lembram mais disso. Na minha opinião acho que seria mais interessante mostrar, por exemplo, que raiz de dois não é racional (e convencer os alunos que matemática não é uma coisa arbitrária ou inventada a esmo) do que ficar ensinando fazer várias contas que o coitado do aluno trabalha, trabalha, trabalha e depois se esquece um passso tem que estudar denovo. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. -- Julio Cesar Conegundes da Silva -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Re:
Ola Marcelo, veja que a sua fórmula 9!/[3! 3! 3!] está dizendo que primeiro você embaralhou todas as 9 pessoas como se elas estivessem em fila indiana, e depois, como elas estão em 3 grupos separados, você descontou *3!* , três vezes, uma para cada um dos três grupos, justamente porque a ordem dentro de cada grupo não afeta o resultado. Porém, é preciso lembrar que a ordem ocupada por cada grupo (Grupo A, Grupo B, e Grupo C) também não afeta o resultado final, ou seja, embaralhar os três grupos ( 3! ) não afeta o resultado, tanto faz se o Grupo A está na posição do B ou do C, ou vice-versa, o resultado é o mesmo, portanto devemos também descontar esse arranjo. Da mesma forma, se fossem 18 pessoas divididas em 3 grupos com 6 pessoas cada, a formula correta seria 18!/[6! 6! 6! 3!]. Se fossem 12 pessoas divididas em dois grupos com 6 pessoas cada, teríamos: 12![6! 6! 2!]. Abraços, Palmerim Em 17/02/08, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Arkon, primeiro vamos formar o primeiro grupo: C(9, 3) agora, das 6 pessoas restantes, vamos formar o segundo grupo: C(6, 3) as 3 pessoas que sobraram formam o terceiro grupo. assim: C(9, 3) * C(6, 3) = 9!/[6! 3!] * 6!/[3! 3!] = 9!/[3! 3! 3!] = 9*8*7*6*5*4/[3*2*3*2] = 3*8*7*5*2 = 24*10*7 = 1680 não bateu com o gabarito... mas também não consigo encontrar meu erro. abraços, Salhab On Feb 16, 2008 4:38 PM, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: *PESSOAL ESSA QUESTÃO EU TIREI DO LIVRO DO IEZZI.* *QUAL O BIZU PARA CHEGAR NESSA RESPOSTA?* * * *De quantas formas podemos repartir 9 pessoas em 3 grupos, ficando 3 pessoas em cada grupo?* *Resposta: 280* * * *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO* * *
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
O meu ponto é o seguinte Bruno. Para que tentar ensinar uma criança da 8a série fazer o mesmo que a calculadora faz? Quem garante que ele vai se tornar um programador de calculadoras? Como vc mesmo disse temos que fazer com que as crianças entendam o espírito da coisa. Acho bem mais proveitoso o professor discutir o que é um número real ao invés de querer que as crianças saiam boas de conta. Eu me refiro a começar discutindo o que é um número naural a partir dos axiomas de Peano. Discutindo se os conceitos que nós temos de número fazem sentido ou não. Progredindo para os números racionais. Mostrando para os alunos que número não é um simbolo ou uma ferramenta de fazer contas e sim uma idéia ao mesmo tempo intuitiva e sofisticada que se comporta de maneira muito interessante e que nos lembra a coisas bem familiares. Enfim, saber o que a calculadora faz é importante. Mas tem coisas muito mais importantes que saber racionalizar um número. O que esperamos que a criança aprenda sabendo ela transformar uma fração com raíz no denominador em uma fração com raíz no numerador? Queremos que ela aprenda que ela é mais lenta que a calculadora em fazer cálculos ou que ela tenha consciencia de que o que o cérebro dela faz nenhum computador faz? On 2/19/08, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote: Julio, concordo que com o uso de calculadoras e computadores o quadro é muito diferente. Porem acho importante formar o senso critico das pessoas. E com um passo tão simples, que pode até mesmo ser feito mentalmente em muitos casos, o aluno pode julgar e interpretar o seu resultado antes mesmo do seu colega do lado terminar de abrir o zipper da mochila pra pegar a calculadora. Alem disso, é importante conhecer o funcionamento daquilo que a calculadora ou o computador faz, para nao nos tornarmos escravos da tecnologia e acreditarmos em barbaridades que programas podem nos dizer. Não é raro vc achar um programa que solta uma resposta completamente absurda para um dado calculo, devido a limites da manipulacao de dados na memoria do computador que não foram previstos pelo programador (e não é raro programadores não tomarem o devido cuidado...) Abraço Bruno On 19/02/2008, Julio Cesar Conegundes da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Pelo que eu sei, a muitos anos atrás era menos trabalhoso calcular o valor dígito à dígito de uma fração onde havia radicando só no numerador do que uma fração com radicando só no numerador. Hoje em dia com calculadoras e computadores as pesoas nem se lembram mais disso. Na minha opinião acho que seria mais interessante mostrar, por exemplo, que raiz de dois não é racional (e convencer os alunos que matemática não é uma coisa arbitrária ou inventada a esmo) do que ficar ensinando fazer várias contas que o coitado do aluno trabalha, trabalha, trabalha e depois se esquece um passso tem que estudar denovo. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. -- Julio Cesar Conegundes da Silva -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 -- Julio Cesar Conegundes da Silva
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
a conta numerica nao eh importante, qualquer computador ou calculadora pode faze-lo. Acho que o BIZU real eh o entendimento dos numeros e seus conceitos. -- []'s Ivan Carlos da Silva Lopes Engenheiro Eletrônico e de Computação What Am I Doing Now? -- http://twitter.com/icsl blog -- http://lopesivan.blogspot.com/ Personal Page -- http://lopesivan.ufrj.googlepages.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série
Pessoal... estamos discutindo matemática ou formação tecnológica? Qual o objetivos das aulas do nosso colega? Ajudar mentes a se desenvolverem ou treinar calculadoras? Qual o significado do Teorema: Toda fração cujo denominador é formado por uma raíz enésima pode ser expressa como uma fração cujo denominador é um número real? Por si só isso tem significado? Quem não olharia como o Vitório para o seu professor e pensaria: Tá. E daí? ? Usar racionalização nos complexos é como usar um lema. Vc usa o lema (em uma área qualquer da matematica). Prova o que tem que ser provado. Daí vc encontra o significado de alguma coisa. A mesma coisa eu penso sobre ensinar teoria das matrizes no ensino médio. Para que ficar ensinando as coisas aos pedaços sem nunca completar o quebra-cabeças? Para alguém olhar o currículo de ensino médio e pensar: Oooh... eles sabem multiplicar uma matriz. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Concordo na elegância Mas creio que o Bruno foi feliz em suas palavras. que não fiquemos escravos da vã tecnologia.. Eu lembro bem, que no meu Ceará, por incrível que pareçao professor me disse : Não pode deixar raiz no denominador...tem que racionalizar obrigatoriamente.. aí eu pensei...pela definição de racionais temos que a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0..deve se por isso... Depois...que aprendi que tratava-se de uma mera técnica, porém nos complexos foi maravilhoso Olá, De fato, se pensarmos bem, racionalizar um denominador significa torná-lo racional. Por exemplo, em vez de se escrever 1/raiz(2), escreve-se raiz(2)/2. Todavia, responda-me, com sinceridade, existe algum impedimento para que as raízes fiquem no denominador? De qualquer modo, creio que saber racionalizar, é, na verdade, importante, pois que quando assim o fazemos estamos treinando o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc, no sentido de que um número, para sair da raiz n-ésima, precisa estar elevado à n-ésima potência. Talvez seja uma justificativa. O problema é que, em sala de aula, sempre vão ter aqueles que perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como matemático, não pode dizer que fica. Outra pergunta do tipo é: Professor, mas precisa sempre simplificar a fração? Enfim, talvez uma outra justificativa seja a elegância, pois que a matemática precisa ser elegante. Assim sendo, diga ao aluno: Precisa, para ficar mais elegante... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: vitoriogauss Para: obm-l Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 14:03:02 Assunto: [obm-l] Radiciação 8ª série Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ Vitório Gauss -- Julio Cesar Conegundes da Silva
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Res: [obm-l] Radi ciação 8ª série
Saber racionalizar denominadores tem algumas conseqüências práticas também. Imagine que a resposta de um problema seja 1/(sqrt(3) + sqrt(2)) + 1/(sqrt(2) + 1) + 1. Poderíamos deixar do jeito que está e fazer numa calculadora, mas veja o que acontece quando a gente racionaliza: obtemos sqrt(3) - sqrt(2) + sqrt(2) - 1 + 1 = sqrt(3), que é muito mais agradável (nesse caso, é realmente uma questão estética). Além disso, sou a favor do ensino da racionalização por motivos didáticos. Ao racionalizar um denominador você está, ao mesmo tempo, aplicando a definição de raiz (quadrada ou de índice maior) e utilizando idéias de fatoração (e devemos concordar que a maior parte dos alunos não têm disponível um software que fatora). Assim é uma fantástica oportunidade de sedimentar tais conceitos (entendendo melhor o que é raiz quadrada, suas conseqüências algébricas, mostrando uma aplicação da fatoração da diferença de quadrados, etc), além de aprender uma técnica nova que pode, em muitos casos, simplificar cálculos. Ademais, divisão de complexos nada mais é do que uma racionalização de denominadores disfarçada; Sobre o uso de calculadoras, queiram ou não, por mais que digamos que Matemática seja a ciência do raciocínio lógico, em Matemática também se faz conta e uma das habilidades importantes que deve ser parte da cultura geral de qualquer pessoa é saber fazer o mínimo de conta, com ou sem o auxílio de computadores. Porque não adianta jogar no computador se não se entende o que se está fazendo (e infelizmente, vejo isso com mais freqüência do que eu gostaria); e mais ainda, não se entende álgebra se não se entende aritmética. Além disso, a confiança nos computadores pode ser muito perigosa: por exemplo, por erros de Cálculo Numérico (outra matéria pouco popular entre os estudantes), um foguete americano explodiu e uma plataforma de petróleo afundou. Vejam http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/ Outro exemplo favorito é o filme Apollo 13, quando os computadores foram desligados e os astronautas tiveram que fazer as contas com papel e lápis! Não sei se isso realmente aconteceu, mas eu consigo imaginar um blackout ocorrendo numa empresa num momento de urgência... E, quanto a matrizes, além das inúmeras aplicações de Álgebra Linear (um exemplo é o próprio algoritmo de busca do Google, que usa um teorema sobre sistemas homogêneos para poder colocar as páginas mais relevantes primeiro), você pode abrir uma planilha no Excel: as matrizes estão lá, e uma das coisas que mais se faz em aplicações é multiplicar matrizes. - Original Message From: Julio Cesar Conegundes da Silva [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 19, 2008 6:25:13 PM Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série Pessoal... estamos discutindo matemática ou formação tecnológica? Qual o objetivos das aulas do nosso colega? Ajudar mentes a se desenvolverem ou treinar calculadoras? Qual o significado do Teorema: Toda fração cujo denominador é formado por uma raíz enésima pode ser expressa como uma fração cujo denominador é um número real? Por si só isso tem significado? Quem não olharia como o Vitório para o seu professor e pensaria: Tá. E daí? ? Usar racionalização nos complexos é como usar um lema. Vc usa o lema (em uma área qualquer da matematica). Prova o que tem que ser provado. Daí vc encontra o significado de alguma coisa. A mesma coisa eu penso sobre ensinar teoria das matrizes no ensino médio. Para que ficar ensinando as coisas aos pedaços sem nunca completar o quebra-cabeças? Para alguém olhar o currículo de ensino médio e pensar: Oooh... eles sabem multiplicar uma matriz. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Concordo na elegância Mas creio que o Bruno foi feliz em suas palavras. que não fiquemos escravos da vã tecnologia.. Eu lembro bem, que no meu Ceará, por incrível que pareçao professor me disse : Não pode deixar raiz no denominador...tem que racionalizar obrigatoriamente.. aí eu pensei...pela definição de racionais temos que a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0..deve se por isso... Depois...que aprendi que tratava-se de uma mera técnica, porém nos complexos foi maravilhoso Olá, De fato, se pensarmos bem, racionalizar um denominador significa torná-lo racional. Por exemplo, em vez de se escrever 1/raiz(2), escreve-se raiz(2)/2. Todavia, responda-me, com sinceridade, existe algum impedimento para que as raízes fiquem no denominador? De qualquer modo, creio que saber racionalizar, é, na verdade, importante, pois que quando assim o fazemos estamos treinando o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc, no sentido de que um número, para sair da raiz n-ésima, precisa estar elevado à n-ésima potência. Talvez seja uma justificativa. O problema é que, em sala de aula, sempre vão ter aqueles que perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como
[obm-l] Re:[obm-l] Radiciação 8ª s érie
É verdade. Olha, o que vou fazer é não demorar muito na aula, não gastar muito tempo com preciosismos...ensino o suficiente, talvez até com uma ficha extra como curiosidade. Pq eu estava antes deste lema colocado aqui, fazer racionalizações mais complicadas...percebo que isso será prejudicial. Mas quem quiser fazer ITA-IME, EN, ou CN...no futuro vai aproveitar (penso eu). Muito grato pela ajuda Pessoal... estamos discutindo matemática ou formação tecnológica? Qual o objetivos das aulas do nosso colega? Ajudar mentes a se desenvolverem ou treinar calculadoras? Qual o significado do Teorema: Toda fração cujo denominador é formado por uma raíz enésima pode ser expressa como uma fração cujo denominador é um número real? Por si só isso tem significado? Quem não olharia como o Vitório para o seu professor e pensaria: Tá. E daí? ? Usar racionalização nos complexos é como usar um lema. Vc usa o lema (em uma área qualquer da matematica). Prova o que tem que ser provado. Daí vc encontra o significado de alguma coisa. A mesma coisa eu penso sobre ensinar teoria das matrizes no ensino médio. Para que ficar ensinando as coisas aos pedaços sem nunca completar o quebra-cabeças? Para alguém olhar o currículo de ensino médio e pensar: Oooh... eles sabem multiplicar uma matriz. On 2/19/08, vitoriogauss wrote: Concordo na elegância Mas creio que o Bruno foi feliz em suas palavras. que não fiquemos escravos da vã tecnologia.. Eu lembro bem, que no meu Ceará, por incrível que pareçao professor me disse : Não pode deixar raiz no denominador...tem que racionalizar obrigatoriamente.. aí eu pensei...pela definição de racionais temos que a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0..deve se por isso... Depois...que aprendi que tratava-se de uma mera técnica, porém nos complexos foi maravilhoso Olá, De fato, se pensarmos bem, racionalizar um denominador significa torná-lo racional. Por exemplo, em vez de se escrever 1/raiz(2), escreve-se raiz(2)/2. Todavia, responda-me, com sinceridade, existe algum impedimento para que as raízes fiquem no denominador? De qualquer modo, creio que saber racionalizar, é, na verdade, importante, pois que quando assim o fazemos estamos treinando o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc, no sentido de que um número, para sair da raiz n-ésima, precisa estar elevado à n-ésima potência. Talvez seja uma justificativa. O problema é que, em sala de aula, sempre vão ter aqueles que perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como matemático, não pode dizer que fica. Outra pergunta do tipo é: Professor, mas precisa sempre simplificar a fração? Enfim, talvez uma outra justificativa seja a elegância, pois que a matemática precisa ser elegante. Assim sendo, diga ao aluno: Precisa, para ficar mais elegante... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: vitoriogauss Para: obm-l Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 14:03:02 Assunto: [obm-l] Radiciação 8ª série Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ Vitório Gauss -- Julio Cesar Conegundes da Silva Vitório Gauss
[obm-l] Provar que é quadrado perfeito
Gostaria que alguém desse alguma sugestão para isto: Mostre que, para todo n ímpar positivo, (3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n - 2 eh um quadrado perfeito. Abracos Artur
[obm-l] Re: [obm-l] Provar que é quadrado perfeito
Olá Faça (3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n - 2 = k. k tem que ser inteiro para n ímpar. Substituindo: t=(3 + raiz(8))^n e multiplicando por t a equação: t² - (k+2)t + 1=0. Agora isola o t. Pra qualquer n, t é da forma a+b*raiz(2), a e b inteiros... A partir disso acho que eu consegui mostrar que k é quadrado perfeito. Veja se da certo ai. Abraços - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 19, 2008 3:34 PM Subject: [obm-l] Provar que é quadrado perfeito Gostaria que alguém desse alguma sugestão para isto: Mostre que, para todo n ímpar positivo, (3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n - 2 eh um quadrado perfeito. Abracos Artur
