Gabriel, eu não tenho certeza se entendi direito o problema, mas PELO QUE
ENTENDI, o exercício 1 é provar a recíproca do (pequeno) Teorema de Fermat,
i.e., que se n^a-n for divisível por a para todo natural n, a é primo.
Não farei isso, pois ela é FALSA!
Por exemplo, 2^341-2 é divisível por 341,
Ola a todos da lista,
preciso de um "empurrãozinho" neste
problema:
prove que mdc(x,y)*mmc(x,y) = x.y
Bom carnaval a todos
Gabriel (Recife,PE)
saudações a todos .
demo;
seja mdc(a,b)= d e mmc(a,b)=m . como a/a.(b/d) e b/b.(a/d)
logo ab/d é um múltiplo comum de a e b.
portanto existe um inteiro positivo k tal que : ab/d = mk
-- a/d = (m/b)k e b/d=(m/a)k .
concuimos que k é um divisor comum dos inteiros a/d e b/d, mas
mdc(a/d,
Essa lista está ficando muito monótona, sem muitas discussões sobre
problemas, só o pessoal atacando na teoria. Vou colocar alguns problemas
aqui e espero que vocês mandem soluções =)
1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por
a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e
gostaria de uma ajuda no seguinte problema de
trigonometria.sendo a+b+c=90 tal que a0 , bo e c0
provar que sen 4a + sen 4b + sen 4c = sen 2a + sen 2b +
sen 2c
O de numero 6 foi reeditado pel Dover.
Pode ser comprado em www.dover.com ou, no representante brasileiro que eh
a livraria castelo.
Insisto que essas mensagens sobre livros deveriam sempre vir acompanhadas
da cidade do remetente.
Morgado, Rio de Janeiro.
Pedro Costa wrote:
Olá Marcelo.
Seus problemas me parecem ser bastante úteis e interessantes, mais o problema
maior , é que eu não consegui entender nada , veio um bando de caracteres
estranhos juntos ao e-mail, será que você poderia mandar um arquivo anexado
no e-mail com as questões em outro formato?
grato
1) Suponha que a(n) = r^n é solução. Então r^3 - 4r^2 + 5r - 2 = 0. Mas isso
é equivalente a r^2(r-1) -3r(r-1)+2(r-1)=0, ou seja (r-1)^2 * (r-2) = 0.
Então a gente vê que r=1 ou r = 2. É fácil notar que se algumas sequências
satisfazem a recorrência dada, então combinações lineares destas tb
3) Bem, essa condição abc = 1, às vezes pede que a gente faça a=1/x, b=1/y e
c=1/z ( Lembrem do problema 2 da imo de 99 eu acho ). Ela é boa, pois ainda
temos xyz=1. Fazendo isso, queremos que :
x^2/(y+z) + y^2/(x+z) + z^2/(x+y) = 3/2. Bem, temo quadrados do lado
maior da desigualdade... isso
Proponho um humilde problema :
Considere a sequencia (1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...) cujos termos
sao os inteiros consecutivos em ordem crescente e na qual o inteiro n ocorre
n vezes. Quanto é o resto da divisao por 5 do 1993o termo desta sequencia?
Espero ter sido claro e que ele seja util
Oi Marcelo! Td bom? Bom, eu discordo um pouco de que teoria seja monotona,
embora eu concorde que a gente poderia estar mandando mais exercicios pra
lista!
Acho q vc pode fazer o 2o assim:
Seja k = min(x^r, y^r, z^r) e seja S a expressao do lado esquerdo da
desigualdade. Entao, k = 0 e:
S =
Ignorem essa solucao ai embaixo.. Fui escrevendo direto no email a ideia que
tive, e acabei cometendo um erro grosseiro, que resultou nesse monte de
besteira ai embaixo :) Eh Claro que minha primeira desigualdade S=... ja
nao pode ser suposta verdadeira...
Vou tentar dar uma solucao correta pro
Agora a 2, pra terminar...
2) Posso assumir que y não é nem o maior nem o menor entre x, y e z, pois a
desigualdade é simétrica. Como x-z = (x-y)+(y-z), temos que :
[x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y) =
= [x^r](x-y)^2 + [x^r](x-y)(y-z) + [y^r](y-x)(y-z) + [z^r](z-y)^2 +
vamos chamar o a sequencia original de (xn) e seu termo geral de xn.
como dito no enunciado, o inteiro n ocorre n vezes...
a sequencia (an) = (1,2,3,...n) representa quantas vezes o termo an
aparecera na sequencia original (xn).
prosseguindo, vamos tentar encontrar o termo 1993 de (xn)
para que
Ae pessoal, acho que eu acabei complicando um pouco, mas para efeito de
conhecimento eu resolvi por repercursao ( acho que é isso )
desculpem-me qualquer erro.
1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por
a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)]
É fácil notar ( e provar ) que a sequência muda o valor nas posições da
forma n(n+1)/2 + 1.
Fazendo n(n+1)/2 + 1 = 1993, temos n^2 + n - 3984 =0, ou seja
0=n=62,5. Com isso percebemos que a sequencia muda de valor, pela última
vez antes de chegar no 1993º termo, no termo 62*63/2 + 1 = 1954.
soma de PA.
sn=(a1+an)*n/2=(2a1+(n-1)*r)*n/2
queremos sn=1993 sendo a1=1, r=1.
1993=(2+(n-1))n/2=1+n²/2-n/2=
n²-n-3984=0
63n62
entao o 1993o termo é o 63.
que deixa resto 3 ao dividirmos por 5.
-- Mensagem original --
Proponho um humilde problema :
Considere a sequencia
Bom, quando eu mandei aquela solucao antes, era pq tinha achado que era
curta e bonita, embora agora saiba que ela era errada e feia :) Como eu
prometi, segue uma solucao, dessa vez correta (acredito eu!) pro problema 2
do Marcelo.. Nao eh bonita, mas tem umas ideias legais que aparecem em
varios
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