[obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

[Tércio Miranda]

Problema
São dados os triângulos ABC e PQR, com medianas AD 
e PS , respectivamente. Valem as seguintes igualdades de
Ângulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR são 
semelhantes.

Fixemos o triângulo ABC no seu plano.
Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas 
marquemos os pontos L e M tal que AL=PQ e AM=QR. As hipóteses nos
dão as congruências dos triângulos PQR e ALM 
(LAL).
A reta suporte da mediana AD corta o segmento de 
reta LM num ponto K, o qual pelas hipóteses de igualdade de ângulos
BAD=QPS e CAD=RPS, é o ponto médio do segmento 
LM.
Agora, se, por absurdo, LM não for paralela a BC 
podemos conduzir por K uma paralela a BC que cortará AB e AC 
(semiretas)
nos pontos U e V, respectivamente. Daí UMVL seria 
um paralelogramo! Um contradição.
Então LM é paralela a BC e os triângulos ABC e ALM 
são semelhantes e temos o resultado.

Um abraço do colega 
Tércio Miranda

Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

[Eduardo Henrique Leitner]

nao entendih essa parte:

Daí UMVL seria um paralelogramo!

por que seria um paralelogramo?


eu resolvi esse por tangentes...

no triangulo ABC de mediana AD, traçamos a altura em relação ao vértice C (corta a 
reta AB em H) e a altura do trangulo ABD em relação ao vértice D (corta a reta AB em I)

BHC e BID sao semlhantes pois possuem todos os angulos iguais. Como BC = 2BD, podemos 
dizer que BH = 2BI, e vamos chamar a medida BI de x, HC de h, AB de y

finalmente, podemos dizer que tg (IAD) = h/[2(y - x)], tg (BAC) = h/(y - 2x), tg (ABC) 
= h/2x

com essas equações podemos achar uma relação entre as tres tangentes que nao depende 
nem de h, nem de x e nem de y, portanto, o angulo ABC estah determinado unicamente 
pelos angulos IAD e BAC, que sao iguais para o triangulo PQR e portanto, o angulo PQR 
eh igual ao angulo ABC e portanto os triangulos sao semelhantes...

(é, eu também acho que a minha solução deu bem mais trabalho... hehehe)
e nessa resolução eu nao considerei o caso de os angulos em questao serem retos, mas 
se o forem eh muito fahcil provar que eles sao semelhantes...



On Sun, Oct 10, 2004 at 06:20:35PM -0300, Tércio Miranda wrote:
 Problema
 São dados os triângulos ABC e PQR, com medianas AD e PS , respectivamente. Valem as 
 seguintes igualdades de
 Ângulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR são semelhantes.
 
 Fixemos o triângulo ABC no seu plano.
 Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M tal que 
 AL=PQ e AM=QR. As hipóteses nos
 dão as congruências dos triângulos PQR e ALM (LAL).
 A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o qual pelas 
 hipóteses de igualdade de ângulos
 BAD=QPS e CAD=RPS, é o ponto médio do segmento LM.
 Agora, se, por absurdo, LM não for paralela a BC podemos conduzir por K uma paralela 
 a BC que cortará AB e AC (semiretas)
 nos pontos U e V, respectivamente. Daí UMVL seria um paralelogramo! Um contradição.
 Então LM é paralela a BC e os triângulos ABC e ALM são semelhantes e temos o 
 resultado.
 
 Um abraço do colega 
 Tércio Miranda
   
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Cones e conjuntos convexos.

[Fabio Niski]

Pessoal, estou com dificuldades para provar a seguinte afirmacao:
Se A é convexo, então C(A) é um cone convexo
onde a definicao de Cone que tenho é  (obs: vec(x) lê-se vetor x)
Um cone C, é um conjunto de pontos com a seguinte propriedade: Se vec(x) 
estiver no conjunto, u*vec(x) tb estará para todo u = 0.  e C(A) é o 
cone gerado pelo conjunto A, ou seja é o conjunto C(A) = {vec(y) | 
vec(y) = u*vec(x) ,  p/ todo u =0 e todo vec(x) pert a A).

Obrigado a todos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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