Re: [obm-l] blow up em EDOs
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 13 Apr 2007 16:45:03 -0300 Assunto: Re: [obm-l] blow up em EDOs Ola Claudio, pensei no seguinte: se f(t, x) = g(t, x), entao dx/dt = dy/dt, para todo t E R. integrando de t_0 a t, temos: x(t) - x(t_0) = y(t) - y(t_0) x(t) - a = y(t) - b se tivermos a = b, temos: x(t) = y(t) .. sobre a EDO, pensei no seguinte: derivando novamente em relacao ao tempo, temos: x'' = 1 + 2xx' entao, resolvendo esta EDO e dps ajustando para satisfazer x' = t + x^2 talvez conseguimos encontrar a solucao... bom.. vou pensar melhor aqui e se conseguir algo eu mando abracos, Salhab On 4/13/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal: Estou tentando resolver o seguinte problema: Prove que o problema de valor inicial: dx/dt = t + x^2 x(0) = a 0 tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito. Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t), a qual - +infinito quando t - 1/a pela esquerda. Como, para t 0, t + x^2 x^2, a solucao da equacao original (que existe e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a +infinito ainda mais rapidamente. No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece intuitivamente obvio. Em geral, se temos dois PVIs: dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a e dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b onde: f, g: U - R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para que cada PVI tenha solucao unica, a = b, e f(t,x) = g(t,x) para todo (x,t) em U, entao eh de se esperar que x(t) = y(t) para cada t no qual x e y estejam ambas definidas. Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão de polinomios
1, x2, ..., xn sao raizes de x^n - 1 = 0, ou seja, de (x - 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1) = 0. Assim, se fizermos Q(x) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1, as raizes de Q(x) = 0 serao as mesmas que as de x^n - 1 = 0, exceto o 1 == Q(x) = (x - x2)(x - x3)...(x - xn). Entao eh soh calcular Q(1) = (1 - x2)(1 - x3)...(1 - xn) = n Em 13/04/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] escreveu: * Sejam 1, x2, x3, x4, ... , xn as raizaes de x^n=1. Calcule: (1-x2)*(1-x3)*...*(1-xn). * -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: [obm-l] blow up em EDOs
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 13 Apr 2007 16:45:03 -0300 Assunto: Re: [obm-l] blow up em EDOs Ola Claudio, pensei no seguinte: se f(t, x) = g(t, x), entao dx/dt = dy/dt, para todo t E R. integrando de t_0 a t, temos: x(t) - x(t_0) = y(t) - y(t_0) x(t) - a = y(t) - b se tivermos a = b, temos: x(t) = y(t) .. Realmente, do jeito que eu escrevi mais abaixo, o problema fica trivial. De fato, a segunda equacao deveria ser dy/dt = g(t,y) e nao dy/dt = g(t,x). Nesse caso, nao podemos afirmar de cara que dy/dt dx/dt, jah que, para x y, pode ser que g(t,y) f(t,x). []s, Claudio. Em geral, se temos dois PVIs: dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a e dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b onde: f, g: U - R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para que cada PVI tenha solucao unica, a = b, e f(t,x) = g(t,x) para todo (x,t) em U, entao eh de se esperar que x(t) = y(t) para cada t no qual x e y estejam ambas definidas. Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equações trigonometricas
Ola, a) tgx + cotgx = senx/cosx + cosx/senx = 2/sen(2x) = 2sen(6x) logo: sen(2x)*sen(6x) = 1 para o produto ser igual a 1, temos que ter: sen(2x) e sen(6x) iguais a 1 ou -1.. se sen(2x) = 1, entao: 2x = pi/2 + 2kpi, entao: 6x = 3pi/2 + 6kpi ... sen(6x) = sen(3pi/2) = -1... opa! esse nao pode ser solucao... se sen(2x) = -1, entao: 2x = -pi/2 + 2kpi, entao 6x = -3pi/2 + 6kpi... sen(6x) = sen(-3pi/2) = 1... opa! tb nao pode ser.. logo, nao tem solucao! b) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 todos os termos sao positivos e menores que 1 (inclusive) vamos supor que |senx| 1.. entao a expressao acima é menor que 5.. logo, nunca teremos a igualdade! entao a unica solucao pode ser qdo |senx| = 1...de fato, temos uma solucao! portanto: senx = +- 1 ... x = +-pi/2 + 2kpi abracos, Salhab On 4/11/07, Felipe Régis [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal da lista, Alguém pode me ajudar a determinar a solução de algumas equações trigonométricas. Aqui vão elas: 1) tgx + cotgx = 2sen6x 2) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 Obrigado, Felipe Régis. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RESPOSTAS INSINUANTES!
ERRATA - Em mensagem anterior saiu BA em vez de CA. O correto e' Suponha, entao, a seguinte arrumacao em pares: AB, CA e BC. - Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis escreveu: Ok! Chicão e demais colegas! ... Outra situação que nunca consegui entender, apesar do esforço e boa vontade do Rogério. foi o porquê do C não existir na sua configuração, já que três pares diferentes, satisfaz claramente o ou exclusivo da questão. ... Abraços! - Ola' Jorge e colegas da lista, colei no final da mensagem a sequencia original do problema dos sapatos, incluindo seu enunciado. Bem, quando a camareira diz que os sapatos OU combinam do jeito X, OU combinam do jeito Y, ela esta' dizendo que essas e somente essas sao as formas de os sapatos combinarem. E tambem esta' dizendo que sao combinacoes excludentes (somente uma delas acontece). Dando um outro exemplo, quando dizemos OU o objeto e' todo azul, OU o objeto e' todo verde, significa que o tal objeto nao pode ser nem vermelho, ou amarelo, e que nao e' simultaneamente azul e verde. Significa que e' apenas azul, ou apenas verde, e que somente estas duas sao as opcoes possiveis. Isto pode parecer um pouco obvio, mas nossa lingua e' ingrata, e o que e' obvio para alguns , nem sempre o e' para todos. Esclarecido (suponho) este ponto, vamos ao problema: Suponha que fossem , como o Jorge sugeriu, 3 pares diferentes: AA,BB,CC. Diz a camareira Se reunirmos os sapatos em pares.. Suponha, entao, a seguinte arrumacao em pares: AB, CA e BC. Continua a camareira: ... combinam ou um so' par ou todos os pares. Percebe-se que a arrumacao acima nao combina nem um par e nem todos os pares, e portanto nao satisfaz ao que a camareira disse. Logo nao podemos ter 3 pares diferentes, pois poderiam estar arrumados de uma forma diferente da descrita pela camareira. Mas suponha que haja 2 pares iguais e um diferente: AA, AA, e BB. Entao, ao reunir os sapatos em pares, somente as seguintes arrumacoes sao possiveis: AA AA BB ou AB BA AA E assim podemos verificar que sempre, os sapatos combinam ou um so' par, ou todos eles. Acredito que agora a resposta esteja mais clara. Abracos a todos, Rogerio Ponce --- From Rogerio Ponce Thu Jan 20 11:53:01 2005 Ola' Joao, voce nao leu a frase inteira. Eu respondi dois pares IGUAIS e um diferente . Portanto nao existe o C da sua configuracao. Ou temos AA, AA e BB, com todos os pares casados, ou entao temos AB, AA e BA, com apenas um par casado. Deixo para voce a demonstracao de que esta e' a unica resposta correta. Dica: repare que a pergunta usa claramente um ou exclusivo, eliminando portanto a sua resposta. Abracos, Rogerio. --- From: Joao Gilberto Ponciano Pereira Hum... eu diria que e' apenas um par, dois sapatos. 3 pares podem fazer a configuracao AB, BC, CA. --- From: Rogerio Ponce Ola' Jorge, de estalo eu diria que sao 3 pares: 2 iguais e 1 diferente. Seis sapatos, portanto. Abracos, Rogerio. --- From: jorgeluis Date: Wed, 19 Jan 2005 21:25:00 -0300 Num hotel, os sapatos a serem engraxados sao colocados do lado de fora da porta. A camareira que realiza este trabalho tem que responder a pergunta sobre quantos sapatos ha' a limpar. Entao diz: Se reunirmos os sapatos em pares, combinam ou um so' par ou todos os pares. Quantos sao os sapatos? __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Halliday
Um projétil é lançado de um ponto a uma distância R da borda de um penhasco de altura h, de tal modo que atinge o solo a uma distância horizontal x da parede do penhasco (x está após a parede do penhasco). Se vc deseja o menor valor possível de x, como você ajustaria o vetor de lançamento (v) e seu ângulo com a horizontal, supondo que o vetor possa variar desde zero até um certo valor máximo finito e que o ângulo com a horizontal possa ser variado continuamente? Alguém se habilita Grato, Diego
[obm-l] AGUA E CACHACA
Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] escreveu: ...Fiquei também curioso para descobrir o máximo de cachaça que conseguirei retirar do barril sabendo que cachaça e água misturam-se imediatamente, e de forma homogênea. Ola' pessoal, esse foi o problema ao qual o Jorge se referiu: (na ausencia de solucoes, enviarei uma na terca-feira) Na fazenda de um tio, descobri um barril de cachaca pura, quase vazio (com apenas 1L de cachaca) e preso ao chao. O barril e' dotado de uma microtela horizontal ao nivel de 1L, que impede que se retire liquido abaixo da mesma, isto é, este barril nunca tem menos que 1L de liquido. Disponho de uma pipeta e 2 baldes ( 2L cada um) , um deles vazio, e o outro com 1L de agua pura, e pretendo retirar cachaca do barril atraves de acrescimos e retiradas de liquido, de forma a ter, ao final do processo, 1L de mistura de cachaca e agua em um de meus baldes. Sabendo que cachaca e agua misturam-se imediatamente, e de forma homogenea, qual o maximo de cachaca que conseguirei retirar do barril? OBS: A questao aqui e' descobrir qual a politica que maximiza o total de cachaca retirada, para entao calcular este total. Reparem que se adicionarmos 1L de agua de uma so' vez, tiraremos 1L de mistura, contendo 1/2 litro de cachaca. Se adotarmos outra politica, adicionando inicialmente 1/2 L de agua, poderemos retirar 1/2 L de mistura, contendo 1/3L de cachaca. Adicionando o 1/2L da agua restante, tiraremos mais 1/2L de mistura, contendo 2/9L de cachaca, e totalizando 5/9L de cachaca retirada. Qual a solucao otima? __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Halliday
Ola Diego, vamos dizer que o projetil foi lancado com velocidade inicial v0 e angulo theta.. entao vamos analisar o movimento em y: y = h + v0sen(theta)t - gt^2/2 queremos que ele chege ao chao, portanto: 0 = h + v0sen(theta)t - gt^2/2 daqui temos 2 solucoes.. uma negativa e uma positiva... obviamente, somente a positiva nos interessa! 0 = gt^2/2 - v0sen(theta)t - h t = [v0sen(theta) + sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)]/g entao, na horizontal, ele andou: s = v0cos(theta)*t = v0cos(theta) * [v0sen(theta) + sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)]/g a distancia dele ao penhasco é: s - R... assim: v0cos(theta) * [v0sen(theta) + sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)]/g - R temos uma condicao: qdo ele estiver descendo a nivelado com a montanha, ele ja tem q ter andado pelo menos R... assim: h = h + v0sen(theta)t - gt^2/2 gt^2 = v0sen(theta)t... t = v0sen(theta)/g assim: w = v0cos(theta)v0sen(theta)/g = v0^2sen(2theta)/(2g) = R entao, temos que minimizar: v0cos(theta) * [v0sen(theta) + sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)]/g - R com a condicao: v0^2sen(2theta)/(2g) = R eu acredito que temos o minimo qdo v0^2sen(2theta)/(2g) = R, mas... vamos utilizar isso! apenas para constar, caso nao utilizassemos isso, poderiamos utilizar o teorema de Kuhn-Tucker... que acha maximos de campos escalares com restricoes com desigualdades... basta inverter o sinal do que queremos minimizar e maximiza-lo (nao sei c fui claro! hehe) considerando: v0^2sen(2theta)/(2g) = R, temos, substituindo na outra equacao: R + v0cos(theta)*sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)/g - R = = v0cos(theta)*sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)/g entao temos que minimizar: v0cos(theta)*sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)/g onde v0^2sen(2theta)/(2g) = R basta substituirmos uma na outra e derivarmos... dai encontramos o angulo e o modulo da velocidade que miniminizam x.. espero ter ajudado abracos, Salhab On 4/14/07, Diego Alex Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Um projétil é lançado de um ponto a uma distância R da borda de um penhasco de altura h, de tal modo que atinge o solo a uma distância horizontal x da parede do penhasco (x está após a parede do penhasco). Se vc deseja o menor valor possível de x, como você ajustaria o vetor de lançamento (v) e seu ângulo com a horizontal, supondo que o vetor possa variar desde zero até um certo valor máximo finito e que o ângulo com a horizontal possa ser variado continuamente? Alguém se habilita Grato, Diego = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
