Re: [obm-l] demonstrar
então na seguinte equação
sqrt(x)+3=x
sqrt(x)=x-3
[sqrt(x)]^2=[x-3]^2
x=x^2-6x+9
x^2-7x+9 =0
x=[7+-sqrt(13)]/2
ambas as raízes satisfazem a equação.
Olá Ponce,
poderia dizer quais os problemas que encontrou na minha solucao? dei uma
verificada e nao os encontrei.
na sua solucao, nao entendi como vc encontrou aqueles conjuntos solucao..
*[sqrt(x) - 1/2] ^2 = m +1/4 (**)*
temos que m+1/40 .. m -1/4
|sqrt(x) - 1/2| = sqrt(m+1/4)
sqrt(x) - 1/2 = +- sqrt(m+1/4)
sqrt(x) = 1/2 +- sqrt(m+1/4), para todo m -1/4
se m 0, sqrt(m+1/4) 1/2, logo: 1/2 - sqrt(m+1/4) 0 .. entao, para m0,
temos apenas uma solucao [x = (1/2 + sqrt(m+1/4))^2
agora, para m 0, sqrt(m+1/4) 1/2, logo: 1/2 - sqrt(m+1/2) 0 ... entao,
a principio, poderemos ter 2 solucoes..
abracos,
Salhab
On 7/19/07, lponce [EMAIL PROTECTED] wrote:
Amigos da lista,
Acho que a solução dada pelo Salhab (abaixo) para o problema do Vitorio
apresenta problemas ( verifiquem!!).
Lembrando o enunciado do problema:
Resolver em função do parametro real m a equação na incógnita x real:
sqrt(x) +m = x
*Uma sugestão* Reescrevendo a equação sqrt(x) +m = x (*)
obtemos sucessivamente as equações equivalentes
[(sqrt(x) )^2 - sqrt(x) + 1/4] =m +1/4
*[sqrt(x) - 1/2] ^2 = m +1/4 (**)*
Note que m+1/4 = 0, ou seja, m = - 1/4
é uma *condição necessária *para que esta equação tenha solução e
consequentemente a equação dada (*) tenha também solução.
Nestas condições, obtém-se de (**) :
x= 1/4 , se m = -1/4
x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2 ou x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ,se -1/4 m =0
x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2, se m 0
Portanto, dos resultados acima, conclui-se que o conjunto solução S da
equação
sqrt(x) +m = x
é dado por:
S = { (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2} , se m = -1/4 ou m 0 .
*Neste caso, a equação tem uma única solução real*.
S = { (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2, (1/2 - sqrt(m+1/4 ) ^2}, se -1/4 m =0
*Neste caso, a equação tem duas soluções reais*.
S = Æ , se m - 1/4.
* *
*PONCE *
**
*Nota: Uma outra solução pode ser obtida,observando num sistema de
coordenadas cartesianas*
*os gráficos das funções: f(x) = x e g(x) = sqrt(x) , para x = 0.*
*As conclusões acima podem ser obtidas rapidamente.*
*De:* [EMAIL PROTECTED]
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Cópia:*
*Data:* Wed, 18 Jul 2007 20:53:33 -0300
*Assunto:* Re: [obm-l] demonstrar
Olá Vitorio,
sqrt(x) + m = x ...
sqrt(x) = x - m
elevando ao quadrado, ficamos com:
x = x^2 - 2xm + m^2
mas, em sqrt(x) = x - m, temos que ter x = m ... e qdo elevamos ao
quadrado, x pode assumir quaisquer valores (que certamente vao
aparecer e devem ser descartados)..
x^2 - (2m+1)x + m^2 = 0
digamos que f(x) = x^2 - (2m+1)x + m^2
veja que f(x) tem concavidade para cima, e que f(m) = m^2 - (2m+1)m +
m^2 = -(2m+1)
sabemos que 1*f(m) 0, implica que m está entre as raizes.. logo,
temos apenas uma solucao (a direita de m) ... assim: f(m) 0 ...
-(2m+1)0 ... m -1/2
assim, para m -1/2 temos que sqrt(x)+m = x tem apenas uma solucao..
e para m = -1/2 ?
vamos ver o delta de f(x)... (2m+1)^2 - 4m^2 = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 = 4m
+ 1
para raizes reais, delta = 0 ... logo: 4m+1 = 0 .. m -1/4
opa.. entao para m = -1/4, nao temos raizes reais... e -1/2 -1/4
portanto, só existe solucao para m = -1/4 ... esta solucao é unica...
(cqd)
note que o exercicio diz x0, pois qdo m=0, temos que x=0 é raiz..
da pra resolver tb usando um pouquinho de calculo e o fato de que x =
sqrt(x) tem apenas 2 solucoes (0 e 1)... e que x = sqrt(x) + m é
apenas uma translacao vertical de x = sqrt(x)..
abracos,
Salhab
On 7/18/07, vitoriogauss wrote:
olá moçada
Eu tava lendo o livro do Elon voltado para ensino médio, quando
encontrei a
seguinte questão:
sqrt[x]+2= x...ok...encontrei o resultado, porém fiquei intrigado
quanto ao
motivo da presença de raízes estranhas.
depois me enrolei na sqrt[x]+3=x...ambos os resultados que encontrei
valem,
porém ele pede para demosntrar que sqrt[x]+m = x só tem um valor para
m0..ou seja, então eu errei ao encontrar dois resultados para
sqrt[x]+3=x
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
=
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[obm-l] [Fwd: Fwd: [pg-sce] Ônibus para o IMPA]
---BeginMessage--- Olá Pessoal, eu vi em uma mensagem da OBM sobre o Simpósio no IMPA. Para pessoas residentes em São Carlos, alunos da USP há um ônibus saindo de São Carlos. Segue a mensagem abaixo: -- Forwarded message -- From: Marcia Federson [EMAIL PROTECTED] Date: Jul 19, 2007 9:49 AM Subject: [pg-sce] Ônibus para o IMPA To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED] Pessoal, A saída do ônibus para o IMPA será aqui do campus, provavelmente em frente ao posto do Banco do Brasil/EESC à meia noite do sábado para o domindo (28 para o 29 de julho). Márcia -- - Analista de Desenvolvimento/ CPD- FAPESP ( Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) Rua Pio XI - 1500/LAPA/São Paulo/SP Fone 38384000 - ---End Message---
Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas
Tentativa Bem, duas considerações preliminares: 1) 1 é imbatível; 2) Alguns outros sempre perdem. Estamos assim em busca do mínimo. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 1 ganha de 8. 8 perde de 9. 8 perde de 10.8 está fora. 9 lutas. Restam 7 contentores. Renumerando-os, temos: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 15 lutas acumuladas. 5 contentores: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 3. 5 perde de 4. 5 está fora. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 está fora. Aqui, com três lutadores, razoável parece a quebra da regra: 2 saiu com duas derrotas. 1 ganha de 2. 2 está fora. 1 é o campeão. Houve: 24 jogos. Esse é o mínimo. Agora, vamos a busca do máximo... (parece mais difícil). Bem, se distribuirmos o mais igualitariamente vitórias e derrotas, então, atingiremos o máximo, cremos. Logo: 1 ganha de 2, que perde de 3, que perde de 4, ... Hum: é um ciclo, com o ponteiro D (de derrota) apontando para os jogadores. O torneio acaba quando cada jogador é apontado três vezes, com exceção de um, que é apontado duas vezes. Logo, a resposta é: 9.3 + 1.2 = 29. Fácil é inferir uma regra geral para o máximo, mas é para o mínimo? Bem, para o mínimo, vejamos: colocando-os em linha reta, e renumerando-os a cada três jogos, ao final dos quais o segundo sempre sai, até que fiquem três jogadores, a partir de quando, com três contendas acaba o torneio. Então, uma regra geral para n jogadores é 3(n-3) + 3. Fraternalmente, João. Estou com duvidas neste problema, gostaria de propo-lo aos colegas.Em um torneio de judo hah 10 contendores. Cada luta prossegue ateh que os jurados declarem um vencedor, nunca hah empate. O contendor que perder 3 vezes (seguidas ou nao) eh eliminado. O torneio prossegue ateh que reste um unico contendor, que eh, entao, declarado campeao. Seja n o numero de lutas realizadas ateh a declaracao do campeao. Qual o menor e qual o maior valor que n pode assumir?AbracosArtur=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ===
Re: [obm-l] An�lise combinat�ria - n�mero de lutas
Acho que o problema e bem mais simples que isso. Para que um lutador seja eliminado ele perde 3 vezes. Para que 9 lutadores sejam eliminados sao necessarias pelo menos 9 x 3 lutas. Logo o minimo e 27. O numero de lutas e sempre 27 + n. 'n' e o numero de lutas que o campeao perdeu. Mas o campeao so pode perder no maximo 2 lutas ou nao seria o campeao. Logo o maximo de lutas e 29. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 08:15:50 -0400 Tentativa Bem, duas considerações preliminares: 1) 1 é imbatível; 2) Alguns outros sempre perdem. Estamos assim em busca do mínimo. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 1 ganha de 8. 8 perde de 9. 8 perde de 10.8 está fora. 9 lutas. Restam 7 contentores. Renumerando-os, temos: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 15 lutas acumuladas. 5 contentores: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 3. 5 perde de 4. 5 está fora. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 está fora. Aqui, com três lutadores, razoável parece a quebra da regra: 2 saiu com duas derrotas. 1 ganha de 2. 2 está fora. 1 é o campeão. Houve: 24 jogos. Esse é o mínimo. Agora, vamos a busca do máximo... (parece mais difícil). Bem, se distribuirmos o mais igualitariamente vitórias e derrotas, então, atingiremos o máximo, cremos. Logo: 1 ganha de 2, que perde de 3, que perde de 4, ... Hum: é um ciclo, com o ponteiro D (de derrota) apontando para os jogadores. O torneio acaba quando cada jogador é apontado três vezes, com exceção de um, que é apontado duas vezes. Logo, a resposta é: 9.3 + 1.2 = 29. Fácil é inferir uma regra geral para o máximo, mas é para o mínimo? Bem, para o mínimo, vejamos: colocando-os em linha reta, e renumerando-os a cada três jogos, ao final dos quais o segundo sempre sai, até que fiquem três jogadores, a partir de quando, com três contendas acaba o torneio. Então, uma regra geral para n jogadores é 3(n-3) + 3. Fraternalmente, João. Estou com duvidas neste problema, gostaria de propo-lo aos colegas. Em um torneio de judo hah 10 contendores. Cada luta prossegue ateh que os jurados declarem um vencedor, nunca hah empate. O contendor que perder 3 vezes (seguidas ou nao) eh eliminado. O torneio prossegue ateh que reste um unico contendor, que eh, entao, declarado campeao. Seja n o numero de lutas realizadas ateh a declaracao do campeao. Qual o menor e qual o maior valor que n pode assumir? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html _ Don't get caught with egg on your face. Play Chicktionary! http://club.live.com/chicktionary.aspx?icid=chick_hotmailtextlink2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas
Ola' Artur, como 9 lutadores sairam, entao houve 9x3=27 derrotas. E como o vencedor poderia ter perdido ate' 2 lutas, entao n varia entre 27 e 29 inclusive. []'s Rogerio Ponce Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Estou com duvidas neste problema, gostaria de propo-lo aos colegas. Em um torneio de judo hah 10 contendores. Cada luta prossegue ateh que os jurados declarem um vencedor, nunca hah empate. O contendor que perder 3 vezes (seguidas ou nao) eh eliminado. O torneio prossegue ateh que reste um unico contendor, que eh, entao, declarado campeao. Seja n o numero de lutas realizadas ateh a declaracao do campeao. Qual o menor e qual o maior valor que n pode assumir? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas
Bem, encontramos: mínimo: 24. Máximo: 29.E ainda, as regras gerais: mínimo: 3(n-3)+3 máximo: (n-1)*3+ 2[EMAIL PROTECTED] escreveu: -Para: obm-l@mat.puc-rio.brDe: "Qwert Smith" [EMAIL PROTECTED]Enviado por: [EMAIL PROTECTED]Data: 20/07/2007 8:36Assunto: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutasAcho que o problema e bem mais simples que isso.Para que um lutador seja eliminado ele perde 3 vezes. Para que 9 lutadores sejam eliminados sao necessarias pelo menos 9 x 3 lutas.Logo o minimo e 27.O numero de lutas e sempre 27 + n. 'n' e o numero de lutas que o campeao perdeu. Mas o campeao so pode perder no maximo 2 lutas ou nao seria o campeao. Logo o maximo de lutas e 29.From: [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutasDate: Fri, 20 Jul 2007 08:15:50 -0400Tentativa Bem, duas considerações preliminares: 1) 1 é imbatível; 2) Alguns outros sempre perdem. Estamos assim em busca do mínimo. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 1 ganha de 8. 8 perde de 9. 8 perde de 10.8 está fora. 9 lutas. Restam 7 contentores. Renumerando-os, temos: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 15 lutas acumuladas. 5 contentores: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 3. 5 perde de 4. 5 está fora. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 está fora. Aqui, com três lutadores, razoável parece a quebra da regra: 2 saiu com duas derrotas. 1 ganha de 2. 2 está fora. 1 é o campeão. Houve: 24 jogos. Esse é o mínimo. Agora, vamos a busca do máximo... (parece mais difícil). Bem, se distribuirmos o mais igualitariamente vitórias e derrotas, então, atingiremos o máximo, cremos. Logo: 1 ganha de 2, que perde de 3, que perde de 4, ... Hum: é um ciclo, com o ponteiro D (de derrota) apontando para os jogadores. O torneio acaba quando cada jogador é apontado três vezes, com exceção de um, que é apontado duas vezes. Logo, a resposta é: 9.3 + 1.2 = 29. Fácil é inferir uma regra geral para o máximo, mas é para o mínimo? Bem, para o mínimo, vejamos: colocando-os em linha reta, e renumerando-os a cada três jogos, ao final dos quais o segundo sempre sai, até que fiquem três jogadores, a partir de quando, com três contendas acaba o torneio. Então, uma regra geral para n jogadores é 3(n-3) + 3.Fraternalmente, João.Estou com duvidas neste problema, gostaria de propo-lo aos colegas.Em um torneio de judo hah 10 contendores. Cada luta prossegue ateh que os jurados declarem um vencedor, nunca hah empate. O contendor que perder 3 vezes (seguidas ou nao) eh eliminado. O torneio prossegue ateh que reste um unico contendor, que eh, entao, declarado campeao. Seja n o numero de lutas realizadas ateh a declaracao do campeao. Qual o menor e qual o maior valor que n pode assumir?AbracosArtur=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html_Don't get caught with egg on your face. Play Chicktionary! http://club.live.com/chicktionary.aspx?icid=chick_hotmailtextlink2=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ===
Re: [obm-l] An�lise combinat�ria - n�mero de lutas
??? de onde vc tirou 3(n-3)+3 pra minimo. Para eliminarmos n-1 participantes numa competicao onde a elimicao se da com d derrotas sao necessarias (n-1)*d partidas. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 09:48:53 -0400 Bem, encontramos: mínimo: 24. Máximo: 29.E ainda, as regras gerais: mínimo: 3(n-3)+3 máximo: (n-1)*3+ 2 [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Para: obm-l@mat.puc-rio.br De: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Enviado por: [EMAIL PROTECTED] Data: 20/07/2007 8:36 Assunto: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Acho que o problema e bem mais simples que isso. Para que um lutador seja eliminado ele perde 3 vezes. Para que 9 lutadores sejam eliminados sao necessarias pelo menos 9 x 3 lutas. Logo o minimo e 27. O numero de lutas e sempre 27 + n. 'n' e o numero de lutas que o campeao perdeu. Mas o campeao so pode perder no maximo 2 lutas ou nao seria o campeao. Logo o maximo de lutas e 29. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 08:15:50 -0400 Tentativa Bem, duas considerações preliminares: 1) 1 é imbatível; 2) Alguns outros sempre perdem. Estamos assim em busca do mínimo. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 1 ganha de 8. 8 perde de 9. 8 perde de 10.8 está fora. 9 lutas. Restam 7 contentores. Renumerando-os, temos: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 15 lutas acumuladas. 5 contentores: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 3. 5 perde de 4. 5 está fora. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 está fora. Aqui, com três lutadores, razoável parece a quebra da regra: 2 saiu com duas derrotas. 1 ganha de 2. 2 está fora. 1 é o campeão. Houve: 24 jogos. Esse é o mínimo. Agora, vamos a busca do máximo... (parece mais difícil). Bem, se distribuirmos o mais igualitariamente vitórias e derrotas, então, atingiremos o máximo, cremos. Logo: 1 ganha de 2, que perde de 3, que perde de 4, ... Hum: é um ciclo, com o ponteiro D (de derrota) apontando para os jogadores. O torneio acaba quando cada jogador é apontado três vezes, com exceção de um, que é apontado duas vezes. Logo, a resposta é: 9.3 + 1.2 = 29. Fácil é inferir uma regra geral para o máximo, mas é para o mínimo? Bem, para o mínimo, vejamos: colocando-os em linha reta, e renumerando-os a cada três jogos, ao final dos quais o segundo sempre sai, até que fiquem três jogadores, a partir de quando, com três contendas acaba o torneio. Então, uma regra geral para n jogadores é 3(n-3) + 3. Fraternalmente, João. Estou com duvidas neste problema, gostaria de propo-lo aos colegas. Em um torneio de judo hah 10 contendores. Cada luta prossegue ateh que os jurados declarem um vencedor, nunca hah empate. O contendor que perder 3 vezes (seguidas ou nao) eh eliminado. O torneio prossegue ateh que reste um unico contendor, que eh, entao, declarado campeao. Seja n o numero de lutas realizadas ateh a declaracao do campeao. Qual o menor e qual o maior valor que n pode assumir? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html _ Don't get caught with egg on your face. Play Chicktionary! http://club.live.com/chicktionary.aspx?icid=chick_hotmailtextlink2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html _ http://imagine-windowslive.com/hotmail/?locale=en-usocid=TXT_TAGHM_migration_HM_mini_pcmag_0507 =
Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas
É que o problema necessita de uma retificação. Quando se chega a 3 participantes, duas disputas bastam para eliminar 1. E, com 2 participantes, basta uma disputa para eliminar o perdedor e definir o vencedor.[EMAIL PROTECTED] escreveu: -Para: obm-l@mat.puc-rio.brDe: "Qwert Smith" [EMAIL PROTECTED]Enviado por: [EMAIL PROTECTED]Data: 20/07/2007 10:13Assunto: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas??? de onde vc tirou 3(n-3)+3 pra minimo.Para eliminarmos n-1 participantes numa competicao onde a elimicao se da com d derrotas sao necessarias (n-1)*d partidas.From: [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutasDate: Fri, 20 Jul 2007 09:48:53 -0400Bem, encontramos: mínimo: 24. Máximo: 29.E ainda, as regras gerais: mínimo: 3(n-3)+3 máximo: (n-1)*3+ 2[EMAIL PROTECTED] escreveu: -Para: obm-l@mat.puc-rio.brDe: "Qwert Smith" [EMAIL PROTECTED]Enviado por: [EMAIL PROTECTED]Data: 20/07/2007 8:36Assunto: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutasAcho que o problema e bem mais simples que isso.Para que um lutador seja eliminado ele perde 3 vezes. Para que 9 lutadoressejam eliminados sao necessarias pelo menos 9 x 3 lutas.Logo o minimo e 27.O numero de lutas e sempre 27 + n. 'n' e o numero de lutas que o campeaoperdeu. Mas o campeao so pode perder no maximo 2 lutas ou nao seria ocampeao. Logo o maximo de lutas e 29. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 08:15:50 -0400 Tentativa Bem, duas considerações preliminares: 1) 1 é imbatível; 2) Alguns outros sempre perdem. Estamos assim em busca do mínimo. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 1 ganha de 8. 8 perde de 9. 8 perde de 10.8 está fora. 9 lutas. Restam 7 contentores. Renumerando-os, temos: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 15 lutas acumuladas. 5 contentores: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 3. 5 perde de 4. 5 está fora. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 está fora. Aqui, com três lutadores, razoável parece a quebra da regra: 2 saiu com duas derrotas. 1 ganha de 2. 2 está fora. 1 é o campeão. Houve: 24 jogos. Esse é o mínimo. Agora, vamos a busca do máximo... (parece mais difícil). Bem, se distribuirmos o mais igualitariamente vitórias e derrotas, então, atingiremos o máximo, cremos. Logo: 1 ganha de 2, que perde de 3, que perde de 4, ... Hum: é um ciclo, com o ponteiro D (de derrota) apontando para os jogadores. O torneio acaba quando cada jogador é apontado três vezes, com exceção de um, que é apontado duas vezes. Logo, a resposta é: 9.3 + 1.2 = 29. Fácil é inferir uma regra geral para o máximo, mas é para o mínimo? Bem, para o mínimo, vejamos: colocando-os em linha reta, e renumerando-os a cada três jogos, ao final dos quais o segundo sempre sai, até que fiquem três jogadores, a partir de quando, com três contendas acaba o torneio. Então, uma regra geral para n jogadores é 3(n-3) + 3. Fraternalmente, João. Estou com duvidas neste problema, gostaria de propo-lo aos colegas. Em um torneio de judo hah 10 contendores. Cada luta prossegue ateh que os jurados declarem um vencedor, nunca hah empate. O contendor que perder 3 vezes (seguidas ou nao) eh eliminado. O torneio prossegue ateh que reste um unico contendor, que eh, entao, declarado campeao. Seja n o numero de lutas realizadas ateh a declaracao do campeao. Qual o menor e qual o maior valor que n pode assumir? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html _Don't get caught with egg on your face. Play Chicktionary!http://club.live.com/chicktionary.aspx?icid=chick_hotmailtextlink2=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
Re: [obm-l] An�lise combinat�ria - n�mero de lutas
Okagora entendi. Vc escolheu dar a solucao pra uma versao adaptada do problema e nao ao problema proposto. Infelizmente eu nao sou advinho e se vc tivesse avisado antes, eu nao teria te corrigido...foi mal ae From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 11:32:17 -0400 É que o problema necessita de uma retificação. Quando se chega a 3 participantes, duas disputas bastam para eliminar 1. E, com 2 participantes, basta uma disputa para eliminar o perdedor e definir o vencedor. [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Para: obm-l@mat.puc-rio.br De: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Enviado por: [EMAIL PROTECTED] Data: 20/07/2007 10:13 Assunto: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas ??? de onde vc tirou 3(n-3)+3 pra minimo. Para eliminarmos n-1 participantes numa competicao onde a elimicao se da com d derrotas sao necessarias (n-1)*d partidas. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 09:48:53 -0400 Bem, encontramos: mínimo: 24. Máximo: 29.E ainda, as regras gerais: mínimo: 3(n-3)+3 máximo: (n-1)*3+ 2 [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Para: obm-l@mat.puc-rio.br De: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Enviado por: [EMAIL PROTECTED] Data: 20/07/2007 8:36 Assunto: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Acho que o problema e bem mais simples que isso. Para que um lutador seja eliminado ele perde 3 vezes. Para que 9 lutadores sejam eliminados sao necessarias pelo menos 9 x 3 lutas. Logo o minimo e 27. O numero de lutas e sempre 27 + n. 'n' e o numero de lutas que o campeao perdeu. Mas o campeao so pode perder no maximo 2 lutas ou nao seria o campeao. Logo o maximo de lutas e 29. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 08:15:50 -0400 Tentativa Bem, duas considerações preliminares: 1) 1 é imbatível; 2) Alguns outros sempre perdem. Estamos assim em busca do mínimo. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 1 ganha de 8. 8 perde de 9. 8 perde de 10.8 está fora. 9 lutas. Restam 7 contentores. Renumerando-os, temos: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 15 lutas acumuladas. 5 contentores: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 3. 5 perde de 4. 5 está fora. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 está fora. Aqui, com três lutadores, razoável parece a quebra da regra: 2 saiu com duas derrotas. 1 ganha de 2. 2 está fora. 1 é o campeão. Houve: 24 jogos. Esse é o mínimo. Agora, vamos a busca do máximo... (parece mais difícil). Bem, se distribuirmos o mais igualitariamente vitórias e derrotas, então, atingiremos o máximo, cremos. Logo: 1 ganha de 2, que perde de 3, que perde de 4, ... Hum: é um ciclo, com o ponteiro D (de derrota) apontando para os jogadores. O torneio acaba quando cada jogador é apontado três vezes, com exceção de um, que é apontado duas vezes. Logo, a resposta é: 9.3 + 1.2 = 29. Fácil é inferir uma regra geral para o máximo, mas é para o mínimo? Bem, para o mínimo, vejamos: colocando-os em linha reta, e renumerando-os a cada três jogos, ao final dos quais o segundo sempre sai, até que fiquem três jogadores, a partir de quando, com três contendas acaba o torneio. Então, uma regra geral para n jogadores é 3(n-3) + 3. Fraternalmente, João. Estou com duvidas neste problema, gostaria de propo-lo aos colegas. Em um torneio de judo hah 10 contendores. Cada luta prossegue ateh que os jurados declarem um vencedor, nunca hah empate. O contendor que perder 3 vezes (seguidas ou nao) eh eliminado. O torneio prossegue ateh que reste um unico contendor, que eh, entao, declarado campeao. Seja n o numero de lutas realizadas ateh a declaracao do campeao. Qual o menor e qual o maior valor que n pode assumir? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html _
Re: [obm-l] demonstrar
Olá Vitório,
veja que: x1 = (7+sqrt(13))/2 de fato satisfaz sqrt(x1)+3 = x1
porem, usando x2 = (7-sqrt(13))/2, temos:
sqrt(x2)+3 = 4,30277 que é diferente de x2 = 1,697224
viu? o problema é que x2 - 3 0...
conforme eu disse anteriormente, temos que descartar as raizes da eq
de 2o. grau m (neste caso m=3)
abracos,
Salhab
On 7/20/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote:
então na seguinte equação
sqrt(x)+3=x
sqrt(x)=x-3
[sqrt(x)]^2=[x-3]^2
x=x^2-6x+9
x^2-7x+9 =0
x=[7+-sqrt(13)]/2
ambas as raízes satisfazem a equação.
Olá Ponce,
poderia dizer quais os problemas que encontrou na minha solucao? dei uma
verificada e nao os encontrei.
na sua solucao, nao entendi como vc encontrou aqueles conjuntos solucao..
*[sqrt(x) - 1/2] ^2 = m +1/4 (**)*
temos que m+1/40 .. m -1/4
|sqrt(x) - 1/2| = sqrt(m+1/4)
sqrt(x) - 1/2 = +- sqrt(m+1/4)
sqrt(x) = 1/2 +- sqrt(m+1/4), para todo m -1/4
se m 0, sqrt(m+1/4) 1/2, logo: 1/2 - sqrt(m+1/4) 0 .. entao, para m0,
temos apenas uma solucao [x = (1/2 + sqrt(m+1/4))^2
agora, para m 0, sqrt(m+1/4) 1/2, logo: 1/2 - sqrt(m+1/2) 0 ... entao,
a principio, poderemos ter 2 solucoes..
abracos,
Salhab
On 7/19/07, lponce [EMAIL PROTECTED] wrote:
Amigos da lista,
Acho que a solução dada pelo Salhab (abaixo) para o problema do Vitorio
apresenta problemas ( verifiquem!!).
Lembrando o enunciado do problema:
Resolver em função do parametro real m a equação na incógnita x real:
sqrt(x) +m = x
*Uma sugestão* Reescrevendo a equação sqrt(x) +m = x (*)
obtemos sucessivamente as equações equivalentes
[(sqrt(x) )^2 - sqrt(x) + 1/4] =m +1/4
*[sqrt(x) - 1/2] ^2 = m +1/4 (**)*
Note que m+1/4 = 0, ou seja, m = - 1/4
é uma *condição necessária *para que esta equação tenha solução e
consequentemente a equação dada (*) tenha também solução.
Nestas condições, obtém-se de (**) :
x= 1/4 , se m = -1/4
x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2 ou x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ,se -1/4 m =0
x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2, se m 0
Portanto, dos resultados acima, conclui-se que o conjunto solução S da
equação
sqrt(x) +m = x
é dado por:
S = { (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2} , se m = -1/4 ou m 0 .
*Neste caso, a equação tem uma única solução real*.
S = { (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2, (1/2 - sqrt(m+1/4 ) ^2}, se -1/4 m =0
*Neste caso, a equação tem duas soluções reais*.
S = Æ , se m - 1/4.
* *
*PONCE *
**
*Nota: Uma outra solução pode ser obtida,observando num sistema de
coordenadas cartesianas*
*os gráficos das funções: f(x) = x e g(x) = sqrt(x) , para x = 0.*
*As conclusões acima podem ser obtidas rapidamente.*
*De:* [EMAIL PROTECTED]
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Cópia:*
*Data:* Wed, 18 Jul 2007 20:53:33 -0300
*Assunto:* Re: [obm-l] demonstrar
Olá Vitorio,
sqrt(x) + m = x ...
sqrt(x) = x - m
elevando ao quadrado, ficamos com:
x = x^2 - 2xm + m^2
mas, em sqrt(x) = x - m, temos que ter x = m ... e qdo elevamos ao
quadrado, x pode assumir quaisquer valores (que certamente vao
aparecer e devem ser descartados)..
x^2 - (2m+1)x + m^2 = 0
digamos que f(x) = x^2 - (2m+1)x + m^2
veja que f(x) tem concavidade para cima, e que f(m) = m^2 - (2m+1)m +
m^2 = -(2m+1)
sabemos que 1*f(m) 0, implica que m está entre as raizes.. logo,
temos apenas uma solucao (a direita de m) ... assim: f(m) 0 ...
-(2m+1)0 ... m -1/2
assim, para m -1/2 temos que sqrt(x)+m = x tem apenas uma solucao..
e para m = -1/2 ?
vamos ver o delta de f(x)... (2m+1)^2 - 4m^2 = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 = 4m
+ 1
para raizes reais, delta = 0 ... logo: 4m+1 = 0 .. m -1/4
opa.. entao para m = -1/4, nao temos raizes reais... e -1/2 -1/4
portanto, só existe solucao para m = -1/4 ... esta solucao é unica...
(cqd)
note que o exercicio diz x0, pois qdo m=0, temos que x=0 é raiz..
da pra resolver tb usando um pouquinho de calculo e o fato de que x =
sqrt(x) tem apenas 2 solucoes (0 e 1)... e que x = sqrt(x) + m é
apenas uma translacao vertical de x = sqrt(x)..
abracos,
Salhab
On 7/18/07, vitoriogauss wrote:
olá moçada
Eu tava lendo o livro do Elon voltado para ensino médio, quando
encontrei a
seguinte questão:
sqrt[x]+2= x...ok...encontrei o resultado, porém fiquei intrigado
quanto ao
motivo da presença de raízes estranhas.
depois me enrolei na sqrt[x]+3=x...ambos os resultados que encontrei
valem,
porém ele pede para demosntrar que sqrt[x]+m = x só tem um valor para
m0..ou seja, então eu errei ao encontrar dois resultados para
sqrt[x]+3=x
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] demonstrar
Realmente eu tinha viajado nisso...valeu mesmo nobre colega
Olá Vitório,
veja que: x1 = (7+sqrt(13))/2 de fato satisfaz sqrt(x1)+3 = x1
porem, usando x2 = (7-sqrt(13))/2, temos:
sqrt(x2)+3 = 4,30277 que é diferente de x2 = 1,697224
viu? o problema é que x2 - 3 0...
conforme eu disse anteriormente, temos que descartar as raizes da eq
de 2o. grau m (neste caso m=3)
abracos,
Salhab
On 7/20/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote:
então na seguinte equação
sqrt(x)+3=x
sqrt(x)=x-3
[sqrt(x)]^2=[x-3]^2
x=x^2-6x+9
x^2-7x+9 =0
x=[7+-sqrt(13)]/2
ambas as raízes satisfazem a equação.
Olá Ponce,
poderia dizer quais os problemas que encontrou na minha solucao? dei uma
verificada e nao os encontrei.
na sua solucao, nao entendi como vc encontrou aqueles conjuntos solucao..
*[sqrt(x) - 1/2] ^2 = m +1/4 (**)*
temos que m+1/40 .. m -1/4
|sqrt(x) - 1/2| = sqrt(m+1/4)
sqrt(x) - 1/2 = +- sqrt(m+1/4)
sqrt(x) = 1/2 +- sqrt(m+1/4), para todo m -1/4
se m 0, sqrt(m+1/4) 1/2, logo: 1/2 - sqrt(m+1/4) 0 .. entao, para
m0,
temos apenas uma solucao [x = (1/2 + sqrt(m+1/4))^2
agora, para m 0, sqrt(m+1/4) 1/2, logo: 1/2 - sqrt(m+1/2) 0 ...
entao,
a principio, poderemos ter 2 solucoes..
abracos,
Salhab
On 7/19/07, lponce [EMAIL PROTECTED] wrote:
Amigos da lista,
Acho que a solução dada pelo Salhab (abaixo) para o problema do Vitorio
apresenta problemas ( verifiquem!!).
Lembrando o enunciado do problema:
Resolver em função do parametro real m a equação na incógnita x real:
sqrt(x) +m = x
*Uma sugestão* Reescrevendo a equação sqrt(x) +m = x (*)
obtemos sucessivamente as equações equivalentes
[(sqrt(x) )^2 - sqrt(x) + 1/4] =m +1/4
*[sqrt(x) - 1/2] ^2 = m +1/4 (**)*
Note que m+1/4 = 0, ou seja, m = - 1/4
é uma *condição necessária *para que esta equação tenha solução e
consequentemente a equação dada (*) tenha também solução.
Nestas condições, obtém-se de (**) :
x= 1/4 , se m = -1/4
x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2 ou x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ,se -1/4 m =0
x = (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2, se m 0
Portanto, dos resultados acima, conclui-se que o conjunto solução S da
equação
sqrt(x) +m = x
é dado por:
S = { (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2} , se m = -1/4 ou m 0 .
*Neste caso, a equação tem uma única solução real*.
S = { (1/2 + sqrt(m+1/4 ) ^2, (1/2 - sqrt(m+1/4 ) ^2}, se -1/4 m =0
*Neste caso, a equação tem duas soluções reais*.
S = Æ , se m - 1/4.
* *
*PONCE *
**
*Nota: Uma outra solução pode ser obtida,observando num sistema de
coordenadas cartesianas*
*os gráficos das funções: f(x) = x e g(x) = sqrt(x) , para x = 0.*
*As conclusões acima podem ser obtidas rapidamente.*
*De:* [EMAIL PROTECTED]
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Cópia:*
*Data:* Wed, 18 Jul 2007 20:53:33 -0300
*Assunto:* Re: [obm-l] demonstrar
Olá Vitorio,
sqrt(x) + m = x ...
sqrt(x) = x - m
elevando ao quadrado, ficamos com:
x = x^2 - 2xm + m^2
mas, em sqrt(x) = x - m, temos que ter x = m ... e qdo elevamos ao
quadrado, x pode assumir quaisquer valores (que certamente vao
aparecer e devem ser descartados)..
x^2 - (2m+1)x + m^2 = 0
digamos que f(x) = x^2 - (2m+1)x + m^2
veja que f(x) tem concavidade para cima, e que f(m) = m^2 - (2m+1)m +
m^2 = -(2m+1)
sabemos que 1*f(m) 0, implica que m está entre as raizes.. logo,
temos apenas uma solucao (a direita de m) ... assim: f(m) 0 ...
-(2m+1)0 ... m -1/2
assim, para m -1/2 temos que sqrt(x)+m = x tem apenas uma solucao..
e para m = -1/2 ?
vamos ver o delta de f(x)... (2m+1)^2 - 4m^2 = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 =
4m
+ 1
para raizes reais, delta = 0 ... logo: 4m+1 = 0 .. m -1/4
opa.. entao para m = -1/4, nao temos raizes reais... e -1/2 -1/4
portanto, só existe solucao para m = -1/4 ... esta solucao é unica...
(cqd)
note que o exercicio diz x0, pois qdo m=0, temos que x=0 é raiz..
da pra resolver tb usando um pouquinho de calculo e o fato de que x =
sqrt(x) tem apenas 2 solucoes (0 e 1)... e que x = sqrt(x) + m é
apenas uma translacao vertical de x = sqrt(x)..
abracos,
Salhab
On 7/18/07, vitoriogauss wrote:
olá moçada
Eu tava lendo o livro do Elon voltado para ensino médio, quando
encontrei a
seguinte questão:
sqrt[x]+2= x...ok...encontrei o resultado, porém fiquei intrigado
quanto ao
motivo da presença de raízes estranhas.
depois me enrolei na sqrt[x]+3=x...ambos os resultados que encontrei
valem,
porém ele pede para demosntrar que sqrt[x]+m = x só tem um valor
para
Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas
Você parece ser um Espírito nobre e elevado. Não há em que se desculpar. Aceito as desculpas para deixar feliz o teu coração, mas não são necessárias. Essa mudança do problema restringe-se ao desejo de se encontrar o mínimo. Okagora entendi. Vc escolheu dar a solucao pra uma versao adaptada doproblema e nao ao problema proposto. Infelizmente eu nao sou advinho e sevc tivesse avisado antes, eu nao teria te corrigido...foi mal aeFrom: [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutasDate: Fri, 20 Jul 2007 11:32:17 -0400É que o problema necessita de uma retificação. Quando se chega a 3participantes, duas disputas bastam para eliminar 1. E, com 2participantes, basta uma disputa para eliminar o perdedor e definir ovencedor.[EMAIL PROTECTED] escreveu: -Para: obm-l@mat.puc-rio.brDe: "Qwert Smith" [EMAIL PROTECTED]Enviado por: [EMAIL PROTECTED]Data: 20/07/2007 10:13Assunto: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas??? de onde vc tirou 3(n-3)+3 pra minimo.Para eliminarmos n-1 participantes numa competicao onde a elimicao se dacomd derrotas sao necessarias (n-1)*d partidas. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 09:48:53 -0400 Bem, encontramos: mínimo: 24. Máximo: 29.E ainda, as regras gerais:mínimo: 3(n-3)+3 máximo: (n-1)*3+ 2 [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Para: obm-l@mat.puc-rio.br De: "Qwert Smith" [EMAIL PROTECTED] Enviado por: [EMAIL PROTECTED] Data: 20/07/2007 8:36 Assunto: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Acho que o problema e bem mais simples que isso. Para que um lutador seja eliminado ele perde 3 vezes. Para que 9lutadores sejam eliminados sao necessarias pelo menos 9 x 3 lutas. Logo o minimo e 27. O numero de lutas e sempre 27 + n. 'n' e o numero de lutas que o campeao perdeu. Mas o campeao so pode perder no maximo 2 lutas ou nao seria o campeao. Logo o maximo de lutas e 29.From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Análise combinatória - número de lutas Date: Fri, 20 Jul 2007 08:15:50 -0400Tentativa Bem, duas considerações preliminares: 1) 1 é imbatível; 2)Alguns outros sempre perdem. Estamos assim em busca do mínimo. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 1 ganha de 8. 8 perde de 9. 8 perde de 10.8 está fora. 9 lutas. Restam 7 contentores. Renumerando-os, temos: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 6. 5 perde de 7. 5 está fora. 15 lutas acumuladas. 5 contentores: 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 perde de 4. 2 está fora. 1 ganha de 5. 5 perde de 3. 5 perde de 4. 5 está fora. 1 ganha de 2. 2 perde de 3. 2 está fora. Aqui, com três lutadores, razoável parece a quebra da regra: 2 saiu com duas derrotas. 1 ganha de 2. 2 está fora. 1 é o campeão. Houve: 24 jogos. Esseé o mínimo. Agora, vamos a busca do máximo... (parece mais difícil). Bem,se distribuirmos o mais igualitariamente vitórias e derrotas, então, atingiremos o máximo, cremos. Logo: 1 ganha de 2, que perde de 3, que perde de 4, ... Hum: é um ciclo, com o ponteiro D (de derrota) apontando para os jogadores. O torneio acaba quando cada jogador é apontado três vezes,com exceção de um, que é apontado duas vezes. Logo, a resposta é: 9.3 + 1.2= 29. Fácil é inferir uma regra geral para o máximo, mas é para o mínimo? Bem, para o mínimo, vejamos: colocando-os em linha reta, e renumerando-os a cada três jogos, ao final dos quais o segundo sempre sai, até que fiquem três jogadores, a partir de quando, com três contendas acaba o torneio. Então, uma regra geral para n jogadores é 3(n-3) + 3.Fraternalmente, João.Estou com duvidas neste problema, gostaria de propo-lo aos colegas. Em um torneio de judo hah 10 contendores. Cada luta prossegue ateh queos jurados declarem um vencedor, nunca hah empate. O contendor que perder3 vezes (seguidas ou nao) eh eliminado. O torneio prossegue ateh quereste um unico contendor, que eh, entao, declarado campeao. Seja n o numero de lutas realizadas ateh a declaracao do campeao. Qual o menor e qual o maior valor que n pode assumir? Abracos Artur= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] Probabilidade e Movimento..
Caros colegas, Considerem o seguinte problema: Dois pontos no plano, P1 e P2, inicialmente com coordenadas diferentes, movem-se aleatoriamente porém de modo suave pelo plano. Qual a probabilidade de que eles venham a se encontrar? Gostaria de saber, primeiramente, se a pergunta está bem colocada. Com mover-se de modo suave quero dizer que as curvas descritas pelas trajetórias dos pontos são ao menos contínuas. Desconfio que a probabilidade seja zero. Se for o caso, reconsidere o problema trocando os pontos por pequenas circunferências de raios R1, R2 0. Outra questão que me intriga é saber se, caso um dos pontos fique parado, somente o outro se mova, a probabilidade é diferente (maior ou menor?). Esta última veio de uma discussão recente que tive com alguns amigos: Suponha que você esteja numa festa grande, procurando alguém. A pessoa que você procura também está te procurando. É mais fácil vocês se encontrarem se um dos dois ficar parado e o outro procurar, ou se ambos procurarem? Essa é uma versão discreta, simplificada, do problema. Agradeço desde já.. Atenciosamente, - Leandro A. L.
