[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
Caros, Complementando entao a resposta do Luís Lopes, aqui vai a solução do problema: ANÁLISE DO PROBLEMA: Seja M a projeção de O na reta suporte de DH. Supondo a solução do problema conhecida, seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita. Por uma análise angular simples é possível concluir que AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2 [ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'. No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1 a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades que nos permitem determinar o ponto P1: (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD). Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de diâmetro OD. (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1 pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto médio de HM. CONSTRUÇÂO (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto médio de OD, determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte de DH. (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH, determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2). (iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH por H. (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A). (iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo, determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH. OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A, dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1. OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados. Abracos, sergio 2013/6/26 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Sergio, Sim, continuo na lista. Caiu no ITA, foi? Bom saber. Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. === Eu não consegui, mas obtive a solução na internet (a qual envio numa próxima mensagem). === Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo HaAO. Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta (Ha , Sa). Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos . Valeu Sergio pelo problema. Abs, Luis -- Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300 Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 From: sergi...@smt.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner (não sei se ainda acompanham a lista): Construa o triângulo ABC dados em posição: . o pé Ha da altura do vértice A em relação ao lado BC. . a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC. . o circuncentro O do triângulo. Eu não consegui, mas obtive a solução na internet (a qual envio numa próxima mensagem). Abraço, sergio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
Sauda,c~oes, oi Sergio, No google triangle construction given H_a,W_a,O aparecem outras soluções e comentários. Qual a fonte da sua construção ? Abs, Luis Date: Mon, 1 Jul 2013 09:58:53 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 From: sergi...@smt.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros, Complementando entao a resposta do Luís Lopes,aqui vai a solução do problema: ANÁLISE DO PROBLEMA: Seja M a projeção de O na reta suporte de DH.Supondo a solução do problema conhecida,seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita. Por uma análise angular simples é possível concluir queAOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2[ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'. No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades que nos permitem determinar o ponto P1: (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD).Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de diâmetro OD. (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralelaa AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto médio de HM. CONSTRUÇÂO (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto médio de OD,determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte de DH. (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH,determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2).(iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH por H. (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A).(iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo,determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH. OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A,dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1. OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados. Abracos,sergio 2013/6/26 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Sergio, Sim, continuo na lista. Caiu no ITA, foi? Bom saber. Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. ===Eu não consegui, mas obtive a solução na internet(a qual envio numa próxima mensagem). ===Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo HaAO. Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta (Ha , Sa). Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos . Valeu Sergio pelo problema. Abs, Luis Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300 Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 From: sergi...@smt.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner (não sei se ainda acompanham a lista): Construa o triângulo ABC dados em posição:. o pé Ha da altura do vértice A em relação ao lado BC. . a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC.. o circuncentro O do triângulo. Eu não consegui, mas obtive a solução na internet (a qual envio numa próxima mensagem). Abraço,sergio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
Caro Luís Lopes, Tem a solução dessa prova no site do rumo_ao_ita fornecida pelo Colegio ETAPA (eu deveria ter colocado a fonte na mensagem anterior - obrigado por me lembrar). Abraco, sergio 2013/7/1 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Sergio, No google triangle construction given H_a,W_a,O aparecem outras soluções e comentários. Qual a fonte da sua construção ? Abs, Luis -- Date: Mon, 1 Jul 2013 09:58:53 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 From: sergi...@smt.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros, Complementando entao a resposta do Luís Lopes, aqui vai a solução do problema: ANÁLISE DO PROBLEMA: Seja M a projeção de O na reta suporte de DH. Supondo a solução do problema conhecida, seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita. Por uma análise angular simples é possível concluir que AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2 [ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'. No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1 a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades que nos permitem determinar o ponto P1: (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD). Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de diâmetro OD. (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1 pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto médio de HM. CONSTRUÇÂO (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto médio de OD, determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte de DH. (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH, determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2). (iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH por H. (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A). (iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo, determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH. OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A, dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1. OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados. Abracos, sergio 2013/6/26 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, oi Sergio, Sim, continuo na lista. Caiu no ITA, foi? Bom saber. Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. === Eu não consegui, mas obtive a solução na internet (a qual envio numa próxima mensagem). === Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo HaAO. Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta (Ha , Sa). Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos . Valeu Sergio pelo problema. Abs, Luis -- Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300 Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 From: sergi...@smt.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner (não sei se ainda acompanham a lista): Construa o triângulo ABC dados em posição: . o pé Ha da altura do vértice A em relação ao lado BC. . a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC. . o circuncentro O do triângulo. Eu não consegui, mas obtive a solução na internet (a qual envio numa próxima mensagem). Abraço, sergio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] presente de grego 2
Sauda,c~oes, Da mesma lista do anterior. [APH]In a triangle are given: a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n (where h_a is the altitude from A) Prove that it has an Euclidean construction. (Ref.: Parartema, Nov. 1939, p.393)[Luis]: Again, I have no idea. May I have a hint ? Thanks. Dear Luis,Whenever we have an angle [so sin(of_that_angle) = sin(of_the_sum_of_the_other_two)] a good idea is to express the sin or cosof the difference of the other angles by the data of theproblem.If the equation we get is of = 2 degree it is possibleto have an euclidean construction.But how to make that construction geometrically is another story Alguém saberia construir o triângulo dados a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n ? Ou expressar sin(B-C) em função destes dados ? Abs, Luis -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
