Re: [obm-l] Paradoxos (era: Impossibilidade do movimento)
O aluno pensa: [...Mas já que não pode ser no último dia, se fosse no penúltimo dia também não seria surpresa. Assim a prova não pode ser em nenhum dos dois últimos dias...] Este aluno tem um raciocinio PARCIALMENTE falacioso, pois ele estah ´EXCLUINDO O TEMPO`. Explico: Premissa maior: Nao podera ter prova surpresa no ultimo dia Premissa menor: Nao podera ter prova surpresa no penultimo dia Conclusao do silogismo: Em nenhum dia havera prova surpresa O que quebrou este silogismo foi a premissa Nao podera ter prova surpresa no penultimo dia (premissa incorreta). Pois a premissa---Nao podera ter prova surpresa no penultimo dia (esta incorreta). Entao por que o aluno interpretou essa como correta ? Simplesmente porque quando ele excluiu a possibilidade de ocorrer prova surpresa no ultimo dia do mes ele passou a considerar o penultimo dia EXCLUINDO O ULTIMO DIA, depois no antepenultimo ele EXCLUIU O PENULTIMO, e assim por diante. Quando digo que ele exclui estou dizendo que ele esta esquecendo de considerar a hipotese do professor dar a prova no dia d + 1 (d= dia hipotetico para ocorrer prova surpresa) O unico dia em que ele acertou (premissa maior) pode ser explicado matematicamente. Ele primeiramente pensou na possibilidade de uma prova surpresa no ultimo dia (ou seja d=20). Nao existirah o dia d+1 = 20 + 1=21, pois sao 20 aulas !!! Mas em todos os dias (exceto o 20º) poderah sim haver prova surpresa. Por exemplo: NO PENULTIMO DIA PODERA HAVER PROVA SURPRESA, POIS NO ANTEPENULTIMO DIA O ALUNO NAO SABERA SE SERA NO DIA 19 OU 20. O aluno errou em sua premissa pois ele articulou uma premissa com a outra. Esta analise que fiz em letras maisculas ele nao poderia fazer, pois CORTOU o dia 20, inicialmente, do espaco amostral Agora uma situacao um pouco diferente deste interessante paradoxo enviado pelo Nicolau. Vou na verdade criar uma variante deste paradoxo: SE O PROFESSOR DISSESSE QUE IRIA DAR UMA, E SOMENTE UMA, PROVA SURPRESA E DARIA TAMBEM A INFORMACAO QUE NAO SERIA NO ULTIMO DIA, O QUE MODICARIA ESTE PARADOXO ? Em uma mensagem de 25/1/2004 04:03:09 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Este paradoxo me parece relacionado ao conceito de probabilidade condicionada. Isto eh, no início da manhã de cada dia até o de ordem n-1, a probabilidade de haver prova, sob o ponto de vista dos alunos, depende de ter ou não havido prova nos dias anteriores. Se a prova tiver sido dada, a probabilidade eh zero (supondo-se conhecido que vai haver uma e apenas uma prova); caso contrario, eh 50%, partindo-se do principio de que o professor nao tenha dado nenhuma dica que permita deduzir que a probabilidade de prova em um dia seja diferente da associada a outro dia qualquer. Assim, mesmo na manhã do dia n-1 hah aleatoriedade quanto ao evento prova. Na manhã do ultimo dia, admitindo-se que haja certeza quanto aa realizacao de uma e apenas uma prova no periodo, aih de fato nao hah mais qualquer aleatoriedade, o evento eh perfeitamente deterministico. Deste modo, se a palavra surpresa for associada a algo como incerteza, nao me parece haver paradoxo. Se for tomda no sentido usual, acho que o racicinio apresentado estah incorreto, pois no momento em que o professor informou que vai haver uma prova durante o periodo, ele automaticamente eliminou o elemento surpresa. Ha incerteza quanto ao dia da prova, mas nao surpresa. Eh algo como o prefeito de uma cidade brasileira dizer que houve enchente em janeiro porque ele foi surpreendido pelos temporais de verão. Ou o prefeito de uma cidade da Noruega dizer que foi surprrendido pela neve no mes de janeiro. Artur Outro paradoxo conhecido é o da prova surpresa. O professor chega na primeira aula de um curso de 20 aulas e diz que durante o curso haverá uma prova surpresa. Um aluno raciocina que a prova não pode ser no último dia senão não seria surpresa. Mas já que não pode ser no último dia, se fosse no penúltimo dia também não seria surpresa. Assim a prova não pode ser em nenhum dos dois últimos dias. Repetindo o raciocínio, a prova não pode ser um nunhum dos últimos três dias. E repetindo mais vezes, não pode ser em *nenhum* dia. Ora, no oitavo dia de aula o professor dá uma prova, e todos são tomados de surpresa. Há várias explicações diferentes para este paradoxo. Muitas vezes não se pode dizer que uma explicação está "certa" e outra "errada", deve-se apenas dizer que uma explicação é mais interessante, ou mais esclarecedora.
[obm-l] ITA
Olá pessoal To precisando da ajuda de vcs. Vou prestar vestibular para o ITA e estou precisando de materiais legais mesmo para estudar. Se vcs conhecem algum site bom mesmo com esses materiais respondam-me por favor. Não precisa ser apenas de Matématica pode ser Física, Química, Português, Inglês. Qualquer ajuda será válida. Valeu Galera. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Truelo
Realmente a resposta é que o sr. Black deve errar de propósito. Se ele fizer isso, ele obriga o sr. Gray a atirar no sr. White, pois este obviamente irá preferir atirar no sr. Gray por ser um adversário mais perigoso. De qualquer forma, nenhum dos dois irá atirar no sr. Black antes que chegue novamente a vez dele e assim ele passa a ser o primeiro a atirar em um duelo. Outra coisa interessante é que se supormos que a chance de Black acertar um tiro é 1/3, Gray 2/3 e White 1 (isto é supormos que os tiros são eventos aleatórios) e depois calcularmos a chance de Black vencer usando esta estratégia, teremos o seguinte resultado: -Chance de sobreviver se enfrentar o sr. White: 1/3 -Chance se enfrentar o sr. Gray:1/3+(1/3).(2/9)+(1/3).(2/9)^2+... =3/7 (a chance de que Black e Gray errem é (2/3).(1/3)) Chance de sobreviver = (1-2/3).(1/3)+(2/3).(3/7)=32/6350% André T. parece que o melhor nessa situação é errar de propósito, se essa alternativa existir. Senão der pra atirar no nada, o jeito é tentar a sorte no Mr. White... Will - Original Message - From: André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 24, 2004 6:17 PM Subject: [obm-l] Truelo Esse problema é um clássico da teoria dos jogos: Três cavalheiros, o sr. Black, o sr. Gray e o sr. White irão se enfrentar em um truelo. O sr. White têm ótima pontaria e acerta sempre o seu alvo. O sr. Gray acerta em 2/3 das vezes e o sr. Black em apenas 1/3 das vezes. Por causa disso, o sr. Black irá atirar primeiro, depois o sr. Gray, o sr. White, novamente o sr.Black e assim por diante até que só sobre um vivo. Qual deve ser o primeiro tiro do sr. Black de modo que ele seja o que tam mais chances de sair vivo dentre os três? André T. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] ITA
Olá pessoal To precisando da ajuda de vcs. Vou prestar vestibular p ara o ITA e estou precisando de materiais legais mesmo para estudar. Se v cs conhecem algum site bom mesmo com esses materiais respondam- me por favor. Não precisa ser apenas de Matématica pode ser Física, Química, Portuguê s, Inglês. Qualquer ajuda será válida. Valeu Galera. E dificil achar site com material pro ITA/IME, visto que o Penbadu (site com provas do ITA/IME/EN/EPCAR) era um dos mais completos e saiu do ar. Eu nao conheco nenhum =/ A dica que eu posso te dar eh nao deixar de estudar Portugues e Ingles, nao adianta detonar em Mat/Fis/Qui e cagar nessas duas (muita gente faz isso voce nem imagina) que tu nao entra. Na verdade eu tambem vou prestar ITA/IME esse ano, e to pensando em disponibilizar uns materiais que eu tenho aqui pra galera baixar. O vestibular do ITA/IME sao bem elitizados, e nem todo mundo tem grana pra pagar um bom cursinho (eh bem foda passar nesses vestibulares sem uma preparacao especifica/direcionada, lembrando que nao eh _impossivel_. Se voce nao ta prestando nenhum cursinho, nao se sinta desmotivado e corra atras assim mesmo). To tentando conseguir um scanner pra poder digitalizar o material aqui, se eu conseguir eu mando uma resposta pra lista. Alguns links pra ajudar: www.fisicaju.com.br www.fisica.net (forum, bom pra tirar duvidas de fisica) __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Equações
-Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 25, 2004 4:28 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: re:[obm-l] Equações Ola Pedro Costa, 1) z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 (z-1)*(z4 + z3 + z2 + z + 1) = 0 z^5 - 1 = 0 z = raiz quinta de 1 Com excecao de z=1, que nao eh raiz da equacao dada. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equações
Exato Arthur ! Em uma mensagem de 25/1/2004 14:10:10 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 25, 2004 4:28 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: re:[obm-l] Equações Ola Pedro Costa, 1) z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 (z-1)*(z4 + z3 + z2 + z + 1) = 0 z^5 - 1 = 0 z = raiz quinta de 1 Com excecao de z=1, que nao eh raiz da equacao dada. Artur
Re: [obm-l] Re: Funcao Distancia
On Sat, Jan 24, 2004 at 05:54:11PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: Nicolau escreveu: Não é equivalente. Como você verificou abaixo o ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias é o baricentro, que não tem muito a ver com o ponto pedido. Atentando, para as considerações físicas sobre o problema feitas por Nicolau em e-mail anterior (fazer vários furos em uma cartolina, amarrar os barbantes que passam pelos furo entre si em um nó sobre a cartolina, a um peso abaixo da cartolina e soltar o peso) começei a pensar em uma outra maneira de resolver. O nó fica em uma posição de equilíbrio estável que é um atrator, isto é, se mexermos no nó ele volta para o equilíbrio. Isto é verdade quando existe um único mínimo local (que também é global) e já mostrei na outra mensagem que isto ocorre *exceto* no caso de todos os furos estarem em uma linha reta. Intuitivamente, parece que no equilíbrio as trações no fio são todas iguais (não verifiquei ainda). Claro, todas são iguais ao peso (mg, não é massa) dos pesos pendurados. Isto supondo que o nó não está justo acima de um furo. Se for verdade então os ângulos devem ser todos iguais também (senão a soma das forças no ponto não dá zero). No caso de três furos isto está correto. Ou melhor, está certo no caso de três furos se os ângulos internos forem menores do que 120 graus. No caso de mais de de três furos não está certo. Ora! Isso acontece no triângulo equilátero (os ângulos são todos 120 graus) a menos que um dos ângulos seja 120 graus. Daí várias idéias novas surgem pra tentar a solução. Se tivermos quatro furos nos vértices de um retângulo (não quadrado), o ponto desejado é o centro do retângulo. É fácil ver que as forças somam zero mas os quatro ângulos não são iguais. Uma delas, meio geométrica, é procurar para cada segmento o lugar geométrico dos ângulos de 360/n que tem dois pontos no segmento (um círculo) e achar a intersecção de todos tais círculos para todos os segmentos. Tem que ser um ponto só! Senão tem falha no raciocínio e isso só iria funcionar para triângulos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: Funcao Distancia
Este problema eh mesmo um tanto complicado para se achar uma solucao analitica. Mas eh facil de programar para usar um algoritmo de otimizacao. Dah para resolver numa planilha Excvel. Interessante que o problema fica simples se quisermos achar o ponto do plano, ou do espaco tridimensional, ou mesmo de um espaco de n3 dimensoes que minimize a soma dos quadrados das distancias a m pontos fixos. Neste caso, cada uma das coordenadas do ponto solucao eh simplesmente a media aritmetica das coordenadas dos pontos fixos. Uma mudanca que aparentemente complicaria, torna o problema bem mais simples. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Impossibilidade do movimento
On Sat, Jan 24, 2004 at 04:26:38PM -0200, Frederico Reis Marques de Brito wrote: (Isto é falso. Embora concorde em ter-se uma certa estranheza inicial, mas o fato é que qdo somamos termos que tendem a zero, talvez a soma ainda possa ser finita. Tal como ocorre com 1/10^n. Entretanto, é necessário dizer que apenas em algumas sequências a soma converge, precisamente, qdo as séries são convergentes. Imagine o seguinte: 2=1,99..., o que essa igualdade significa? Eu não tenho participado diretamente desta conversa, mas já que chegamos ao famigerado 0.99... = 1, recomendo que deem uma olhada nas *MUITAS* mensagens que já foram escritas nesta lista sobre este persistente tema. Você pode começar pela mensagem abaixo e seguir os links: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200310/msg00348.html Obrigado ao Duda = Eduardo Stabel por fazer esta lista de mensagens, mas conferindo, acho que alguns destes links estão trocados, não? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] (n!)^(1/n) - iinf
Um exercicio interessante eh demonstrar que (n!)^(1/n) - inf. A solucao que eu encontrei baseia-se no fato de que, se x(n) eh uma sequencia de numeros reais positivos, entao vale a seguinte desigualdade: lim inf (x(n+1)/x(n)) = lim inf (x(n)^(1/n)) = lim sup (x(n)^(1/n)) = lim sup (x(n+1)/x(n)). Desta desigualdades segue-se automaticamente que, se (x(n+1)/x(n)) convergir, entao x(n)^(1/n)) converge para o mesmo limite da primeira. E se (x(n+1)/x(n)) - inf (limite infinito no sistema dos reais expandidos), entao x(n)^(1/n)) - inf. Se definirmos x(n) = n!, entao x(n+1)/x(n) = (n+1) - inf, o que implica que x(n)^(1/n) = (n!)^(1/n) - inf. Assim fica bem facil. Eu tentei tambem demonstrar diretamente, sem usar a razao x(n+1)/x(n), mas parece um tanto complicado. Tentei dermostrar por inducao finita que (n!)^(1/n) n/2, mas tornou-se akgebricamente complicado. Artur
Re: [obm-l] (n!)^(1/n) - iinf
On Sun, Jan 25, 2004 at 03:55:08PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Um exercicio interessante eh demonstrar que (n!)^(1/n) - inf. Que tal assim? lim log((n!)^(1/n)) = lim (log n!)/n mas sabemos que lim n!/(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)) = 1 donde lim (log(n!) - log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n))) = 0 e com mais forte razão lim (log n!)/(log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n))) = 1 donde lim log((n!)^(1/n)) = lim log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)))/n = lim log(n) - lim e + lim log(sqrt(2 pi n))/n = +infinito = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equações
Caro Pedro, Para facilitar, dividirei a resolução da questão 1 em etapas: A)1 não é raiz de z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0, pois 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 é diferente de zero. B) As raízes de z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0 são também raízes de z^5 - 1 = 0, pois z^5 - 1 = (z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1). C) Como z^5 - 1 = 0 = z^5 = 1 = [cos 0 + i * sen 0], tem-se que z = [cos (2*k*pi / 5) + i * sen (2*k*pi/5)], para k = 0, 1, 2, 3 e 4. Desta forma, |z| = 1. D) Os valores de z são, portanto, Z_1 = cos 0 + i * sen 0 = 1 (não serve) Z_2 = [cos (2*pi/5) + i*sen(2*pi/5)] não pertence aos reais Z_3 = [cos (4*pi/5) + i*sen(4*pi/5)] não pertence aos reais Z_4 = [cos (6*pi/5) + i*sen(6*pi/5)] não pertence aos reais Z_5 = [cos (8*pi/5) + i*sen(8*pi/5)] não pertence aos reais E) Se r é uma raiz, então | r | = | z | = 1 e Sum[k=1...n] |r/3|^k Sum[k=1...oo] |r/3|^k = Sum[k=1...oo] (|r|/3)^k =Sum[k=1...oo] (1/3)^k = 1/2 Assim sendo, (I) e (II) são falsas e (III) é verdadeira. Resposta:D Questão 2: x^6 - (a+b+c)x^5 + 6x^4 - 3cx^2 + 6x - 1 = 0 é uma equação recíproca de segunda espécie, o que implica dizer que -1 e 1 são raízes,(a+b+c) 0 e c 0. x = 1 = 1 - (a+b+c) + 6 - 3c + 6 - 1 = 0 = a + b + 4c = 12 (I) x = -1 = 1 + (a+b+c) + 6 - 3c - 6 - 1 = 0 = a + b = 2c (II) Fazendo (II) em (I): 2c + 4c = 12 = c = 2 0 Voltando em(II): a + b = 4 Portanto, a equação recíproca é x^6 - 6x^5 + 6x^4 - 6x^2 + 6x - 1 = 0. Pelo teorema de D'Alambert, se x = 1e x = -1são raízes, então P(x) = x^6 - 6x^5 + 6x^4 - 6x^2 + 6x - 1 é divisível pelo produto (x-1)(x+1). Assim, P(x) = (x-1)(x+1)(x^4-6x^3+7x^2-6x+1) = 0 x^4 - 6x^3 + 7x^2 - 6x + 1 = 0 = x^2 - 6x + 7 - 6/x + 1/x^2 = 0 (pois x é diferente dezero) (x^2 + 1/x^2) - 6(x + 1/x) + 7 = 0 Se t = x+ 1/x , então t^2 - 2 = x^2 + 1/x^2.Logo: t^2 -6t + 5 = 0 = t= 5 ou t = 1 t = 5 = x + 1/x = 5 = x^2 - 5x + 1 = 0 = x = [5+sqrt(21)]/2 ou x = [5-sqrt(21)]/2 t = 1 = x + 1/x = 1 = x^2 - x + 1 = 0 = D = 1 - 4*1*1 = -3 0 = raízesnão reais Desta forma, temos para a equação recíproca de segunda espécie quatro raízes reais e duas raízes não reais. Resposta: D Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Pedro Costa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 24, 2004 8:22 PM Subject: [obm-l] Equações Ajude-me nas questões do ITA 1) (ITA - 2003) Das afirmações abaixo sobre a equação z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano complexo: I - A equação possui pelo menos um par de raízes reais. II - A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1. III - Se n N* e "r" é uma raiz qualquer desta equação, então . é (são) verdadeira(s): (A) nenhuma (B) apenas I. (C) apenas II. (D) apenas III. (E) apenas I e III. 2) (ITA - 1993) - Sabendo-se que a equação de coeficientes reais, x6 - (a+b+c)x5 + 6x4 - 3cx2 + 6x - 1 = 0 é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é: (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6
RE: [obm-l] (n!)^(1/n) - iinf
Esta demonstracao baseada na formula de Stirling eh de fato interessante. Eu via a deducao desta formula a muito tempo. Eh baseada na integral de Ln(x), nao eh isto? Artur Um exercicio interessante eh demonstrar que (n!)^(1/n) - inf. Que tal assim? lim log((n!)^(1/n)) = lim (log n!)/n mas sabemos que lim n!/(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)) = 1 donde lim (log(n!) - log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n))) = 0 e com mais forte razão lim (log n!)/(log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n))) = 1 donde lim log((n!)^(1/n)) = lim log(n^n e^(-n) sqrt(2 pi n)))/n = lim log(n) - lim e + lim log(sqrt(2 pi n))/n = +infinito = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA
Eu até gostaria de compartilhar mas eu não conheço nenhum site interesante além desse que nosso amigo alcides colocou escrevendo no outro e-mail. Agora se te interessar tem os sites do terra, lá tem português, matemática, física.. se quiser ver o endereço é educaterra.terra.com.br. Estou mais tentando resolver algumas provas antigas nas é difícil pra ca pra quem n tem lá essas bases todas, dá pra fazer mas vai embora muito tempo em uma questão e quando vc concegue fazer, ainda tem isso. também tem provas resolvidas no site do objetivo www.curso-objetivo.br mas o que eu queria mesmo eram materiais para ler, agora materia estremamente necessários e bons.. se souberes de algum compartilha conosco.. Todos nós queremos estudar lá.. quem sabe a galera da lista de discursão naum é aprovada??? Boa sorte pra cada um que vai fazer o ITA,, muita tranqüilidade, e sucesso... Em 25 Jan 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal To precisando da ajuda de vcs. Vou prestar vestibular para o ITA e estou precisando de materiais legais mesmo para estudar. Se vcs conhecem algum site bom mesmo com esses materiais respondam-me por favor. Não precisa ser apenas de Matématica pode ser Física, Química, Português, Inglês. Qualquer ajuda será válida. Valeu Galera. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
