Re: [obm-l] Associação OBM
A ficha encontra-se para download no site da Associacao( http://www.obm.org.br/frameset-associacao.htm ) Pode ser baixado diretamente pelo link: http://www.obm.org.br/aobm/ficha_socios.doc Renato Lira On Wed, 2 Feb 2005 04:40:36 -0200, fabiodjalma [EMAIL PROTECTED] wrote: E a ficha de inscrição? Caros(as) Olímpicos(as): Estou enviando informações sobre a Associação Olimpíada Brasileira de Matemática (AOBM). Por favor divulgar. Abraços, Nelly. Caros Colegas, A Olimpíada Brasileira de Matemáticaexiste desde 1979, e tem crescido muito nos últimos anos graças aos esforços de todos nós e com o apoio dediversas instituições. Em 2004, decidimos criar uma pessoa jurídica própria, aAOBM (Associação Olimpíada Brasileira de Matemática). Esperamos que a AOBMajude as Olimpíadas de Matemática no Brasil a crescerem e se consolidarem.Esperamos também que a AOBM sirva como instrumento para maior integração eorganização da comunidade olímpica. Exatamente por isso gostaríamos de convidá-lo a tornar-se sócio daAOBM. Todos os sócios terão direito de receber gratuitamente a Revista Eureka!. Excepcionalmente, aqueles que se associarem até 28 de fevereiro de2005 receberão, além dos números publicados em 2005, os números publicados em 2004. Temosduas categorias de sócios: · SóciosAspirantes: Categoria voltada para estudantes dos ensinosfundamental, médio e universitário. A anuidade é de R$20,00. · SóciosEfetivos: Categoria voltada para professores e pesquisadores. A anuidade é de R$50,00. Os sócios efetivos têm direito a voto nas assembléias da AOBM e recebemuma camiseta da OBM e o livro Olimpíadas Brasileiras de Matemática -9a. a 16a. O Estatuto da AOBM pode ser consultado nos seguintes endereços: http://www.obm.org.br/aobm/estatuto_def.doc http://www.obm.org.br/aobm/estatuto_def.ps http://www.obm.org.br/aobm/estatuto_def.pdf Para tornar-se sócio,preencha a ficha no verso e envie um cheque (cruzado e nominal à Associação Olimpíada Brasileira de Matemática) ou faça um depósito dasua anuidade na conta No. 40.000-9, Agência 1564-4, do Banco do Brasil e envie a cópia docomprovante e a ficha pelo correio para: Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jardim Botânico, Rio de Janeiro RJ CEP: 22460-320 -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidade
Prezados, segue abaixo uma boa questão de probabilidade: A pessoa X diz a verdade com probabilidade p1 e a pessoa Y diz a verdade com probabilidade p2, independentemente uma da outra. Se X faz uma afirmativa e Y diz que X mente, qual a probabilidade de que X diz a verdade? Se possível gostaria dos comentários do Professor Morgado e dos meus amigos professores Aurimenes, Demétrius e Josimar. Grande abraço a todos. Marcelo Roseira. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] urgente - alg. linear_polinômio minimal
gostaria de uma ajuda nos problema abaixo:
1) Podemos dizer que AB e BA têm o mesmopolinômio minimal para todas matrizes A e B pertencentes a M_n(K)? E quando uma delas é não-singular?
2) Seja A: V -- Vuma transformação linear, onde V é um K-espaço vet. de dim. finita. Para todo v em V, considere o seguinte conjunto:
W(v) = {g(A)(v) ; g pertence a K[X]}.
Consegui verificar as seguintes afirmações:
a) W(v) é um subspaço A-invariante;
b) Se f(X,v) é o polinômio minimal da restrição de A a W(v), então, para cada v em V, f(X,v) divide m(X), onde m(X) é o polinômiominimal de A;
c) Se um polinômio h(X) pertencente a K[X] é divisível por f(X,v)para todo v em V, então h(X) é divisível por m(X).
Porém, naum consegui provar a afirmação abaixo:
d) Prove que existeum v em V tal que f(X,v) = m(X).
Obs.: Estava tentando provar que existeu em V tal que f(X,u) = p(X,u), ondep(X,u) é o polinômiocaracteístico da restrição de A ao respectivo W(u). Com issoa afirmação acima ficaria verificada usando o item c) e outras propriedades de polinômio minimal.
3) SejamR eS transformações K-lineares sobre um esp. vetorial V de dim. finita. SeRS =SR e se m_R(X) e m_S(X) (pols. minimais deR e S, respec.) tem raizes simples em K, prove que existe um base B = {v_1, v_2, ..., v_n} tal que [R]_B e[S]_B são diagonais.
grato desde já, éder.
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RE: [obm-l] Associação OBM
Associados fora do Brasil tb podem receber a Eureka? From: Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Associação OBM Date: Tue, 01 Feb 2005 10:54:18 -0200 Caros Olímpicos: O endereço eletrônico da página da Associação Olimpíada Brasileira de Matemática é: http://www.obm.org.br/frameset-associacao.htm Abraços, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] eq diofantinas
1) Eu não entendi o porquê da restrição c=ab... Bom, seja d = mdc(a,b). É possível escrever d como combinação linear dos números a e b, isto é, existem x,y pertencentes a Z de forma que d = ax+by [isto é um teorema que não lembro como prova]. No nosso caso, temos mdc(a,b) = 1. Portanto: ax+by = 1 Agora basta multiplicar por c e ficamos com a(cx)+b(cy) = c pronto! É possível escrever c como combinação linear de a,b, onde mdc(a,b) = 1. Corrijam-me se errei em alguma coisa, por favor. =] abraços Marcelo Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re:[obm-l] Traco Zero
Oi pessoal, Aqui vai minha solucao. Lema 1: Se A eh uma matriz quadrada de ordem 2 que nao eh da forma A = a * I, onde I eh a matriz identidade e a eh um escalar diferente de zero, entao existe uma matrix X inversivel, tal que: (1/X) * A * X = [a' c'], ou seja X anula o elemento da posicao (2,2). [d' 0 ] Dem.: Seja A = [a c] [d b] Dividindo em 3 casos: 1) Se c for diferente de zero, vale: [a c] * [0 c] = [c 0 ] = [0 c] * [a+b cd-ab] [d b] [1 -a] [b cd-ab] [1 -a] [1 0 ] Como |0 c| = -c 0, basta tomar X = [0 c] |1 -a|[1 -a] 2) Se d for diferente de zero, vale: [a c] * [a 1] = [a^2+cd a] = [a 1] * [a+b 1] [d b] [d 0] [ad+bd d] [d 0] [cd-ab 0] Como |a 1| = -d 0, basta tomar X = [a 1] |d 0|[d 0] 3) Se c = d = 0 e a b, vale: [a 0] * [1 -1] = [a-a] = [1 -1] * [a+b -a] [0 b] [-b a] [-b^2 ab] [-b a] [b0] Como |1 -1| = a - b 0, basta tomar X = [1 -1] |-b a| [-b a] Lema 2: Se a_1, a_2, ..., a_n eh uma sequencia de numeros num corpo de caracteristica zero com a_1 + a_2 + ... + a_n = 0, entao existe uma permutacao p, tal que: existe r = 0 com: a_p(1) = a_p(2) = ... = a_p(r) = 0 e a_p(i) Somatorio (j i) a_p(j), para i r Dem.: Iremos provar por inducao sobre n. Base de inducao(n = 1): o lema 2 eh claramente verdadeiro. Passo indutivo: Se fosse a_1 = a_2 = ... = a_n, entao como o corpo eh de caracteristica zero, temos que a_1 = a_2 = ... = a_n = 0, logo o lema ja seria verdadeiro para a permutacao identidade. Se existissem i, j com a_i a_j, entao podemos supor que i = n - 1 e j = n (basta aplicar uma permutacao que troca o a_i com a_(n-1) e o a_j com o a_n), assim, sabemos que existe uma permutacao q tal que: existe r' = 0 com: b_p(1) = b_p(2) = ... = b_p(r') = 0 e b_p(i) Somatorio (j i) b_p(j), para i r', onde: b_1 = a_1, b_2 = a_2, ... b_(n - 2) = a_(n - 2) e b_(n - 1) = a_(n - 1) + a_n. Compondo a permutacao q (extendida) com a permutacao que troca a_i e a_j com a_(n-1) e a_n, temos a nossa permutacao p. Por inducao o lema 2 eh verdadeiro para todo n = 1. Lema 3: Se M = (m_(i,j)) eh uma matriz quadrada nxn tal que tr(M) = 0 sobre um corpo de caracteristica zero, entao existe X inversivel tal que: M = (1/X) * A * X, onde A eh uma matriz com diagonal principal nula. Obs.: tr(M) = tr(1/X * A * X) = tr(A). Dem.: * Se n = 1 o resultado eh trivial. * Se n = 2, o lema 2 eh consequencia imediata do lema 1. * Se n 2, utilizando o lema 2 podemos assumir que: Existe r = 0, tal que: m_(1,1) = m_(2,2) = ... = m_(r,r) = 0 e m_(i,i) Somatorio (j i) m_(j,j), para i r. (pois basta aplicar a matriz permutacao P correspondente a p, assim P * M * (1/P) satisfaz a hipotese acima) Se r = n, entao basta tomar X = I e acabou. Se r n, temos: Como m_(n,n) m_(n-1,n-1), vale (pela lema 1): X_n * M * (1/X_n) tem o elemento da posicao (n,n) igual a zero. Basta tomar: X_n = [I(n-2) 0], onde I(n-2) eh a matriz identidade de ordem n - 2 e [ 0P_n] P_n eh a matriz tal que (1/P_n) * [m_(n-1, n-1) m_(n-1,n)] * P_n eh uma matriz de [m_(n,n-1)m_(n,n) ] ordem 2x2 com o elemento da posicao (2,2) igual a zero (essa matriz P existe pelo lema 1) Como m_(n-2,n-2) m_(n-1,n-1) + m_(n,n), vale (pelo lema 1) X_(n-1) * X_n * M * (1/X_n) * (1/X_(n-1)) tem os elementos das posicoes (n,n) e (n-1,n-1) iguais a zero. Basta tomar: X_(n-1) = [I(n-3) 0 0 ], onde P_(n-1) eh a matriz que zera a posicao [ 0P_(n-1) 0 ] [ 0 0 I(1)] (n-1,n-1) de X_n * M * (1/X_n) Prosseguindo desta forma, teremos que X * M * (1/X) tem a diagonal principal nula, onde X = Produtorio (i r) de X_i Logo o lema 3 eh verdadeiro, tambem. Problema: Seja M uma matriz real quadrada, entao: * tr(M) = 0 = Existem A e B matrizes reais tais que M = AB - BA. Solucao: Claramente se M = AB - BA = tr(M) = 0, pois tr(AB) = tr(BA), tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(a * A) = a * tr(A), onde a eh um escalar. Se tr(M) = 0, entao, pelo lema 3 (como R tem caracteristica zero), existe X inversivel tal que: M = (1/X) * C * X, onde a diagonal principal de C eh nula (digamos que C = (c_(i,j))). Tomando A' = (a_(i,j)) com: a_(i,j) = i se i=j = 0 caso contrario e tomando B' = (b_(i,j)) com: b_(i,j) = c_(i,j)/(i-j) se ij = 0 caso contrario Vale: C = A'B' - B'A', logo se A = (1/X) * A' * X e B = (1/X) * B' * X, vale: M = AB - BA. []'s Humberto = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Aulas da Semana Olímpica
Caros(as) Olímpicos(as), Já estão no site da OBM algumas aulas da Semana Olímpica. Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] eq diofantinas
Bom, o difícil é que x, y sejam inteiros positivos (ou talvez não-negativos). Mas a idéia é exatamente essa. Ou seja, dado este ax+by (com x, y inteiros sobre os quais nada sabemos) obter am + bn, com m, n = 0. E isso só dá para fazer se c for suficientemente grande, pois vamos ter que diminuir um e aumentar o outro. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 2 Feb 2005 12:19:34 -0300 (ART), Marcelo Ribeiro [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Eu não entendi o porquê da restrição c=ab... Bom, seja d = mdc(a,b). É possível escrever d como combinação linear dos números a e b, isto é, existem x,y pertencentes a Z de forma que d = ax+by [isto é um teorema que não lembro como prova]. No nosso caso, temos mdc(a,b) = 1. Portanto: ax+by = 1 Agora basta multiplicar por c e ficamos com a(cx)+b(cy) = c pronto! É possível escrever c como combinação linear de a,b, onde mdc(a,b) = 1. Corrijam-me se errei em alguma coisa, por favor. =] abraços Marcelo Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] urgente - alg. linear_polinômio minimal
Acho meio bobo escrever urgente no subject, fica parecendo spam.
Acho também que você deveria fazer com que o seu e-mail aparecesse
com o seu nome, e não como List OBM, mas vamos aos problemas.
On Wed, Feb 02, 2005 at 10:46:30AM -0300, Lista OBM wrote:
gostaria de uma ajuda nos problema abaixo:
1) Podemos dizer que AB e BA têm o mesmo polinômio minimal para todas
matrizes A e B pertencentes a M_n(K)? E quando uma delas é não-singular?
As respostas são não e sim, respectivamente.
Para o primeiro, tome A = [[0,1,0],[0,0,0],[0,0,0]],
B = [[0,0,0],[0,0,1],[0,0,0]]. Fazendo as contas,
vemos BA = 0 tem polinômio mínimo x e AB tem polinômio
mínimo x^2.
Para o segundo, suponha sem perda A inversível.
Escreva BA = A^(-1) (AB) A: assim AB e BA são conjugadas
e o resultado segue.
2) Seja A: V -- V uma transformação linear, onde V é um K-espaço vet. de
dim. finita. Para todo v em V, considere o seguinte conjunto:
W(v) = {g(A)(v) ; g pertence a K[X]}.
Consegui verificar as seguintes afirmações: a) W(v) é um subspaço
A-invariante;
b) Se f(X,v) é o polinômio minimal da restrição de A a W(v), então, para cada
v em V, f(X,v) divide m(X), onde m(X) é o polinômio minimal de A;
c) Se um polinômio h(X) pertencente a K[X] é divisível por f(X,v) para todo v
em V, então h(X) é divisível por m(X).
Porém, naum consegui provar a afirmação abaixo: d) Prove que existe um v em V
tal que f(X,v) = m(X).
Uma matriz companheira é uma matriz A com primeira coluna e_2,
segunda coluna e_3, ..., (n-1)-ésima coluna e_n.
O teorema da forma racional diz que toda matriz M é conjugada
a uma matriz com blocos companheiros na diagonal
e zeros fora dos blocos. Podemos ainda tomar o primeiro
bloco com polinômio característico = polinômio mínimo de M.
Agora basta tomar v = e_1.
Obs.: Estava tentando provar que existe u em V tal que f(X,u) = p(X,u), onde
p(X,u) é o polinômio caracteístico da restrição de A ao respectivo W(u). Com
isso a afirmação acima ficaria verificada usando o item c) e outras
propriedades de polinômio minimal.
3) Sejam R e S transformações K-lineares sobre um esp. vetorial V de dim.
finita. Se RS = SR e se m_R(X) e m_S(X) (pols. minimais de R e S, respec.)
tem raizes simples em K, prove que existe um base B = {v_1, v_2, ..., v_n}
tal que [R]_B e [S]_B são diagonais.
Dizer que m_R(X) tem raízes simples em K é o mesmo que dizer que R
é diagonalizável em K. O mesmo vale para S. Como elas comutam elas
são simultaneamente diagonalizáveis.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] eq diofantinas
Sabemos que por ser mdc(a,b) = 1, ax + by = c tem solucoes inteiras para todo c inteiro. Isso quer dizer que, para cada c inteiro, a reta ax + by = c tem pontos inteiros (ou seja, com ambas as coordenadas inteiras), os quais sao igualmente espaçados. Se um ponto eh (m,n), os pontos adjacentes serao (m-b,n+a) e (m+b,n-a), de modo que a distancia entre dois pontos inteiros adjacentes eh raiz(a^2+b^2). Agora, os pontos de interseccao da reta com os eixos coordenados sao: (0,c/b) e (c/a,0), de modo que a distancia entre eles eh: raiz((c/b)^2+(c/a)^2) = (c/ab)*raiz(a^2 + b^2). O que acontece se c = ab? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 2 Feb 2005 14:46:44 -0200 Assunto: Re: [obm-l] eq diofantinas Bom, o difícil é que x, y sejam inteiros positivos (ou talvez não-negativos). Mas a idéia é exatamente essa. Ou seja, dado este ax+by (com x, y inteiros sobre os quais nada sabemos) obter am + bn, com m, n = 0. E isso só dá para fazer se c for suficientemente grande, pois vamos ter que diminuir um e aumentar o outro. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 2 Feb 2005 12:19:34 -0300 (ART), Marcelo Ribeiro <[EMAIL PROTECTED]>wrote: 1) Eu não entendi o porquê da restrição c=ab... Bom, seja d = mdc(a,b). É possível escrever d como combinação linear dos números a e b, isto é, existem x,y pertencentes a Z de forma que d = ax+by [isto é um teorema que não lembro como prova]. No nosso caso, temos mdc(a,b) = 1. Portanto: ax+by = 1 Agora basta multiplicar por c e ficamos com a(cx)+b(cy) = c pronto! É possível escrever c como combinação linear de a,b, onde mdc(a,b) = 1. Corrijam-me se errei em alguma coisa, por favor. =] abraços Marcelo Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Associação OBM
At 09:46 AM 2/2/05 -0500, you wrote: Associados fora do Brasil tb podem receber a Eureka? From: Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Associação OBM Date: Tue, 01 Feb 2005 10:54:18 -0200 Caros Olímpicos: O endereço eletrônico da página da Associação Olimpíada Brasileira de Matemática é: http://www.obm.org.br/frameset-associacao.htm Abraços, Nelly. Por enquanto não. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] aplicações de cálculo
1- uma empresa que produz apenas um produto calcula que sua função de custo total diario (em unidades coerentes) e C(x)= x^3 -6x^2+13x +15 e sua função de retorno total e R(x)= 28x. Determine o valor de x que maximiza o lucro diario. 2- uma pequena loja de roupas vende gravatas por 3,50 reais cada uma. A função de custo diario e calculada como sendo R(x) reais , onde x e o numero de gravatas vendidas num dia tipico e R(x) = 0,0006x^3 -0,03x^2 +2x +80. Determine o valor de x que maximizaria o lucro diario .
[obm-l] aulas
Algum sabe informar em que site posso capturar as aulas ministradas na ltima semana de janeiro relativa a "matematica do ensino mdio" ministradas por Elon, Morgado,paulo Cezar,wagner, etc.. , em janeiro de 2004 assisti a video-conferencia na UFPE em seguida foi diponibilizada na internete, e ser que consigo tb as de janeiro de 2003 ? AGUARDO RESPOSTA e desde j agradeo !! No virus found in this outgoing message. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.300 / Virus Database: 265.8.2 - Release Date: 28/01/05
