[obm-l] CALCANHAR-DE-AQUILES!
Turma! Eis uma difícil escolha entre Cila e Caríbdis. Entre as duas apostas seguintes, qual escolheria? Aposta 1 (Eleição) Se o candidato democrata vencer as próximas eleições, o eleitor ganhará 100 dólares (em caso contrário, não ganhará nada) Aposta 2 (Aposta da urna) Tira-se ao acaso uma ficha de uma urna que contém 1 ficha preta e 999 brancas. Se a ficha extraída for preta, você ganhará 100 dólares (em caso contrário não ganhará nada) Se a composição da urna fosse 999 fichas pretas e 1 branca, qual escolheria? Na medida em que aumentamos gradativamente o número de fichas pretas na urna, de 1 a 999, em que ponto se torna indiferente escolher uma ou outra aposta? Afinal! com relaçao ao problema das escrivaninhas, qual a resposta que devemos escolher: a do Cláudio ou a do livro (6 escrivaninhas)? Será que o Qwert tem razão quanto à interpretação...? Abraços e Bom Final de Semana! _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade
1)Bem, por Médias Potenciais ((a^4+b^4)/2)^(1/4) = (a+b)/2 Agora basta substituir! 2)Eu achei uma solução que é só abrir os termos, mas não achei muita graça nela. Entao nao vou postar ate que veja algo melhor... 3)Que eu mal lhe pergunte, quantos sqrt aparecem nessa expressão? Vou fazer umas suposições mas se nao for o caso corrija-me. Vou escrever isso: S_1=a^(1/2) S_(n+1)^2=S_n + a para n=1. Veja que esta recorrência dá o valor do lado esquerdo da desigualdade. Entao o que queremos demonstrar é que S_n (1+sqrt(4a+1))/2 Se você for abrindo a expressão para se livrar da raiz quadrada, voce logo ve que a expressao equivale a S_n^2-S_na Mas se pegarmos a recorrência logo acima, temos a+S_(n-1)-S_na Ou S_n-1S_n E isso sai com uma inducao simples! - Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1) Demonstrar que se a+b=1, entao a^4 + b^4 = 1/ 8 2) Demonstrar que se |x|1, para quaisquer valor inteiro de n=2 se cumpre a desigualdade (1-x)^n + (1+x)^n 2^n 3) Demonstrar a desigualdade sqrt(a+sqrt(a+sqrt(a+...+sqrt(a) (1+sqrt(4a+1))/2, a0 Agradeço, []´s Danilo __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] Compactos do C([0,1])
A sua
mensagem nao tem nada de OFF-TOPIC, estah perfeitament dentro do objetivo desta
lista.
Estes
conceitos tem aplicacao em Analise Funcional. Um livro bom,e m Ingles, eo do
Charalambos D'Aliprantis, Real Analysis. Outro e o do Rudin,Functional
Analysis.
De
fato, a metrica do supremo eh a que me parece mais usual para medir "distancia"
entre funcoes. Tavez porque seja uma das mais simples para este caso e seja
compativel com anorma do supremo, levando a espacos de
Banach.
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de lgita-2002Enviada
em: quarta-feira, 31 de agosto de 2005 18:43Para:
obm-lAssunto: [obm-l] [OFF-TOPIC] Compactos do
C([0,1])
Inicialmente, peço desculpas pelo [OFF-TOPIC] e agradeço a todos que
puderem me ajudar.
Notação:C([0,1])o conjuntoda funções
continuas f:[0,1] - R (R=números reais)
Hipótese: Considerar o conjunto acima com amétrica
do sup, ou seja, d(f,g) = sup {|f(x)-g(x)|:x pertencente a [0,1]};
Eu sei, uma vez que [0,1] é compacto, queum A subconjunto de
C([0,1]) é compacto se e somente se ele é fechado, limitado e eqüicontinuo
(Arzelà-Ascoli)
O que eu não consegui foiconstruir exemplos, especialmente
"exemplos interessantes para aplicações", de subconjuntos compactos do
C([0,1]);
Alguém poderia, por favor, citar alguma referência de onde posso
encontrar tais exemplos, ou mesmo, poderia construir algum e mostrar?
Ainda, casosaibam de outras referências onde eu possa encontrar
exemplos de :
1) Subconjuntos densos do C([0,1])
2) Responder estas questões com outras métricas
3) entender o porquê desta métrica, a métrica do sup ser amais
usual
4) etc.
Me ajudará bastante.
[]'s
Gustavo
[obm-l] RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}( [0,1]) é denso em C^{1}_{S}([ 0,1])??
Eu fiquei com uma duvida. Derivadas jamais apresentam descontinuidades do
tipo salto. Logo, a unica forma de alguma funcao pertencer ao conjunto
C^{1}_{S}([0,1]) eh a funcao ser diferenciavel e sua derivada nao apresentar
nenhuma descontinuidade, ou seja, ser continua (apresenta 0 - un numero
finito - de descontinuidades). Isto implica que C^{1}([0,1]) e
C^{1}_{S}([0,1]) sejam o mesmo conjunto. A afirmacao eh, entao, trivialmente
verdadeira, pois todo conjunto eh denso em si mesmo.
Acho que eu estou interpretamto equivocadamente ou hoive um engano no
enunciado.
Eh a sua questao nao eh de forma alguma off-topic.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de lgita-2002
Enviada em: quarta-feira, 31 de agosto de 2005 18:02
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??
Novamente, desculpem o [OFF-TOPIC], mas alguém poderia me ajudar a PROVAR A
VERACIDADE ou FALSIDADE DE:
C^{1}([0,1]) é um conjunto denso em C^{1}_{S}([0,1]) com a métrica:
d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|f'(x)-g'(x)|:x em [0,1]},
onde f'(x) é a derivada de f no ponto x.
Sou grato por qualquer ajuda.
Notação:
1) C^{1}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) contínuas que
possuem derivada derivada primeira contínua.
2) C_{S}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) que tem um
número FINITO de descontinuidades do tipo salto: são contínuas pela
DIREITA (define-se que ela seja continua pela direita) e tem limite FINITO
pela esquerda.
Exemplo: f(x) é igual a 1 se x0 e igual 2 se x=0;
3) se f pertence a C_{S}([0,1]) dizemos que ela é SECCIONALMENTE CONTÍNUA.
4) C^{1}_{S}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) que são
contínuas com derivada que é seccionalmente contínua (ou seja, a derivada
pertence a C_{S}([0,1]) )
Exemplo: |x| pertence a C^{1}_{S}.
__
[]'s
Gustavo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Mais uma questão da prova.
Rejane escreveu: Quem puder me ajudar, eu agradeço. Abraços. Rejane Questão 08) No triângulo *ABC* ao lado, se *M* e *N* são pontos médios e a área do triangulo *DMC* é 1 dm², então a área, em dm², no triangulo *ABD* é: A) 3 B) 2 C) 2,5 D) 1,5 E) 1,9 *M* *D* *N* *B* *C* *A* Rejane, por falta de tempo devo ter escrito excessivamente, mas aí vai. Se a área de *DMC* é igual a 1, a área de DMB também é, pois os dois triângulos considerados têm mesma base e mesma altura. Daí, *Área *de *BDC* = 2. Como D é o baricentro de *ABC*, *BD*/*DN* = 2, e, por conseqüência, *Área* de *BDC* / *Área* de *DCN* = 2, ou seja, *Área* de *DCN* = 1. Isso significa que *Área* de *BCN* = 2 + 1 = 3. A Área de *ABN* = 3, pois N é médio de *AC*. A área de *ABD* = 2/3 da área de *ABN*, ou seja: *Área* de *ABD* = 2. Dê uma conferida, por favor. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l ] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??
On Fri, Sep 02, 2005 at 11:44:52AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
Eu fiquei com uma duvida. Derivadas jamais apresentam descontinuidades do
tipo salto. Logo, a unica forma de alguma funcao pertencer ao conjunto
C^{1}_{S}([0,1]) eh a funcao ser diferenciavel e sua derivada nao apresentar
nenhuma descontinuidade, ou seja, ser continua (apresenta 0 - un numero
finito - de descontinuidades). Isto implica que C^{1}([0,1]) e
C^{1}_{S}([0,1]) sejam o mesmo conjunto. A afirmacao eh, entao, trivialmente
verdadeira, pois todo conjunto eh denso em si mesmo.
Acho que eu estou interpretamto equivocadamente ou hoive um engano no
enunciado.
Você está interpretando que f em C^{1}_{S} deve ser derivável em todo ponto.
Com esta interpretação você está correto. Mas o exemplo f(x) = |x|
(na mensagem original) me leva a interpretar que f é contínua mas
está autorizada a deixar de ser derivável em um conjunto de pontos isolados.
A mensagem que eu mandei usava esta interpretação.
E a sua questao nao eh de forma alguma off-topic.
Realmente não é.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Mais uma questão da prova.
Oi Márcio, Obrigada. Muito clara a sua explicação. Boa tarde. Rejane - Original Message - From: Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 02, 2005 12:17 PM Subject: Re: [obm-l] Mais uma questão da prova. Rejane escreveu: Quem puder me ajudar, eu agradeço. Abraços. Rejane Questão 08) No triângulo *ABC* ao lado, se *M* e *N* são pontos médios e a área do triangulo *DMC* é 1 dm², então a área, em dm², no triangulo *ABD* é: A) 3 B) 2 C) 2,5 D) 1,5 E) 1,9 *M* *D* *N* *B* *C* *A* Rejane, por falta de tempo devo ter escrito excessivamente, mas aí vai. Se a área de *DMC* é igual a 1, a área de DMB também é, pois os dois triângulos considerados têm mesma base e mesma altura. Daí, *Área *de *BDC* = 2. Como D é o baricentro de *ABC*, *BD*/*DN* = 2, e, por conseqüência, *Área* de *BDC* / *Área* de *DCN* = 2, ou seja, *Área* de *DCN* = 1. Isso significa que *Área* de *BCN* = 2 + 1 = 3. A Área de *ABN* = 3, pois N é médio de *AC*. A área de *ABD* = 2/3 da área de *ABN*, ou seja: *Área* de *ABD* = 2. Dê uma conferida, por favor. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provar que existem racionais que satisfazem.....
Muito obrigado. Eu consegui fazer usando seu raciocínio. Entretanto, aparentemente, você entendeu que a e b seriam racionais mas, no problema que enviei eles eram reais (nao necessariamente racionais). Só precisei alterar um pouco a sua idéia para concluir o exercício. []'s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Thu, 1 Sep 2005 18:53:15 +0200 Assunto: Re: [obm-l] Provar que existem racionais que satisfazem. Bom, a idéia é por aí mesmo: a + b x = a + b c x (entre a+b e x existe c racional) = a + b c d x (entre c e x tem mais um racional ainda, d) Aí você faz d-c = h1 (outro racional, como diferença de racionais) e c-(a+b) = h2 (de novo, outro racional). Claro, h1 e h2 sao positivos, pois dc e c(a+b) por construç~ao. Daí, (a+h1) + (b+h2) = a+b+ h2+ h1 = c + h1 = d x. Repare que a+h1 a e b+h2b. E acaba aí. Podia também usar sua idéia direto: a+b q x, certo? (com q racional). Chame q - (a+b) de h, e considere a+h/2 e b+h/2, que satisfazem as propriedades pedidas. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/1/05, alencar1980 [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Será que alguém poderia me ajudar com este probleminha: Sejam a,b e x reais tais que: a+b x. Prove que existem r1 e r2 racionais tais que r1+r2x, ar1 e br2. O problema me pareceu bem intuitivo usando que entre dois reais diferentes sempre existe um racional. Assim, eu sei que existe um racional q tal que a+b q e sei que todo racional pode ser escrito com soma de dois outros racionais. Mas não consegui concluir o exercício... Se alguém puder ajudar, muito obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] Compactos do C([0,1])
Muito obrigado.
Tentarei encontrar estes livros.
Geralmente, os livros neste nível trazem poucos (ou nenhum) exemplos para
ilustrar a teoria. Gostaria de encontrar um livro com muitos exemplos.
Por exemplo um subconjunto compacto do C([0,1]) com a norma do sup.
Estou tentanto, ainda, construir um compacto no C([0,1]) com a norma do sup.
Ainda não consegui (nem tentei muito)
Sei que
Se é E subconjunto de C([0,1]) e existe K real positivo, tal que
||f||= K para todo f em E então E é limitado e fechado. Certo?
Mas seria ele eqüicontínuo? E, portanto (Arzelà-Ascoli) compacto???
[]'s
-- Início da mensagem original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Fri, 2 Sep 2005 11:14:12 -0300
Assunto: RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] Compactos do C([0,1])
A sua mensagem nao tem nada de OFF-TOPIC, estah perfeitament dentro do
objetivo desta lista.
Estes conceitos tem aplicacao em Analise Funcional. Um livro bom,e m Ingles,
eo do Charalambos D'Aliprantis, Real Analysis. Outro e o do Rudin,
Functional Analysis.
De fato, a metrica do supremo eh a que me parece mais usual para medir
distancia entre funcoes. Tavez porque seja uma das mais simples para este
caso e seja compativel com anorma do supremo, levando a espacos de Banach.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
lgita-2002
Enviada em: quarta-feira, 31 de agosto de 2005 18:43
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] [OFF-TOPIC] Compactos do C([0,1])
Inicialmente, peço desculpas pelo [OFF-TOPIC] e agradeço a todos que puderem
me ajudar.
Notação: C([0,1]) o conjunto da funções continuas f:[0,1] - R (R=números
reais)
Hipótese: Considerar o conjunto acima com a métrica do sup, ou seja, d(f,g)
= sup {|f(x)-g(x)|:x pertencente a [0,1]};
Eu sei, uma vez que [0,1] é compacto, que um A subconjunto de C([0,1]) é
compacto se e somente se ele é fechado, limitado e eqüicontinuo
(Arzelà-Ascoli)
O que eu não consegui foi construir exemplos, especialmente exemplos
interessantes para aplicações, de subconjuntos compactos do C([0,1]);
Alguém poderia, por favor, citar alguma referência de onde posso encontrar
tais exemplos, ou mesmo, poderia construir algum e mostrar?
Ainda, caso saibam de outras referências onde eu possa encontrar exemplos de
:
1) Subconjuntos densos do C([0,1])
2) Responder estas questões com outras métricas
3) entender o porquê desta métrica, a métrica do sup ser a mais usual
4) etc.
Me ajudará bastante.
[]'s
Gustavo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] [OFF-TO PIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{ 1}_{S}([0,1])??
Com esta outra interpretacao fica mais interessante. Quem propos o problema
provavelmente nao estava pensando numa solucao tao imediata.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 2 de setembro de 2005 13:37
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em
C^{1}_{S}([0,1])??
On Fri, Sep 02, 2005 at 11:44:52AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
Eu fiquei com uma duvida. Derivadas jamais apresentam descontinuidades do
tipo salto. Logo, a unica forma de alguma funcao pertencer ao conjunto
C^{1}_{S}([0,1]) eh a funcao ser diferenciavel e sua derivada nao
apresentar
nenhuma descontinuidade, ou seja, ser continua (apresenta 0 - un numero
finito - de descontinuidades). Isto implica que C^{1}([0,1]) e
C^{1}_{S}([0,1]) sejam o mesmo conjunto. A afirmacao eh, entao,
trivialmente
verdadeira, pois todo conjunto eh denso em si mesmo.
Acho que eu estou interpretamto equivocadamente ou hoive um engano no
enunciado.
Você está interpretando que f em C^{1}_{S} deve ser derivável em todo ponto.
Com esta interpretação você está correto. Mas o exemplo f(x) = |x|
(na mensagem original) me leva a interpretar que f é contínua mas
está autorizada a deixar de ser derivável em um conjunto de pontos isolados.
A mensagem que eu mandei usava esta interpretação.
E a sua questao nao eh de forma alguma off-topic.
Realmente não é.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??
Muito obrigado.
Eu estava acreditando na veracidade da afirmação e nem cheguei a tentar
construir um contra-exemplo.
Ainda não consegui construir exemplos de suconjuntos compactos (nem densos) no
C([0,1]) com a métrica do sup. Nenhuma das referencias que consultei constumam
dar exemplos.
Talvez exemplos destes conjuntos sejam complicados (como exemplos de conjuntos
que são Lebesgue mensuráveis mas nao Borel mensuráveis, ou de conjuntos que não
são Lebesgue mensuraveis)... Tentei uma busca no google e no scholar.google mas
também não tive sucesso.
Continuarei tentando. Se alguém conhecer algum livro de análise funcional com
bastante exemplos,por favor, me informem.
[]'s
-- Início da mensagem original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Thu, 1 Sep 2005 10:55:09 -0300
Assunto: Re: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??
On Wed, Aug 31, 2005 at 06:01:56PM -0300, lgita-2002 wrote:
Novamente, desculpem o [OFF-TOPIC], mas alguém poderia me ajudar a PROVAR A
VERACIDADE ou FALSIDADE DE:
C^{1}([0,1]) é um conjunto denso em C^{1}_{S}([0,1]) com a métrica:
d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|f'(x)-g'(x)|:x em [0,1]},
onde f'(x) é a derivada de f no ponto x.
É falso. Considere a função f(x) = |2x-1|.
Afirmo que d(f,g) = 2 para toda g em C^1. De fato,
d(f,g) =
max ( lim_{x - 1/2 esq} |f'(x) - g'(x)|, lim_{x - 1/2 dir} |f'(x) - g'(x)| )
= max ( |-2-g'(1/2)|, |2-g'(1/2)| ) = 2.
[]s, N.
Sou grato por qualquer ajuda.
Notação:
1) C^{1}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) contínuas que
possuem derivada derivada primeira contínua.
2) C_{S}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) que tem um
número FINITO de descontinuidades do tipo salto: são contínuas pela
DIREITA (define-se que ela seja continua pela direita) e tem limite FINITO
pela esquerda.
Exemplo: f(x) é igual a 1 se x0 e igual 2 se x=0;
3) se f pertence a C_{S}([0,1]) dizemos que ela é SECCIONALMENTE CONTÍNUA.
4) C^{1}_{S}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) que são
contínuas com derivada que é seccionalmente contínua (ou seja, a derivada
pertence a C_{S}([0,1]) )
Exemplo: |x| pertence a C^{1}_{S}.
__
[]'s
Gustavo
=
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[obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{ 1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0, 1])??
Acho que, realmente, não fui claro.
O que eu quis dizer é que se f pertence a C^{1}_{S}([0,1]) então ela é contínua
em todos os pontos do [0,1] e exceto um número FINITO de pontos do [0,1] ela é
derivável no [0,1]. Assim, f'(x) é uma função cujo domínio é
[0,1]-{p1,p2,...,pN}, onde cada pj, j=1,...,N (N um natural), pertence ao
[0,1].
Define-se então F'(x) = f'(x) nos pontos em que f é derivavel e F'(pj) = limite
pela direita de f'(x) em pj.
De forma que F'(x) é contínua pela direita.
A metrica no C^{1}_{S} é:
d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|F'(x)-G'(x)|:x em [0,1]},
Exemplo: f(x)=|2x-1| (Prof. Nicolau) pertence a C^{1}_{S}([0,1]) pois tem UM
ponto de descontinuidade no 1/2 e é contínua no [0,1]. A função F'(x) é -2
x1/2 e +2 se x=1/2 (veja que definimos ela continua pela direita).
[]'s
-- Início da mensagem original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Fri, 2 Sep 2005 11:44:52 -0300
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em
C^{1}_{S}([0,1])??
Eu fiquei com uma duvida. Derivadas jamais apresentam descontinuidades do
tipo salto. Logo, a unica forma de alguma funcao pertencer ao conjunto
C^{1}_{S}([0,1]) eh a funcao ser diferenciavel e sua derivada nao apresentar
nenhuma descontinuidade, ou seja, ser continua (apresenta 0 - un numero
finito - de descontinuidades). Isto implica que C^{1}([0,1]) e
C^{1}_{S}([0,1]) sejam o mesmo conjunto. A afirmacao eh, entao, trivialmente
verdadeira, pois todo conjunto eh denso em si mesmo.
Acho que eu estou interpretamto equivocadamente ou hoive um engano no
enunciado.
Eh a sua questao nao eh de forma alguma off-topic.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de lgita-2002
Enviada em: quarta-feira, 31 de agosto de 2005 18:02
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] [OFF-TOPIC] C^{1}([0,1]) é denso em C^{1}_{S}([0,1])??
Novamente, desculpem o [OFF-TOPIC], mas alguém poderia me ajudar a PROVAR A
VERACIDADE ou FALSIDADE DE:
C^{1}([0,1]) é um conjunto denso em C^{1}_{S}([0,1]) com a métrica:
d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x em [0,1]} + sup{|f'(x)-g'(x)|:x em [0,1]},
onde f'(x) é a derivada de f no ponto x.
Sou grato por qualquer ajuda.
Notação:
1) C^{1}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) contínuas que
possuem derivada derivada primeira contínua.
2) C_{S}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) que tem um
número FINITO de descontinuidades do tipo salto: são contínuas pela
DIREITA (define-se que ela seja continua pela direita) e tem limite FINITO
pela esquerda.
Exemplo: f(x) é igual a 1 se x0 e igual 2 se x=0;
3) se f pertence a C_{S}([0,1]) dizemos que ela é SECCIONALMENTE CONTÍNUA.
4) C^{1}_{S}([0,1]) - conjunto das funções f:[0,1]- R (reais) que são
contínuas com derivada que é seccionalmente contínua (ou seja, a derivada
pertence a C_{S}([0,1]) )
Exemplo: |x| pertence a C^{1}_{S}.
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RES: [obm-l] Provar que existem racionais que satisfazem.....
Seja h = x -(a+b) 0. Sabemos que entre 2 reais distintos quaisquer hah uma infinidade de racionais. Como h/2 0, existem racionais r1 e r2 tais que a r1 a + h/2 b r2 b + h/2 Logo, r1 + r2 a + b + h = x, conforme desejado. Artur Pessoal, Será que alguém poderia me ajudar com este probleminha: Sejam a,b e x reais tais que: a+b x. Prove que existem r1 e r2 racionais tais que r1+r2x, ar1 e br2. O problema me pareceu bem intuitivo usando que entre dois reais diferentes sempre existe um racional. Assim, eu sei que existe um racional q tal que a+b q e sei que todo racional pode ser escrito com soma de dois outros racionais. Mas não consegui concluir o exercício... Se alguém puder ajudar, muito obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1 Problema
1000 = 104*9+64 = 10*105+64=1114 --- Benedito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Segue um problema interessante: Problema Dispõem-se em ordem crescente, todos os inteiros positivos relativamente primos com 105. Determine o milésimo termo. ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. Se você tem (a, +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer algo que seja suficiente em (a, b). Se você realmente se permite (a, b) aberto, com a e b finitos, eu acho que você faz assim: Estou supondo b-a 2, mas tudo pode ser escalado suficientemente (p.ex., começando mais longe no n) Primeiro, pra cada n, trunque f nos pontos a+1/n e b-1/n, e prolongue linearmente até a e b, seguindo a inclinaç~ao que você quiser, gerando f_n. Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o limite fundamental com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está definido, como limite de constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). Finalmente, prolongue constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, a+1/3n) e (b-2/3n, b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x pertencente a (a, b) temos que, em algum momento (= para n suficientemente grande), n~ao teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em volta de x, o que diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, g_n(x) - f'(x). (na verdade, basta lateral à direita, que é o que estamos calculando) Acho que é isso. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/2/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Com risco de chegar dobrado, vou tentar mandar de novo (deu um erro aqui, mas sei la) Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. Se você tem (a, +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer algo que seja suficiente em (a, b). Se você realmente se permite (a, b) aberto, com a e b finitos, eu acho que você faz assim: Estou supondo b-a 2, mas tudo pode ser escalado suficientemente (p.ex., começando mais longe no n) Primeiro, pra cada n, trunque f nos pontos a+1/n e b-1/n, e prolongue linearmente até a e b, seguindo a inclinaç~ao que você quiser, gerando f_n. Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o limite fundamental com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está definido, como limite de constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). Finalmente, prolongue constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, a+1/3n) e (b-2/3n, b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x pertencente a (a, b) temos que, em algum momento (= para n suficientemente grande), n~ao teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em volta de x, o que diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, g_n(x) - f'(x). (na verdade, basta lateral à direita, que é o que estamos calculando) Acho que é isso. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/2/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] função Inversa
Alguem poderia me ajudar nessa. Seja f(x) = ( e^x - e^-x ) / ( e^x + e^-x ) definida em R. Se g for a função inversa de f, o valor de e^g(7/25) é: Desde ja agradeço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] função Inversa
x=g(y)=f^-1(y) onde y=f(x) o valor de y ele ja deu que e 7/25, o valor de g(7/25) e o valor de x que faz y dar 7/25, como ele esta querendo e^g(7/25), ele quer saber o valor de e^x que da 7/25, entao: 7/25=(t-1/t)/(t+1/t)=(t^2-1)/(t^2+1) 25t^2-25=7t^2+7 18t^2=32 t^2=16/9 t=+-4/3 On 9/2/05, Junior [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem poderia me ajudar nessa.Seja f(x) = ( e^x - e^-x ) / ( e^x + e^-x ) definida em R. Se g for a função inversa de f, o valor de e^g(7/25) é:Desde ja agradeço.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] função Inversa
Ola f(x) = (e^x-e^-x)/(e^x+e^-x) Determinando a inversa: (e^y-e^-y)/(e^y+e^-y) = x e^2y = (x-1)/(1-x) x diferente de 1 aplicando ln de ambos os lados 2y=ln(x+1/1-x) g(x) = ln (x+1/1-x)^1/2 substituindo e^ln(4/3) = 4/3 []'s DaniloJunior [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguem poderia me ajudar nessa.Seja f(x) = ( e^x - e^-x ) / ( e^x + e^-x ) definida em R. Se g for a funçãoinversa de f, o valor de e^g(7/25) é:Desde ja agradeço.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe!
[obm-l] polinomios
Ola amigos gostaria de saber se alguem poderia me explicar esse problema pois jah tentei resolve-lo de diversas forma e nao consegui, qualquer ajuda sera bem vinda! O produto de um monomio por um polinomio da 12a^2x^3 + 15a^3x^2.Se o monomio é 3ax, qual é o polinomio? gabarito: 4ax^2 + 5a^2x = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] outra duvida - polinomios
Multiplicando-se a medida do comprimento pela medida da largura, temos a area de um retangulo.Se essa area é 40x^2 + 70x e a medida da largura é 10x, qual é a medida do comprimento desse retângulo? Gabarito: 4x + 7 Se alguem puder ajudar agradeco desde jah = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] outra duvida - polinomios
10x . C = 40 x^2 + 70 x (10x.C)/10x = (40x^2+70x)/10x C = 10x(4x+7)/10x C=4x +7 - Original Message - From: Leandro Nishijima [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 02, 2005 11:28 PM Subject: [obm-l] outra duvida - polinomios Multiplicando-se a medida do comprimento pela medida da largura, temos a area de um retangulo.Se essa area é 40x^2 + 70x e a medida da largura é 10x, qual é a medida do comprimento desse retângulo? Gabarito: 4x + 7 Se alguem puder ajudar agradeco desde jah = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomios
3ax . P = 12a^2x^3 + 15a^3x^2 (3ax . P)/3ax = (12a^2x^3 + 15a^3x^2)/3ax P = 4ax^2 + 5a^2x - Original Message - From: Leandro Nishijima [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 02, 2005 10:49 PM Subject: [obm-l] polinomios Ola amigos gostaria de saber se alguem poderia me explicar esse problema pois jah tentei resolve-lo de diversas forma e nao consegui, qualquer ajuda sera bem vinda! O produto de um monomio por um polinomio da 12a^2x^3 + 15a^3x^2.Se o monomio é 3ax, qual é o polinomio? gabarito: 4ax^2 + 5a^2x = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1 Problema
1009? - Original Message - From: benedito [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 02, 2005 8:04 PM Subject: Re: [obm-l] 1 Problema Deculpe-me, a sua resposta não está correta. Benedito - Original Message - From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, September 02, 2005 5:37 PM Subject: Re: [obm-l] 1 Problema 1000 = 104*9+64 = 10*105+64=1114 --- Benedito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Segue um problema interessante: Problema Dispõem-se em ordem crescente, todos os inteiros positivos relativamente primos com 105. Determine o milésimo termo. ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] outra duvida - polinomios
Ei cabri, vc e paraensee? On 9/3/05, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: 10x . C = 40 x^2 + 70 x(10x.C)/10x = (40x^2+70x)/10xC = 10x(4x+7)/10xC=4x +7- Original Message - From: Leandro Nishijima [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brSent: Friday, September 02, 2005 11:28 PM Subject: [obm-l] outra duvida - polinomiosMultiplicando-se a medida do comprimento pela medida da largura, temos aarea de umretangulo.Se essa area é 40x^2 + 70x e a medida da largura é 10x, qual é a medidado comprimento desse retângulo?Gabarito: 4x + 7Se alguem puder ajudar agradeco desde jah=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html== Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
[obm-l] mathematica
Alguem sabe como faço para encontrar o valor depois que eu digito o programa no mathematica?ou seja, como faço para mandar achar o valor?
