Re: [obm-l] IME Versao 9
Realmente o material está uma obra de arte , cada solução linda e brilhante ,sergio vc é o cara, está de parabéns pelo exêlente material . Tem que ter muito conhecimento e disposição para realizar essa façanha , fico muito grato .Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas da lista,Disponibilizei a nova versao do Material do IME: versao 9.Virou um material mais para "colecionadores",incluindo provas, retroativamente, ateh 1949/1950!Ficaram faltando algumas provas. TUdo isto eh fruto de uma pesquisajunto aos arquivos do IME com a ajuda do Sub-Tenente Petrenko e suaequipe. Infelizmente, nem lah no IME temas provas que estao faltando neste material.Coloquei a recente contribuicao do grupo do Luis Lopes.Infelizmente, uma das questoes continuou sem solucao,pois nao consegui destrinchar as solucoes que foram apresentadas.Depois percebi que tem outra questao ainda que nao tinhasolucao. Acrescentei ainda uma segunda respostade uma questao de 94/95 (se nao me engano), que me foi enviadapelo Caio S. Guimaraes. Atualmente, o credito a estassolucoes aparece apenas no inicio do material. Numa proxima versao,eu acho que seria mais adequado e justo que aparecesse junto dasolucao da questao. Fica para a versao 10.Sinceramente acho que a jornada estah chegando ao fim.Primeiro por falta de material adicional.Segundo por falta de maior incentivo mesmo.De qualquer forma, acho que o material dah para "entreter"literalmente por muitos anos qualquer pessoa que se arvorar pelo mesmo.A versao 9 ficou com cerca de 3 MB, 280 paginas (serah quemais alguem alem de mim, vai imprimir isto?), o enunciado93 provas (!) e a solucao proposta de 44 destas provas.Ah sim, o link continua sendohttp://www.lps.ufrj.br/~sergioln/imeAgradeco a todos que me apoiaram ao longo de todas as versoese ao longo desta ultima. Grande abraco,sergio=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça.
[obm-l] Derivação
Pessoal, peço ajuda para os problemas:Estou encontrando dificuldades nas derivações.1) f(x)=x^2.arcsec(1/x+1) 2) f(x)=ln(arctg (3x)^1/2)Mais uma vez , muito obrigado pelo apoio e consideração.Bruno. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] Encontrar o fator
Prezado Ricardo, Seja N da forma 3k + 2. Observe que o produto de dois números da forma 3k + 1 é também da forma 3k + 1, k um inteiro. Por outro lado, o produto de dois números da forma 3k+2 é da forma 3k +1. Assim, se todos os fatores primos de N fosse da forma 3k + 2, N não seria da forma 3k +2. Portanto, N tem de possuir um fator primo da forma 3k + 1. Acho que é isso. Benedito - Original Message - From: Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, April 30, 2006 9:00 AM Subject: [obm-l] Encontrar o fator Alô a todos, peço uma ajuda numa questão: Demonstre que todo inteiro da forma 3k+2 tem um fator primo dessa forma. Observação: Olhando alguns exemplos, parece que esses números tem sempre um fator primo da forma 3t+1, se isso for verdade o problema estaria resolvido, não? Obrigado Pessoal _ Seja um dos primeiros a testar o Windows Live Messenger Beta a geração do seu MSN Messenger. http://imagine-msn.com/minisites/messenger/default.aspx?locale=pt-br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] duvida
Prove que 1 + 1 = 2 ?
Re: [obm-l] duvida
Marcus wrote: Prove que 1 + 1 = 2 ? Acho que essa pergunta não tem muito sentido tal como foi proposta, você precisaria também falar em qual conjunto de axiomas a resposta deve ser dada. Se for com os axiomas de Peano, a resposta tem pouco menos de 10 linhas, se for direto na teoria de conjuntos, aí a coisa fica muito, muito grande. De curiosidade, na página abaixo tem a dedução completa de 2+2=4 até chegar no cálculo proposicional: http://us.metamath.org/mpegif/mmset.html#trivia Mas, talvez mais interessante, é o mapeamento que ele faz de axiomas em notas musicais, permitindo que você ouça a demonstração do teorema: http://us.metamath.org/mpegif/mmmusic.html Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME Versao 9
oi MenteBrilhante, Obrigado pelos comentarios. Para realizar este trabalho tive que ter muita disposicao. Realmente, eu fiquei apegado a este material. Mas nao precisa ter muito conhecimento, nao. Foi mais carinho e dedicacao mesmo. Mas, sem o apoio do pessoal desta lista este material nao existiria. Abraco, sergio PS o CARA mesmo eh o Romario. On Sun, 30 Apr 2006, mentebrilhante brilhante wrote: Realmente o material est? uma obra de arte , cada solu??o linda e brilhante , sergio vc ? o cara, est? de parab?ns pelo ex?lente material . Tem que ter muito conhecimento e disposi??o para realizar essa fa?anha , fico muito grato . Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas da lista, Disponibilizei a nova versao do Material do IME: versao 9. Virou um material mais para colecionadores, incluindo provas, retroativamente, ateh 1949/1950! Ficaram faltando algumas provas. TUdo isto eh fruto de uma pesquisa junto aos arquivos do IME com a ajuda do Sub-Tenente Petrenko e sua equipe. Infelizmente, nem lah no IME tem as provas que estao faltando neste material. Coloquei a recente contribuicao do grupo do Luis Lopes. Infelizmente, uma das questoes continuou sem solucao, pois nao consegui destrinchar as solucoes que foram apresentadas. Depois percebi que tem outra questao ainda que nao tinha solucao. Acrescentei ainda uma segunda resposta de uma questao de 94/95 (se nao me engano), que me foi enviada pelo Caio S. Guimaraes. Atualmente, o credito a estas solucoes aparece apenas no inicio do material. Numa proxima versao, eu acho que seria mais adequado e justo que aparecesse junto da solucao da questao. Fica para a versao 10. Sinceramente acho que a jornada estah chegando ao fim. Primeiro por falta de material adicional. Segundo por falta de maior incentivo mesmo. De qualquer forma, acho que o material dah para entreter literalmente por muitos anos qualquer pessoa que se arvorar pelo mesmo. A versao 9 ficou com cerca de 3 MB, 280 paginas (serah que mais alguem alem de mim, vai imprimir isto?), o enunciado 93 provas (!) e a solucao proposta de 44 destas provas. Ah sim, o link continua sendo http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime Agradeco a todos que me apoiaram ao longo de todas as versoes e ao longo desta ultima. Grande abraco, sergio = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e fa?a liga??es de gra?a.
[obm-l] Re: [obm-l] Derivação
Olá, 1) Tem que usar algumas derivadas de compostas.. f'(x) = 2x.arcsec(1/x+1) + x^2 . (-1/x^2) . (-1/[1+(1/x+1)^2]) a mesma coisa para a proxima.. faz por etapas... aki eu fiz direto.. mas tente fazer: g(x) = x^2 h(x) = arcsec(x) j(x) = 1/x+1 f'(x) = g'(x)h(j(x)) + g(x)j'(x)h'(j(x)) .. fazendo um por um, da a resposta acima abraços, Salhab - Original Message - From: Bruno Carvalho To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, April 30, 2006 10:40 AM Subject: [obm-l] Derivação Pessoal, peço ajuda para os problemas: Estou encontrando dificuldades nas derivações. 1) f(x)=x^2.arcsec(1/x+1) 2) f(x)=ln(arctg (3x)^1/2) Mais uma vez , muito obrigado pelo apoio e consideração. Bruno. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] Encontrar o fator
Obrigado Benedito! From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Encontrar o fator Date: Sun, 30 Apr 2006 11:15:24 -0300 Prezado Ricardo, Seja N da forma 3k + 2. Observe que o produto de dois números da forma 3k + 1 é também da forma 3k + 1, k um inteiro. Por outro lado, o produto de dois números da forma 3k+2 é da forma 3k +1. Assim, se todos os fatores primos de N fosse da forma 3k + 2, N não seria da forma 3k +2. Portanto, N tem de possuir um fator primo da forma 3k + 1. Acho que é isso. Benedito - Original Message - From: Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, April 30, 2006 9:00 AM Subject: [obm-l] Encontrar o fator Alô a todos, peço uma ajuda numa questão: Demonstre que todo inteiro da forma 3k+2 tem um fator primo dessa forma. Observação: Olhando alguns exemplos, parece que esses números tem sempre um fator primo da forma 3t+1, se isso for verdade o problema estaria resolvido, não? Obrigado Pessoal _ Seja um dos primeiros a testar o Windows Live Messenger Beta a geração do seu MSN Messenger. http://imagine-msn.com/minisites/messenger/default.aspx?locale=pt-br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Com o MSN Spaces você divide seu blog, suas fotos, sua lista de música e muito mais com seus amigos! Crie já o seu espaço online e com seus amigos! E só entra no http://spaces.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida
vc tem 1 banana... e compra mais uma.. com qtas bananas vc fica? hehe.. querendo ou nao, esta foi uma das primeiras nocoes intuitivas de que 1+1=2.. agora pra todo o resto, vale o email do bittencourt. seria interessante provar tb que a+b = b+a, (a+b)+c=a+(b+c) abraços, Salhab - Original Message - From: Marcus To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, April 30, 2006 11:33 AM Subject: [obm-l] duvida Prove que 1 + 1 = 2 ?
[obm-l] Questões do Livro do Hefez
Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca entre pares de primos gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 divisores. 2) Seja p 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- b^p . a são divisíveis por 6p, para todos a0, com ab. 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode escrever p = y^2 - x^2, com x e y positivos, de modo único. Obrigado _ Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você precisa com Windows Desktop Search. Instale agora em http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] caixa
Temos três caixas, uma azul, uma branca e uma vermelha, e 8 bolinhas. Cadabolinha tem um número de 1 a 8, sem repetições. Distribuímos as 8 bolinhasnas caixas, de maneira que há pelo menos duas bolinhas em cada caixa. Logo,em cada caixa, somam-se todos os números escritos nas bolinhas contidas nacaixa. Os três resultados denominam-se soma azul, soma branca, e somavermelha, segundo a cor da caixa correspondente. Encontre todas as possíveisdistribuições das bolinhas tais que a soma vermelha seja igual ao dobro dasoma azul, e a soma vermelha menos a soma branca seja igual a soma brancamenos a soma azul.COPA 2006: (¯`·._.·[ Ooola ]·._.·´¯) e + frases para seu MSN Clique aqui: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Diferen�a de Quadrados (era: Re: [obm-l] Algebra)
Eh verdade. Obrigado Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Arthur, você esqueceu dos pares (1,n) para d1 e d2 no caso ímpar, o que dá possibilidades a mais (no seu exemplo, 75 tem também 38^2 - 37^2). Mas a sua soluçao está impecável fora isso. Um problema interessante de combinatória será fazer as contas de quantas representaçoes diferentes há (calculando o # de divisores e fazendo umas manipulaçoes deve dar pra chegar em algo simples pros números ímpares, pros pares a sua idéia da decomposiçao com fator 2^k parece-me um bom começo) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema de geometria plana
Olá Marcio, encontrei como resposta para o perímetro (AMN) 18 e não 20.Vamos lá!Chamandoo pé da bissetriz relativa aoângulo A de h temos, HCI = NIC pois são alternos internos e HBI = MIB pois também são alternos internos, logo NI = NC e assim, MI = MB e ai acabou, porque 2p(AMN) = AM + MI+ NI + AN = AM + MB + NC + AN , AM = 8-MB, AN= 10-NC substituindo 2p(AMN) = 8-MB+MB+NC+10-NC = 18.Abraços CleberMarcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] escreveu: [EMAIL PROTECTED] escreveu:Srs,O problema abaixo é o de número 55 do livro matematica para ovestibular da UFMG(geometria plana) do Prof Christiano Sena.(sem acentos)Num triangulo ABC, AB =8 cm e AC = 10cm. Pelo incentro do triangulo,traca-se uma reta paralelaa BC, que intercepta AB em M e AC em N. O perimetro do triangulo AMN eh:a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20.alguem sabe sua solução? o gabarito diz que é 20.atsarmentoAqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar.Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Boa noite, Sarmento.Seja I o incentro do triângulo. Sabe-se que med(MBI)=med(IBC) e que med(NCI)=med(ICB). Por outro lado, sendo MN paralelo a BC, tem-se que med(MIB)=med(IBC)=med(MBI) e med(NIC)=med(ICB)=med(NCI). Daí: MB = MI e NC = NI.O perímetro de AMN é:AM + MN + NA = AM + MI + IN + NA = AM + MB + NC + NA = AB + AC = 18.Se algo estiver errado, leve em conta o horário.Abraços,Márcio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] IME Versao 9
bem, provavelmente este projeto de um homem só acaba por aqui mesmo. Mas eu ainda tinha a intenção de colocar algo como soluções alternativas para algumas destas questões, pondo sempre um pouco mais de lenha na fogueira :P. Já que não ou um fã de soluções mágicas... Em 30/04/06, Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] escreveu: oi MenteBrilhante,Obrigado pelos comentarios.Para realizar este trabalho tiveque ter muita disposicao. Realmente, eu fiquei apegadoa este material. Mas nao precisa ter muitoconhecimento, nao. Foi mais carinho e dedicacao mesmo. Mas, sem o apoio do pessoal destalista este material nao existiria.Abraco,sergioPS o CARA mesmo eh o Romario.On Sun, 30 Apr 2006, mentebrilhante brilhante wrote: Realmente o material está uma obra de arte , cada solução linda e brilhante ,sergio vc é o cara,está de parabéns pelo exêlente material .Tem que ter muito conhecimento e disposição para realizaressafaçanha , fico muito grato. Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas da lista, Disponibilizei a nova versao do Material do IME: versao 9. Virou um material mais para colecionadores, incluindo provas, retroativamente, ateh 1949/1950! Ficaram faltando algumas provas. TUdo isto eh fruto de uma pesquisa junto aos arquivos do IME com a ajuda do Sub-Tenente Petrenko e sua equipe. Infelizmente, nem lah no IME tem as provas que estao faltando neste material. Coloquei a recente contribuicao do grupo do Luis Lopes. Infelizmente, uma das questoes continuou sem solucao, pois nao consegui destrinchar as solucoes que foram apresentadas. Depois percebi que tem outra questao ainda que nao tinha solucao. Acrescentei ainda uma segunda resposta de uma questao de 94/95 (se nao me engano), que me foi enviada pelo Caio S. Guimaraes. Atualmente, o credito a estas solucoes aparece apenas no inicio do material. Numa proxima versao, eu acho que seria mais adequado e justo que aparecesse junto da solucao da questao. Fica para a versao 10. Sinceramente acho que a jornada estah chegando ao fim. Primeiro por falta de material adicional. Segundo por falta de maior incentivo mesmo. De qualquer forma, acho que o material dah para entreter literalmente por muitos anos qualquer pessoa que se arvorar pelo mesmo. A versao 9 ficou com cerca de 3 MB, 280 paginas (serah que mais alguem alem de mim, vai imprimir isto?), o enunciado 93 provas (!) e a solucao proposta de 44 destas provas. Ah sim, o link continua sendo http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime Agradeco a todos que me apoiaram ao longo de todas as versoes e ao longo desta ultima. Grande abraco, sergio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça.-- Ideas are bulletproof.V
[obm-l] Problema de geometria plana (56)
Srs, agradeço a solução anterior fiquei surpreso com a simplicidade do mesmo, apesar do erro no gabarito. Creio que vou ficar também com o problema a seguir. (de novo o incentro) Seja O o incentro de um triangulo ABC. As medidas dos angulos AOB,AOC e BOC em funcao dos angulos A, B e C sao respectivamente: a) 90 - A/2, 90 - B/2 e 90 - C/2 b) 90 + C/2, 90 + B/2 e 90 + A/2 (solução do gabarito) c) 180 + C/2, 180 + B/2 e 180 + A/2 d) 90 - C/2, 90 - B/2 e 90 - A/2 Estou procurando um bom livro de exercicios de geometrica plana, vocês podem me indicar algum? at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Encontrar vértices de um quadrado (atrasado)
Não sei porque não recebí no meu mail mas aí vai.Quando se multiplica um complexo por i, unidade dos imaginários, sua representação no plano complexo sofre uma rotação de 90° no sentido horário. Assim, teremos que i(z1 - z0) é perpendicular ( omitamos "representação" para brevidade) à (z1 - z0). Teremos 3 casos;i) z2 = z1 + i(z1 - z0) e z3 = z0 + i(z1 - z0);ii) z2 = z1 - i(z1 - z0) e z3 = z0 - i(z1 - z0); se os vértices originais são adjacentes. iii) Se os vértices z0 e z1 forem diagonalmente opostos z1 - z0 e i(z1-z0) serão as diagonais e (z0+z1)/2 o centro. Portanto z2 =[z0+z1-i(z1-z0)]/2 e z3 = [z0+z1+i(z1-z0)]/2 [obm-l] Encontrar vértices de um quadrado.fabbezTue, 25 Apr 2006 13:37:22 -0700 Favor quem pode me responder este Problema.Suponha que Z0 e Z1 pertencente aos Complexos, são dois vértices de um quadrado.Encontre os outros dois vértices, em todos os casos possiveis. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Ola Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
Aqui vai uma solucao para a questao (i) que voce cita abaixo. Sei que o seu
excelente trabalho - que me parece ser presidido pelo mesmo espirito que
rege a comunidade Software Livre - e voltado sobretudo para estudantes que
farao o vestibular IME, dai eu ter me esforcado para usar apenas
conhecimentos de nivel medio e ser tao detalhista quanto possivel.
Se voce ou qualquer outra pessoa achar a solucao util de alguma forma, pode
usar a vontade : se quiser, nem precisa citar que fonte. Da uma revisada nos
calculos porque eu nao olhei duas vezes para um mesmo lugar. Havendo tempo
eu faco a (iii) e publico aqui.
Esta solucao e dedicada a maravilhosa comunidade Debian GNU/Linux.
Vamos, a principio, introduzir um sistema de coordenadas cartesianas
conveniente. Para tanto, consideraremos que a
reta r que contem os pontos fixos A e B e o eixo OY e que o plano OXZ e
perpendicular ao segmento AB no ponto medio. Fazendo este ponto medio a
origem ( 0,0,0 ) do sistema OXYZ, segue imediatamente que :
A=( 0 ,a ,0 ) e B=( 0, -a, 0 ) para algum a real.
Aqui e importante perceber que o plano OXZ ( Y=0 ) sendo o lugar geometrico
dos pontos do espaco equidistante de A e B sera tambem, inevitavelmente, o
plano onde residira o lugar geometrico que buscamos, pois todo centro de
esfera circunscrita ao tetraedro e, em particular, equidistante de A e B.
Agora, continuando, para caracterizar a reta r ' ortogonal a r e na
qual residirao os pontos variaveis M e M' tomaremos :
r' = { (b,c,z) ; b e c reais fixos com b diferente de zero e z
variando nos reais }
E importante perceber que M e M' sao solidarios, no sentido de que fixado um
M, M' fica univocamente determinado - M ' e funcao de M - pois trata-se do
ponto de r' cuja projecao sobre o triangulo ABM e precisamente o ortocentro
destre triangulo. Por outro lado, e facil ver que se aproximanos M=(b,c,W)
de (b,c,0) o ponto M' tende ao infinito, ou seja, subira ou descera muito.
Visualizar estas coisa e importante para o que segue.
VAMO AGORA FIXAR UM PONTO M=(b,c,W). Para facilitar a visualizacao, imagine
W 0. Para ter uma visao global previa, considere as questoes seguintes :
1) Como encontrar as coordenadas do centro da esfera circunscrita ao
tetraedro ABMM' ?
SIMPLES : Encontro as equacoes dos planos perpendiculares as arestas do
tetraedro nos seus pontos-medio e resolvo o sistema formado por estas
equacoes. Como isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ponto M '
tem sentido perguntar ...
2) Como encontrar as coordenadas do ponto M ' ?
SIMPLES : Pelo ortocentro do triangulo ABM traco uma perpendicular ao plano
que contem este triangulo. A intercecao desta perpendicular com a reta r' me
fornecera as coordenadas de M'. Como isso pressupoe saber previamente as
coordenadas do ortocentro do triangulo ABM, tem sentido perguntar ...
3) Como encontrar as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM ?
SIMPLES : Seja C o circuncentro e D o baricentro do triangulo ABM. Se R e o
ortocentro, sabemos que C, D e R estao alinhados, constituindo a RETA DE
EULER do triangulo e que DR = -2*DC. Com esta relacao fica facil calcular as
coordenadas do ortocentro. Como isso pressupoe saber previamente as
coordenadas do baricentro e do circuncentro, tem sentido perguntar ...
4) Como encontrar as coordenadas do baricentro e do circuncentro ?
SIMPLES : As coordenadas do baricentro sao amplamente conhecidas, pois
trata-se da media aritmetica entre as coordenadas dos vertices do triangulo.
Para ver como calculamos o circuncentro basta perceber que o plano Y=0 e um
plano perpendicular a AB pelo seu ponto medio, em virtude do sistema
cartesiano que adotamos acima. Assim, tracamos dois plano respectivamente
perpendiculares AM e BM pelos seus ponto medios. A resolucao do sistema
formado pelas equacoes dara o circuncentro.
Bom, acho que ficou claro o caminho que vou seguir. A questoes acima foi a
forma mais didatica que eu consegui encontrar para dar uma visao panoramica
e previa do que farei. Desta forma a sequencia de calculos vai adquirir
sentido. Note que os calculos podem ser muitos, mais a ideia e simples, como
era de se esperar em problemas deste nivel. Entao, maos a obra !
OS DADOS BASICOS :
A=(0,a,0) e B=(0,-a,0) sao os pontos fixos sobre a reta r, identificada
com o eixo OY. O plano Y=0 corta AB no seu ponto medio. A distancia entre
as retas r e r' sera b, um real positivo e nao nulo. A distancia de
r' ao plano Y=0 sera c. Sobre r' escolhemos um ponto M=(b,c,W)
ENCONTRANDO O CIRCUNCENTRO E O BARICENTRO DO TRIANGULO ABM :
O ponto medio de AM e ( b/2, (c+a)/2, W/2 ). O vetor AM=M-A sera (b,c-a,W).
Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e perpendicular a AM e
dada por : [ (X,Y,Z) - (b/2, (c+a)/2, W/2) ].(b,c-a,W) = 0. Fazendo os
calculos e colocando numa forma bonita, ficara :
bX + (c-a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 +
Re: [obm-l] Problema de geometria plana (56)
Srs, Encntrei o problema abaixo no XXI Torneio Int das Cidades outubro de 1999 ele é parecido com o primeiro. porém não encontrei seu gabarito O incentro de um triângulo é ligado a seus vértices. Desta forma, o triângulo fica dividido em três triângulos menores. Um destes triângulos é semelhante ao triângulo original. Determine seus ângulos. Seja O o incentro de um triangulo ABC. As medidas dos angulos AOB,AOC e BOC em funcao dos angulos A, B e C sao respectivamente: a) 90 - A/2, 90 - B/2 e 90 - C/2 b) 90 + C/2, 90 + B/2 e 90 + A/2 (solução do gabarito) c) 180 + C/2, 180 + B/2 e 180 + A/2 d) 90 - C/2, 90 - B/2 e 90 - A/2 at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de geometria plana (56)
ÿþ< ! D O C T Y P E H T M L P U B L I C " - / / W 3 C / / D T D H T M L 4 . 0 T r a n s i t i o n a l / / E N " >
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< M E T A h t t p - e q u i v = C o n t e n t - T y p e c o n t e n t = " t e x t / h t m l ; c h a r s e t = u n i c o d e " >
< M E T A c o n t e n t = " M S H T M L 6 . 0 0 . 2 7 4 5 . 2 8 0 0 " n a m e = G E N E R A T O R >
< S T Y L E > < / S T Y L E >
< / H E A D >
< B O D Y b g C o l o r = # f f f f f f >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > O b r i g a d o , < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > < / F O N T > & n b s p ; < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > & n b s p ; O b r i g a d o , < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > & n b s p ; < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > & n b s p ; v a l e u ! < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > < / F O N T > & n b s p ; < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > < / F O N T > & n b s p ; < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > a t < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > < / F O N T > & n b s p ; < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > S a r m e n t o < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > < / F O N T > & n b s p ; < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > < / F O N T > & n b s p ; < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > < / F O N T > & n b s p ; < / D I V >
< B L O C K Q U O T E d i r = l t r
s t y l e = " P A D D I N G - R I G H T : 0 p x ; P A D D I N G - L E F T : 5 p x ; M A R G I N - L E F T : 5 p x ; B O R D E R - L E F T : # 0 0 0 0 0 0 2 p x s o l i d ; M A R G I N - R I G H T : 0 p x " >
< D I V s t y l e = " F O N T : 1 0 p t a r i a l " > - - - - - O r i g i n a l M e s s a g e - - - - - < / D I V >
< D I V
s t y l e = " B A C K G R O U N D : # e 4 e 4 e 4 ; F O N T : 1 0 p t a r i a l ; f o n t - c o l o r : b l a c k " > < B > F r o m : < / B >
< A [EMAIL PROTECTED] h r e f = " m a i l t o :[EMAIL PROTECTED]" > G u m e r c i n d o
S e r e n o < / A > < / D I V >
< D I V s t y l e = " F O N T : 1 0 p t a r i a l " > < B > T o : < / B > < A [EMAIL PROTECTED]
h r e f = " m a i l t o :[EMAIL PROTECTED]" >[EMAIL PROTECTED]< / A > < / D I V >
< D I V s t y l e = " F O N T : 1 0 p t a r i a l " > < B > S e n t : < / B > S u n d a y , A p r i l 3 0 , 2 0 0 6 9 : 0 4
P M < / D I V >
< D I V s t y l e = " F O N T : 1 0 p t a r i a l " > < B > S u b j e c t : < / B > R e : [ o b m - l ] P r o b l e m a d e
g e o m e t r i a p l a n a ( 5 6 ) < / D I V >
< D I V > < B R > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > O g a b a r i t o e s t á c o r r e t o . É c l a r o q u e b a s t a f a z e r
a s c o n t a s p a r a u m d o s â n g u l o s m e n c i o n a d o s . < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > D e s i g n e o s â n g u l o s i n t e r n o s d o t r i â n g u l o o r i g i n a l
d e a l f a ( e m A ) , b e t a ( e m B ) e g a m a ( e m C ) . < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > a l f a + b e t a + g a m a = 1 8 0 g r a u s , B O C + ( b e t a ) / 2 +
( g a m a ) / 2 = 1 8 0 g r a u s , m u l t i p l i c a n d o a ú l t i m a e q u a ç ã o p o r d o i s < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > e s u b t r a i n d o d e l a a p r i m e i r a e q u a ç ã o f i c a m o s c o m
2 B O C - ( a l f a ) = 1 8 0 g r a u s , d a q u i v e m B O C = ( a l f a ) / 2 + 9 0 g r a u s . ( F a ç a u m a f i g u r a
m a r c a n d o o i n c e n t r o O < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > e d e s e n h a n d o o t r i â n g u l o B O C . ) < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > S a l u d o s < / F O N T > < / D I V >
< D I V > < F O N T f a c e = A r i a l s i z e = 2 > G u m e r c i n d o < / F O N T > < / D I V > < / B L O C K Q U O T E > < / B O D Y > < / H T M L >
[obm-l] Integral
Demonstrar a integral de arco tangente de u(x):
Re: [obm-l] Problema de geometria plana (56)
1) Desenhe as bissetrizes internas de um triângulo ABC e o encontro delas será o incentro. Desenhando os segmentos OA, OB e OC, teremos o triângulo AOB com os ângulos AOB, A/2 e B/2, o triângulo BOC com os ângulos BOC, C/2 e B/2, e o triângulo AOC com os ângulos AOC, A/2, B/2. Assim: Do triângulo AOB: AOB = 180° - A/2 - B/2 = 180° - (A + B)/2 = 180° - (180° - C)/2 = 90° + C/2.Do triângulo BOC: BOC = 180° - B/2 - C/2 = 90° + A/2Do triângulo AOC: AOC = 180° - A/2 - C/2 = 90° + B/22) Com as divisões dos triângulos AOB, AOC e BOC, onde O é o incentro, sabemos que (pela observação da questão 1) algum dos ângulos 90° + A/2, 90° + B/2 e 90° + C/2 deve ser igual a um dos ângulos A, B ou C, pois algum dos triângulos AOB, AOC e BOC deve ser semelhante a ABC. Seja BOC o triângulo semelhante. Não é possível 90° + A/2 = A, pois A 180°, mas é possível que 90° + A/2 = B ou 90° + A/2 = C. Suponhamos que 90° + A/2 = B. Assim, 90° + A/2 = B = 2B - A = 180° = 180° - A - B = B - 2A = C = B - 2A. Não é possível que B/2 = A, pois C 0°, então B/2 = C, donde C = 2A, B = 4A. A + B + C = 180° = A + 2A + 4A = 180° = A = (180/7)°, B = (720/7)° e C = (360/7)°.
Re: [obm-l] Integral
Olá, usando integral por partes: int (arctg(x)) = x.arctg(x) - int (x/(1+x^2)) + c int (arctg(x)) = x.arctg(x) - ln(1+x^2) / 2 + c abraços, Salhab - Original Message - From: Luiz Miletto To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, April 30, 2006 11:36 PM Subject: [obm-l] Integral Demonstrar a integral de arco tangente de u(x):
Re: [obm-l] LIMITES (sem L'Hospital)
a) Seja y = x^x = lny = x lnx , lim(x-0) lny é indeterminado, logo o limite de y também é. b) Aquí y = (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n) e fazendo z = lnx = x = e^z e b = lna = a = e^b, teremos y = [e^(nz) - e^(nb)]/(z^n - b^n) ou y = e^(nb){e^[n(z-b)] -1}/{(z -b)[z^(n-1)+bz^(n-2)+b^2z^(n-3)+...+zb^(n-2)+b^(n-1) Assim, lim(x-a) y = [e^(nb)/b^(n-1)] * lim(z-b){e^[n(z-b)]-1}/[n(z-b)]. O limite ainda a ser determinado é fundamenta, tipo lim(w-0)(B^w-1)/w=ln B e no caso B = e = ln B = 1. Portanto, lim(x-a)y = e^(nb)/b^(n-1) = a^n/(lna)^(n-1) Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: a) lim(x-0+) x^x b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n) Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
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Re: [obm-l] Integral
A proposta original, int de arc tg u(x), não é possível se a integral for em dx. Como o Marcelo interpretou, com x em lugar de u(x), infelizmente haveria um engano na segunda integral, um x a mais que simplificou deveras, mas incorretamente. Poderiamos ter Int = x arctg x - arc tg x + C. Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, usando integral por partes: int (arctg(x)) = x.arctg(x) - int (x/(1+x^2)) + c int (arctg(x)) = x.arctg(x) - ln(1+x^2) / 2 + c abraços, Salhab- Original Message -From:Luiz Miletto To: obm-l@mat.puc-rio.brSent: Sunday, April 30, 2006 11:36PM Subject: [obm-l] Integral Demonstrar a integral de arco tangente de u(x): Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
