Re: [obm-l] Matrix Calculus - Referências
Olá Raymundo,
têm algumas coisas feitas no livro do Elon: Curso de Análise vol 2.
Acho que ajuda um pouco. Agora não sei em quais páginas estão.
[]'s
Citando [EMAIL PROTECTED]:
Pessoal,
Gostaria de saber se alguém conhece alguma referência para estudar/consultar
Matrix Calculus.
No livro
Scharf, Louis L. - Statistical Signal Processing: Detction, Estimation, and
Time Series Analysis. Reading, Massachusetts: ADDISON-WESLEY PUBLISHING
COMPANY, 1991.
nas páginas 274-276, ele faz APENAS a seguinte convenção (ou melhor ele
define desta forma):
_
DEFINICÃO: Seja g uma função escalar de uma matriz, ou seja, g:R{p \times q}
- R (g mapeia uma matriz p por q na reta.). Define-se
dg/dA como sendo a matriz p por q
[dg/daij] com i=1, ..., p; j = 1,... q e A = [aij].
Daí ele enumera uma série de resultados SEM DEMONSTRAÇÃO ou referência para
demonstrações. Muitos deles são imediados, outros nem tanto.
Alguns dos resultados que o livro acima coloca:
OBSERVAÇÃO: tr{} é o Traço de uma matrix.; det é o determinante da matriz;
exp é a exponencial (no caso exponencial de uma matrix)
1) d tr{R^n}/dR = n(R^{n-1})^{T};
2) d det(R)/dR = detR (R^{-1})^{T};
3) d tr(exp(R))/dR = exp(R);
Além de trabalhar com matrizes ele faz a seguinte convenção (ou melhor dá a
seguinte definição) no cálculo vetorial.
__
Seja f:Rn-Rm, (x1,...xn) |---
f(x1,...,xn)=(f1(x1,...xn),...,fm(x1,...,xn)). Define-se:
df/dx como a matrix m por n
[df_{j}/dx_{i}] com i = 1,... n e j=1,...m.
Novamente ele enumera uma série de resultados SEM DEMONSTRAÇÃO ou referência
para demonstrações. Muitos deles são imediados, outros nem tanto.
Exemplos de resultados enumerados:
1) d ln(x^{T}Qx)/dx = 2(x^{T}Qx)^{-1}Qx, com Q uma matriz constante.
2) d exp{-1/2x^{T}Q^{-1}x}/dx = -exp(-1/2x^{T}Q^{-1}x)Q{-1}x, Q uma matriz
constante.
__
Alguém conhece referências que demonstrem (especialmente de maneira elegante
usando resultados de matrizes, ou seja, sem ter que abrir as funções acima)
os resultados acima?
Já dei uma olhada no google mas não achei muito. Em relação a segunda
convenção deste e-mail: ela parece ser a transposta da definição que vi no
meu curso de cálculo...
Algumas referências que achei.
http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf
http://www4.ncsu.edu/~pfackler/MatCalc.pdf
Brewer, J. - Kronecker products and matrix calculus in system theory.
Circuits and Systems, IEEE Transactions on, vol. 25, N. 9, pp.772-771, 1978.
Mas ainda não consegui uma referência que contenha todas as demonstrações dos
resultados do livro do Scharf citado acima (prefiro as que são rigorosas
matemáticamente).
Quem souber alguma boa referência para o assunto por favor me avise.
Obrigado.
--
Arlan Silva
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Funcoes
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 31 Mar 2007 23:18:46 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Funcoes É o conjunto de Cantor? E como voce prova isso? On 3/30/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja f uma funcao não-decrescente definida em [0,1] e tal que f(0)=0, f(x/3)=f(x)/2 e f(1 - x)=1 - f(x). Encontre f(18/1991). Mais interessante do que este problema específico é observar que a imagem de f é densa em [0,1] apesar de f ser constante num conjunto de medida integral em [0,1]. Ou seja, o conjunto D das descontinuidades de f tem medida nula. Duas perguntas: 1. Você reconhece D? 2. Como D tem medida nula, f é integrável. Quanto vale Integral(0...1) f(x)dx? []s, Claudio. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Divisão
1) Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente, o mesmo resto? Seja N o numero procurado. Entao, N divide 1453-1108 = 345; N divide 1844-1453 = 391; N divide 2281-1844 = 437. Ou seja, N divide mdc(345,391,437) = mdc(345,46,92) = mdc(345,46) = mdc(46,23) = 23. Como 23 eh primo, N soh pode ser 1 ou 23. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Divisão
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 31 Mar 2007 11:24:17 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Divisão Citando Pedro Costa [EMAIL PROTECTED]: Será que tem uma maneira mais simples de fazer a 1° questão? 1) Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente, o mesmo resto? Seja x o número que se procura e r o resto (que é sempre o mesmo). Então, 1108 congr r mod(x), (i) 1453 congr r mod(x), (ii) 2281 congr r mod(x). (iii) Fazendo (ii) - (i): 345 congr 0 mod(x), ou seja, x divide 345, ou melhor, x.q1=345, para algum q1 inteiro, e fazendo (iii)-(ii): 828 congr 0 mod(x), ou seja, x divide 828. Mas 828=2^2 . 3^2 . 23 e 345=3 . 5 . 23 Além disso, fazendo (iii)-(i), temos 1173 congr 0 mod(x), e 1173=3 . 17 . 23 Como x divide 828, 345 e 1173 simultaneamente, só podemos ter x=3.23=69, logo x=69 é o cara. 1844 = 69*26+50 == resto = 50. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primos
Ah, bem lembrado: apenas como referência eu coloquei a demonstração de que
falo no Mathlinks:
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=4433
Ah, claro, este foi um exercício do livro Introduction to the Theory of
Numbers, de Ivan Niven.
E eu queria mesmo é saber onde achar o caso Kn-1...
Em 20/03/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Um projeto mais ousado eh encarar de frente a versao mais geral do
teorema.
Novamente, a internet eh uma boa fonte de material sobre o assunto.
Ha varias notas de aula sobre teoria analitica dos numeros.
Por exemplo, aqui:
http://www.math.uiuc.edu/~hildebr/ant/
Vai demorar um tempo pra digerir tudo, mas eh uma boa desculpa pra
aprender variaveis complexas e, alem disso, voce tambem
recebe gratis uma demonstracao do TNP.
Ha tambem uma demonstracao usando analise real (ou mais precisamente,
funcoes complexas de uma variavel real):
http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/dirichlet.pdf
Sobre o caso das progressoes aritmeticas da forma kn + 1, havia um artigo
do Antonio Caminha sobre polinomios ciclotomicos
que apresentava uma demonstracao, mas por alguma razao, foi tirado do ar.
No entanto, veja aqui:
http://math.berkeley.edu/~nsnyder/tutorial/lecture2.pdf
Alias, este Noah Snyder deu uma demonstracao muito simples do teorema de
Mason quando ainda estava na high school (ensino
medio nos EUA). Veja aqui: http://cr.yp.to/bib/2000/snyder.pdf
Este teorema eh interessante pois tem como corolario o ultimo teorema de
Fermat para polinomios:
http://www.msci.memphis.edu/preprint/wthesis.pdf
(paginas 5 a 9)
Este ultimo link eh para uma tese de mestrado que trata de um topico
quente em teoria dos numeros: a conjectura abc, a qual
tem como consequencia (se for verdadeira, claro!) uma versao assintotica
do ultimo teorema de Fermat (ou seja, para todo n
suficientemente grande, as unicas solucoes inteiras de x^n + y^n = z^n sao
as triviais).
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 19 Mar 2007 10:50:50 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Primos
On Mon, Mar 19, 2007 at 08:21:30AM -0300, claudio.buffara wrote:
...
Enfim, eu entrei no Google e digitei:
primes congruent to 1 Dirichlet
A terceira referencia foi:
http://planetmath.org/encyclopedia/SpecialCaseOfDirichletsTheoremOnPrimesInArithmeticProgressions.html
...
Estou com o seguinte problema:
Para cada n 2, existem infinitos primos congruentes a 1 módulo n.
Sei que este problema é um caso particular do teorema de Dirichlet,
cuja demonstração é não trivial. Porém, vi no livro do
Hardy que existem demonstrações mais simples para este resultado
particular. Se alguém souber alguma, gostaria de vê-la.
A home page que o Claudio indicou faz o caso n primo.
Se n não for primo o argumento é o mesmo mas em vez de
f_n(x) = (x^n-1)/(x-1) devemos tomar f_n o polinômio ciclotômico
que tem por raízes as raízes n-ésimas *primitivas* de 1,
ou seja, as raízes n-ésimas que não são raízes m-ésimas
para nenhum m n. Os polinômios f_n podem ser definidos por
f_1(x) = x-1
PRODUTO_{m inteiro positivo, m divisor de n} f_m(x) = x^n-1
As propriedades necessárias dos polinômios f_n são de fácil
demonstração.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Ideas are bulletproof.
V
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisão
Obrigado Cláudio pela sugestão. Corrigindo meu erro: x=23. []'s Citando claudio\\.buffara [EMAIL PROTECTED]: -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 31 Mar 2007 11:24:17 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Divisão Citando Pedro Costa [EMAIL PROTECTED]: Será que tem uma maneira mais simples de fazer a 1° questão? 1) Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente, o mesmo resto? Seja x o número que se procura e r o resto (que é sempre o mesmo). Então, 1108 congr r mod(x), (i) 1453 congr r mod(x), (ii) 2281 congr r mod(x). (iii) Fazendo (ii) - (i): 345 congr 0 mod(x), ou seja, x divide 345, ou melhor, x.q1=345, para algum q1 inteiro, e fazendo (iii)-(ii): 828 congr 0 mod(x), ou seja, x divide 828. Mas 828=2^2 . 3^2 . 23 e 345=3 . 5 . 23 Além disso, fazendo (iii)-(i), temos 1173 congr 0 mod(x), e 1173=3 . 17 . 23 Como x divide 828, 345 e 1173 simultaneamente, só podemos ter x=3.23=69, logo x=69 é o cara. 1844 = 69*26+50 == resto = 50. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
