[obm-l] RES: [obm-l] Análise
Corrigindo cada elemento de a pertence a algum R_i, nao P_i. Erro de digitacao Artur
[obm-l] RES: [obm-l] Análise
Bom dia Andre
Vou ajudar no exercicio 2. Os outros 2 tem em quase todos os livrois de analise.
(2) - Seja P o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros. Para cada
inteiro n =0 (incluindo os polinomios constantes, de grau 0), seja P_n o
conjunto dos polinomios de coeficientes inteiros do grau n. A cada elemento de
P_n corresponde um e somente corresponde um vetor de Z^(n+1) (z1,
z2z_(n+1)), no qual z1 0 e cujas componentes sao os coeficientes do
polinomio a partir do coeficiente lider. Por outro lado, a cada elemento de
Z^(n+1) com a primeira componente nao nula corresponde um e somente um elemento
de P_n, Hah, assim, uma bijecao entre P_n e um subconjunto do enumeravel
Z^(n+1), do que concluimos que P_n eh enumeravel.
Temos que os P_n, por forca de suas definicoes, sao disjuntos 2 a 2 e que P =
Uniao (n= 0, oo) P_n. Assim, P eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos
enumeraveis, o que implica que seja enumeravel.
Seja A o conjunto dos numeros algebricos. A cada elemento P_i de P, acima
definido, corresponde um conjunto finito R_i, composto pelas suas raizes,
incluindo as complexas nao reais. Todo elemento de A eh raiz de algum P_i e,
portanto, pertence ao correspondente R_i. Logo A esta contido em Uniao (i=1,
oo) P_i (na realidade, existe igualdade). Como cada R_i é finito e a colecao
{R_i} eh enumeravel, segue-se que a uniao dos R_i e, portanto, A - sao
enumeraveis.
Observe que nosso A inclui os complexos algebricos. Eh imediato que isto
implica que os reais algebricos sejam enumeraveis.
Sendo T o conjunto dos trancendentes, temos que R = A Uniao T. Sabemos que R
nao eh enumeravel e vimos que T eh enumeravel. Para que esta equacao de
conjuntos possa ser verdadeira, segue-se que T é nao enumeravel e, portanto,
nao vazio. Logo, existem numeros transcendentes. Alias. hah mais
transcendentes do que algebricos e mesmo do que iracionais, post T tem
cardinalidade maior do que a dos algebricos e que a dos racionais.
Artur
[Artur Costa Steiner]
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de André Rodrigues da Cruz
Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 19:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Análise
Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres problemas:
1) Dados a, b em R+ com a^2 2 b^2, tome x, y em R+ tais que x 1, x (2 -
a^2)/(2a + 1) e y (b^2 - 2)/2b. Prove que (a + x)^2 2 (b - y)^2 e (b - y)
0.
Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 2} e
conclua que o número real c = sup X cumpre c^2 = 2.
2) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com
coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é
enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove
que existem números transcendentes.
3) Prove que um conjunto I contido em R é um intervalo se, e somente se, a x
b, a, b pertencentes a I implica x pertencente a I.
Aguardo sugestões!
Abraços!
André RC
[obm-l] Isometria
Pessoal alguem sabe mostrar dados a e b na esfera unitaria do espaço R^(n+1), Isto é , dados a e b na esfera unitaria S^n , existe uma isometria f: S^n -S^n tal que f(a)=b ? Abraços. _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Isometria
On Wed, Apr 04, 2007 at 01:54:09PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal alguem sabe mostrar dados a e b na esfera unitaria do espaço
R^(n+1), Isto é , dados a e b na esfera unitaria S^n , existe uma
isometria f: S^n -S^n tal que f(a)=b ?
Uma forma fácil de explicitar uma tal isometria é tomar uma reflexão
no plano bissetor do segmento ab:
w = (a-b)/|(a-b)|, f(v) = v - 2 v,w w
onde v,w representa o produto interno.
Esta construção só falha no caso a = b.
Pensei em deixar este caso para o leitor mas achei
que seria mais instrutivo observar que
w = (a+b)/|(a+b)|, f(v) = - v + 2 v,w w
funciona exceto para a = - b.
Aliás, para n par é impossível definir f_{a,b} continuamente
nos parâmetros a e b mesmo fixando a = e_1 pois isso
permitiria definir um campo de vetores tangente à esfera: f_{e_1,b}(e_2).
Como a característica de Euler de S^n é igual a 2 para n par
tal coisa é impossível.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Res: [obm-l] Sequencia
Olá Marcelo pela desigualdade das medias o a_(n+1)=b_(n+1)? tb nao entendi por que b_n eh uma sequencia decrescente? b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 = b_n ??? pq isso eh verdade? tb nao entendi como vc concluiu que b_n eh limitado. vlw. - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 3 de Abril de 2007 19:47:02 Assunto: Re: [obm-l] Sequencia Ola, primeiramente, vamos supor que a_n e b_n convergem.. entao: lim a_(n+1) = lim a_n = m1 lim b_(n+1) = lim b_n = m2 m1 = (m1 + m2)/2 ... 2m1 = m1 + m2 ... m1 = m2 ou m2^2 = m1*m2 m1 = m2 agora temos que mostrar que estas sequencias convergem :) pela desigualdade das medias, temos: a_(n+1) = b_(n+1) opa! basta provarmos que b_n converge... b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 = b_n ... opa! b_n é descrescente! mas b_n tbem é limitado, pois só possui termos positivos! logo, b_n converge e, consequentemente, a_n converge! abracos, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 03, 2007 6:17 PM Subject: [obm-l] Sequencia Sejam a_0 e b_0 dados com 0a_0b_0. Sejam a_(n+1) = (a_n + b_n)/2 e b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 Mostre que que existe m (chamado média aritmético-geometrica de a_0 e b_0) tal que a_n--m --b_n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] duvida
coreçao dia 16 ao dia 20 5*2.5 correçao do dia 20 ao dia 21 13 - 9h 0 da 20 horas que e 20/24* 2.5 correçao total e 140*2.5/24=14.6 h=875s On 4/2/07, Marcus [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem sabe como resolver essa questão?: Um relógio atrasa 2mim 30s por dia real. Ele estava certo no dia 15 de março às 13h. Seja m a correção, em minutos, que deve ser somada à hora indicada pelo relógio. Quando o relógio marca 9 horas do dia 21 de março. Calcule m?
Re: RE: [obm-l] tabuleiro
Prezado Cláudio, desculpe a minha falta de conhecimento, mas não entendi como você descobriu que as equações ideais são aquelas e não outras sem precisar escrever todas, ou seja, qual o critério estabelicido para saber que aquelas 10 e não outras são as equações que nos darão a soma desejada. Outra pergunta, esse problema é conhecido em forma de algum teorema ou é apenasm mais um dos vários problemas que envolvem tabuleiros? Um abraço, Vanderlei Em (23:08:54), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Voce achou uma configuracao que funciona. Mas o problema eh provar que qualquer configuracao que obedece ao enunciado tem soma m(m+1). A primeira observacao eh que voce pode reduzir o problema a metade pois se a soma das casas pretas for m(m+1)/2, entao a soma das casas brancas tambem serah m(m+1)/2. Por exemplo, num tabuleiro 8x8 (o problema original), suponha que voce quer descobrir a soma das casas pretas (ou seja, as casas x(i,j) com i+j par - estou supondo que o canto superior esquerdo - casa x(1,1) - eh preto) por meio da solucao de um sistema linear que implementa as condicoes do enunciado. Este sistema consiste de 32 equacoes (uma para cada casa branca) em 32 incognitas (os valores das casas pretas). Por exemplo, algumas das equacoes sao: x(1,1)+x(2,2)+x(1,3)=1 (vizinhos da casa (1,2)) x(3,7)+x(4,6)+x(4,8)+x(5,7)=1 (vizinhos da casa (4,7)) x(7,1)+x(8,2)=1 (vizinhos da casa (8,1)) etc... No entanto, voce quer apenas a soma x(1,1)+x(1,3)+x(1,5)+...+x(8,8) e nao o valor de cada variavel individualmente (ateh porque existe uma infinidade de solucoes - o sistema tem posto 32 - alias, um outro problema interessante eh determinar o posto do sistema ou, equivalentemente, o numero maximo de casas do tabuleiro cujo valor pode ser escolhido arbitrariamente). O que voce tem que fazer, entao, eh tomar um subconjunto dessas 32 equacoes tal que cada variavel aparece em exatamente uma equacao desse subconjunto. Dai, somando as equacoes voce obterah a soma desejada. Um tal subconjunto consiste de exatamente 10 equacoes (veja abaixo). Como o lado esquerdo de cada uma delas eh 1, a soma desejada eh 10. De forma totalmente analoga, voce calcula a soma das casas brancas - tambem igual a 10, claro! Logo, a soma do tabuleiro eh 20. Pra ver que o subconjunto acima consiste de 10 equacoes, o melhor eh visualizar o tabuleiro, onde * representa uma casa branca e letras representam as incognitas das 10 equacoes (duas casas com letras iguais representam incognitas que aparecem numa mesma equacao - por exemplo, a primeira equacao mencionada acima eh representada pela letra a, a terceira pela letra k e segunda nao estah entre as 10): a * a * t * t * c * b * b * e * c * g * h * h * k * g * s * p * O mesmo procedimento funciona no caso geral: num tabuleiro 2mx2m as casas pretas (e as brancas) geram 2m^2 equacoes em 2m^2 incognitas, das quais podemos extrair um subconjunto com m(m+1)/2 equacoes tal que cada incognita aparece em exatamente uma equacao. Uma prova disso pode ser dada por inducao (por exemplo, adicione 2 linhas e 2 colunas ao tabuleiro acima e veja o que acontece) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: [EMAIL PROTECTED] Data: Tue, 3 Apr 2007 19:20:34 -0300 Assunto: RE: [obm-l] tabuleiro Uma configuação que sempre dá certo para um tabuleiro 2nx2n é a seguinte: Imagine uma matriz 2n x 2n em camadas... a camada externa seria composta pela linha 1 e 2n mais as colunas 1 e 2n. A segunda camada seria para as linhas 2 e 2n-1 (excluindo os elementos das pontas, que já fazem parte da camada externa) e as colunas na mesma configuração. Logo, uma matriz 2n x 2n teria n camadas. Uma configuração que sempre funciona é atribuir o valor 0.5 para as camadas ímpares e 0 para as camadas pares. alguns exemplos: 2x2: 0.5 0.5 0.5 0.5 4x4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 6x6 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Agora é questão de braço para chegar na fórmula m(m+1) por indução, vamos colocar uma casca nova num tabuleiro 2m x 2m existente. f(m+2) = f(m) + CascaNova, sendo que CascaNova = (m+2) * 4 - 2 (o menos 2 é devido aos vértices) (m+2) * (m+3) = m (m+1) + 4m + 8 -2 E como a fórmula funciona para m=1 (tabuleiro 2x2) e m=2(tabuleiro 4x4) funciona para todos, certo? SDS JG [João Gilberto Ponciano Pereira] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of claudio.buffara Sent: Tuesday, April 03, 2007 6:11 PM To: obm-l Subject: Re:[obm-l] tabuleiro De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 2 Apr 2007 21:25:39 -0300 Assunto: [obm-l]
[obm-l] integral
ola, estou precisando de uma ajudinha para resolver a integral abaixo
int (0--+00) ( arctan(pi.x)-arctan(x))/x dx
- Original Message -
From: Artur Costa Steiner
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, April 04, 2007 10:24 AM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Análise
Bom dia Andre
Vou ajudar no exercicio 2. Os outros 2 tem em quase todos os livrois de
analise.
(2) - Seja P o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros. Para cada
inteiro n =0 (incluindo os polinomios constantes, de grau 0), seja P_n o
conjunto dos polinomios de coeficientes inteiros do grau n. A cada elemento de
P_n corresponde um e somente corresponde um vetor de Z^(n+1) (z1,
z2z_(n+1)), no qual z1 0 e cujas componentes sao os coeficientes do
polinomio a partir do coeficiente lider. Por outro lado, a cada elemento de
Z^(n+1) com a primeira componente nao nula corresponde um e somente um elemento
de P_n, Hah, assim, uma bijecao entre P_n e um subconjunto do enumeravel
Z^(n+1), do que concluimos que P_n eh enumeravel.
Temos que os P_n, por forca de suas definicoes, sao disjuntos 2 a 2 e que P =
Uniao (n= 0, oo) P_n. Assim, P eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos
enumeraveis, o que implica que seja enumeravel.
Seja A o conjunto dos numeros algebricos. A cada elemento P_i de P, acima
definido, corresponde um conjunto finito R_i, composto pelas suas raizes,
incluindo as complexas nao reais. Todo elemento de A eh raiz de algum P_i e,
portanto, pertence ao correspondente R_i. Logo A esta contido em Uniao (i=1,
oo) P_i (na realidade, existe igualdade). Como cada R_i é finito e a colecao
{R_i} eh enumeravel, segue-se que a uniao dos R_i e, portanto, A - sao
enumeraveis.
Observe que nosso A inclui os complexos algebricos. Eh imediato que isto
implica que os reais algebricos sejam enumeraveis.
Sendo T o conjunto dos trancendentes, temos que R = A Uniao T. Sabemos que R
nao eh enumeravel e vimos que T eh enumeravel. Para que esta equacao de
conjuntos possa ser verdadeira, segue-se que T é nao enumeravel e, portanto,
nao vazio. Logo, existem numeros transcendentes. Alias. hah mais
transcendentes do que algebricos e mesmo do que iracionais, post T tem
cardinalidade maior do que a dos algebricos e que a dos racionais.
Artur
[Artur Costa Steiner]
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de André Rodrigues da
Cruz
Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 19:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Análise
Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres problemas:
1) Dados a, b em R+ com a^2 2 b^2, tome x, y em R+ tais que x 1, x
(2 - a^2)/(2a + 1) e y (b^2 - 2)/2b. Prove que (a + x)^2 2 (b - y)^2 e (b
- y) 0.
Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 2}
e conclua que o número real c = sup X cumpre c^2 = 2.
2) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é
enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com
coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é
enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove
que existem números transcendentes.
3) Prove que um conjunto I contido em R é um intervalo se, e somente se, a
x b, a, b pertencentes a I implica x pertencente a I.
Aguardo sugestões!
Abraços!
André RC
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[obm-l] integral
Ola, gostaria de uma ajudinha na integral int(0--+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx - Original Message - From: Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 03, 2007 1:59 PM Subject: Re: [obm-l] PROBLEMAS INVULGARES! Agora, vem a bomba que pouca gente sabe desativar: Como fracionar 7 pães entre 10 homens? (Campeão!) Divide cada pão em 10 pedaços e dá sete pedaços pra cada homem. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/cgi-bin/imail.cgi?+_u=carlosbrener_l=1,1175669399.534323.4998.aldavila.hst.terra.com.br,4017,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 03/04/2007 / Versão: 5.1.00/4999 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.446 / Virus Database: 268.18.26/746 - Release Date: 4/4/2007 1:09 PM = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia
Olá Klaus, sabemos que MA = MG [media aritmetica maior ou igual a media geometrica] assim: (a_n + b_n)/2 = (a_n*b_n)^(1/2) a_(n+1) = b_(n+1), n = 0, 1, 2, 3... ou: b_n = a_n, n = 1, 2, 3... sabemos que a_n = b_n, entao: a_n*b_n = b_n^2 ... (a_n*b_n)^(1/2) = b_n logo: b_(n+1) = b_n ... b_n = b_(n+1) opz, troquei no outro email! b_n é crescente para n=1, 2, 3, ... entao vamos por outro lado: b_n = a_n a_n+b_n = 2a_n (a_n+b_n)/2 = a_n ... a_(n+1) = a_n logo, a_n é decrescente para n=1,2,3,4,...!! assim: 0 a_n = a_1 ... opa! a_n é limitada! logo, a_n converge... mas b_n = a_n ... logo, b_n converge... eu tinha dito que b_n é limitado pois é sempre positivo [maior que 0] e decrescente.. isto é: 0 b_n = b_0, para qualquer n mas isto esta furado, pois b_n nao eh decrescente! po.. no primeiro email eu troquei inclusive a desigualdade das medias.. esquece aquele email! ta todo errado! hehe desculpa ae! espero ter ajudado, abracos, Salhab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais
Ola, conheco uma outra generalizacao, utilizando diferencas finitas. Dado f(x), somatório de 0 até n de f(x) = g(n+1) - g(0) onde g(x) é a integral finita de f(x).. isto é: g(x) eh a funcao cuja diferenca finita eh f(x)... como f(x) = x^k, temos que encontrar a integral finita de x^k nao estou em casa, mas lembro que tenho um livro que apresenta essa integral finita em funcao de um integral da funcao gamma... deste modo, estaria resolvido o problema de outro modo abracos, Salhab On 4/2/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: O processo usual eh esse mesmo. Podemos provar que a soma das k-esimas potências dos n primeiros numeros naturais (como, na realidade, a da soma das k-esimas potencias dos n primeiros termos de uma PA) eh um polinomio do grau k + 1 em n. Assim, podemos usar este fato e o metodo dos coeficientes a determinar para achar os coeficientes do polinomio. Mesmo assim eh trabalhoso. O coeficiente do termo lider eh sempre 1/(k+1). Artur . -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de J. Renan Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 14:43 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais Olá à todos! Alguém conhece uma fórmula fechada para (Sum de i=1,n) i^k? Para k = 0, temos S = n Para k =1, temos uma PA S = (1+ n)*n/2 Para k=2 pensei no seguinte.. (1-1)^3 = 1^3 - 3*1^2 + 3*1 - 1 (2-1)^3 = 2^3 -3*2^3 + 3*2 -1 ... (n-1)^3 = n^3 - 3*n^2 + 3*n -1 Somando essas n equações percebemos que o primeiro termo das. eq. da direita sempre cancelam o primeiro termo da próxima equação: 0 = -3(S) + 3(Spa) - n + n^3 Desenvolvendo o raciocínio chegamos na conhecida fórmula S = (n+1)(2n+1)*n/6 Para k=3 se ao invés de utilizarmos (n-1)^3, usarmos (n-1)^4 também chegamos na expressão correspondente (S = [(1+n)*n/2]^2) Dúvida: Podemos sempre utilizar uma diferença entre n e 1 e elevar a k+1 afim de achar o somatório das potências dos n naturais elevados a k? Isso me pareceu bastante intuitivo, mas o problema é que a sequência ficaria em função de S(k-1). Como tirar essa recursividade? -- Abraços, J.Renan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
