Res: [obm-l] Equacao funcional II
Olá Shine, obrigado pelo esclarecimento. Contudo, ainda tenho algumas dúvidas. Como que eu construo f nos inteiros? Como eu acho f(2) , f(3), f(5)... tentei aqui, mas num consegui não. E tb por que definiu-se f(p_n) = p_(n-1) p/ n par ; 1/p_(n+1) p/ n impar? O que lhe chamou a atenção pra provar que f é multiplicativa? Grato. - Mensagem original De: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 25 de Julho de 2007 19:00:30 Assunto: Re: [obm-l] Equacao funcional II Oi Klaus, O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir f(2), e 2 é primo. Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+. Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la). Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y). Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y). []'s Shine - Original Message From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM Subject: [obm-l] Equacao funcional II No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Need a vacation? Get great deals to amazing places on Yahoo! Travel. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
Re: [obm-l] Mais um de análise
Obrigado Marcelo! Infelizmente o gabarito indica como 126 cadeados e 70 chaves para cada cientista... Existe GRANDES chances de ter erro no gabarito pois encontrei erro em outras questões. Vou ver mais tarde sua resposta com mais calma. Acho que está + cabível do que 126 cadeados... haja saco pra abrir todos! Obrigado d novo Maurizio Em 25/07/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, apenas uma curiosidade.. podemos pensar em um polinomio de grau 5 e dizer que a chave é f(x0).. falamos um ponto (x, f(x)) para cada cientista.. qdo 5 ou mais estiverem presente é possível abrir o cadeado.. pois atraves de interpolacao obtem-se f(x0).. alguem ve problemas nesse metodo? queremos que 4 nao abram o cadeado ao mesmo tempo.. isto é.. 4 juntos tem q faltar pelo menos 1 chave.. digamos que falte exatamente 1 chave.. entao os outro 5 tem que ter essa chave.. partindo dessa ideia, vamos supor que temos 5 copias das chaves de cada cadeado.. partindo da ideia de que cada cientista tem o mesmo numero de chaves, temos: 5n = 9k n = numero de cadeados k = numero de chaves com cada cientista hmm nao sei explicar como, mas tive a seguinte ideia.. pegue as 5 chaves do cadeado 1... de para os cientistas 1,2,3,4,5... agora pegue as 5 chaves do cadeado 2... de para os cientistas 2,3,4,5,6... faca o mesmo para os demais cadeados.. qdo chegar em 9, volte para 1.. matematicamente, vamos enumerar os cientistas de 0 à 8.. e os cadeados de 0 à n-1 as chaves do cadeado k serao dadas ao cientistas k, k+1, k+2, k+3, k+4... todos modulo 9.. vamos usar a seguinte notacao: cadeado k: cientistas com chave deste cadeado cadeado 0: 0, 1, 2, 3, 4 cadeado 1: 1, 2, 3, 4, 5 cadeado 2: 2, 3, 4, 5, 6 cadeado 3: 3, 4, 5, 6, 7 cadeado 4: 4, 5, 6, 7, 8 neste ponto, vemos que o cientista 4 tem 5 chaves.. logo, vamos deixar todos assim.. cadeado 5: 5, 6, 7, 8, 0 cadeado 6: 6, 7, 8, 0, 1 cadeado 7: 7, 8, 0, 1, 2 cadeado 8: 8, 0, 1, 2, 3 assim, com 9 cadeados.. 5 copias de cada chave.. conseguimos que apenas 5 consigam acessar o segredo.. mass... nao sei como provar que esse eh o numero minimo de cadeados.. usando minhas hipoteses, temos que: 5n = 9k ... n=9 e k=5 sao os menores inteiros que satisfazem a relacao.. mas parti de 2 hipoteses: mesmo numero de chave com cada cientista e qdo temos apenas 4 cientistas, falta apenas 1 chave... da pra generalizar minha ideia pra c cientistas e pra abrir com no minimo m.. abracos, Salhab On 7/25/07, MauZ [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá esse gostaria que me ajudassem, parece mto interessante: Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de segurança, os planos são guardados num cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. a) Qual é o numero mínimo possível de cadeados? b) Na situação do item a, quantas chaves cada um deve ter? Agradeço a quem fizer e da mesma forma a quem tentar, Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra Linear
Alguém tem idéia (sugestão) de como resolver o problema abaixo?!Seja f uma forma bilinear simétrica [f(u,v) = f(v,u)] , não degenerada [o único vetor v tal f(v,u) = 0, para todo u, é o vetor nulo], sobre um espaço vetorial real V tal que existe x em V , difente de zero, tal que f(x,x) = 0. Prove que a imagem da forma Q quadrática associada a f [Q(v) = f(v,v)] é igual a R [conj. dos números Reais].Grato, Francisco. Site: http://aulas.mat.googlepages.com Blog: http://morfismo.blogspot.com _ Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! http://alertas.br.msn.com/
Re:Res:[obm-l] IMO 2007
João, clique é um grupo de competidores onde quaisquer dois entre eles são amigos. Portanto, a competição pode não ser um clique. Abraços, -- Início da mensagem original --- Tentativa ao terceiro problema A própria competição (que encerra todos os competidores) é clique, pois : 1) Há alguns competidores amigos; 2) A amizade é mútua, então, há pelo menos dois amigos na competição. ... [EMAIL PROTECTED] escreveu: - 3. Numa competição de matemática, alguns competidores são amigos. Amizade é sempre mútua. Chame um grupo de competidores de clique se quaisquer dois entre eles são amigos. Em particular, qualquer grupo com menos de dois amigos é um clique. O número de membros de um clique é o seu tamanho. Dado que, nesta competição, o maior tamanho de um clique é par, prove que os competidores podem ser divididos em duas salas tais que o maior tamanho de um clique em uma sala é igual ao maior tamanho de um clique na outra sala. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear
Olá Francisco, realmente, a primeira vez q li me assustei... hehe.. mas vou tentar.. desculpe se eu falar besteira.. temos que: i) f(u,v) = f(v,u) ii) se f(v,u) = 0 para todo u, entao v = 0 (vetor nulo) iii) existe x != 0, tal que f(x,x) = 0 vc quer que prove que o conjunto Q(v) = f(v, v) é igual aos reais. obviamente, Q(v) C R, pois Q(v) = f(v,v) E R... [C = contido, E = pertence] temos que mostrar que para todo r E R, existe v, tal que f(v,v) = r.. isto é: R C Q(v) deste modo, teremos Q(v) = R.. bom, tudo que consegui fazer foi isso (hmm nada?) hehe gostaria de saber se minhas colocacoes estao corretas.. abracos, Salhab On 7/26/07, Francisco [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém tem idéia (sugestão) de como resolver o problema abaixo?! Seja f uma forma bilinear simétrica [f(u,v) = f(v,u)] , não degenerada [o único vetor v tal f(v,u) = 0, para todo u, é o vetor nulo], sobre um espaço vetorial real V tal que existe x em V , difente de zero, tal que f(x,x) = 0. Prove que a imagem da forma Q quadrática associada a f [Q(v) = f(v,v)] é igual a R [conj. dos números Reais]. Grato, Francisco. Site: http://aulas.mat.googlepages.com Blog: http://morfismo.blogspot.com Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! Assine já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: Possível Spam:[obm-l] Dúvida
Com 66 = 2 * 3 * 11, temos que mostrar que n = 43^23 + 23^43 é divisível por 2, 3 e 6. Como 23 e 43 são ímpares, é imediato que as 2 parcelas sao impares, disto decorrendo que a soma n eh par. Assim 2| n. Observemos que 43 = 1 (mod 3) e que 23 = -1 (mod 3). Logo, pelas propriedades das congruencias, 43^23 = 1^23 =1 (mod 3) e 23^43 = (-1)^43 = -1 (mod 3) Somando estas congruencias, concluimos que n = 43^23 + 23^43 = (1 + (-1)) = 0 (mod 3), ou seja, 3|n Agora, observemos que 43 = (-1) (mod 11) e 23 = 1 (mod 11) Logo 43^23 = 1^23 = 1 (mod 11) 23^43 = (-1)^43 = -1 (mod 11). Somando, n = 43^23 + 23^43 = (1 + (-1)) = 0 (mod 11), ou seja 11|n Assim, 66|n Abracos Artur [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Pedro Enviada em: quinta-feira, 1 de novembro de 2001 05:21 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Possível Spam:[obm-l] Dúvida Amigos, ajude-me nesta questão Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66
[obm-l] Dúvida
Amigos, ajude-me nesta questão Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66
Res:[obm-l] IMO 2007
Tentativa ao terceiro problema A própria competição (que encerra todos os competidores) é clique, pois: 1) Há alguns competidores amigos; 2) A amizade é mútua, então, há pelo menos dois amigos na competição. No conjunto clique particular não há amigos, haja vista que a amizade é mútua, e, assim, num conjunto que contém dois amigos como subconjunto, sempre esses amigos existirão. Clique particular também pode ser o conjunto vazio. Pelo primeiro parágrafo e a afirmação de que na competição o maior tamanho de um clique é par, então, a competição possui um número par de jogadores. Com as afirmações acima, provar que: o conjunto competição pode ser divido em duas partes tais que número de jogadores de uma dessas partes (que encerra dois amigos no mínimo) é igual ao número de jogadores da outra parte. Ora, isso já foi provado acima, do 1º parágrafo ao 3º, haja vista que chegamos à conclusão que na competição há número par de jogadores, com no mínimo dois amigos em toda a competição, e, portanto, uma metade que contém esses dois amigos pode ir a uma sala e a outra metade para outra, não importando saber se essa última metade contém amigos ou não, já que ela será sempre clique, pela definição particular ou genérica de clique.[EMAIL PROTECTED] escreveu: -Para: obm-l@mat.puc-rio.brDe: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]Enviado por: [EMAIL PROTECTED]Data: 25/07/2007 12:08Assunto: [obm-l] IMO 2007Saiu agora o primeiro dia, no site do Mathlinks: http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=1cid=16year=2007Traduzindo:1. São dados os números reais a_1, a_2, ..., a_n. Para cada i, 1 = i = n, definad_i = max{a_j, 1 = j = i} - min{a_j, i = j = n}.Seja d = max{d_i, 1 = i = n}.a) Prove que, para todos reais x_1 = x_2 = ... = x_n,max{ |x_i - a_i|, 1 = i = n} = d/2 (*)b) Mostre que existem reais x_1 = x_2 = ... = x_n tais que a igualdade em (*) ocorre.2. Considere cinco pontos A, B, C, D, E tais que ABCD é um paralelogramo e BCED é um quadrilátero cíclico. Seja r uma reta passando por A. Suponha que r corte o interior do segmento DC em F e a reta BC em G. Suponha também que EF = EG = EC. Prove que r é a bissetriz do ângulo DAB.3. Numa competição de matemática, alguns competidores são amigos. Amizade é sempre mútua. Chame um grupo de competidores de clique se quaisquer dois entre eles são amigos. Em particular, qualquer grupo com menos de dois amigos é um clique. O número de membros de um clique é o seu tamanho.Dado que, nesta competição, o maior tamanho de um clique é par, prove que os competidores podem ser divididos em duas salas tais que o maior tamanho de um clique em uma sala é igual ao maior tamanho de um clique na outra sala.[]'sShine Get the free Yahoo! toolbar and rest assured with the added security of spyware protection.http://new.toolbar.yahoo.com/toolbar/features/norton/index.php=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Favor Responder...
Ok, falei, mas não sei se você ouviu... Nehab At 19:14 26/7/2007, you wrote: Obrigado pela atenção... Enviei dois e-mails nessa conta na lista de discussão da obm... Não recebi nenhuma resposta nem vejo meu e-mail na lista... Portanto não sei se estes estão chegando... Caso alguém receba este e-mail favor me responder falando... Arigatô
[obm-l] Favor Responder...
Obrigado pela atenção... Enviei dois e-mails nessa conta na lista de discussão da obm... Não recebi nenhuma resposta nem vejo meu e-mail na lista... Portanto não sei se estes estão chegando... Caso alguém receba este e-mail favor me responder falando... Arigatô
[obm-l] Re:[obm-l] Re: Obm-l-MllGbsmmN, Você Recebeu um novo Cartão.
Poxa Júnior, inicialmente o vírus tinha ido apenas para os assinantes da lista. Sua intenção era boa, mas você acaba de disseminá-lo para o público em geral, pois a lista fica online no majordomo... (era só você publicar o aviso SEM o endereço do vírus) Abraços, -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: OBM obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 25 Jul 2007 12:56:37 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Re: Obm-l-MllGbsmmN, Você Recebeu um novo Cartão. Cuidado galera, isso é um vírus. Eu pensei que a lista conseguia barra esse tipo de ataque tão trivial hoje em dia. Mas fica o aviso. É um .exe UOL [EMAIL PROTECTED], UOL [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá , Carol lhe enviou um cartão. Para visualizá-lo, clique no link abaixo: http://endereço_do_vírus Este cartão ficará disponível por 15 dias. Envie um cartão para um amigo. Clique no seguinte endereço: http://www.uol.com.br/cartoes __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br / \ /| |'-. .\__/ || | | _ / `._ \|_|_.-' | / \__.`=._) (_ Júnior |/ ._/ || |'. `\ | | Desenvolvedor de Softwares ;/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/| |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED] ' `-` ' Msn:[EMAIL PROTECTED] Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
