[obm-l] Re: surpresa no R4
Up --- Em sex, 3/4/09, nilton rr nilton1...@yahoo.com.br escreveu: De: nilton rr nilton1...@yahoo.com.br Assunto: surpresa no R4 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 3 de Abril de 2009, 17:22 Aos amigos da lista, estava resolvendo alguns exercícios de álgebra linear, e me deparei com o seguinte: Quais as possiveis interseções de dois planos no R4? Após os cálculos vi que pode ser até um ponto, refiz os cálculos e não encontrei erro, será realmente isso verdade? aguardo a opinião amigos, grato a todos. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Problema!!
Ola Antonio e demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) E bem conhecido que um numero natural pode ser escrito como soma de dois quadrados se, e somente se, na sua decomposicao em fatores primos os fatores da forma 4N+3 tenham expoente par . Como 96=(2^5)*3, ve-se que o fator primo 3 ( que e da forma 4N+3 ) nao tem expoente par. Logo, o numero 96 nao pode ser representado como soma de dois quadrados. Este tema da representacao de numeros como soma de dois quadrados e bem conhecido e, em geral, abordado nos cursos iniciais sobre teoria dos numeros. um abraco a todos PSR, 21304091042 Um n 2009/3/24 Antonio Manuel Castro del Rio antoniomcdel...@gmail.com: Ola, boa noite. Preciso de ajuda para resolver um problema. COMO FAZER 96 VIRAR UMA SOMA DE DOIS QUADRADOS? Desde já, obrigado Antonio del Rio = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
É interessante observar que sem conhecer a trajetória, pode-se calcular o espaço percorrido por cada ponto: 2.d/3 . --- Em sex, 10/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu: De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Um probleminha bem interessante Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 15:00 Tem um pouco de física nesse problema também. -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar. Algém conseguiu resolver? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] conjectura com numeros de Fibonacci
Sauda,c~oes,
Numa troca recente de mensagens com o
prof. Rousseau ele me mandou o problema
abaixo:
I have a problem for you. This was communicated to me by
Marko Riedel about a week ago, and I still haven’t found a solution.
A coin-tossing game is played as follows. The player starts with a
fortune of 0 and tosses a coin repeatedly. On each toss, his
fortune is increased by 1 if he gets “heads” and is reduced by a
factor of ½ if he gets a “tail.” After the nth toss, what is the number
of possible values for his fortune? Thus
Coin tossSet of fortunes and its cardinality
0 {0}, || = 1 = 2-1
1 {0,1}, ||=2 = 3-1
2 {0,1/2,1,2}, ||=4=5-1
3 {0,1/4,1/2,1,3/2,2,3},||=7=8-1
It is conjectured that the number of possible fortunes is F_{n+3}-1.
Let A_n denote the set of possible fortunes after n tosses, and
let B_n = A_n + 1 and C_n = ½ A_n (using what I hope is obvious notation).
Then A_{n+1} = B_n \cup C_n so |A_{n+1}| =|B_n|+|C_n|-|B_n \cap C_n|,
and if the conjecture is true then F_{n+4}-1 = 2(F_{n+3}-1)-|B_n \cap C_n|,
so |B_n \cap C_n| = 2(F_{n+3}-1)-F_{n+4} + 1 = F_{n+1}-1 .
Thus it would suffice to exhibit a bijection from A_{n-1} to B_n \cap C_n.
Example (n=1): |A_0|= 1 = |B_2 \cap C_2| (I hope the indices are OK;
I am writing this without the benefit of any source.)
Eu acho que ele quis dizer
to exhibit a bijection from A_{n-2} to B_n \cap C_n.
Alguém sabe como fazer? A conjectura é verdadeira?
[]'s
Luís
_
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[obm-l] Re: [obm-l] demonstração Geom Plana
Olá Thelio de demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) As medianas de um triangulo qualquer se encontram no centro de gravidade do triangulo, tambem chamado de baricentro. Esse baricentro, portanto, divide cada mediana em duas partes, a saber : a primeira parte, que vai do vertice onde se origina a mediana ate o baricentro, a segunda, que vai do baricentro até o ponto medio do lado oposto. E bem sabido que a primeira parte tem medida igual ao dobro da segunda ... Assim, chamando de Ma a medida da mediana que termina no ponto medio do lado a, segue que : (2/3)*(Ma) + (2/3)*(Mb) c( pela desigualdade triangular ) (2/3)*(Ma) + (2/3)*(Mc) b( idem ) (2/3)*(Mb) + (2/3)*(Mc) a( idem ) Somando tudo : Ma + Mb + Mc (3/4)*(a+b+c) Um abraco a todos PSR, 21304091430 2009/3/13 Thelio Gama teliog...@gmail.com: Caros professores gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração: Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4 do perímetro Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui. Obrigado Thelio = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Eureka 29 p. 25
Sauda,c~oes,
Seja (ir no site da Eureka na obm pra ver
o resultado do código LaTeX abaixo)
S_n(j) := \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k^j 4^k}{\binom{2k}{k}}
Na Eureka 29 p. 25 vejo o seguinte problema:
calcular \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k^4 4^k}{\binom{2k}{k}}
Ou seja, o problema pede S_n(4). Usando somação por
partes, calculei S_n(0), S_n(1) e S_n(2). Poderia calcular
S_n(3) e em seguida S_n(4). Mas parei pois as contas
ficavam muito grandes.
Gostaria de ver a solução de S_n(4) pelo método mostrado
no artigo.
[]'s
Luís
_
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Re: [obm-l] Combinatoria Pre-IME
Silas, Primeiro veja de quantos modos os rapazes podem sentar: 4! = 24. Chame os rapazes de R1, R2, R3, R4, Agora, cada moça só pode sentar entre os rapazes (ou à esquerda do primeiro ou à direita do último). ---R1 --- R2 --- R3 --- R4 Deste modo, há 5 lugares para a primeira moça sentar. Uma vez ocupada esta posição, restam 4 possíveis lugares para a segunda ocupar. Uma vez sentada a segunda moça, resta 3 posições (lugares) nos quais a última moça pode ocupar. Assim, o total de possibilidades é 4! x 5 x 4 x 3 = 24 x 60 = 1440. Benedito - Original Message - From: Silas Gruta To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 13, 2009 3:48 PM Subject: [obm-l] Combinatoria Pre-IME Boa tarde a todos, Tenho um aluno, cujo sonho é se formar pelo IME, extraordinariamente aplicado, uma verdadeira raridade numa escola pública! Faço o que posso para ajudá-lo, embora preparar alunos para o IME não seja, nem de perto, a minha especialidade. Bem, ele me apresentou um problema retirado de uma apostila de um curso Pré-IME/ITA de São Paulo, mas confesso que não estou conseguindo resolvê-lo mesmo depois de 13 dias de tetativas infrutíferas! Agradeço se puderem dar uma ajuda: Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que: a) duas moças nunca fiquem sentadas juntas; RESPOSTA: 1440 b) ... A pergunta (b) também é bem difícil, mas, se for o caso, apresento outro dia. Obrigado! -- Silas Gruta
[obm-l] Combinatoria Pre-IME
Boa tarde a todos, Tenho um aluno, cujo sonho é se formar pelo IME, extraordinariamente aplicado, uma verdadeira raridade numa escola pública! Faço o que posso para ajudá-lo, embora preparar alunos para o IME não seja, nem de perto, a minha especialidade. Bem, ele me apresentou um problema retirado de uma apostila de um curso Pré-IME/ITA de São Paulo, mas confesso que não estou conseguindo resolvê-lo mesmo depois de 13 dias de tetativas infrutíferas! Agradeço se puderem dar uma ajuda: *Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que:* * a) duas moças nunca fiquem sentadas juntas; RESPOSTA: 1440* * b) ... * A pergunta (b) também é bem difícil, mas, se for o caso, apresento outro dia. Obrigado! -- Silas Gruta
Re: [obm-l] Re: surpresa no R4
Já foi respondido. - Leandro. 2009/4/13 nilton rr nilton1...@yahoo.com.br Up --- Em *sex, 3/4/09, nilton rr nilton1...@yahoo.com.br* escreveu: De: nilton rr nilton1...@yahoo.com.br Assunto: surpresa no R4 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 3 de Abril de 2009, 17:22 Aos amigos da lista, estava resolvendo alguns exercícios de álgebra linear, e me deparei com o seguinte: Quais as possiveis interseções de dois planos no R4? Após os cálculos vi que pode ser até um ponto, refiz os cálculos e não encontrei erro, será realmente isso verdade? aguardo a opinião amigos, grato a todos. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/ -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Muito obrigado ,joao.Entendi a ideia e isso é o principal,mas tenho duvidas em alguns detalhes.Por q ´´0 e 5 podem ser claramente eliminados´´?E na soma 1+4=5,se os quadrados teminam em 1 e 4,os numeros terminam em 1 ou 9 e 2 ou 8,não?Usando o mesmo raciocinio( a expressão é multipla de 4 e se é multipla de 5 tbm é de 25)eu faria mais ´´tentativas´´ do q as 5 apresentadas.No caso,1+4=5(1x2 diferente de 0 ou 5,1x8 diferente de 0 ou 5,9x2 termina em 8 tbm diferente de 0 ou 5 e 9x8 termina em 2,idem)Não entendi bem?Tais´´tentativas´´são desnecessárias? Abraço. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sun, 12 Apr 2009 16:50:58 -0300 Bem Marcone estava rabiscando um pouco, perdi uns minutinhos e consegui demostrar, a explicacao é muito facil, abaixo. Temos que para x2 + y2 + xy ser divisivel por 10, a expressao é par, consequentemente x e y sao pares (se os 2 forem impares o resultado é impar, se um for impar o resultado tbm é impar). Consequentemente fazendo x=2a e y=2b - x2 = 4a2, y2 = 4b2, xy = 4ab, para a,b inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 4. Para explicar que se ela é multipla de 5 tbm é de 25 é um pouco mais complicado, vamos ver... O ultimo digito de um quadrado pode ser: 0,1,4,5,6,9. Para o quadrado ser 0, o numero acaba com 0 1 - 1,9 4 - 8 5 - 5 6 - 4,6 9 - 7 O 0 e o 5 podem ser claramnete eliminados. Sobraram 1,4,6,9 Ultimo digito das somas possiveis entre os quadrados perfeitos e o produto entre eles (para ser multiplo de 5: 1+4 - 5 eliminado (1x4 diferente de 0 ou 5) 1+6 - 7 eliminado (1x6 diferente de 3 ou 8) 1+9 = 10 (0)eliminado (1x9 diferente de 0 ou 5) 2+6 = 10 (0) eliminado (2x6 (2) diferente de 0 ou 5) 6,9 = 15 (5) eliminado (6x9 (4) diferente de 0 ou 5) Ou seja, para quaisquer numeros nao multiplos de 5 nao ha solucao inteira positiva para a equacao x2 + y2 + xy = 10z Assim, x e y sao multiplos de 5. Consequentemente fazendo x=5c e y=5d - x2 = 25c2, y2 = 25d2, xy = 25cd, para c,d inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 25. Vimos que x2 + y2 + xy é multiplo de 4 e 25, ou seja, tambem é multiplo de 4x25 = 100. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sun, 12 Apr 2009 13:10:46 + Oi,nehab,o problema correto é se xx+yy+xy é divisível por 10 então é divisível por 100.Desculpe e obrigado. Date: Sat, 11 Apr 2009 20:29:19 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema OBM 3a fase Oi, Marcone, Acho que este problema tem um quê de pegadinha, pois a menos que eu esteja MUITO distraído, a expressão Z = x^2 + xy + y^2 só será divisível por 5 se x e y também o forem e, neste caso, o problema fica muito simples... A menos que seja exatamente ESTA a sacação que quem propôs o problema deseja que se prove. Então, taí uma possível dica... Abraços, Nehab marcone augusto araújo borges escreveu: alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 From: fato...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sat, 11 Apr 2009 15:32:31 +0300 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!= Instruções para entrar na
Re: [obm-l] Combinatoria Pre-IME
Magistral, Benedito! Muito obrigado! Bem, se não for muito inconveniente, vou postar a pergunta (b), que também está me dando uma surra: *Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que:* * a) ...* * b) duas moças (e não mais do que duas moças) estejam sentadas juntas.* *Resp.: 2880* 2009/4/13 Benedito b...@ccet.ufrn.br Silas, Primeiro veja de quantos modos os rapazes podem sentar: 4! = 24. Chame os rapazes de R1, R2, R3, R4, Agora, cada moça só pode sentar entre os rapazes (ou à esquerda do primeiro ou à direita do último). ---R1 --- R2 --- R3 --- R4 Deste modo, há 5 lugares para a primeira moça sentar. Uma vez ocupada esta posição, restam 4 possíveis lugares para a segunda ocupar. Uma vez sentada a segunda moça, resta 3 posições (lugares) nos quais a última moça pode ocupar. Assim, o total de possibilidades é 4! x 5 x 4 x 3 = 24 x 60 = 1440. Benedito - Original Message - *From:* Silas Gruta silasgr...@gmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Monday, April 13, 2009 3:48 PM *Subject:* [obm-l] Combinatoria Pre-IME Boa tarde a todos, Tenho um aluno, cujo sonho é se formar pelo IME, extraordinariamente aplicado, uma verdadeira raridade numa escola pública! Faço o que posso para ajudá-lo, embora preparar alunos para o IME não seja, nem de perto, a minha especialidade. Bem, ele me apresentou um problema retirado de uma apostila de um curso Pré-IME/ITA de São Paulo, mas confesso que não estou conseguindo resolvê-lo mesmo depois de 13 dias de tetativas infrutíferas! Agradeço se puderem dar uma ajuda: *Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que:* * a) duas moças nunca fiquem sentadas juntas; RESPOSTA: 1440* * b) ... * A pergunta (b) também é bem difícil, mas, se for o caso, apresento outro dia. Obrigado! -- Silas Gruta -- Silas Gruta
RE: [obm-l] Combinatoria Pre-IME
Olá, silas. São 3 possibilidades: moças separadas[i], duas (e não mais do que duas) moças juntas[ii], tres moças juntas[iii]. Sabemos que : 1) o total = [i] + [ii] + [iii] = 7! 2) [i] = 1440. Ora, [iii] é mole. Junte as moças e as trate como um 'elemento' só; agora são 5 elementos, totalizando 5! arranjos possíveis; permute as moças entre si: 3! (isto é, para cada arranjo acima, existem 3! = 6 maneiras de as moças se sentarem) 3) [iii] = 3! * 5! De '1)', '2)' e '3)', [ii] = total - [i] - [iii] = (7*6)*5! - (12)*5! - (6)*5! = 24*120 = 2880 (o problema é que, usando essa solução, se o cara - ou a moça - erra a primeira, erra também a segunda) Abraços, Pedro Lazéra Cardoso Date: Mon, 13 Apr 2009 22:33:40 -0300 Subject: Re: [obm-l] Combinatoria Pre-IME From: silasgr...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Magistral, Benedito! Muito obrigado! Bem, se não for muito inconveniente, vou postar a pergunta (b), que também está me dando uma surra: Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que: a) ... b) duas moças (e não mais do que duas moças) estejam sentadas juntas. Resp.: 2880 2009/4/13 Benedito b...@ccet.ufrn.br Silas, Primeiro veja de quantos modos os rapazes podem sentar: 4! = 24. Chame os rapazes de R1, R2, R3, R4, Agora, cada moça só pode sentar entre os rapazes (ou à esquerda do primeiro ou à direita do último). ---R1 --- R2 --- R3 --- R4 Deste modo, há 5 lugares para a primeira moça sentar. Uma vez ocupada esta posição, restam 4 possíveis lugares para a segunda ocupar. Uma vez sentada a segunda moça, resta 3 posições (lugares) nos quais a última moça pode ocupar. Assim, o total de possibilidades é 4! x 5 x 4 x 3 = 24 x 60 = 1440. Benedito - Original Message - From: Silas Gruta To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 13, 2009 3:48 PM Subject: [obm-l] Combinatoria Pre-IME Boa tarde a todos, Tenho um aluno, cujo sonho é se formar pelo IME, extraordinariamente aplicado, uma verdadeira raridade numa escola pública! Faço o que posso para ajudá-lo, embora preparar alunos para o IME não seja, nem de perto, a minha especialidade. Bem, ele me apresentou um problema retirado de uma apostila de um curso Pré-IME/ITA de São Paulo, mas confesso que não estou conseguindo resolvê-lo mesmo depois de 13 dias de tetativas infrutíferas! Agradeço se puderem dar uma ajuda: Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que: a) duas moças nunca fiquem sentadas juntas; RESPOSTA: 1440 b) ... A pergunta (b) também é bem difícil, mas, se for o caso, apresento outro dia. Obrigado! -- Silas Gruta -- Silas Gruta _ Novo Windows Live: Messenger 2009 e muito mais. Descubra! http://www.windowslive.com.br
