[obm-l] [obm-l] Questões de Mat. Básica
1) Numa certa cidade, foi adotado o seguinte sistema de rodízio de carros: duas vezes por semana, de segunda a sexta, cada carro fica proibido de circular, de acordo com o final de sua placa (alg. das unidades). O número médio de finais de placa proibidos diferentes para cada dia de proibição é: A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 E) indefinido 2) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo? A) 10% B) 15% C) 20% D) 25% E) 36% 3) O número de soluções reais da equação x^2 = 2^x é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 P.S.: Nessa questão aí eu só achei 2 soluções: x=2 ou x=4 Gostaria de saber mais ou menos como funciona a lista. Estou me preparando para o vest. do ITA, portanto gostaria de participar da lista mandando outros tipos de exercícios (de Matemática, é claro). Eu poderia fazer isso ou seria muito inconveniente? Abraços!
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Questões de Mat. Básica
Luciano, teoricamente esta lista tem por objetivo a discussão de problemas olímpicos (afinal de contas, veja o nome da lista), e não a resolução de lista de exercícios. Questões mais abertas, que exigem mais reflexão do que simplesmente cálculo bobo, são sempre bem recebidas pela maioria. Infelizmente, nos últimos tempos a lista tem se transformado nisso. Há pessoas que só fazem isso por aqui, colocam suas listas de exercícios para que os outros resolvam, sem nem sequer colocar uma mensagem (começa com a lista de exercícios e assina em baixo, com um apelido). Finalmente, muitos dos problemas colocados aqui já foram discutidos, e estão nos arquivos da lista. Claro que se o intuito for promover uma nova abordagem a um problema antigo, isso é fantástico. Agora, só pra saber a resposta, ou para discutir a mesma coisa, seria preferível consultar os arquivos. Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/29 Luciano de Siqueira Pimentel luciano@gmail.com 1) Numa certa cidade, foi adotado o seguinte sistema de rodízio de carros: duas vezes por semana, de segunda a sexta, cada carro fica proibido de circular, de acordo com o final de sua placa (alg. das unidades). O número médio de finais de placa proibidos diferentes para cada dia de proibição é: A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 E) indefinido 2) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo? A) 10% B) 15% C) 20% D) 25% E) 36% 3) O número de soluções reais da equação x^2 = 2^x é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 P.S.: Nessa questão aí eu só achei 2 soluções: x=2 ou x=4 Gostaria de saber mais ou menos como funciona a lista. Estou me preparando para o vest. do ITA, portanto gostaria de participar da lista mandando outros tipos de exercícios (de Matemática, é claro). Eu poderia fazer isso ou seria muito inconveniente? Abraços!
Re: [obm-l] Quanto Apostar ?
2009/4/28 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com:
Ola Bernardo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos)
Voce gostou do problema ? Que bom ! Fico contente por isso. Vou ficar
aguardando que voce publique aqui nesta nossa lista a sua solucao.
Bom, aí vai uma idéia do problema. Está bem (beem) desorganizado,
mas eu acho que é a melhor coisa a fazer para mostrar como a gente
pode pensar no problema :)
Comece vendo que, para a máquina te devolver alguma coisa, você tem
que apostar suficientemente alto. Afinal de contas, se você der só
0.1, a máquina calcula B = 0.9 X, e paf, você perdeu. Resultado,
aposte pelo menos 0.5 + um pouquinho (repare que, da forma como o
Paulo escreveu, dar 0.5 exatamente faz B = 0.5 que não é estritamente
menor do que X = 0.5).
O Paulo ajudou bastante escrevendo o algoritmo pra nós todos de forma
extremamente clara, o que permite montar uma recorrência :
a_{n+1} = x_n
x_{n+1} = a_n - x_n
e a coisa continua se b_n = a_n - x_n x_n, ou seja, a_n 2 * x_n
(repare que aqui temos de novo o primeiro resultado do 0.5 !)
Bom, recorrências de segunda ordem cheiram sempre a Fibonacci,
principalmente quando os coeficientes são sempre 1 ou -1. Bom, daí eu
montei a matriz de mudança de índices :
0 1
1 -1
e calculei algumas potências:
1 -1
-1 2
-1 2
2 -3
2 -3
-3 5
Bom, aqui estava claro que a solução era uma sequência de Fibonacci,
com sinais trocados. Um jeito de provar é fazer por indução, mas um
modo muito mais legal é ver que essa sequência em questão também
satisfaz uma recorrência de segunda ordem (multiplicar por um (-1)^n
só muda o sinal das raízes !) e portanto, se duas recorrências de 2a
ordem coincidem em dois termos, elas coincidem *sempre*. Ou seja,
provamos sem precisar fazer contas. Legal. Os coeficientes da matriz
de passagem para n termos adiante é, portanto :
G_{n-1} G_n
G_nG_{n+1}
onde G_n = -(-1)^n F_n, F_n a sequência de Fibonnaci clássica F_0 = 0,
F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2 e assim por diante, e a gente tem (por
exemplo, pra verificar o (-1)^n) G_3 = 2 = F_3, portanto coincide para
n ímpar, por isso o -(-1)^n.
Esse problema surgiu como uma questao secundaria na abordagem de um
tema bastante distante do tipo habitual de problemas tratados aqui. A
roupagem original, formal, era muito sisuda. Foi entao que eu lhe dei
esta apresentacao contextualizada em uma maquina de apostas.
Vou falar um pouquinho sobre o problema :
Seja 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... a sequencia de Fibonacci. Para n par
considere o intervalo In=(Fn/Fn+1, Fn-1/Fn). Se n for impar, considere
In=(Fn-1/Fn,Fn/Fn+1). Usando as propriedades conhecidas desta
sequencia, e facil ver que I1 C I2 C I3 C ... C In C In+1 C ..., onde
C significa ESTA CONTIDO. Alem disso, e possivel provar o seguinte :
Daí, eu pensei nos intervalos encaixados do Paulo (mas a posteriori)
e resolvendo a recorrência e impondo condição de continuar (a_n
2x_n), a gente obtém
(a_n, x_n) = (-1)^n (F_{n-1} - F_n * x , F_{n+1} x - F_n)
logo
(-1)^n (F_{n-1} - F_n * x ) (-1)^n 2(F_{n+1}x - F_n)
(-1)^n (F_{n-1} + 2 F_n) (-1)^n (2F_{n+1} + F_n) x
e lembrando da definição dos fibonacci :
(-1)^n (F_n + F_{n+1}) (-1)^n (F_{n+1} + F_{n+2}) x
(-1)^n F_{n+2} (-1)^n F_{n+3}x
que dá, pra n=0, realmente 1 2x, e depois para n=1, 3x 2. Ufa, deu
certo! E ainda mais, coincide com o que faz o Paulo :
para n par, é x F_{n+2}/F_{n+3}, para n ímpar, é x F_{n+2}/F_{n+3}
(basta subtrair dois e juntar as equações em pares)
Se X esta em In entao a maquima cospe ao menos N moedas
Daí, eu fui pro computador :) Um programinha rapidinho em C me
permitiu implementar o algoritmo (não com precisão infinita, o que é
ainda melhor para ele terminar, já que vai cair cedo ou tarde fora do
intervalo que converge pra phi =( \sqrt(5) - 1 )/ 2 o número de ouro
!) e ver que nunca ia dar positivo... Porque para valores como 0.618
(que já é bem perto do valor certo) ele dá um prejuízo de -0.381940.
Calcular o retorno não é algo fácil (tem que saber em qual intervalo o
x está), mas eu esperava que, quando a máquina desse infinitas moedas
(ou seja, se a gente fornecesse uma de valor = phi) fosse um dos
possíveis casos de funcionar. De volta ao papel :
Como a_0 = 1, x_0 = phi, b_0 = 1 - phi = phi^2 (isso é muito bom pra
facilitar as contas) e daí a_1 = phi, x_1 = phi^2 e portanto b_1 = phi
* b_0 (já que a_1 e x_1 são respectivamente phi*a_0 e phi*x_0), logo
b_1 = phi^3, e daí dá pra ver que b_n = phi^{n+2}. Agora, é só somar a
PG :
soma phi^{n+2}^2 = phi^4 / (1 - phi^2) = phi^4 / phi (já que 1 = phi +
phi^2 !) = phi^3. Mas phi^3 phi 1, logo a máquina cospe menos do
que a gente botou, exceto que ela cospe infinitamente.
Daí a minha resposta querendo que a máquina cuspa B e não B^2,
porque se ela cuspisse B, a soma da PG seria
soma phi^{n+2} = phi^2 / (1 - phi) = phi^2 / phi^2 = 1
(já que muda o termo inicial e a razão também !)
e neste caso, temos que a máquina devolve realmente mais grana.
Reparem agora que, estando
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Questões de Mat. B ásica
Ola Bruno e demais colegas desta lista ... OBM-L, A mensagem do Bruno e muito boa. Este espaco e uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA, nao e lugar para se propor problemas de vestibulares ou concursos publicos. Digo isso, em primeiro lugar, porque esse era o objetivo original deste ambiente, conforme pode se ver na pagina da OBM. Se o Prof Nicolau nao alterou este objetivo, ele continua o mesmo ... Alem disso, estudantes de concursos e vestibulares tem inumeros outros espacos na Internet para colocarem e discutirem seus problemas especificos, ao contrario dos estudantes que se preparam para Olimpiadas, com muito poucas opcoes. Ha alguns anos, estudantes de olimpiadas de diversas partes do Mundo assistiam as nossas discussoes. Eu receibia mensagens de alunos de paises da America do Sul, dos EUA e da Europa interessados nos nossos problemas, discussoes e solucoes. Me lembro que na traducao dos problemas russos : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr/ Eu precisei disponibilizar a traducao na pagina do Prof Nicolau, tantos e tao diversificados eram os pedidos. E o que estamos vendo agora ? A nossa tao estimada lista cheia de problemas triviais, altamente distantes do ideal olimpico e verdadeira fonte de solucoes para alunos preguicosos que nao querem pensar. Isso afugenta os alunos serios, os Prof's competentes e muitas outras pessoas que poderiam estar colocando aqui belas questoes e belas solucoes, ajudando assim aquele nosso amigo de um estado distante, que gostaria de se preparar para as Olimpiadas de Matematica e que nao dispoe de locais de treinamento proximo as suas casas. A maneira mais sabia de combater estas coisas, eu penso, e nao responder a estas questoes, desestimulando assim aqueles que estao, conscientes ou nao, desvirtuando este espaco de seu belo ideal original. Um abraco a Todos PSR, 42904090841 EM TEMPO : O Euler nos ensinou a calcular a soma dos inversos dos quadrados dos numeros naturais. Nomeadamente ele mostrou que : 1 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + ... = (pi)^2 /6 Mas tambem e verdade que ele tentou somar os inversos dos cubos dos numeros naturais sem sucesso. Parece mesmo que esta soma ainda hoje e um problema em aberto. Pois bem. Expresse T = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + ... Como uma soma de numeros binomiais na qual NENHUM dos numeros binomias aparece em denominador ou elevado a potencias diferentes de 1. 2009/4/29 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com: Luciano, teoricamente esta lista tem por objetivo a discussão de problemas olímpicos (afinal de contas, veja o nome da lista), e não a resolução de lista de exercícios. Questões mais abertas, que exigem mais reflexão do que simplesmente cálculo bobo, são sempre bem recebidas pela maioria. Infelizmente, nos últimos tempos a lista tem se transformado nisso. Há pessoas que só fazem isso por aqui, colocam suas listas de exercícios para que os outros resolvam, sem nem sequer colocar uma mensagem (começa com a lista de exercícios e assina em baixo, com um apelido). Finalmente, muitos dos problemas colocados aqui já foram discutidos, e estão nos arquivos da lista. Claro que se o intuito for promover uma nova abordagem a um problema antigo, isso é fantástico. Agora, só pra saber a resposta, ou para discutir a mesma coisa, seria preferível consultar os arquivos. Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/29 Luciano de Siqueira Pimentel luciano@gmail.com 1) Numa certa cidade, foi adotado o seguinte sistema de rodízio de carros: duas vezes por semana, de segunda a sexta, cada carro fica proibido de circular, de acordo com o final de sua placa (alg. das unidades). O número médio de finais de placa proibidos diferentes para cada dia de proibição é: A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 E) indefinido 2) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo? A) 10% B) 15% C) 20% D) 25% E) 36% 3) O número de soluções reais da equação x^2 = 2^x é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 P.S.: Nessa questão aí eu só achei 2 soluções: x=2 ou x=4 Gostaria de saber mais ou menos como funciona a lista. Estou me preparando para o vest. do ITA, portanto gostaria de participar da lista mandando outros tipos de exercícios (de Matemática, é claro). Eu poderia fazer isso ou seria muito inconveniente? Abraços! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Ola Pessoal, O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio. Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui nesta. Um aspecto curioso deste tema e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta, numa ordem implicita. Assim : (a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n E nos falamos com naturalidade no primeiro termo da expansao, no segundo termo e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de b ( ou de a) que funcionam como um indice. Inclusive os livros falam em algo como, excontre o decimo termo da expansao de (2x-3y)^15, implicitamente admitindo este tipo de ordenacao. E na expancao, digamos, de um trinomio do tipo (2x-3y+y)^15 ? Quem e o decimo termo ? Aqui, NA AUSENCIA DE UMA REPRESENTACAO CONSISTENTE, uma tal questao e INDETERMINADA, pois precisamos acrescentar mais algumas informacoes. Seria possivel uma representacao consistente ? Uma maneira de olhar as coisas que preservasse a visao habitual e lhe acrescentasse alguma novidade ? Eu lembro que a ordem habitual no Binomio de Newton segue o triangulo de Pascal ... Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) ... Onde Bi(N,P)=N!/( (P!)*( (N-P)! ) ) Portanto, usando o triangulo de Pascal ( preservando sua principais leis e propriedades ) e possivel encontrar uma representacao consistente, um lugar onde colocar os termos da expansao de (X1 + X2 + + Xm)^N ? Note que uma tal construcao significaria, em parte ( existe uma outra parte, mais dificil ), ver o famoso triangulo pascalino apenas como a ponta de um iceberg, descortinando parte da superestrutura que lhe da suporte ... Entao : como e a parte imersa do iceberg ? Um Abraco a Todos ! PSR, 42904091050 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quanto Apostar ?
Ola Bernardo e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Parabens pela sua mensagem ! Muito boa ! Ela se coaduna perfeitamente
ao espirito original desta lista !
Quanto ao B, eu usei B^2 porque assim era no problema original :
eu apenas traduzi para uma linguagem elementar, adeguada para ser
publicada aqui. O fato de nunca haver encontro significa para mim que
as orbitas nunca atingem um ponto de equilibrio, mas isso e outra
historia ...
O caminho que eu segui foi diferente. Apos caracterizar - como voce
fez - os intervalos In eu passei a caracterizacao do formato das
moedas cuspidas. Descobri que a N-esima moeda cuspida tem o formato :
Mn = (Fn)^2 - 2*Fn*Fn+1*X + ((Fn+1)^2)*(X^2)
onde Fn e o N-esimo termo da sequencia de Fibonacci. Daqui,
considerando que nesta sequencia (F1)^2 + (F2)^2 + ... + (Fn)^2 =
(Fn)*(Fn+1), a soma M1 + ... + Mn fica calculavel
e passivel de ser comparda com os valores presentes em In.
Vamos trabalhar para subir o nivel das discussoes.
Um abracao pra voce, tambem.
PSR, 42904091432
2009/4/29 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
2009/4/28 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com:
Ola Bernardo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos)
Voce gostou do problema ? Que bom ! Fico contente por isso. Vou ficar
aguardando que voce publique aqui nesta nossa lista a sua solucao.
Bom, aí vai uma idéia do problema. Está bem (beem) desorganizado,
mas eu acho que é a melhor coisa a fazer para mostrar como a gente
pode pensar no problema :)
Comece vendo que, para a máquina te devolver alguma coisa, você tem
que apostar suficientemente alto. Afinal de contas, se você der só
0.1, a máquina calcula B = 0.9 X, e paf, você perdeu. Resultado,
aposte pelo menos 0.5 + um pouquinho (repare que, da forma como o
Paulo escreveu, dar 0.5 exatamente faz B = 0.5 que não é estritamente
menor do que X = 0.5).
O Paulo ajudou bastante escrevendo o algoritmo pra nós todos de forma
extremamente clara, o que permite montar uma recorrência :
a_{n+1} = x_n
x_{n+1} = a_n - x_n
e a coisa continua se b_n = a_n - x_n x_n, ou seja, a_n 2 * x_n
(repare que aqui temos de novo o primeiro resultado do 0.5 !)
Bom, recorrências de segunda ordem cheiram sempre a Fibonacci,
principalmente quando os coeficientes são sempre 1 ou -1. Bom, daí eu
montei a matriz de mudança de índices :
0 1
1 -1
e calculei algumas potências:
1 -1
-1 2
-1 2
2 -3
2 -3
-3 5
Bom, aqui estava claro que a solução era uma sequência de Fibonacci,
com sinais trocados. Um jeito de provar é fazer por indução, mas um
modo muito mais legal é ver que essa sequência em questão também
satisfaz uma recorrência de segunda ordem (multiplicar por um (-1)^n
só muda o sinal das raízes !) e portanto, se duas recorrências de 2a
ordem coincidem em dois termos, elas coincidem *sempre*. Ou seja,
provamos sem precisar fazer contas. Legal. Os coeficientes da matriz
de passagem para n termos adiante é, portanto :
G_{n-1} G_n
G_n G_{n+1}
onde G_n = -(-1)^n F_n, F_n a sequência de Fibonnaci clássica F_0 = 0,
F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2 e assim por diante, e a gente tem (por
exemplo, pra verificar o (-1)^n) G_3 = 2 = F_3, portanto coincide para
n ímpar, por isso o -(-1)^n.
Esse problema surgiu como uma questao secundaria na abordagem de um
tema bastante distante do tipo habitual de problemas tratados aqui. A
roupagem original, formal, era muito sisuda. Foi entao que eu lhe dei
esta apresentacao contextualizada em uma maquina de apostas.
Vou falar um pouquinho sobre o problema :
Seja 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... a sequencia de Fibonacci. Para n par
considere o intervalo In=(Fn/Fn+1, Fn-1/Fn). Se n for impar, considere
In=(Fn-1/Fn,Fn/Fn+1). Usando as propriedades conhecidas desta
sequencia, e facil ver que I1 C I2 C I3 C ... C In C In+1 C ..., onde
C significa ESTA CONTIDO. Alem disso, e possivel provar o seguinte :
Daí, eu pensei nos intervalos encaixados do Paulo (mas a posteriori)
e resolvendo a recorrência e impondo condição de continuar (a_n
2x_n), a gente obtém
(a_n, x_n) = (-1)^n (F_{n-1} - F_n * x , F_{n+1} x - F_n)
logo
(-1)^n (F_{n-1} - F_n * x ) (-1)^n 2(F_{n+1}x - F_n)
(-1)^n (F_{n-1} + 2 F_n) (-1)^n (2F_{n+1} + F_n) x
e lembrando da definição dos fibonacci :
(-1)^n (F_n + F_{n+1}) (-1)^n (F_{n+1} + F_{n+2}) x
(-1)^n F_{n+2} (-1)^n F_{n+3}x
que dá, pra n=0, realmente 1 2x, e depois para n=1, 3x 2. Ufa, deu
certo! E ainda mais, coincide com o que faz o Paulo :
para n par, é x F_{n+2}/F_{n+3}, para n ímpar, é x F_{n+2}/F_{n+3}
(basta subtrair dois e juntar as equações em pares)
Se X esta em In entao a maquima cospe ao menos N moedas
Daí, eu fui pro computador :) Um programinha rapidinho em C me
permitiu implementar o algoritmo (não com precisão infinita, o que é
ainda melhor para ele terminar, já que vai cair cedo ou tarde fora do
intervalo que converge pra phi =( \sqrt(5) - 1 )/ 2 o número de ouro
!) e ver que nunca ia
[obm-l] problema interessante!!!
Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let in the exterior the equilateral triangle ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments AB,AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] produtos notaveis
Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale?
