[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida de inter pretação
*HUMILDEMENTE PEÇO DESCULPAS AOS MEMBROS DA LISTA POR FUGIR AOS PROPÓSITOS DA MESMA, E AGRADEÇO A BOA VONTADE DO PROF. PALMERIM. DORAVANTE TOMAREI MAIS CUIDADO AO APRESENTAR PROBLEMAS PARA QUE SEJAM PERTINENTES AOS PROPÓSITOS DA LISTA. * 2009/5/12 Albert Bouskela bousk...@msn.com Olá Palmerim, Obrigado pela citação! Sua resposta está correta e didática. Não obstante, vou pedir-lhe um favor: acho que deveríamos parar de elucidar dúvidas tais como a que foi apresentada pelo Marcelo. Acredito que seja prudente preservar o propósito desta Lista: a discussão de problemas, que sejam, em tese, pelo menos em potencial, pertinentes às Olimpíadas de Matemática. Neste sentido, é de todo conveniente que a Lista continue voltada para o objetivo fixado pelo Prof. Nicolau Saldanha: apoiar a preparação de estudantes para essas Olimpíadas. Caso esta Lista passe a ficar poluída por questões do tipo “tire-suas-dúvidas-elementares-em-matemática-básica”, certamente vai afugentar aqueles participantes que aqui estão para contribuir com o propósito original deste fórum. Além disto, estudantes a exemplo do Marcelo, podem valer-se de outros fóruns na Internet, bem mais apropriados, para sanar as suas dúvidas em Matemática Básica. Podem, outrossim, contar com os seus professores. *Albert Bouskela* bousk...@msn.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of *Palmerim Soares *Sent:* Tuesday, May 12, 2009 11:32 AM *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] dúvida de interpretação Olá Marcelo Numa fração os termos são necessariamente números inteiros. Mas uma fração pode representar inúmeras coisas: um número, uma divisão, uma RAZÃO etc. A Razão na verdade é uma comparação entre duas quantidades, feita por meio da divisão entre essas quantidades, as quais podem ser ou não números inteiros. Por exemplo, 2/5 é uma fração, e pode estar representando um número, uma divisão, e também uma RAZÃO, se estivermos, por exemplo, comparando a quantidade de mulheres numa festa em relação à quantidade de convidados. Neste caso, a RAZÃO 2/5 quer dizer que de cada 5 convidados, 2 são do sexo feminino. Ou em outras palavras, já que 2/5 = 40/100, 40% dos convidados são do sexo feminino. Veja que 40/100 é uma fração, mas neste exemplo é também uma razão. Então, 40% é uma FRAÇÂO centesimal (denominador igual a 100) e também é uma taxa de comparação e, neste sentido, é uma razão. Mas, para os puristas, estaria errado dizer que RAIZ(5)/3 é uma fração porque o numerador é irracional e não inteiro; pode estar representando uma RAZÃO, mas não é uma fração. Como diria o mestre Bouskela: Fui claro? :-) Abraços Palmerim 2009/5/12 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com Seguinte: Pode-se afirmar que uma porcentagem é uma razão especial, uma razão em que o consequente é sempre igual a 100 ?! Se sim, por ex., 25 % = 25/100 = ¼, não é ?! Posso ler então, como sendo razão de um para quatro. Está correto ?! Nesse caso, são 5 partes no total (1 + 4). Onde está a confusão ou o erro de interpretação ?! Acho que posso afirmar que uma porcentagem é uma fração (e não uma razão) em que o denominador é 100 Por ex,: Fração ¼ significa uma parte em quatro. Razão ¼ significa uma parte para quatro, perfazendo um total de cinco partes... Favor comentar -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei -- Palmerim -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei
[obm-l] Raciocínio lógico
No teu pequeno sítio você teve um excedente de produção de 3000 espigas de milho, mas só conseguiu comprador numa cidade que fica a 100 km de distância. Você precisa levar as espigas até o comprador e para isso comprou uma carroça de terceira e um boi velho. Mas há dois problemas: na carroça só cabem 1000 espigas de cada vez e o boi velho precisa comer uma espiga a cada 100 metros para não cair morto. Então, o maior número de espigas que você vai conseguiur entregar é: a) 511 b) 533 c) 566 d) 599 -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei
[obm-l] Problemas de Sangaku
Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raciocínio lógico
Oi Ponce, Com seu texto a política e' deixar espigas pelo caminho de forma a alimentar o boi futuramente. me lembrei até de João e Maria... (sorry, jovens, esta vocês não ouviram nem da vovó...) Nehab Rogerio Ponce escreveu: Ola' Marcelo, a política e' deixar espigas pelo caminho de forma a alimentar o boi futuramente. Com 3000 espigas na origem, havera' 3 partidas com a carroca cheia ate' um ponto P1 (o mais distante possivel), onde parte da carga e' deixada, e a carroca volta com apenas o suficiente para alimentar o boi. Em seguida havera' 2 partidas (de P1) com a carroca cheia ate' o ponto P2, e finalmente havera' apenas uma partida (de P2) com a carroca cheia ate' o ponto final. Assim, com as 1000 espigas gastas no primeiro trecho, P1 se localiza a 1000/5 * 100m. Com as 1000 espigas gastas no segundo trecho, P2 se localiza a 1000/3 * 100m apos P1. Assim, faltando (100 - 53.33) km , e com 1000 espigas, a carroca finalmente chegara' ao destino com 533.33 espigas. Venda 533 espigas inteiras, e presenteie o boi com um bonus de .33 espigas. []'s Rogerio Ponce PS: existe um problema similar que foi bastante discutido aqui na lista, conhecido pelo problema do camelo. 2009/5/14 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com: No teu pequeno sítio você teve um excedente de produção de 3000 espigas de milho, mas só conseguiu comprador numa cidade que fica a 100 km de distância. Você precisa levar as espigas até o comprador e para isso comprou uma carroça de terceira e um boi velho. Mas há dois problemas: na carroça só cabem 1000 espigas de cada vez e o boi velho precisa comer uma espiga a cada 100 metros para não cair morto. Então, o maior número de espigas que você vai conseguiur entregar é: a) 511 b) 533 c) 566 d) 599 -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] sistema de equações modulares
Vandelei, Você já estudou gráficos de planos no R3, por exemplo ? Nehab Vandelei Nemitz escreveu: Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos os casos? *|x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4* ** Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito trabalhoso. obrigado! Vanderlei
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raciocínio lógico
VALEU, OBRIGADO! 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi Ponce, Com seu texto a política e' deixar espigas pelo caminho de forma a alimentar o boi futuramente. me lembrei até de João e Maria... (sorry, jovens, esta vocês não ouviram nem da vovó...) Nehab Rogerio Ponce escreveu: Ola' Marcelo, a política e' deixar espigas pelo caminho de forma a alimentar o boi futuramente. Com 3000 espigas na origem, havera' 3 partidas com a carroca cheia ate' um ponto P1 (o mais distante possivel), onde parte da carga e' deixada, e a carroca volta com apenas o suficiente para alimentar o boi. Em seguida havera' 2 partidas (de P1) com a carroca cheia ate' o ponto P2, e finalmente havera' apenas uma partida (de P2) com a carroca cheia ate' o ponto final. Assim, com as 1000 espigas gastas no primeiro trecho, P1 se localiza a 1000/5 * 100m. Com as 1000 espigas gastas no segundo trecho, P2 se localiza a 1000/3 * 100m apos P1. Assim, faltando (100 - 53.33) km , e com 1000 espigas, a carroca finalmente chegara' ao destino com 533.33 espigas. Venda 533 espigas inteiras, e presenteie o boi com um bonus de .33 espigas. []'s Rogerio Ponce PS: existe um problema similar que foi bastante discutido aqui na lista, conhecido pelo problema do camelo. 2009/5/14 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com mat.mo...@gmail.com: No teu pequeno sítio você teve um excedente de produção de 3000 espigas de milho, mas só conseguiu comprador numa cidade que fica a 100 km de distância. Você precisa levar as espigas até o comprador e para isso comprou uma carroça de terceira e um boi velho. Mas há dois problemas: na carroça só cabem 1000 espigas de cada vez e o boi velho precisa comer uma espiga a cada 100 metros para não cair morto. Então, o maior número de espigas que você vai conseguiur entregar é: a) 511 b) 533 c) 566 d) 599 -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
De fato, a única dificuldade nessa questão são as contas. Mas o objetivo era mostrar os problemas de sangaku mesmo que por sinal achei que eram bem conhecidos. No link do email anterior tem explicações sobre suas origens. Existem outros problemas de sangaku e alguns deles tem um grau de dificuldade bem grande... É um bom exercício em geral :) 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com http://www.rpm.org.br/conheca/49/1/sangaku.htm 2009/5/14 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Denisson -- Denisson
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Estou quase um spammer :P Bem, no ensino médio um professor sempre trazia esses problemas. E o objetivo era sempre achar a solução mais simples, em geral traçando alguma reta auxiliar ou traçando circulos. Bem, eu acho eles legais :) Dá uma olhada lá pra ver se te interessa também. 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com De fato, a única dificuldade nessa questão são as contas. Mas o objetivo era mostrar os problemas de sangaku mesmo que por sinal achei que eram bem conhecidos. No link do email anterior tem explicações sobre suas origens. Existem outros problemas de sangaku e alguns deles tem um grau de dificuldade bem grande... É um bom exercício em geral :) 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com http://www.rpm.org.br/conheca/49/1/sangaku.htm 2009/5/14 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Denisson -- Denisson -- Denisson
[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações modulares
não, mas se vc conhecer uma solução via gráficos, manda bala! 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Vandelei, Você já estudou gráficos de planos no R3, por exemplo ? Nehab Vandelei Nemitz escreveu: Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos os casos? *|x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4* ** Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito trabalhoso. obrigado! Vanderlei
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Oi, Santa Rita, O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, que é do terceiro grau... Aliás, os problemas de geometria ditos quadráticos são quase sempre triviais. Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre cubicos. To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a mão Denilson... :-) Abraços Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Nehab, é interessante como nunca acertam meu nome :) É Denisson, não Denilson hehehehe 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Santa Rita, O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, que é do terceiro grau... Aliás, os problemas de geometria ditos quadráticos são quase sempre triviais. Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre cubicos. To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a mão Denilson... :-) Abraços Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Denisson
