[obm-l] Re: [obm-l] FW: TERRA DOS MATEMÁTICOS!

[Paulo Santa Rita]

Ola Jorge e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Voce gostou das Investigacoes Aritmeticas ? Fico feliz e obrigado
pelo elogio. Em verdade esta mensagem e a exposicao de estudos que eu
fiz quando ainda era muito jovem, crianca ainda. E apenas uma parte de
um estudo mais amplo. Na epoca o meu objetivo era encontrar as colunas
ocultas ( ou faces ocultas ) do traingulo de Pascal. Hoje eu sei com
fazer isso. Inclusive ja publiquei aqui algumas investigacoes neste
sentido.

Se voce verificar minhas primeiras mensagens para esta lista vai notar
que la eu digo que havia descoberto coisas que nao estao nos livros.
Na verdade foram muitas coisas, pois sempre e naturalmente gostei de
pensar. Acho que e natural que todo jovem disciplinado e dedicado, que
realmente gosta de Matematica faca (re)descobertas de fatos que os
matematicos do passado ja fizeram. Por exemplo, o Gugu redescobriu um
tipo de solucao para equacoes do 3 grau ja descoberto pelo Euler e o
Nicolau ja disse aqui que redescobriu o algoritmo do calculo de raizes
quadradas. Acho que isso e natural e esperavel, nao signifcando nada
alem disso !

Seria possivel dizer o menor N tal que 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N  P,
para um P dado, sem usar
aproximacoes com a constante de Euler Macheroni ? Era isso que eu queria saber.

Nao entendi a passagem abaixo :

 Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso
 patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a
 qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor
 do que 1 será divergente. Então, não existe um menor expoente r para o
 qual a soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os
 primos são um subconjunto dos naturais, também não existe um menor
 expoente para o qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja
 convergente. Qualquer r maior do que 1 basta. O mesmo Euler provou, em 1736,
 que a soma dos inversos dos primos é divergente.

Eu me referi a soma das r-esimas potencias dos inversos dos primos.
Como a soma dos inversos dos primos e divergente entao, com certeza,
existe um r 1 tal que
a serie :
1 + (1/2) ^r + (1/3)^r + (1/5)^r + (1/7)^r + ... + (1/P) ^r +  ...
converge. Qual o menor r que atende esta condicao ? Euler mostrou
que r=1 nao serve, pois ele provou que a soma dos inversos dos primos
e divergente. Assim, r  1. Qual o menor r ? Sera alguma das
constantes que conhecemos ? Sera um novo numero irracional importante
?

Bem falastes ! A serie harmonica !

Eu nao me canso de admira-la ! Ela e altamente sensivel. Voce
colocou um expoente um pouquinho maior que 1 em seus termos, ela
converge. Se mudar o sinal de + para - dos termos cujos denominadores
formam uma PA, ela converge. De alguma forma ele deve servir como uma
especie de medida ou termometro de convergencia, mas eu nao atinei
como fazer isso. Eu apreciaria muito se alguem pudesse falar algo a
respeito.

Um Abraco a Todos !
PSR,4200509090B





2009/5/19 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com:


 
 From: jorgelrs1...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: TERRA DOS MATEMÁTICOS!
 Date: Tue, 19 May 2009 15:36:35 +

 Ok! Nehab, bom progresso para quem já foi denominada de Terra dos
 Humoristas. Não é à toa que o autor da mais engenhosa distribuição das 3
 barras de chocolate entre quatro crianças é um Cearense, aluno do curso de
 licenciatura em matemática-UECE. Foi também o pioneiro a discordar da
 afirmação do colega Takiyama 1/x*x#x*1/x na calculadora do
 feirante...Experimentem com seus pupilos a pueril situação: Entre as frações
 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a
 fração 1/4?

 Grande Paulo! Parabéns pela enquete Investigações Aritméticas, pois me
 passou despercebida, na época. Uma verdadeira pérola.Campeão!

 Quanto à questão do menor N tal que 1+(1/2)+...+(1/N)P, Euler demonstrou
 que a soma dos termos da Série Harmônica, para N tendendo ao infinito, é
 lnN+0,5772..., ou seja para atingir um inteiro P razoavelmente grande basta
 fazer lnN=P-0,5772... onde N é (2,718281828...) elevado a P-0,5772... Esse
 caminho permite obter uma ordem de grandeza bastante boa, mas para saber
 exatamente o menor N, teremos que trabalhar com muitas, mas muitas casas
 decimais.

 Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso
 patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a
 qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor
 do que 1 será divergente. Então, não existe um menor expoente r para o
 qual a soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os
 primos são um subconjunto dos naturais, também não existe um menor
 expoente para o qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja
 convergente. Qualquer r maior do que 1 basta. O mesmo Euler provou, em 1736,
 que a soma dos inversos dos primos é divergente. Inteligente, este rapaz que
 

Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 22:59, Fernando Lima Gama Junior  fgam...@gmail.com  escreveu:Não entendi porque destas retas:

"Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) tal que abs(a-b) <= 10, isto é, os pares
que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis..."

2009/5/19 Pedro Cardoso 

Olá. Eu acho que é assim: 

Problema: 

"luiz silva escreveu:
Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que ambos deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar ao local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local nete intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?"


Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas pessoas chegaram, onde 0 <= a,b <= 60.
Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado de lado 60 no plano cartesiano,
cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o seguinte:

Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) tal que abs(a-b) <= 10, isto é, os pares
que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...


Basta calcular "Área de S" / "Área do Quadrado" = 11/36 para achar a resposta do problema.

Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir em casos.

Abraços,

Pedro Lazéra Cardoso

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-- Fernando Gama


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: RE: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 22:12, Pedro Cardoso  pedrolaz...@hotmail.com  escreveu:


.hmmessage P
{
margin:0px;
padding:0px
}
body.hmmessage
{
font-size: 10pt;
font-family:Verdana
}



Olá. Eu acho que é assim:Problema: "luiz silva escreveu:Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que ambos deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar ao local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local nete intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?"Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas pessoas chegaram, onde 0 <= a,b <= 60.Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado de lado 60 no plano cartesiano,cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o seguinte:Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.A região do quadrado entre as retas (região S) forma o con
 junto de pares (a,b) tal que abs(a-b) <= 10, isto é, os paresque representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...Basta calcular "Área de S" / "Área do Quadrado" = 11/36 para achar a resposta do problema.Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir em casos.Abraços,Pedro Lazéra CardosoConheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui!


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Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[lucianarodriggues]

Em 20/05/2009 01:45, Fernando Lima Gama Junior  fgam...@gmail.com  escreveu:De fato, achei 12/36. Onde foi que eu errei?



integral_0^60(10-t) dt+ integral_0^60(10+t) dt

Fernando Gama
2009/5/19 Fernando Lima Gama Junior 

Não entendi porque destas retas:

"Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) tal que abs(a-b) <= 10, isto é, os pares
que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis..."



2009/5/19 Pedro Cardoso 

Olá. Eu acho que é assim: 

Problema: 

"luiz silva escreveu:
Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que ambos deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar ao local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local nete intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?"




Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas pessoas chegaram, onde 0 <= a,b <= 60.
Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado de lado 60 no plano cartesiano,
cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o seguinte:

Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) tal que abs(a-b) <= 10, isto é, os pares
que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...




Basta calcular "Área de S" / "Área do Quadrado" = 11/36 para achar a resposta do problema.

Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir em casos.

Abraços,

Pedro Lazéra Cardoso

Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui!
-- Fernando Gama



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] FW: TERRA DOS MATEMÁTICOS!

[lucianarodriggues]

Em 20/05/2009 09:11, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Jorge e demais colegasdesta lista ... OBM-L,Voce gostou das "Investigacoes Aritmeticas" ? Fico feliz e obrigadopelo elogio. Em verdade esta mensagem e a exposicao de estudos que eufiz quando ainda era muito jovem, crianca ainda. E apenas uma parte deum estudo mais amplo. Na epoca o meu objetivo era encontrar as colunasocultas ( ou faces ocultas ) do traingulo de Pascal. Hoje eu sei comfazer isso. Inclusive ja publiquei aqui algumas investigacoes nestesentido.Se voce verificar minhas primeiras mensagens para esta lista vai notarque la eu digo que "havia descoberto coisas que nao estao nos livros".Na verdade foram muitas coisas, pois sempre e naturalmente gostei depensar. Acho que e
  natural que todo jovem disciplinado e dedicado, querealmente gosta de Matematica faca (re)descobertas de fatos que osmatematicos do passado ja fizeram. Por exemplo, o Gugu redescobriu umtipo de solucao para equacoes do 3 grau ja descoberto pelo Euler e oNicolau ja disse aqui que redescobriu o algoritmo do calculo de raizesquadradas. Acho que isso e natural e esperavel, nao signifcando nadaalem disso !Seria possivel dizer o menor N tal que 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N > P,para um P dado, sem usaraproximacoes com a constante de Euler Macheroni ? Era isso que eu queria saber.Nao entendi a passagem abaixo :> Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso> patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a> qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor> do que 1 será divergente. Então, não existe um "
 menor" expoente r para o> qual a soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os> primos são um subconjunto dos naturais, também não existe um "menor"> expoente para o qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja> convergente. Qualquer r maior do que 1 basta. O mesmo Euler provou, em 1736,> que a soma dos inversos dos primos é divergente.Eu me referi a soma das r-esimas potencias dos inversos dos primos.Como a soma dos inversos dos primos e divergente entao, com certeza,existe um r >1 tal quea serie :1 + (1/2) ^r + (1/3)^r + (1/5)^r + (1/7)^r + ... + (1/P) ^r +  ...converge. Qual o menor "r" que atende esta condicao ? Euler mostrouque r=1 nao serve, pois ele provou que a soma dos inversos dos primose divergente. Assim, r > 1. Qual o menor r ? Sera alguma dasconstantes que conhecemos ? Sera um novo numero irracional importante?Bem falastes ! A serie har
 monica !Eu nao me canso de admira-la ! Ela e "altamente" sensivel. Vocecolocou um expoente "um pouquinho" maior que 1 em seus termos, elaconverge. Se mudar o sinal de + para - dos termos cujos denominadoresformam uma PA, ela converge. De alguma forma ele deve servir como umaespecie de "medida" ou termometro de convergencia, mas eu nao atineicomo fazer isso. Eu apreciaria muito se alguem pudesse falar algo arespeito.Um Abraco a Todos !PSR,4200509090B2009/5/19 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis :>>> > From: jorgelrs1...@hotmail.com> To: obm-l@mat.puc-rio.br> Subject: TERRA DOS MATEMÁTICOS!> Date: Tue, 19 May 2009 15:36:35 +>> Ok! Nehab, bom progresso para quem já foi denominada de "Terra dos> Humoristas". Não é à toa que o autor da mais engenhosa distribuição das 3> barras
  de chocolate entre quatro crianças é um Cearense, aluno do curso de> licenciatura em matemática-UECE. Foi também o pioneiro a discordar da> afirmação do colega Takiyama "1/x*x#x*1/x" na calculadora do> feirante...Experimentem com seus pupilos a pueril situação: Entre as frações> 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a> fração 1/4?>> Grande Paulo! Parabéns pela enquete "Investigações Aritméticas", pois me> passou despercebida, na época. Uma verdadeira pérola.Campeão!>> Quanto à questão do menor N tal que 1+(1/2)+...+(1/N)>P, Euler demonstrou> que a soma dos termos da Série Harmônica, para N tendendo ao infinito, é> lnN+0,5772..., ou seja para atingir um inteiro P razoavelmente grande basta> fazer lnN=P-0,5772... onde N é (2,718281828...) elevado a P-0,5772... Esse> caminho permite obter uma ordem de grandeza bastante boa, mas para saber> exatam
 ente o menor N, teremos que trabalhar com muitas, mas muitas casas> decimais.>> Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso> patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a> qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor> do que 1 será divergente. Então, não existe um "menor" expoente r para o> qual a soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os> primos são um subconjunto dos naturais, também não existe um "menor"> expoente para o qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja> convergente. Qualquer r 

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 10:46, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Wilner e demais colegasdesta lista ... OBM-L,Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !Vem ajudar a levantar o nivelde discussao da nossa lista !Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao erreinenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R oraio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo podeser expressa nos seguintes termos :A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco naexpressao acima, chegaremos a :(A+B-C)(A+
 C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecaodireta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse seenquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos paresou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceirapossibilidade.   Facamos  entao :B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = ZConsiderando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dosoutros dois, fica facil ver o seguinte :1) X, Y e Z são inteiros pares2) X+Y+Z = A+B+C3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+YE agora a expressao (1) pode ser colocada assim :XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que astres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menoresque 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualment
 e, nao podem sersimultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.Logo :3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ouigual a 1/48.Seja portanto : XY =< 48 e  XZ  >= 48.Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos queestamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =>  16Z+16Y+16X=XYZ  =>16Y+16X = (XY - 16)Z   =>   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)Mas Z >= 48/X. Logo :(16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=>  16/X <  Y  =< (24/X)+(X/2)CASO  X=2  ( Y =< 24   e   Z >= 24 )16/2 < Y =< (24/2)+(2/2)  =>  8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12Y = 10 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)ValidoY=12:Z=16(  (
 X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  => Z = 28A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)Valido***CASO  X=4 ( Y =< 12  e  Z >= 12 )16/4 < Y =< (24/4)+(4/2)  =>  4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8Y = 6 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)ValidoY=8:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)Valido***CASO X=6 ( Y =< 8  e  Z >= 8  )16/6 < Y =< (24/6)+(6/2)  =>  8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6Y = 4 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)Invalido : ja descobertoY=6:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  => Z = 9.6Invalido : Z nao e inteiro par
 ***CASO X=8 ( Y =< 6  e  Z >= 6  )16/8 < Y =< (24/8)+(8/2)  =>  2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6Y = 4 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)Invalido : ja descobertoY=6:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  => Z = 7Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=10 ( Y =< 4.8  e  Z >= 4.8  )16/10 < Y =< (24/10)+(10/2)  =>  1.6 < Y =< 7.4 => Y= 2 ou Y=4Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48A=(2+48)/2=25,  B=(10+48)/2=29  e  C=(10+2)/2=6Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6)Invalido : ja descobertoY=4:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  => Z = (28/3)Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=12 ( Y =< 4  e  Z >= 4  )16/12 < Y =< (24/12)+(12/2)  =>  (4/3) < Y =< 8 => Y= 2 ou Y=4Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)
   => Z = 28A=(2+28)/2=15,  B=(12+28)/2=20  e  C=(12+2)/2=7Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7)Invalido : ja descobertoY=4:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  => Z = 8A=(4+8)/2=6,  B=(12+8)/2=10  e  C=(12+4)/2=8Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8)Invalido : ja descoberto***CASO X=14 ( Y =< 3.4...  e  Z >= 3.4...  )A partir daqui, devido a restricao acima,  basta analisarmos os casos em que Y=2Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12)  => Z  nao e inteiro  => otriangulo e invalido***CASO X=16, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16)  => Z = 18A=(2+18)/2=10,  B=(16+18)/2=17  e  C=(16+2)/2=9Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17)Valido***CASO X=18, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20)  => Z = 16A=(2+16)/2=9,  B=(16+18)/2=17  e  C=(2+18)/2=10Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10)Invalido : ja descoberto***CASO X=20, Y=2<
 br/>Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24)  => Z = 44/3Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=22, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(24/28)  => Z 

Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[lucianarodriggues]

Em 20/05/2009 01:45, Fernando Lima Gama Junior  fgam...@gmail.com  escreveu:int 10 - t dt, t=0..60 + int 10 + t dt, t=0..60Fernando Gama
2009/5/20 Fernando Lima Gama Junior 

De fato, achei 12/36. Onde foi que eu errei?




integral_0^60(10-t) dt+ integral_0^60(10+t) dt


Fernando Gama
2009/5/19 Fernando Lima Gama Junior 


Não entendi porque destas retas:

"Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) tal que abs(a-b) <= 10, isto é, os pares
que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis..."




2009/5/19 Pedro Cardoso 

Olá. Eu acho que é assim: 

Problema: 

"luiz silva escreveu:
Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que ambos deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar ao local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local nete intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?"





Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas pessoas chegaram, onde 0 <= a,b <= 60.
Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado de lado 60 no plano cartesiano,
cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o seguinte:

Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) tal que abs(a-b) <= 10, isto é, os pares
que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...





Basta calcular "Área de S" / "Área do Quadrado" = 11/36 para achar a resposta do problema.

Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir em casos.

Abraços,

Pedro Lazéra Cardoso

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-- Fernando Gama




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[obm-l] Probabilidade

[Marcus]

Alguém poderia me ajudar nessa questão caiu numa prova que fiz recentemente.

 

Uma certa pesquisa feita com mulheres brasileira constatou que 75% das
brasileiras consideram as refeições muito importante para reunir a família,
89% consideram as refeições muito importante para falar com os maridos e 93%
para falar com os filhos.  Admita que todas as brasileiras que consideram as
refeições muito importantes para reunir a família também as considerem o
melhor momento para falar com o marido. Sendo assim, se uma brasileira que
considera as refeições o melhor momento para falar com o marido for
escolhida ao acaso, a probabilidade de que ela também as considere muito
importantes para reunir a família será de, aproximadamente,

 

[obm-l] Integral dupla - Resolução analítica

[Angelo Schranko]

Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?

Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx

Obrigado.


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Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica

[Arlane Manoel S Silva]

  Usando o Teorema de Fubini, basta mudar a ordem de integração:

Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0, ln(y)](x^2 + y^-1)dxdy
dai segue facilmente


Citando Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br:



Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?

Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx

Obrigado.


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Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP


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[obm-l] Exponencial

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Amigos,

Deparei-me com a questão do livro do Euclides Roxo 190. e lá vai...

4^x + 6^x = 29 ^x

Tentei uma solução algébrica e não numérica. Não creio que haja um x
inteiro. Alguma idéia?

Abraços

-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira

[obm-l] Resp.: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca

[Rogerio Ponce]

Ola' Angelo,
repare que na integral mais interna (portanto, a que vai ser calculada
primeiro) , e^x e' um dos limites de integracao, ao mesmo tempo em que
dx vem apos dy.
Assim, sobra apenas a opcao de considerarmos x uma constante durante
o calculo da integral interna, cuja solucao sera' algo do tipo  F(e^x)
- F(0).
Em seguida, voce tera' uma integral em x, de [ F(e^x) - F(0) ] dx,
cuja solucao tambem sera' simples.

Abracos,
Rogerio Ponce


Em 20/05/09, Angelo Schrankoquintern...@yahoo.com.br escreveu:

 Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?

 Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx

 Obrigado.


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Re: [obm-l] Exponencial

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Walter,

seja f(x) = 4^x + 6^x - 29^x
f(0) = 1
f(1) = 4+6-29 = -19

logo, existe um zero entre 0 e 1...
mais que isso, a funcao é crescente em ]-inf, 0[, e é decrescente em ]0,
inf[
logo, é o único zero..

só não consegui determina-lo.. =/ hehehe

abraços,
Salhab





2009/5/20 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com

 Amigos,

 Deparei-me com a questão do livro do Euclides Roxo 190. e lá vai...

 4^x + 6^x = 29 ^x

 Tentei uma solução algébrica e não numérica. Não creio que haja um x
 inteiro. Alguma idéia?

 Abraços

 --
 Walter Tadeu Nogueira da Silveira

Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 10:48, luiz silva  luizfelipec...@yahoo.com.br  escreveu:Ola Carlos,
 
E eu achando que fosse novo ::))... Bom, para mim, pelo menos ele é . Quem me passou foi um amigo...e me mostrou a soluçãoO que achei bonito é como a forma como estruturamos um problema, torna-o mais ou menos complicado..
 
Abs
Felipe--- Em seg, 18/5/09, Carlos Nehab  escreveu:
De: Carlos Nehab Assunto: Re: [obm-l] Problema Bonito - ProbabilidadePara: obm-l@mat.puc-rio.brData: Segunda-feira, 18 de Maio de 2009, 8:59
Oi, Luis,Só a titulo de curiosidade, este problema é um clássico (é quase tão velho quanto eu) e está até no livro do Feller (de 1950 - eu tenho a segunda edição).  Acho que já rolou por aqui...Tente resolver imaginando um sistema de eixos onde você marca a hora de chegada de cada um. Ai, no quadrado definido por 12 h <= x, y <= 13 h, veja qual a geometria dentro do quadrado que corresponde a "eles se encontrarem"AbraçosNehabluiz silva escreveu: 





Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que ambos deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar ao local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local nete intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?
 
Abs
Felpe

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[obm-l] Re: [obm-l] Uma Pesada de Recorrência

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 10:28, Marcelo Gomes  elementos@gmail.com  escreveu:Olá pessoal da lista, bom dia.Estou entrando no mundo dos grafos, e das expansões do binômio de Newton, teorema das linhas  e etc.Entretanto esta questão não consegui resolver até o momento. Segue a dita:
Um certo banco está cobrando 5% de juros ao mês. Tadeu tomou emprestados 1000 reais, e deve pagar prestações mensais fixas de 100 reais (a primeira ao final do primeiro mês de empréstimo).(a) Encontre uma relação de recorrência e condições iniciais para a dívida de Tadeu ao final do n-ésimo mês. 
(b) Resolva esta relação. Pessoal se laguém puder dar uma mãozinha agradeço muito mesmo.Abração, Marcelo.


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Re: [obm-l] Exponencial

[lucianarodriggues]

Em 20/05/2009 18:18, Walter Tadeu Nogueira da Silveira  wtade...@gmail.com  escreveu:Amigos,
 
Deparei-me com a questão do livro do Euclides Roxo 190. e lá vai...
 
4^x + 6^x = 29 ^x
 
Tentei uma solução algébrica e não numérica. Não creio que haja um "x" inteiro. Alguma idéia?
 
Abraços
-- Walter Tadeu Nogueira da Silveira


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Re: [obm-l] Exponencial

[lucianarodriggues]

Em 20/05/2009 18:56, Marcelo Salhab Brogliato  msbro...@gmail.com  escreveu:Olá Walter,seja f(x) = 4^x + 6^x - 29^xf(0) = 1f(1) = 4+6-29 = -19logo, existe um zero entre 0 e 1...mais que isso, a funcao é crescente em ]-inf, 0[, e é decrescente em ]0, inf[logo, é o único zero..
só não consegui determina-lo.. =/ heheheabraços,Salhab2009/5/20 Walter Tadeu Nogueira da Silveira 
Amigos,
 
Deparei-me com a questão do livro do Euclides Roxo 190. e lá vai...
 
4^x + 6^x = 29 ^x
 
Tentei uma solução algébrica e não numérica. Não creio que haja um "x" inteiro. Alguma idéia?
 
Abraços
-- Walter Tadeu Nogueira da Silveira



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma Pesada de Recorrência

[lucianarodriggues]

Em 18/05/2009 11:37, Marcelo Salhab Brogliato  msbro...@gmail.com  escreveu:Olá Marcelo,vamos dizer que a_i seja o quanto ele deve no mês i.a_0 = T (valor total da divida)a cada mês passado, ele paga P reais, mas os juros atuam sobre o valor da dívida antes do pagamento.Isto é:
a_(k+1) = j*a_k - Peste recorrência pode ser facilmente resolvida utilizando teoria de diferenças finitas, visto que é umarecorrência linear com coeficientes constantes, e o termo independente também é constante (solução particular
é muito facil de ser encontrada).no caso particular do seu problema, temos: T = 1000, P = 100, j = 1,05abraços,Salhab2009/5/18 Marcelo Gomes 
Olá pessoal da lista, bom dia.Estou entrando no mundo dos grafos, e das expansões do binômio de Newton, teorema das linhas  e etc.
Entretanto esta questão não consegui resolver até o momento. Segue a dita:
Um certo banco está cobrando 5% de juros ao mês. Tadeu tomou emprestados 1000 reais, e deve pagar prestações mensais fixas de 100 reais (a primeira ao final do primeiro mês de empréstimo).(a) Encontre uma relação de recorrência e condições iniciais para a dívida de Tadeu ao final do n-ésimo mês. 

(b) Resolva esta relação. Pessoal se laguém puder dar uma mãozinha agradeço muito mesmo.Abração, Marcelo.



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Re: [obm-l] Exponencial

[Eduardo Wilner]

Realmente, x não pode ser inteiro, pois teriamos par no primeiro membro e impar 
no segundo. 

--- Em qua, 20/5/09, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com 
escreveu:

De: Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Exponencial
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:18

Amigos,
 
Deparei-me com a questão do livro do Euclides Roxo 190. e lá vai...
 
4^x + 6^x = 29 ^x
 
Tentei uma solução algébrica e não numérica. Não creio que haja um x inteiro. 
Alguma idéia?
 
Abraços


-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira






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Re: [obm-l] Exponencial

[Eduardo Wilner]

Ops , estou me referindo a x natural (inteiro positivo).
--- Em qua, 20/5/09, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com 
escreveu:

De: Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Exponencial
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:18

Amigos,
 
Deparei-me com a questão do livro do Euclides Roxo 190. e lá vai...
 
4^x + 6^x = 29 ^x
 
Tentei uma solução algébrica e não numérica. Não creio que haja um x inteiro. 
Alguma idéia?
 
Abraços


-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira






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RE: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[Pedro Cardoso]

 

Oi, Fernando. Veja que os pontos pertencentes às retas são as 

'situações limites' - aquelas em que uma pessoa chega exatamente

10min depois (ou antes, né?) da outra. Além disso, um par (a,b), para fazer

parte do conjunto solução do problema, deve satisfazer três coisas:

 

[1] a-b  -10 .:. b  a+10 (isto é, b está abaixo da reta y = a+10)

[2] a-b  10 .:. b  a - 10 (isto é, b está acima da reta y = a-10)

[3] 0 = a,b = 60

 

Então, se (a,b) satisfaz as condições de encontro das duas pessoas,

então (a,b) está entre essas retas E dentro do quadrado. O resto é conta.

 

Abraços,


Pedro Lazéra Cardoso
 


Date: Tue, 19 May 2009 22:59:55 -0300
Subject: Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade
From: fgam...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Não entendi porque destas retas:


Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.


A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) 
tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares
que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas 
pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis 
(tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...

2009/5/19 Pedro Cardoso pedrolaz...@hotmail.com


Olá. Eu acho que é assim: 


Problema: 


luiz silva escreveu:
Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que ambos 
deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar ao local, 
irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local nete intervalo 
de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não conseguem se 
encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?


Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas pessoas 
chegaram, onde 0 = a,b = 60.
Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado de 
lado 60 no plano cartesiano,
cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o 
seguinte:


Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.


A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares (a,b) 
tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares
que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas 
pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis 
(tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...


Basta calcular Área de S / Área do Quadrado = 11/36 para achar a resposta 
do problema.


Eu também fiz usando integral, mas ficou bem mais feio, tendo que dividir em 
casos.


Abraços,


Pedro Lazéra Cardoso


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-- 
Fernando Gama


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Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade

[Fernando Lima Gama Junior]

Oi Pedro, obrigado pela ajuda.

Na verdade, estava com um problema parecido com este. A história era
praticamente a mesma, só que o período era de 6 minutos (claro é só corrigir
a equação) e do encontro, se ocorresse, sairia um duelo no estilo velho
oeste. O porém da sua solução, no entanto (embora muito boa), é que ela não
usa os conceitos de análise combinatória. A pergunta que eu deveria ter
feito é a seguinte: como resolver esse problema por meio de análise
combinatória (se é que é possível). Digo isso porque o problema estava
estampado em um livro de análise combinatória do lendário Victor Mirshawka.
Muito bom o livro de exercícios dele que encontrei num sebo, mas de todos os
problemas, esse para mim, parecia insolúvel por meio da análise
combinatória.

Fernando Gama



2009/5/20 Pedro Cardoso pedrolaz...@hotmail.com


 Oi, Fernando. Veja que os pontos pertencentes às retas são as
 'situações limites' - aquelas em que uma pessoa chega exatamente
 10min depois (ou antes, né?) da outra. Além disso, um par (a,b), para fazer
 parte do conjunto solução do problema, deve satisfazer três coisas:

 [1] a-b  -10 .:. b  a+10 (isto é, b está abaixo da reta y = a+10)
 [2] a-b  10 .:. b  a - 10 (isto é, b está acima da reta y = a-10)
 [3] 0 = a,b = 60

 Então, se (a,b) satisfaz as condições de encontro das duas pessoas,
 então (a,b) está entre essas retas E dentro do quadrado. O resto é conta.

 Abraços,

 Pedro Lazéra Cardoso

 --
 Date: Tue, 19 May 2009 22:59:55 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Problema Bonito - Probabilidade
 From: fgam...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Não entendi porque destas retas:

 *Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.*
 *
 *
 *A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares
 (a,b) tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares*
 *que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas
 pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis
 (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...*

 2009/5/19 Pedro Cardoso pedrolaz...@hotmail.com

 Olá. Eu acho que é assim:
 Problema:

 luiz silva escreveu:
 Duas pessoas marcam um encontro em um determinado local. Combinam que ambos
 deverão chgegar a este local entre 12 e13 h. Porém, qdo o 1o. chegar ao
 local, irá esperar 10 min pelo outro. Caso o outro não chegeu ao local nete
 intervalo de tempo (10 min), o primeiro a chegar vai embora, e eles não
 conseguem se encontrar. Qual a probabilidade do encontro ocorrer ?

 Bom, seja (a,b) o par que representa os dois instantes em que as duas
 pessoas chegaram, onde 0 = a,b = 60.
 Como a chance de ocorrência dos pares é igual, vale desenhar um quadrado de
 lado 60 no plano cartesiano,
 cujos vértices ficam nos pontos (0,0), (60,0), (60,60), (0,60), e fazer o
 seguinte:

 Desenhar as retas y = x+10 e y = x-10.

 A região do quadrado entre as retas (região S) forma o conjunto de pares
 (a,b) tal que abs(a-b) = 10, isto é, os pares
 que representam tempos de chegada para os quais há encontro entre as duas
 pessoas. O quadrado todo representa o conjunto de todos os pares possíveis
 (tudo em minuto, claro). Assim, como os pares são equiprováveis...

 Basta calcular Área de S / Área do Quadrado = 11/36 para achar a
 resposta do problema.

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 Abraços,

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