[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Número de partições de um conjunto
No primeiro problema cheguei a algo do tipo 1/2\cdot [ C_{n}^{1} \cdot
(2^{n-1}-1) + C_{n}^{2} \cdot (2^{n-2}-1) + C_{n}^{3} \cdot (2^{n-3}-1)
+...+C_{n}^{n-1} ]
queria saber se alguém sabe opinaar se estou no caminho correto.
Abraços.
1. Seja X um conjunto com n elementos. Calcule o número de escolhas
possíveis
de dois subconjuntos disjuntos de r e s elementos, respectivamente. [E
se r = s?]
2. O mesmo exercício anterior mas em que os dois subconjuntos possam
intersectar-se
num único elemento.
--
Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
[obm-l] RE: [obm-l] Vale a demonstração?
Oi Paulo e demais colegasdesta lista ... OBM-L,
Da forma como você apresentou, não, pois a a passagem de a_n=(a_n-1).q para
(a_1).[q^(n-1)] não está suficientemente clara ... em verdade, nestapassagem
você já esta utilizando justamente aquilo que voce dever provar. Em casos
simples tal como o que você apresenta, quando previamente já seconhece a
fórmula final, é bastante comum o uso da indução matemática. Assim :
a_2=a_1.q ( por definição )a_3=a_2.q ( por definição ) = a_3 =a_1.(q^2) (
usando o resultado da linha anterior )
Olhando estes dois casos e vendo a ainda aparente relação entre índice e o
expoente, conjecturamos que :
a_n=a_1.( q^(n-1) )
Supondo isso, teremos que : a_(n+1)=a_n.q por definição. Substituindo a
hipótese de indução, chegamos a a_(n+1)=a_1.(a^n). Pelo principio da
induçãofinita fica estabelecido que a expressão vale para todo n natural.
Mas as provas por indução padecem de um mal fundamental, a saber, pressupõe o
conhecimento prévio da expressão que devemos provar. Em geral, no cursode uma
investigação, você não conhece previamente o que deverá demonstrar. Por
exemplo, olhe este link aqui :
http://math.stackexchange.com/questions/17320/derivation-of-the-partial-derangement-rencontres-numbers-formula
lendo, verifica-se que alguns estudantes e pesquisadores estão procurando uma
fórmula para o total de arranjos caóticos de comprimento P que podemosfazer
de um total de N elementos. Como este problema está ainda hoje ( até agora,
pois vou mostrar a solução abaixo ) em aberto e a solução pode ser vista como
uma generalização do trabalho do Nicolau Bernoulli e Euler, eu achei que valia
a pena pensar nele e deduzi que :
Dn,k = Binom(N,K)*{ somatorio[ i variando de 1 até M , binom(N-i ,
N-M)*binom(N-M , i)* (!(K-i))] }
onde, nesta formula :
1) M=min{K,N-K} 2) !N = N!*( (1/2!)-(1/3!) + ... + ( (-1)^N )*(1/N!) ) se N
= 23) !1=0 e !0=1
A demonstração não é trivial. Não apresento aqui porque isso é apenas o
resultado inicial de uma pesquisa mais ampla que ainda não conclui. Mas o que
quero ressaltar é que EU NÃO SABIA em qual expressão chegaria. Sabia apenas que
chegaria em algum lugar. Neste sentido, o principio da indução tem pouca
utilidade.
Mas voce pode demonstrar o seu resultado assim :
a_2 = a_1.qa_3 = a_2.q...a_n=a_(n-1).q
multiplicando membro a membro as N-1 igualdades e eliminado os fatores comuns
que aparecem nos dois membros, chegamos a :
a_n=a_1.(q^(n-1) )
E agora não foi preciso usar indução.
Em síntese, não há um roteiro padronizado para demonstrações. O que há são
certos principios que devemos respeitar ( por exemplo, você não pode usar como
certo algo que ainda não foi provado ). De resto, o que é importante é a sua
sensibilidade e intuição, é ela que nos conduz a coisas significativas e que
nos mostra como provar de forma irretorquivel aquilo que apenas vemos do outro
lado, no mundo próprio da Matemática
Um abração a TodosPSR, 5190511102A
From: argolopa...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Vale a demonstração?
Date: Wed, 18 May 2011 22:51:28 +
Caros Colegas,
Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo
geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração?
DEMONSTRAÇÃO:
Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo
termo da progressão.
Portanto, por definição de progressão geométrica:
a_2 = (a_1).q
a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2)
E assim sucessivamente. Então:
a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)]
Abraços do Paulo!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Olha, se alguem escrevesse este argumento numa prova, eu o aceitaria uma demonstracao. Ou seja, concordo com o Paulo -- a inducao formal seria tao imediata, que para mim nao vale a pena escreve-la explicitamente. Ela nao acrescentaria nada NESTE CASO. Pebolim. Abraco, Ralph 2011/5/19 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Se eu entendesse a sua notação, opinaria. Acredito que seja Latex, mas eu não
tenho aqui o plugin que permite a visualização.
PROBLEMA 1
Vou supor que r e s são inteiros não-negativos e que r + s = n. Seja A
o conjunto original com n elementos
1) r+s = n e r # s
Neste caso é óbvio que a resposta será Binom(n,r) = Binom(n,n-r) = Binom(n,s)
pois ao escolher um conjunto, digamos, de r elementos, o que sobra no
conjunto A terá n-r=s elementos e será o outro conjunto da partição.
Se r = s, divida o resultado anterior por 2
2) r+s n e r # s
Neste caso, seja t = n - (r+s). Podemos formar um conjunto de t elementos de
Binom(n,t) maneiras. Fixada uma destas maneira, recaímos no caso anterior :
poderemosformar Binom(n-(r+s),r) partições. Pelo principio multiplicativo segue
que a resposta sera : Binom(n,t)*Binom(n-t ,r).
Se r=s, divida o resultado anterior por 2
Note que a resposta 2) engloba a 1), pois se r+s=n então t=n-(r+s)=0 e
Binom(n,t)=Binom(n,0)=1
PROBLEMA 2
Vamos escolher um dentre os n elementos e chama-lo de INTERSECÇÃO. Retirando a
INTERSECÇÃO, sobram n-1 elementos. Sejam r' = r-1 e s' = s-1. É facil ver
que n-1, r' e s' recai no problema anterior, ja resolvido. Então a resposta
aqui é : N*( resposta anterior com a devida adaptação )
Um problema de combinatória que eu acho interessante pode ser enunciado assim :
Seja A um matriz quadrada de ordem N tal que A(i,j) = j + (i -1)*N, onde j e i
variam em K={1,2,...,N } e j representa a coluna e i representa a linha.Quantas
matrizes quadradas B de ordem N podem ser formadas tais que :
1) B não tem elementos repetidos2) Todo elemento de B pertence a {1,2,3,...,
N^2}3) B(i,j) é diferente de A(i,j) para todo par (i,j) pertencente a K^2 (
K^2 é o produto cartesiano de K por si mesmo )
Um abraço a todosPSR,51005111338
Date: Thu, 19 May 2011 18:29:53 +0430
Subject: [obm-l] Número de partições de um conjunto
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
No primeiro problema cheguei a algo do tipo 1/2\cdot [ C_{n}^{1} \cdot
(2^{n-1}-1) + C_{n}^{2} \cdot (2^{n-2}-1) + C_{n}^{3} \cdot (2^{n-3}-1)
+...+C_{n}^{n-1} ]
queria saber se alguém sabe opinaar se estou no caminho correto.
Abraços.
1. Seja X um conjunto com n elementos. Calcule o número de escolhas possíveis
de dois subconjuntos disjuntos de r e s elementos, respectivamente. [E se r
= s?]
2. O mesmo exercício anterior mas em que os dois subconjuntos possam
intersectar-se
num único elemento.
--
Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior
Professor
de Matemática
Geo João Pessoa
– PB
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Paulo, na minha opinião, o que você provou, no primeiro e-mail, é que a fórmula vale para k = 2 e k = 3. Assim, você não poderia estender isto para um k geral. Para aplicar o princípio da indução você teria que fazer os passos que todos descreveram anteriormente: provar para k = 1, supor válido para k = n e, com isto, provar que vale para k = n + 1. Aí sim seria uma prova geral. Não sei se fui claro. Abraços, Léo. Em 19 de maio de 2011 11:10, Paulo Argolo argolopa...@hotmail.comescreveu: Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Enviado do meu gmail.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Oi Ralph e demais colegasdesta lista ... OBM-L, Complicado ! Se eu estivesse ensinando indução matemática, não aceitaria como demonstração poisneste ponto é natural requerer o reconhecimento explícito dos passos e elementos da demonstração. Por outro lado, se fosse uma questão de outro assunto, no qual tal formula fosse necessária, eu NEM EXIGIRIA uma demonstração : os passos abaixo são mais que suficientes para sugerir que a pessoa conhece a técnica. Penso também que não só o nível em que tal fórmula é exigida é necessário considerar para respondera questão, mas também a própria mentalidade do professor que corrige, se é que podemos chamar assim.Existe o Prof Picuinha, aquele que cumprimenta a recem eleita miss Universo reparando que o dedão dopé da miss não é bonito. Este cara essencialisa o trivial e trivializa o essencial. È o dracula dacriatividade. Esse cara vai exigir a demonstração detalhe por detalhe, esquecendo que nenhummatematico do mundo em todos os tempos fez qualquer demonstração real de um resultado novoseguindo tal mediocre rigor. Mas devemos convir que tambem existe o Prof Globo Ciencia, que só se preocupa com o ibope juntoa galera, esquecendo totalmente do conjunto de saudaveis valores que necessariamenteseguem junto a qualquer educação séria. Acredito que a sabedoria, como diria aristoteles, estano caminho do meio, uma media aritmetica entre os dois estilos acima: o Prof Socratico ! Date: Thu, 19 May 2011 11:44:25 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olha, se alguem escrevesse este argumento numa prova, eu o aceitaria uma demonstracao. Ou seja, concordo com o Paulo -- a inducao formal seria tao imediata, que para mim nao vale a pena escreve-la explicitamente. Ela nao acrescentaria nada NESTE CASO. Pebolim. Abraco, Ralph 2011/5/19 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Um problema curioso e... insolúvel
Olá a todos, Uma curiosidade: Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir seguramente uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com
[obm-l] DEZENAS MÁGICAS!
Olá, Pessoal! Como campeão de artigos off me sinto à vontade em protestar contra exaustivas discussões de subtrair 2 de 3 até porque o assunto não acrescentou nenhuma dúvida aos nobres colegas. Quanto á Mega-sena, a probabilidade de ser sorteada uma combinação selecionada é a mesma de ser sorteada qualquer combinação especial, já que o jogo não tem memória. Portanto, imaginarmos que, afastando as combinações especiais, as probabilidades aumentam é pura ilusão. Se daqui a 100 anos, ainda existir a Mega-sena, terão sido observados pouco mais de 0,01% dos 50.063.860 de possíveis resultados, se não houver a repetição de qualquer resultado do sorteio. Um péssimo negócio seria fechar as 60 dezenas pagando pouco mais de R$ 100 Milhões e ganhar com certeza um mísero prêmio. Agora se jogar estes mesmos cartões totalmente ao acaso sem se preocupar em fechar todas dezenas sua probabilidade de ganhar cai para aproximadamente 2/3. Ou seja gastou a mesma fortuna, mas num caso tem a certeza de ganhar, e no outro caso, tem apenas 0,63% de chance. Como se explica esta mágica? Agora, se você não quer ganhar na Mega-sena é só jogar toda semana, durante 50 anos, gastando 200 reais por semana e ainda assim, existe uma probabilidade de ganhar de menos de 1%. (Pelo visto o melhor é não jogar) O curioso é que a longo prazo, tanto faz apostar de qualquer forma, mas no curto prazo, mudam as probabilidades e os valores a ser pagos. Se eu jogar 8 dezenas a minha chance é 1 em 539, mas se jogar 28 cartões (pagando igual) a minha chance é de 1 em 84, como pode ser isto? Abraços!
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Acho que faz sentido ao invés de usar LaTex, usar a imagem, assim fica mais acessível: Acho que todo mundo vai conseguir ler (corrijam-me se eu estiver errado). Bem, me parece que vc quis resolver o problema, não para r e s, mas para quaisquer 2 conjuntos. A resposta do Paulo está correta para o que pede o enunciado. Se você quiser calcular para quaisquer 2 conjuntos, tem que tomar cuidado com o possível termo pois ele não está sendo contado 2 vezes para vc fazer 1/2*.
[obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel
Em aberto? Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva mínima, e continuar até chegar às margens. Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente encontrará a margem, não? O algoritmo seria: n - 1 Enquanto não achar a margem, repita: - dar n braçadas para frente - virar 90 graus para a esquerda - dar n braçacas para frente - virar 90 graus para a esquerda - n - n + 1 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito! Tem alguma falha que eu não vi nesse processo? Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela bousk...@msn.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel OFF TOPIC
Hahaha, Adorei Bruno! Este negócio de andar (nadar) prá frente, para trás, girar, etc, etc, me fez fazer uma viagem no tempo, pois me lembrei do velho LOGO ainda em DOS! Como não sei sua idade, posso estar falando japonês, mas há 1 anos atrás (como diria o Raul Seixas), quando a IBM encampou um interessante projeto de Logo nas escolas, minha empresa (na época) era chancelada para apresentar treinamentos desta (boa) geringonça aos professores. O velho e eficaz construtivismo ainda pouco usado nas escolas, mesmo hoje (neguinho ainda anda muito conteudista pro meu gosto). Se não estou delirando, acho que na época ainda havia muito Windows 3.11... na praça (mas certamente eu já era viciado no malditoTetris usual e em uma versão tridimensional ótima). Caraca! Que viagem! Afetuoso abraço, Nehab Em 19/5/2011 17:23, Bruno França dos Reis escreveu: Em aberto? Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva mínima, e continuar até chegar às margens. Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente encontrará a margem, não? O algoritmo seria: n- 1 Enquanto não achar a margem, repita: - dar n braçadas para frente - virar 90 graus para a esquerda - dar n braçacas para frente - virar 90 graus para a esquerda - n- n + 1 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito! Tem alguma falha que eu não vi nesse processo? Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/19 Albert Bouskelabousk...@msn.com Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela bousk...@msn.com = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
