[obm-l] Envio Remessa Revista Eureka No. 33
Prezados(as) Professores(as), Estamos enviando hoje (27/06) pelo correio postal a remessa de revistas Eureka! No. 33 para todas as coordenações regionais, colégios cadastrados na OBM 2011 e sócios com anuidade em dia da AOBM. Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=1/2 abc=-1/8, isto é, ABC=-1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2+3/2=1=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: 1/2-3(1/4)=-1/4=D(D^2-3SP)=D(D^2+3S/2) (onde P=ABC=-1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
[obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda vale. 2011/6/27 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2 abc=1/8, isto é, ABC=1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
[obm-l] Números inteiros
Achar todas as soluções inteiras da equação abc - 2 = a + b + c . É fácil achar algumas soluções.Como (2,2,2) ou (3,3,1),por exemplo. Isolando b,obtemos b=(a+c+2)/(ac - 1),a impressão que dá é que em geral o módulo de ac é maior que o módulo de a+c, o módulo do denominador é maior que o módulo do numerador e b não é inteiro. Tentei uma maneira de restringir ao máximo os possíveis valores de a e c,mas...emperrei. Obrigado a quem puder ajudar.
[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros
Eh fiquei tambem com a impressao que, em geral, ac eh bem maior que a+c em
modulo.
Vejamos como formalizar isto. Primeiro vou me livrar de uns casos pequenos
(que soh vi serem necessarios depois que terminei o problema :P):
CASO 0: Se um deles for 0 (digamos a=0)
Entao -2=b+c, que tem uma infinidade de solucoes. Assim, temos as inumeras
solucoes do tipo (0,n,-2-n) com n inteiro, e suas permutacoes.
CASO 1: Se um deles for 1 (digamos a=1).
Entao bc-2=b+c+1, isto eh, (b-1)(c-1)=4. Temos entao
{b-1,c-1}={2,2},{-2,-2},{1,4} ou {-1,-4}. Daqui vem as solucoes novas:
(1,3,3), (1,-1,-1), (1,2,5) -- e permutacoes.
CASO 2: Se um deles for -1 (digamos a=-1)
Entao -bc-2=-1+b+c
bc+b+c+1=0
(b+1)(c+1)=0
Entao b=-1 ou c=-1. Assim temos as solucoes do tipo (-1,-1,n) e permutacoes.
Acho que agora jah dah para fazer o caso geral, onde vou supor que todos
sao, em modulo, maiores que 2. Mas os sinais atrapalham, entao vou
subdividir em mais casos:
CASO 3: Todos positivos (digamos a=b=c=2).
a(bc-1)=b+c+2 (como bc-10, a=2 e c=b)
2(bc-1)=2b+2
bc-1=b+1
b(c-1)=2
Que nao dah muitas opcoes Como b=c=2, soh fica a opcao b=c=2!
Em suma, achamos apenas a resposta (2,2,2).
CASO 4: Dois positivos, um negativo (digamos a=b=2 mas c=-2)
Entao troco (a,b,c) por (A,B,-C) para ficar com A,B,C positivos. Fica:
-ABC-2=A+B-C
ABC+A+B=C-2
Mas ABC+A+B=4C+2+2, entao:
C-2=4C+4
C=-2 (impossivel)
CASO 5: Dois negativos, um positivo (digamos a=2 e -2=b=c)
Troco (a,b,c) por (A,-B,-C). Fica:
ABC-2=A-B-C
ABC+B+C=A+2
Mas ABC+B+C=4A+2+2, entao:
A+2=4A+4
3A=-2 (impossivel)
CASO 6: Todos negativos (digamos, 0c=b=a)
Troco (a,b,c) por (-A,-B,-C) (com A=B=C)
-ABC-2=-A-B-C
A(BC-1)=B+C-2
Como BC-10, A=2 e C=B, vem:
2(BC-1)=2B-2
BC-1=B-1
B(C-1)=0 (impossivel, pois B,C=2)
Resumindo tudo, as solucoes sao:
(0,n,-2-n), (-1,-1,n), (1,3,3), (1,2,5), (2,2,2) e permutacoes.
Abraco,
Ralph
2011/6/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Achar todas as soluções inteiras da equação abc - 2 = a + b + c .
É fácil achar algumas soluções.Como (2,2,2) ou (3,3,1),por exemplo.
Isolando b,obtemos b=(a+c+2)/(ac - 1),a impressão que dá é que em geral
o módulo de ac é maior que o módulo de a+c,
o módulo do denominador é maior que o módulo do numerador e b não é
inteiro.
Tentei uma maneira de restringir ao máximo os possíveis valores de a e
c,mas...emperrei.
Obrigado a quem puder ajudar.
