Re: [obm-l] eureka 33
Olá, João, claro que dá para somar e subtrair coisas máginas (hehe) e chegar a essa fatoração. Uma maneira bastante simples de prová-la é enxergá-la como um polinômio. p(x) = x^3 - 3bcx + b^3 + c^3 Veja que p(-b-c) = 0: p(-b-c) = (-b-c)^3 - 3bc(-b-c) + b^3 + c^3 = = -(b+c)^3 + 3b^2c + 3bc^2 + b^3 + c^3 = = -b^3 - c^3 - 3b^2c - 3bc^2 + 3b^2c + 3bc^2 + b^3 + c^3 = = 0 Desta maneira, p(x) = (x - (-b-c))q(x) = (x+b+c)q(x) Para determinar q(x), podemos usar Briott-Ruffini (espero que seja assim que escreve). -(b+c) | 10 -3bc (b^3+c^3) -- | 1 -(b+c) -3bc+(b+c)^2 3bc(b+c)-(b+c)^3+b^3+c^3 = 0 Assim: q(x) = x^2 - (b+c)x - 3bc+(b+c)^2 = x^2 - bx - cx - 3bc + b^2 + c^2 + 2bc = x^2 + b^2 + c^2 - bx - cx - bc Portanto: p(x) = (x+b+c)(x^2 + b^2 + c^2 - bx - cx - bc) Espero ter ajudado. Abraços, Salhab 2011/7/20 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Ainda não li a Eureka 33, mas me lembro de uma fatoração que meu professor me propôs a+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²- ab -bc-ac), como a+b+c vale 0 o resultado segue. -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] eureka 33 Date: Wed, 20 Jul 2011 02:38:10 + sejam a,b e c numeros reais tais que a+b+c=0,prove que a) a^3 + b^3 + c^3 = 3abc b) (a^2 + b^2 + c^2)/2 *(a^5 + b^5 + c^5)/5 = (a^7 + b^7 + c^7)/5 A questao esta praticamente resolvida na revista. No caso do item a,é possivel seguir um caminho um pouco diverso ao da revista: a+b+c=o=(a+b)^3=-c^3=a^3 + 3ab(a+b) + b^3=-c^3=a^3 + b^3 +c^3=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc No caso do item b(embora seja bem legal o enfoque da revista),haveria um outro caminho tambem interessante?
[obm-l] FW: Combinatória
Olá. Eu não vejo erro, aliás é até mais prática do que as soluções já apresentradas. Só esclarecendo para os outros, demorei um pouco para entender: ABC significa que A está a frente de B que está a frente de C (não importa de que jeito)Ex:ADBECF ou ABDEFC, DEFABC, etc Date: Tue, 19 Jul 2011 11:30:17 -0300 Subject: Combinatória From: facande...@gmail.com To: joao_maldona...@hotmail.com Prezador colega. Outra maneira seria a seguinte, usando sua convenção para o nome dos concorrentes.Os possíveis resultados seriam uma das seis permutações, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. todas equiprováveis. Como a ordem favorável é ABC, e probabilidade de sua ocorrência será 1/6, que será também a de Felipe ser campeão, como você achou Está certa essa linha de raciocínio?Sds. Fernando Candeias
[obm-l] A procura de um livro! (off-topic)
Alguém poderia me indicar algum site que tenha o livro: L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, University of Chicago Press, 1923 p.s.: poderia ser para download, pois pela data acho que não tem mais para vender! -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] FW: Combinatória
Olá. Eu não vejo erro, aliás é até mais prática do que as soluções já apresentradas. Só esclarecendo para os outros, demorei um pouco para entender: ABC significa que A está a frente de B que está a frente de C (não importa de que jeito)Ex: ADBECF ou ABDEFC, DEFABC, etc Date: Tue, 19 Jul 2011 11:30:17 -0300 Subject: Combinatória From: facande...@gmail.com To: joao_maldona...@hotmail.com Prezador colega. Outra maneira seria a seguinte, usando sua convenção para o nome dos concorrentes.Os possíveis resultados seriam uma das seis permutações, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. todas equiprováveis. Como a ordem favorável é ABC, e probabilidade de sua ocorrência será 1/6, que será também a de Felipe ser campeão, como você achou Está certa essa linha de raciocínio?Sds. Fernando Candeias
Re: [obm-l] A procura de um livro! (off-topic)
Olá, Pedro! http://www.archive.org/details/117770259 Espero que sirva para seus propósitos. Abraço. Leandro. From: Pedro Júnior Sent: Wednesday, July 20, 2011 8:13 AM To: obm-l Subject: [obm-l] A procura de um livro! (off-topic) Alguém poderia me indicar algum site que tenha o livro: L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, University of Chicago Press, 1923 p.s.: poderia ser para download, pois pela data acho que não tem mais para vender! -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
Re: [obm-l] A procura de um livro! (off-topic)
Tem na Amazon, João, Abraços, Nehab Em 20/7/2011 08:13, Pedro Júnior escreveu: Alguém poderia me indicar algum site que tenha o livro: L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, University of Chicago Press, 1923 p.s.: poderia ser para download, pois pela data acho que não tem mais para vender! -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] FW: Combinatória
Eu gosto MUITO da solucao do Fernando, tambem acho que eh a mais elegante. Isto dito, vou ser chato muito muito chato: nada no problema sugere nem pede probabilidades. Entao vamos usar a otima ideia, mas mudar a linguagem: Para cada possibilidade que tenha a ordem ABC, teremos possibilidades correspondentes com as ordens ACB, CAB, etc. Ou seja, o numero de classificacoes possiveis eh 6 vezes o numero de classificacoes pedido. Assim, existem 6!/6=120 classificacoes possiveis onde Felipe se torna campeao. E notem que isto NAO significa que a probabilidade de Felipe ser campeao eh 1/6, jah que ninguem sabe se as possibilidades sao realmente igualmente provaveis. (Alias, considerando o momento da Red Bull e do Felipe... :) :) :) :) ) Abraco, Ralph 2011/7/20 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Olá. Eu não vejo erro, aliás é até mais prática do que as soluções já apresentradas. Só esclarecendo para os outros, demorei um pouco para entender: ABC significa que A está a frente de B que está a frente de C (não importa de que jeito) Ex: ADBECF ou ABDEFC, DEFABC, etc -- Date: Tue, 19 Jul 2011 11:30:17 -0300 Subject: Combinatória From: facande...@gmail.com To: joao_maldona...@hotmail.com Prezador colega. Outra maneira seria a seguinte, usando sua convenção para o nome dos concorrentes. Os possíveis resultados seriam uma das seis permutações, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. todas equiprováveis. Como a ordem favorável é ABC, e probabilidade de sua ocorrência será 1/6, que será também a de Felipe ser campeão, como você achou Está certa essa linha de raciocínio? Sds. Fernando Candeias
[obm-l] Questão Eureka 33
Olá 3) Encontre o menor k 2 para o qual existem k números inteiros consecutivos, tais que a soma dos seus quadrados é um quadrado. Minha resolução: para k =3 (r-1)²+r²+(r+1)² = x²3r²+2 = x², x = 3n+1 ou 3n-1, x² = 3p+1, impossível para k = 44r²+4r+6 = x² - x² é múltiplo de 2 mas não de 4, impossível para k=55r²+10 = x²5(r²+2)=x²r²+2 = 5kr=5p+2, 5p-2, 5 p+1, 5p-15n+6 ou 5n + 3 = 5k, impossível para k=66r²+6r+19 = x²6(r²+r+3)+1 = x²x=6p+ 3, 6p+2, 6p-2, 6p+1, 6p-1temos x = 6p+1 ou 6p-1 6(r²+r+3)+1 = 36p² -+ 12p + 1X = r² + r + 3 = 2(3p² +-p) ser é par, X é ímpar, se r é ímpar, X é ímpar para k = 7 7r² + 28 = x²7 (r²+ 4) = x² r²+4 múltiplo de 7, r = 7p+1, 7p-1, 7p+2, 7p-2, 7p+3, 7p-3r²+4 = 7n -1, 7n-2, 7n+1, absurdo para k = 8 8r²+8r+44 = x² 4(2r² +2r+11) = x² Não vejo nenhum problema aqui, será k = 8 a resposta? Se sim, como provar? []'s, Joaao
