[obm-l] SUGESTÃO PARA UM PROBLEMA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
DETERMINE A QUANTIDADE DE NÚMEROS COMPREENDIDOS ENTRE 1 E 1 CUJA A SOMA DE ALGARISMOS É 12. O QUE EU PENSEI: COM 1 ALGARISMO NÃO HÁ COMO. COM 2 ALGARISMOS, O ZERO NÃO INTERFERE, LOGO, SOLUÇÕES INTEIRAS E POSITIVAS PARA X1 + X2 = 12 E FAZENDO A CORREÇÃO, OU SEJA SUBTRAINDO DOS CASOS ONDE X1 9 OU X2 9. (PELO MENOS ACHEI QUE ESTAVA INDO BEM) COM 3 ALGARISMOS, O ZERO INTERFERE, 408, 804, SÃO EXEMPLOS. O PROBLEMA QUE PASSEI A TER MUITA RESTRIÇÃO, SE CONSIDERO SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO NEGATIVAS PARA X1 + X2 + X3 = 12 E PENSO EM FAZER A CORREÇÃO, X1 9 OU X2 9 OU X3 9, AINDA TENHO OUTRO PROBLEMA, TENHO QUE DESCONSIDERAR OS CASOS ONDE X1 = 0, AFINAL, POSSO TER 408 E 480 MAS NÃO O 048. SE ALGUÉM PUDER ME ORIENTE, OBRIGADO!
[obm-l] Re: [obm-l] SUGESTÃO PARA UM PROBLEMA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
Ola' Marcelo, minha sugestao e' que voce imponha solucoes inteiras positivas, e depois voce acrescenta os zeros, evitando a casa mais significativa. Outra sugestao, offtopic, e' que voce evite escrever em maiusculas, pois cria enorme poluicao visual atrapalhando a leitura. []'s Rogerio Ponce Em 26 de julho de 2011 07:32, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: DETERMINE A QUANTIDADE DE NÚMEROS COMPREENDIDOS ENTRE 1 E 1 CUJA A SOMA DE ALGARISMOS É 12. O QUE EU PENSEI: COM 1 ALGARISMO NÃO HÁ COMO. COM 2 ALGARISMOS, O ZERO NÃO INTERFERE, LOGO, SOLUÇÕES INTEIRAS E POSITIVAS PARA X1 + X2 = 12 E FAZENDO A CORREÇÃO, OU SEJA SUBTRAINDO DOS CASOS ONDE X1 9 OU X2 9. (PELO MENOS ACHEI QUE ESTAVA INDO BEM) COM 3 ALGARISMOS, O ZERO INTERFERE, 408, 804, SÃO EXEMPLOS. O PROBLEMA QUE PASSEI A TER MUITA RESTRIÇÃO, SE CONSIDERO SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO NEGATIVAS PARA X1 + X2 + X3 = 12 E PENSO EM FAZER A CORREÇÃO, X1 9 OU X2 9 OU X3 9, AINDA TENHO OUTRO PROBLEMA, TENHO QUE DESCONSIDERAR OS CASOS ONDE X1 = 0, AFINAL, POSSO TER 408 E 480 MAS NÃO O 048. SE ALGUÉM PUDER ME ORIENTE, OBRIGADO!
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Soma dos dígitos de um número
Bem, você tem mesmo que torcer para que isto tenha um só dígito. Umas contas e desigualdades do tipo 'o maior número de 100 dígitos é 9...9' dão conta, mais um pouquinho de logaritmos. Depois, usa módulo 9! Em 25/07/11, Frederico Matosfrederi...@hotmail.com escreveu: Bem, se adotarmos que F(F(F(2000^2000) só tem um digito tomamos a seguinte provisão: como jah bem citou: F(F(F(F(2000^2000) = F(F(F(F(2^2000) jah que a soma dos digitos de um numero n.10^x é n. Agora veja como no 2 a soma do digitos eh cíclica: 2^0 = 1 = 1 2^1 = 2 = 2 2^2 = 4 = 4 2^3 = 8 = 8 2^4 = 16 = 7 2^5 = 32 = 5 2^6 = 64 = 10 = 1 2^7 = 128 = 11 = 2 2^8 = 256 = 13 = 4 2^9 = 512 = 8 2^10 = 1024 = 7 2^11 = 2048 = 14 = 5 Então F(2^n) = F(2^n_mod(6)) Logo F(2^2000) = F(2^2000mod(6)) = F(2^2) = 4 From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Soma dos dígitos de um número Date: Sun, 24 Jul 2011 13:08:05 -0300 Dado a função F(x) = soma dos dígitos de x, calcule F(F(F(F(2000^2000 Parece que se aplicarmos inúmeras vezes F,até que o número só tenha um dígito, o resultado é o resto da divisão do número por 9 (também não sei porque), a não ser que o número seja divisível por 9, daí o resto é 9. Como F(2000^ 2000) = F(2^2000) não sendo divísivel 9, pela regra daria 2^1998. 2^2 mod(9) = (-1)^1998.4 = 4 mod(9) Mas ainda falta provar tal regra e também que F(F(F(F( 2^2000 só tem 1 dígito []'s João -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Essa ainda não consegui!!!
Mas esse é bem mais moleza! Os pontos são da forma (x_i,y_i) Os médios são da forma ((x_i+x_j)/2,(y_i+y_j)/2) Se conseguirmos garantir que existem dois pontos (x_i,y_i) e (x_j,y_j) tais que as coordenadas x tenham igual paridade, bem como as coordenadas y, acabou. Se isto não ocorresse, o que se daria? Temos pontos do tipo (par,par), (par, impar), (impar, par) e (impar, impar). Como são cinco pontos, um dos tipos se repete. E achamos os pontos! Agor, seria interessante se pudéssemos ver este problema acima. Creio que existe um numero tao grande de pontos quantos se queira, de modo que as coordenadas de intersecção sejam sempre fracionárias. Em 24/07/11, Pedro Júniorpedromatematic...@gmail.com escreveu: Exatamente caríssimo Ralph, tens razão, é que estava tentanto lembrar do problema e fui escrevendo, mas vc me fez lembrar direitinho, como sempre!!! Parabéns. Em 24 de julho de 2011 11:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Ah... aposto que o problema original era para mostrar que um dos PONTOS MEDIOS desses 10 segmentos tem coordenadas inteiras, nao? Ai tudo faz sentido: basta olhar a paridade de ambas as coordenadas. Ha 4 classes de possibilidades: (Par,Par), (Par, Impar), (Impar, Par), (Impar, Impar). Como voce tem 5 pontos, pombas, tem que haver dois deles dentro da mesma classe, digamos, X e Y. Mas entao as coordenadas de X+Y serao ambas pares, isto eh, as coordenadas do ponto medio (X+Y)/2 serao inteiras. Aposto 10 pratas que era esse o problema! Em dolar! :) Abraco, Ralph 2011/7/24 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Sejam A, B, C, D e E pontos do plano cartesiano de coordenadas inteiras. Três quaisquer desses pontos não estão alinhados, logo formam dez segmentos. Mostre que pelo menos um dos pontos de intersecção desses segmentos é um ponto, também, de coordenadas inteiras. Desde já agradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas
Não estou conseguindo resolver: 1) Sejam u, v e w as raízes do polinômio x^3 -10x + 11.Determine o valor de arctg u + arctg v + arctgw 2) Prove que cos20*cos40*cos80 = 1/8 3) Prove que cossec 6 + cossec 78 - cossec 42 - cossec 66 = 8
[obm-l] Sobre texto em inglês de história da matemática
Bom Noite Sou graduado em Física e estou me graduando em Matemática e gostaria de encontrar pequenos artigos em inglês sobre história da matemática principalmente em geometria, pois estou fazendo um trabalho em conjunto com a professora de inglês na escola em que trabalho e estimular os alunos pelo gosto pela disciplina. Os alunos são do nono ano (antigo oitava série) do ensino fundamental. Sei que escapa um pouco do assunto dessa lista mas se alguém ajudar ficaria muito grato. Atenciosamente Regis Godoy Barros = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas
2) x=cos(20)cos(40)cos(80) = 2sen(20)cos(20)cos(40)cos(80)/2sen(20) = sen(40)cos(40)cos(80)/2sen(20) = sen (80)cos(80)/4sen(20) = sen(160)/8sen(20) = 1/8 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas Date: Tue, 26 Jul 2011 19:16:01 + Não estou conseguindo resolver: 1) Sejam u, v e w as raízes do polinômio x^3 -10x + 11.Determine o valor de arctg u + arctg v + arctgw 2) Prove que cos20*cos40*cos80 = 1/8 3) Prove que cossec 6 + cossec 78 - cossec 42 - cossec 66 = 8
[obm-l] RE: [obm-l] SUGESTÃO PARA UM PROBLEMA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
OláSei que deve haver jeitos mais bonitos de resolver o problema, entretanto para tal tipo de problema eu sempre aconselho fazer de 2 maneiras distintas, a tradicional (demorada, mas bem difícil de errar) e a matemática. Vou abordar aqui uma maneira um extremamente tradcional. 2 algarismos: 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93TOTAL = 7 3 algarismos: x1=1 - 129, 138, 147... 192 - 8x1=2 - 219 até 291 - 9x1=2 - 309 até 390 - 10x1=3 - 9...x1=9 - 4TOTAL = 66 4 algarismos: x1=1x2=0 - 1029 até 1092 - 8x2=1 - 1119 até 1191 - 9x2=2 - 109...x2=9 - 1902 ate 1920 - 3total =69 x1=2x2=0 - 910987...x2=9 - 2total =63 x1=3 total=55453628, 21, 15, 10 TOTAL= 342 SOMANDO 415 []'sJoão From: mat.mo...@gmail.com Date: Tue, 26 Jul 2011 07:32:41 -0300 Subject: [obm-l] SUGESTÃO PARA UM PROBLEMA DE ANÁLISE COMBINATÓRIA To: obm-l@mat.puc-rio.br DETERMINE A QUANTIDADE DE NÚMEROS COMPREENDIDOS ENTRE 1 E 1 CUJA A SOMA DE ALGARISMOS É 12. O QUE EU PENSEI: COM 1 ALGARISMO NÃO HÁ COMO.COM 2 ALGARISMOS, O ZERO NÃO INTERFERE, LOGO, SOLUÇÕES INTEIRAS E POSITIVAS PARA X1 + X2 = 12 E FAZENDO A CORREÇÃO, OU SEJA SUBTRAINDO DOS CASOS ONDE X1 9 OU X2 9. (PELO MENOS ACHEI QUE ESTAVA INDO BEM) COM 3 ALGARISMOS, O ZERO INTERFERE, 408, 804, SÃO EXEMPLOS. O PROBLEMA QUE PASSEI A TER MUITA RESTRIÇÃO, SE CONSIDERO SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO NEGATIVAS PARA X1 + X2 + X3 = 12 E PENSO EM FAZER A CORREÇÃO, X1 9 OU X2 9 OU X3 9, AINDA TENHO OUTRO PROBLEMA, TENHO QUE DESCONSIDERAR OS CASOS ONDE X1 = 0, AFINAL, POSSO TER 408 E 480 MAS NÃO O 048. SE ALGUÉM PUDER ME ORIENTE, OBRIGADO!
[obm-l] Re: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas
2) Seja P o produto desejado: cos20*cos40*cos80 = P 2sen20*cos20*cos40*cos80 = 2P*sen20 sen40*cos40*cos80 = 2P*sen20 sen80*cos80 = 4P*sen20 sen160 = 8P*sen20 = P = 1/8 acho que é isso. Em 26 de julho de 2011 16:16, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Não estou conseguindo resolver: 1) Sejam u, v e w as raízes do polinômio x^3 -10x + 11.Determine o valor de arctg u + arctg v + arctgw 2) Prove que cos20*cos40*cos80 = 1/8 3) Prove que cossec 6 + cossec 78 - cossec 42 - cossec 66 = 8
[obm-l] RE: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas
3) Primeiro temos que resolver a equação sen(5x) = 1/2 Vemos que o Sen é sempre igual a 1/2 quando t = 30 + 360k ou 150 + 360k, Daonde achamos 10 valores para x:630, 78, 102, 150, 174, 222, 246, 294 e 318porém, temos 5 igualdades d Sen, daonde serve-se, os:6, 30, 78, 222 e 246 Temos que Q = cossec6 + cossec78 - cossec42 - cossec66 = cossec6 + cossec78 + cossec222 + cossec246 Q+cossec30 = cossec 6 + cossec 3 0 + cossec78 + cossec222 + cossec246 Sabemos que sen(6), sen(30), sen(78), sen(222), sen(246) são as raízes da equação sen(5x) = 1/2 , em sen(x)sen(5x) = 16sen^5 (x) - 20sen^3(x) + 5sen(x) = 1/2 32k^5 - 40k^3 + 10k - 1 = 0Cujas raízes já sabemos Q+cossec30 = cossec 6 + cossec 3 0 + cossec78 + cossec222 + cossec246Q+cossec30 = 1/sen(6) + 1/sen(30) + 1/sen(78) + 1/sen(222) + 1/sen(246) = produto 4 a 4/produto 5 a 5 produto 4 a 4 = e/aproduto 5 a 5 = -f/a Q+2 = -e/f = 10Q=8 Tente ler esse artigo, consegui relver o problema depois de ter lido o segundo exercício resolvido , parecido com esse, mas mais fácil http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/polinomio_expressoes_algebricas.doc []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas Date: Tue, 26 Jul 2011 19:16:01 + Não estou conseguindo resolver: 1) Sejam u, v e w as raízes do polinômio x^3 -10x + 11.Determine o valor de arctg u + arctg v + arctgw 2) Prove que cos20*cos40*cos80 = 1/8 3) Prove que cossec 6 + cossec 78 - cossec 42 - cossec 66 = 8
[obm-l] RE: RE: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas
3) Primeiro temos que resolver a equação sen(5x) = 1/2 Vemos que o Sen é sempre igual a 1/2 quando t = 30 + 360k ou 150 + 360k, Daonde achamos 10 valores para x:630, 78, 102, 150, 174, 222, 246, 294 e 318porém, temos 5 igualdades d Sen, daonde serve-se, os:6, 30, 78, 222 e 246 Temos que Q = cossec6 + cossec78 - cossec42 - cossec66 = cossec6 + cossec78 + cossec222 + cossec246 Q+cossec30 = cossec 6 + cossec 3 0 + cossec78 + cossec222 + cossec246 Sabemos que sen(6), sen(30), sen(78), sen(222), sen(246) são as raízes da equação sen(5x) = 1/2 , em sen(x)sen(5x) = 16sen^5 (x) - 20sen^3(x) + 5sen(x) = 1/2 32k^5 - 40k^3 + 10k - 1 = 0Cujas raízes já sabemos Q+cossec30 = cossec 6 + cossec 3 0 + cossec78 + cossec222 + cossec246Q+cossec30 = 1/sen(6) + 1/sen(30) + 1/sen(78) + 1/sen(222) + 1/sen(246) = produto 4 a 4/produto 5 a 5 produto 4 a 4 = e/aproduto 5 a 5 = -f/a Q+2 = -e/f = 10Q=8 Tente ler esse artigo, consegui relver o problema depois de ter lido o segundo exercício resolvido , parecido com esse, mas mais fácil http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/polinomio_expressoes_algebricas.doc []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas Date: Tue, 26 Jul 2011 19:16:01 + Não estou conseguindo resolver: 1) Sejam u, v e w as raízes do polinômio x^3 -10x + 11.Determine o valor de arctg u + arctg v + arctgw 2) Prove que cos20*cos40*cos80 = 1/8 3) Prove que cossec 6 + cossec 78 - cossec 42 - cossec 66 = 8
[obm-l] RE: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas
Temos que tan(a+b) = [tan(a)+ tan(b)]/(1-tan(a)tan(b))Vem que tan(a+b+c) = (tan(a)+tan(b)+tan(c) - tan(a)tan(b)tan(c))/(1-(tan(a)tan(b) + tan(a)tan(c) + tan(b)tan(c)) fazendo u=tan(a), v=tan(b) e w = tanc, Temos qur tan(a+b+c) = (0+11)/(1+10) = 1 Logo a+b+ c=45º e arctan u + arctan v + arctan w = Pi/4 []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas Date: Tue, 26 Jul 2011 19:16:01 + Não estou conseguindo resolver: 1) Sejam u, v e w as raízes do polinômio x^3 -10x + 11.Determine o valor de arctg u + arctg v + arctgw 2) Prove que cos20*cos40*cos80 = 1/8 3) Prove que cossec 6 + cossec 78 - cossec 42 - cossec 66 = 8
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas
Obrigado!E meus Parabéns. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas Date: Tue, 26 Jul 2011 20:31:22 -0300 3) Primeiro temos que resolver a equação sen(5x) = 1/2 Vemos que o Sen é sempre igual a 1/2 quando t = 30 + 360k ou 150 + 360k, Daonde achamos 10 valores para x: 6 30, 78, 102, 150, 174, 222, 246, 294 e 318 porém, temos 5 igualdades d Sen, daonde serve-se, os: 6, 30, 78, 222 e 246 Temos que Q = cossec6 + cossec78 - cossec42 - cossec66 = cossec6 + cossec78 + cossec222 + cossec246 Q+cossec30 = cossec 6 + cossec 3 0 + cossec78 + cossec222 + cossec246 Sabemos que sen(6), sen(30), sen(78), sen(222), sen(246) são as raízes da equação sen(5x) = 1/2 , em sen(x) sen(5x) = 16sen^5 (x) - 20sen^3(x) + 5sen(x) = 1/2 32k^5 - 40k^3 + 10k - 1 = 0 Cujas raízes já sabemos Q+cossec30 = cossec 6 + cossec 3 0 + cossec78 + cossec222 + cossec246 Q+cossec30 = 1/sen(6) + 1/sen(30) + 1/sen(78) + 1/sen(222) + 1/sen(246) = produto 4 a 4/produto 5 a 5 produto 4 a 4 = e/a produto 5 a 5 = -f/a Q+2 = -e/f = 10 Q=8 Tente ler esse artigo, consegui relver o problema depois de ter lido o segundo exercício resolvido , parecido com esse, mas mais fácil http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/polinomio_expressoes_algebricas.doc []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Expressões algébricas e trigonométricas Date: Tue, 26 Jul 2011 19:16:01 + Não estou conseguindo resolver: 1) Sejam u, v e w as raízes do polinômio x^3 -10x + 11.Determine o valor de arctg u + arctg v + arctgw 2) Prove que cos20*cos40*cos80 = 1/8 3) Prove que cossec 6 + cossec 78 - cossec 42 - cossec 66 = 8
