Seja f(x) = ax² + bx + c com a 0. Mostre que f((x+y)/2) [f(x) +f(y)]/2.
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Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
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acredita-se estar livre de perigo.
É o teorema de Jensen, temos que provar que a função é convexa (meio fácil de
ver né? )
Suponha o contrário, ou seja,
f((x+y)/2) = [f(x) +f(y)]/2.
E suponha x!=y
teríamos
a(x+y)²/4 + b(x+y)/2 + c = a(x²+y²)/2 + b(x+y)/2 + c =
(x+y)² = 2(x²+y²)
(x-y)²=0, absurdo
[]'s
João
Date: Sun, 7 Apr
Falou João, muito obrigado!
Em 7 de abril de 2013 15:16, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:
É o teorema de Jensen, temos que provar que a função é convexa (meio fácil
de ver né? )
Suponha o contrário, ou seja,
f((x+y)/2) = [f(x) +f(y)]/2.
E suponha x!=y
teríamos
Temos que f''(x)= 2a 0 para todo x.
Segue de Jensen que f(x+y/2) (f(x)+f(y))/2
Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300
Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Seja f(x) = ax² + bx + c com a 0. Mostre que f((x+y)/2) [f(x)
Já vi que usando o teorema fica simples... mas fiquei curioso com uma
coisa: dos arquivos que baixei sobre a desiguldade de Jansen, nenhum deles
mostra como foi intuida tal desigualdade. Usam indução numa desigualdade
que surgiu de onde? Será que te uma prova direta... ou só o fato geométrico
é
Ou eu não entendi o enunciado, ou ele está errado.
Para n fixado, seja o conjunto de equipes 1,2,3,...,n, onde n ganha de todo
mundo, n-1 ganha de todos exceto o n, etc. Ou seja, o resultado da partida
i,j é max(i,j).
Esse torneio satisfaz o enunciado, mas não satisfaz i nem ii.
2013/4/6
Não, para que uma prova seja matematicamente válida não podemos apelar para a
geometria. A prova da desigualdade de Jensen baseia-se na definição de função
convexa. Uma função com valores em R é convexa se, para todos x1 e x2 de seu
domínio tivermos f(Lx1 + (1 - L)x2) = L f(x1) + (1 - L)
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