[obm-l] Provar que y tem uma infinidade de zeros em R
Mostre que, se g de R em R é contínua e seu ínfimo em R é positivo, em toda solução da EDO y'' + gy = 0 tem uma infinidade de zeros. Obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provar que y tem uma infinidade de zeros em R
Este problema já apareceu aqui na lista, mas acho que ninguém resolveu a contento. Então vou dar meu palpite. Seja M o ínfimo positivo de g(x), isto é, g(x)=M0 para todo x real. ---///--- Espírito da demonstração: a) Se y for positiva e estiver descendo, a EDO faz y descer cada vez mais rápido, e ela VAI cortar o eixo. b) Se y for positiva e estiver subindo, fica sempre acima de um certa cota N. Então y' vai descer à taxa de pelo menos (M.N), e vai acabar ficando negativa; então recaímos no caso (a). c) Se y for negativa, é análogo. ---///--- Agora, vamos fazer mais formalmente: LEMA 1: Se y(a)0, então y admite uma raiz em (a,+Inf). Dem.: Suponha, por contradição, que não há tal raiz. Vamos analisar o comportamento de y(x), y'(x) e y''(x) RESTRITAS AO INTERVALO [a,+Inf) (por abuso de notação, vou continuar chamando as restrições de y, y' e y''). Ou seja, todas as afirmações se referem apenas ao intervalo [a,+Inf). Para começar, por continuidade, teríamos y(x)0, e consequentemente y''(x)=-g(x)y(x)0. Ou seja, y(x) seria uma função côncava. Se fosse y´(c)0 para algum c=a, isto já daria uma contradição. Afinal, a reta tangente a y(x) em (c,y(c)) cortaria o eixo à direita de c, e como y é côncava seu gráfico está ABAIXO desta reta tangente, então o gráfico de y(x) também deveria cortar o eixo, absurdo. Ou seja, devemos ter y´(x)=0 para todo x=a. Mas, neste caso, temos y(x) não-decrescente a partir de a, isto é, y(x)=N0 (onde N=y(a)). Portanto y´´(x)=-g(x).y(x) = -M.N, e então y´(x) = y(a) - MN.(x-a), que vai ficar negativo para x suficientemente grande. Isto contradiz o fato de que y´(x)=0 visto acima! LEMA 2: Se y(a)0, então y admite uma raiz ba. Análogo ao Lema 1, basta trocar crescente por decrescente e côncava por convexa. Conclusões: A) y tem pelo menos uma raiz. De fato, se y(0)=0, então 0 é raiz. Senão, pelos lemas anteriores há alguma raiz em (0,+Inf). B) y tem infinitas raízes. De fato, suponha o oposto. Então y teria uma raiz máxima, digamos, Z. Mas y(Z+2015) seria positivo ou negativo, e pelos LEMAS, haveria uma raiz ainda maior, absurdo. Abraço, Ralph. 2015-02-10 14:24 GMT-02:00 Amanda Merryl sc...@hotmail.com: Mostre que, se g de R em R é contÃnua e seu Ãnfimo em R é positivo, em toda solução da EDO y'' + gy = 0 tem uma infinidade de zeros. Obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Provar que y tem uma infinidade de zeros em R
Vou dar um argumento semelhante ao do Ralph. Sendo w 0 o inf g(x) em R, temos que g(x) = w 0 para todo x. Suponhamos que y tenha um número finito de zeros. Existe então a tal que y não se anula em [a, oo). Como y é contínua (é pelo menos duas vezes diferenciável), y não muda de sinal em [a, oo), sendo portanto estritamente positiva ou estritamente negativa neste conjunto. Para evitar repetições, a partir deste ponto todas as funções citadas são entendidas como restritas a [a, oo). Suponhamos que y seja positiva. Então, gy é positiva, o que, pela EDO, implica que y'' seja negativa. Logo, y' é estritamente decrescente. Se y' assumir algum valor = 0, então lim x -- oo y'(x) 0 e, portanto, lim x -- oo y(x) = -oo, contrariando a hipótese de y é positiva. Asim, y' é estritamente positiva, do que deduzimos que y é positiva e estritamente crescente. Logo, para x a temos que y(x) y(a) 0. Como g(x) w 0 para todo x, então para x a temos que g(x) y(x) w y(a) 0. Da EDO, segue-se então que y''(x) - w y(a) 0 para x a. Isto, por sua vez, implica que y'(x) e, portanto, y(x), tendam a -oo quando x -- oo. Logo, temos uma contradição que nos mostra que y ser positiva é uma hipótese insustentável. Pelo que vimos, temos então que y tem que ser estritamente negativa. Mas isto implica que - y seja estritamente positiva além de ser solução da EDO. Conforme mostramos, isto é uma contradição. Concluimos assim que y tem uma infinidade de zeros em R. Um problema interessante Artur Costa Steiner Em 10/02/2015, às 14:24, Amanda Merryl sc...@hotmail.com escreveu: Mostre que, se g de R em R é contÃnua e seu Ãnfimo em R é positivo, em toda solução da EDO y'' + gy = 0 tem uma infinidade de zeros. Obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
