Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
RES: [obm-l] Problema Interessante de Geometria
Olá, Ralph,
O arquivo GeoGebra (“Hexagons.ggb”) foi bloqueado pelo sistema que administra
esta Lista, em face da possibilidade de vírus (por tratar-se de um arquivo
executável).
Peço, então, que envie o respectivo arquivo diretamente para o meu e-mail.
Prometo (como sempre…) tentar encontrar uma solução ainda mais complicada do
que as já disponíveis na literatura e (para compensar!) válida somente para uns
poucos casos particulares.
Sds.,
_
Albert Bouskelá
mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de
Ralph Teixeira
Enviada em: segunda-feira, 8 de junho de 2015 21:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Ola a todos.
Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura, e
mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares simetricos...
Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um agradecimento na
dissertacao! :) :)
(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda nao
sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele aqui.)
Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n4) contendo a
origem O em seu interior. Sabe-se que:
-- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} // QiQ_{i+1}
para i=1,2,...,n, indices modulo n);
-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas respectivamente
iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para i=1,2,...n, indices
modulo n).
Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes?
Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a origem para Q
eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros pontos sao
calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem consegue fazer o
poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja congruente ao Q (mas
mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro de P?)
Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na origem
sao contra-exemplo!
Abraco, Ralph.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] RES: soma finita??? corrigindo
S=d/dx soma x^n para x=2 2015-06-02 10:44 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Suponho que seja 2^(n-1)*n? Seja 1S = 1.1+2.2+4.3+8.4+...+2^(n-1).n Entao, botando um 0 na frente para alinhar do jeito que eu quero: 2S = 0.0+2.1+4.2+8.3+...+2^(n-1).(n-1)+2^n.n Subtraindo e vendo a PG negativa: S = -1 -2 -4 -8... -2^(n-1) + 2^n.n = 2^n.n - 2^n + 1= 2^n.(n-1) + 1 Divida por n, e acabou! Abraco, Ralph. 2015-06-01 22:38 GMT-03:00 Vitório Batista Lima da Silva vitorio.si...@trf1.jus.br: De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [owner-ob...@mat.puc-rio.br] em Nome de Vitório Batista Lima da Silva Enviado: segunda-feira, 1 de junho de 2015 19:13 Para: 'obm-l@mat.puc-rio.br' Assunto: [obm-l] soma finita??? Nobres, Como procedo: Calcule a média aritmética das seguintes quantidades 1;4;12;32; ...; (2^n-1)*n Vitório Gauss -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos que
(x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Ola Fabiola, Prof da Fabiola e carissimo Ralph,
Vou fazer um esboço de prova aqui. Considere os triângulos OPiPi+1 e OQiQi+1.
Como as areas são iguais e PiPi+1 e igual a QiQi+1 e, além disso, PiPi+1 é
paralelo a QiQi+1 então as distancias OP ( de O ate PiPi+1) e OQ ( de O até
QiQi+1 ) são iguais, vale dizer :
1) QiQi+1 está na reta onde esta PiPi+1 ou2) QiQi+1 está na reta diametralmente
oposta a reta que contem PiPi+1. Vou aqui esquecer o caso 2) que tera um
raciocinio identico.Consideremos então o caso 1. Eu afirmo que QiQi+1 coincide
com PiPi+1 ! Por que ? Porque se não coincidirem traçamos Qi+1Qi+2 paralelo a
Pi+1Pi+2 e a distancia de O a Qi+1Qi+2 sera diferente da distancia de O a
Pi+1Pi+2 e os triangulos necessariamente deverão ter areas diferentes ...
absurdo !
Assim, QiQi+1 coincide com PiPi+1. E como ste raciocinio vale para qualquer
i=1...nentão segue que os poligonos são congruentes.
Penso que é so aperfeiçoar esta linha de raciocinio qu o problema sai fácil
UM abração a todos !
Date: Mon, 8 Jun 2015 21:03:00 -0300
Subject: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola a todos.
Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura, e
mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares simetricos...
Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um agradecimento na
dissertacao! :) :)
(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda nao
sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele aqui.)
Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n4) contendo a
origem O em seu interior. Sabe-se que:-- Eles tem lados respectivamente
paralelos (isto eh, PiP_{i+1} // QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo
n);-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas
respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para
i=1,2,...n, indices modulo n).Pergunta-se: os poligonos tem que ser
congruentes?
Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a origem para Q
eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros pontos sao
calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem consegue fazer o
poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja congruente ao Q (mas
mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro de P?)
Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na origem
sao contra-exemplo!
Abraco, Ralph.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
2015-06-09 19:54 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Oi, Paulo. Mas aqui que estah o problema -- nao eh dado que PiPi+1 e igual a QiQi+1, soh que sao paralelos... :) Oi Ralph, Paulo e colegas da lista! Primeiro, um pedido de clemência: eu não tive muito tempo para pensar além de ler os emails, e escrever este daqui ;-). Dado que existe um contra-exemplo para N=4, e que você dá uma condição a mais para cada novo lado, eu chuto (contando parâmetros, se você preferir) que sempre haverá contra-exemplos para cada N. O problema é verificar as condições de fechar o polígono... Para isso, eu gostaria de pensar no seu problema como uma questão de descobrir os parâmetros (pontos da reta real) da aplicação de Schwarz-Christoffel. Os expoentes da fórmula estão fixos (já que eles determinam os ângulos do problema, que são dados pelo primeiro polígono). Mas (curiosamente) o problema dá exatamente N dados reais (as N áreas dos triângulos) e o problema requer N+2 parâmetros (os N pontos reais e um ponto no interior - que conta por 2 - que corresponde à origem O). Eu acho que eu estou esquecendo de cancelar alguma simetria, provavelmente uma translação simultânea de todos os pontos na direção real. Isso dá N+1 parâmetros. Espero que eu não tenha adivinhado o problema original ;-) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu caminho,
pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos que
(x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Oi, Paulo.
Mas aqui que estah o problema -- nao eh dado que PiPi+1 e igual a QiQi+1,
soh que sao paralelos... :)
Abraco, Ralph.
2015-06-09 16:31 GMT-03:00 Paulo Santa Rita paulo.santar...@live.com:
Ola Fabiola, Prof da Fabiola e carissimo Ralph,
Vou fazer um esboço de prova aqui. Considere os triângulos OPiPi+1 e
OQiQi+1. Como as areas são iguais e PiPi+1 e igual a QiQi+1 e, além disso,
PiPi+1 é paralelo a QiQi+1 então as distancias OP ( de O ate PiPi+1) e OQ (
de O até QiQi+1 ) são iguais, vale dizer :
1) QiQi+1 está na reta onde esta PiPi+1 ou
2) QiQi+1 está na reta diametralmente oposta a reta que contem PiPi+1.
Vou aqui esquecer o caso 2) que tera um raciocinio identico.Consideremos
então o caso 1. Eu afirmo que QiQi+1 coincide com PiPi+1 ! Por que ? Porque
se não coincidirem traçamos Qi+1Qi+2 paralelo a Pi+1Pi+2 e a distancia de O
a Qi+1Qi+2 sera diferente da distancia de O a Pi+1Pi+2 e os triangulos
necessariamente deverão ter areas diferentes ... absurdo !
Assim, QiQi+1 coincide com PiPi+1. E como ste raciocinio vale para
qualquer i=1...n
então segue que os poligonos são congruentes.
Penso que é so aperfeiçoar esta linha de raciocinio qu o problema sai fácil
UM abração a todos !
--
Date: Mon, 8 Jun 2015 21:03:00 -0300
Subject: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola a todos.
Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura,
e mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares
simetricos... Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um
agradecimento na dissertacao! :) :)
(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda
nao sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele
aqui.)
Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n4)
contendo a origem O em seu interior. Sabe-se que:
-- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} //
QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo n);
-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas
respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para
i=1,2,...n, indices modulo n).
Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes?
Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a origem para
Q eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros
pontos sao calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem
consegue fazer o poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja
congruente ao Q (mas mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro
de P?)
Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na
origem sao contra-exemplo!
Abraco, Ralph.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1 e o
caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos que
(x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Questão simples
Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da divisão de A por 1001 Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no finalMas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 10101...1(166 1`s )Não entendi a resposta do gabarito.Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
