Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

[Claudio Buffara]

Tentei algumas vezes enviar pra lista minhas respostas às perguntas da
Marcela Costa, as quais, afinal, eram dirigidas a mim.
Não tive sucesso.
Talvez seja porque a mensagem ficou longa demais (prometi respostas
cuidadosas).

Alguém sabe dizer se há algum limite no tamanho (no. de caracteres) das
mensagens pra lista?

[]s,
Claudio.


2018-04-12 8:05 GMT-03:00 Carlos Nehab :

> Prezada,
>
> Como alguns amigos já responderam alguns aspectos de suas perguntas, vou
> responder ao mais simples.
>
> Sim, Produtos Notáveis são mal ensinados e, em geral, burramente descritos
> nos livros. Em geral, um amontoado de identidades chatíssimas sem nenhuma
> utilidade para as crianças e adolescentes, assim como dezenas de outros
> assuntos de Matemática. Por isso, basicamente, o completo desinteresse da
> maioria dos alunos jovens nessa disciplina.
>
> Para não me alongar, ficam algumas perguntas:
> - como vc calcularia, mentalmente, 70 x 13, por exemplo?
> - como voce calcularia 13 x 13, mentalmente?
> - como vc calcularia 19 x 21, mentalmente?
> - como vc calcularia 27 x 27, mentalmente?
>
> Se vc respondeu que é usando distributividade e alguns produtos notáveis,
> está num bom caminho motivador para seus alunos acharem sua aula
> minimamente interessante.
>
> Talvez, mais tarde, eles venham a amar essa lista que, em geral, é um
> divertido quebra-cabeça e povoada por criaturas aparentemente estranhas.
> Como eu, que dela participo há décadas. Rsrsrs.
>
> PS: Até prova em contrário, embora haja algumas controvérsias, sou um bom
> sujeito e um sujeito aparentemente normal. Juro.
>
> Abraço.
> Nehab
>
> Em Ter, 10 de abr de 2018 13:17, Marcela Costa <
> marcelinhacost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Caros participantes da lista obm-l.
>>
>> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
>> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
>> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/
>> obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
>> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
>> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>>
>> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>>
>> 1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
>> ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?
>>
>> 2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já
>> que o Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence
>> à elite dos "olímpicos"?
>>
>> 3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos
>> acaba por alienar os alunos normais?
>>
>> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
>> matemática?
>>
>> Sds
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Perímetro de um triângulo

[Pedro José]

Boa tarde!

Qualquer que seja P, APB é constante, pois sempre vai inscrever AB em C1.
Mas APB = (RS-AB)/2; esse AB é o valor do arco em C2.
Então o arco RS é constante e por conseguinte a corda que ele define também
o é.

Saudações,
PJMS

Em 13 de abril de 2018 13:33, Claudio Buffara 
escreveu:

> Geometria está cheia destes invariantes.
>
> Outra bonitinha é:
> Dadas duas circunferências C1 e C2 que se intersectam em A e B, tome P no
> arco AB de C1 que não está no interior de C2.
> Suponha que PA intersecta C2 em R e PB em S.
> Prove que, qualquer que seja P no arco AB, o segmento RS tem comprimento
> constante.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-13 10:01 GMT-03:00 Artur Costa Steiner :
>
>> Interessante que o perímetro de AMN não depende de P.
>>
>> Artur
>>
>>
>> Em Qui, 12 de abr de 2018 16:25, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Se o incírculo tangenciar AB em P e AC em Q, então o perímetro de AMN
>>> será igual a AP + AQ = 2AP.
>>> Como é sabido, AP = s-a, onde s é o semiperímetro de ABC.
>>> Logo perímetro de AMN = 2s - 2a = a+b+c-2a = -a+b+c.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-04-12 15:49 GMT-03:00 Artur Steiner 
>>> :
>>>
 Dado um triângulo ABC, traça-se uma tangente ao seu incírculo, a qual
 intersecta AB e AC nos pontos M e N, ficando o segmento MN no interior de
 ABC. Determine o perímetro do triângulo AMN em função dos lados a, b e c de
 ABC.

 Artur

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Perímetro de um triângulo

[Claudio Buffara]

Geometria está cheia destes invariantes.

Outra bonitinha é:
Dadas duas circunferências C1 e C2 que se intersectam em A e B, tome P no
arco AB de C1 que não está no interior de C2.
Suponha que PA intersecta C2 em R e PB em S.
Prove que, qualquer que seja P no arco AB, o segmento RS tem comprimento
constante.

[]s,
Claudio.


2018-04-13 10:01 GMT-03:00 Artur Costa Steiner :

> Interessante que o perímetro de AMN não depende de P.
>
> Artur
>
>
> Em Qui, 12 de abr de 2018 16:25, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Se o incírculo tangenciar AB em P e AC em Q, então o perímetro de AMN
>> será igual a AP + AQ = 2AP.
>> Como é sabido, AP = s-a, onde s é o semiperímetro de ABC.
>> Logo perímetro de AMN = 2s - 2a = a+b+c-2a = -a+b+c.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-04-12 15:49 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>>> Dado um triângulo ABC, traça-se uma tangente ao seu incírculo, a qual
>>> intersecta AB e AC nos pontos M e N, ficando o segmento MN no interior de
>>> ABC. Determine o perímetro do triângulo AMN em função dos lados a, b e c de
>>> ABC.
>>>
>>> Artur
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Claudio Buffara]

Essa identidade:
 x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i)
não me parece nada óbvia.

[]s,
Claudio.


2018-04-13 5:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só
> igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais
> genérica
>
> Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0
>
> Obs: x_i sao raizes.
>
> Abraco
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
>
> Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" 
> escreveu:
>
> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
>
> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Rodrigo Ângelo]

Eu não consegui provar, mas intuitivamente ela não pode ser periódica mesmo.

Como f é periódica, então existe p real não nulo tal que f(x) = f(x + np)
para todo n inteiro, x pertencente ao domínio de f.

Se g também fosse periódica, teríamos que f levaria todo x e x+np para o
mesmo resultado, e também todo x^2 e (x)^2 + nq, para algum q, para o mesmo
ponto, mas nesse caso eu acho que só seria possível se f fosse constante.

Manipulando esses números aqui eu cheguei em (mas acho que devo ter feito
alguma coisa errada):

g(x) = f(x^2) = f(x^2 + nq) = f((x+np)^2)
g(x) = f((x+np)^2) = f((x+np)^2 + nq) = f(x^2+ 2xnp + (np)^2 + nq)
g(x) = f(x^2 + n(2xp + n*p^2 + q))

Aqui eu me enrolo. Eu tenho que f(x^2 + n(2xp + n*p^2 + q)) = f(x^2 + nq)
então não sei se eu posso falar que, já que f não é const., então
q = 2xp + n*p^2 + q
q = p(2x + np) + q, absurdo! Então g não pode ser periódica


On Thu, Apr 12, 2018 at 4:05 PM Artur Steiner 
wrote:

> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>
> Artur
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Perímetro de um triângulo

[Artur Costa Steiner]

Interessante que o perímetro de AMN não depende de P.

Artur

Em Qui, 12 de abr de 2018 16:25, Claudio Buffara 
escreveu:

> Se o incírculo tangenciar AB em P e AC em Q, então o perímetro de AMN será
> igual a AP + AQ = 2AP.
> Como é sabido, AP = s-a, onde s é o semiperímetro de ABC.
> Logo perímetro de AMN = 2s - 2a = a+b+c-2a = -a+b+c.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-12 15:49 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Dado um triângulo ABC, traça-se uma tangente ao seu incírculo, a qual
>> intersecta AB e AC nos pontos M e N, ficando o segmento MN no interior de
>> ABC. Determine o perímetro do triângulo AMN em função dos lados a, b e c de
>> ABC.
>>
>> Artur
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Artur Steiner]

A prova por análise complexa baseia-se no fato de que, se P e Q  são
polinômios com grau(P) >= grau(Q) + 2 e f =Q/P, definida para P(z) <> 0,
então,

Soma (z em Z) Res(f, z) = 0  (*)

onde Z é o conjunto dos zeros de P e Res(f, z) é o resíduo de f em z, que é
pólo de f.

A prova disso baseia-se no teorema dos resíduos e no fato de que lim r -->
oo Integral (sobre Cr) f(z) dz = 0, sendo Cr a periferia do disco de centro
na origem e raio r.

Particularizando-se para o caso em que Q(z) = 1 para todo z,  f = 1/P e (*)
se reduz a

Soma (z em Z) Res(1/P, z) = 0 (**)

Se z é zero simples de P, então Res(1/P, z) = 1/P'(z), pois z é pólo
simples de 1/P (observe que, neste caso,  P'(z) <> 0). Supondo-se agora que
P tem grau n >= 2 e tem n zeros simples r_1,  r_n, (**) implica que

Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

conforme afirmado.

A chave da prova é que

lim r --> oo Integral (sobre Cr) f(z) dz = 0,

a qual não é difícil. Baseia-se nas propriedades da integral e nas dos
polinômios.

Artur Costa Steiner

Em 13 de abr de 2018 00:57, "Mórmon Santos" 
escreveu:

Como é por análise complexa?

Em qui, 12 de abr de 2018 15:22, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Para n >= 3, só consegui por análise complexa. Há uma prova que me parece
> muito bonita.
>
> Tentei também por frações parciais, mas caí num imbróglio.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Qui, 12 de abr de 2018 14:42, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este?
>> Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
>>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
>>>
>>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
>>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Douglas Oliveira de Lima]

Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só
igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais
genérica

Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0

Obs: x_i sao raizes.

Abraco

Douglas Oliveira.




Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" 
escreveu:

Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.

Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.