[obm-l] Derivada de um valor esperado
Uma usina hidrelétrica deve atender uma carga de potência conhecida s. A potência P disponível na hidrelétrica é uma variável aleatória distribuida em [0, Pmax] segundo uma função distribuição de probabilidade contínua. O déficit de potência D é definido por D = max(s - P, 0) e a probabilidade de perda de carga para a carga s é definida como l(s) = Prob(D > 0). Mostre que d/E[D]/ds = l(s), sendo E[D] o valor esperado de D. Obrigada por qualquer ajuda. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par
Oi amigos Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçōes independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de sucessos seja par? Há uma fórmula fechada para Pn? Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo? Obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par
Oi amigos Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizações independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de sucessos seja par? Há uma fórmula fechada para Pn? Devemos ter lim n --> Pn = 1/2, certo? Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda nisso, por favor - convergência de (f_n') para f'
Oi amigos! Peço ajuda nisto aqui, não estou conseguindo que propriedades ou teoremas aplicar. o Seja (f_n) uma sequência de funções de R em R, diferenciáveis até pelo menos a 2a ordem, tal que (f_n') convirja para uma função contínua g. Suponhamos que haja reais a e u tais que, para todo n, tenhamos f_n''(a) = u e f_n''(a) != u para x != a. Suponhamos ainda que exista b tal que (f_n(b)) convirja. Mostre que (f_n) converge em R para uma diferenciável f tal que f'= g em R. Muito obrigada. Amanda Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Provar que (f'_n) converge para f'
Oi amigos! Podem me ajudar nesta aqui? Não parece muito trivial. Seja (f_n) uma sequência de funções de R em R, diferenciáveis até pelo menos a 2a ordem, tal que (f_n') convirja para uma função contínua g. Suponhamos que haja reais a e u tais que, para todo n, tenhamos f_n''(a) = u e f_n''(a) != u para x != a. Suponhamos ainda que exista b tal que (f_n(b)) convirja. Mostre que (f_n) converge em R para uma diferenciável f tal que f'= g em R. Muito obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Provar que (f_n') converge to f'
Oi amigos! Podem me ajudar nesta aqui? Não parece muito trivial. Seja (f_n) uma sequência de funções de R em R, diferenciáveis até pelo menos a 2a ordem, tal que (f_n') convirja para uma função g. Suponhamos que haja reais a e u tais que, para todo n, tenhamos f_n''(a) = u e f_n''(a) != u para x != a. Suponhamos ainda que exista b tal que (f_n(b)) convirja. Mostre que (f_n) converge em R para uma diferenciável f tal que f'= g em R. Muito obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Provar que y tem uma infinidade de zeros em R
Mostre que, se g de R em R é contínua e seu ínfimo em R é positivo, em toda solução da EDO y'' + gy = 0 tem uma infinidade de zeros. Obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Outra fa função zeta
Boa noite amigos. Foi muita boa a ajuda que recebi sobre a função zeta. Gostaria de uma ajuda com este outro: No plano complexo, seja c uma curva parametrizada pelo real t tal que Re(c(t)) -- oo quando t -- oo. Sendo Z a função zeta e Z_n sua derivada de ordem n, mostre que Se lim t -- Z(c(t)) = L em C, então |L| = 1 lim t -- oo Z_n(c(t)) = 0, para todo n = 1 Muito obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Como provar?
É, acho que vc tem razão. Não dá para generalizar não. O que podemos afirmar é que existem tais complexos, por exemplo. As n raízes da unidade. Amanda Em 07/12/2014, às 01:10, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Hmmm, nao. Por exemplo, se n=4, poderiam ser vertices de um retangulo. 2014-12-06 15:50 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Aliás, por um raciocÃnio similar, isto pode ser generalizado para n complexos. Seus afixos formam um n-ágono regular convexo. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, à s 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que z1 + z2 + z3 = 0 |z1| = |z2| = |z3| = 1 Então, geometricamente, temos: A) Uma reta; xB) Um triângulo equilátero; C) Um triângulo retângulo; D) Um único ponto; E) Nenhuma das alternativas anteriores. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Derivadas da função Zeta
Oi amigos. A função zeta é definida para complexos com Re(z) 1 pela série Z(z) = Soma(k = 1, oo) k^(-z). Embora isto não seja uma série de potências, acho que podemos derivar termo a termo indefinidamente, de modo, que, se isto for válido, então, no semiplano Re(z) 1, a ngésima derivada é Z[n](z) = (-1)^n Soma(k = 2, oo) (ln k)^n k^(-z) Eu acho que consegui provar isso no caso de z real. Usando indução e o teste da integral, podemos mostrar que esta série converge para todo real z 1. E como a série primitiva converge, a fórmula acima vale para todo z 1. Mas vale de fato para todo complexo z com Re(z) 1. Se sim, como podemos provar? Obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Como mostrar que f(x) = sen(x^2 + 1) não é periódica?
Boa noite. Isto é um tanto intuitivo, mas como podemos mostrar de forma matematicamente correta que a função acima, de R em R, não é periódica? Obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma sequência e de uma série
Muito obrigada! Amanda Em 07/11/2014, às 15:30, g...@impa.br escreveu: Cara Amanda, Como as respostas que chegaram à s suas perguntas foram incompletas, resolvi escrever soluções, ainda que com uma certa demora (pelo que peço desculpas). Vamos lá: a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) R.: Podemos escrever a_n=Soma(k = 1, n) b_k, onde b_1=f(1) e b_k=f(k)-Int [k-1, k] f(x) dx= Int [k-1, k] (f(k)-f(x)) dx para k1. Como f é decrescente, temos b_k0, pois f(k)-f(x)0 para k-1=xk. Assim, a sequência a_n é decrescente. Por outro lado, como f(k)-f(x)=f(k)-f(k-1) para k-1=x=k, temos b_k=f(k)-f(k-1) para k1, donde a_n=Soma(k = 1, n) b_k=f(1)+Soma(k = 1, n)(f(k)-f(k-1)=f(n). Como f é limitada, (a_n) é decrescente e limitada, e logo converge. b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o n-ésimo primo. R.: Vamos provar que, para qualquer sequência (a_n) de reais positivos, a série de (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, a série de a_n converge. De fato, se a série de a_n converge, como s_n=a_1 para todo n, a soma de a_n/s_n é menor ou igual à soma de a_n/a_1, que é limitada, e portanto converge. Por outro lado, se a série de a_n diverge, para todo inteiro positivo m existe nm tal que s_n2.s_m, e logo a soma de k=m+1 até n de a_k/s_k é maior ou igual à soma de k=m+1 até n de a_k/s_n, que é igual a (s_n-s_m)/s_n=1-s_m/s_n1/2. Assim, para todo m (por maior que seja), a soma de alguns termos da série a_k/s_k com km é maior que 1/2, o que implica que a série de a_k/s_k diverge. Vamos agora tratar dos subitens: b.1) Como a série de 1/n^2 converge, a série de (a_n)/(s_n) também converge. b.2) Vamos mostrar que a série dos inversos dos primos diverge, e portanto a série de (a_n)/(s_n) também diverge. Para isso vou mostrar um argumento bacana do Erdös: Se a série de 1/p_n convergisse, existiria N natural tal que a série dos 1/p_n com nN seria menor que 1/2, Seja A o conjunto dos naturais que têm algum fator primo p_n com nN, e B o complementar de A nos naturais. Dado m um inteiro positivo, o número de inteiros positivos entre 1 e m que pertencem a A é no máximo a soma de m/p_n para nN, que é menor que m/2. Por outro lado, um elemento de B menor ou igual a m se escreve como p_1^a_1.p_2^a_2.p_N^a_N (não pode ter nenhum fator primo maior que p_N), e os expoentes a_j são no máximo log m/log 2. Assim, há no máximo (1+log m/log 2)^N possibilidades para esses elementos. Como há m inteiros positivos entre 1 e m, devemos ter m/2+(1+log m/log 2)^Nm, donde (1+log m/log 2)^Nm/2 para todo inteiro ositivo m, o que é um absurdo, pois o limite de (1+log m/log 2)^N/m quando m tende a infinito é 0. Abraços, Gugu Quoting Amanda Merryl sc...@hotmail.com: Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar em um deles. a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo. Muito obrigada Amanda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo
[obm-l] Integral definida
Bom dia a todos. Gostaria de alguma ajuda aqui. É dado que Int [0, 4] exp((t - 2)^4) dt = A. Seja F dada por F(x) = Int [0, x] exp((t - 2)^4) dt. Determine Int [0, 4] F(x) dx. Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Convergência ou divergência de sequência e de séries
Bom dia. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar em um deles. a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o n-gésimo primo. Muito obrigada Amanda. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Convergência ou divergência de sequência e de séries
Oi Artur Na sua resposta só veio o problema original e seu nome. Amanda Em 30/10/2014, às 09:11, Amanda Merryl sc...@hotmail.com escreveu: Bom dia. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar em um deles. a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o n-gésimo primo. Muito obrigada Amanda. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Convergência/divergência de uma sequência e de uma série
Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar em um deles. a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo. Muito obrigada Amanda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Intervalo no qual f é crescente
Obrigada a todos. Então, supondo-se apenas diferenciabilidade, a afirmação é falsa. Em 13/10/2014, às 21:36, Ary Medino arymed...@yahoo.com.br escreveu: Caros(as) colegas A menos de um conjunto de probabilidade nula, as trajetórias do movimento Browniano unidimensional em [0, +infinito) tem propriedades tais como continuidade, não diferenciabilidade, não-monotonicidade em nenhum subintervalo, conjunto dos máximos locais enumerável e denso em [0, +infinito) e todos os máximos locais são estritos, entre outras. Mais informações podem ser obtidas, por exemplo, em Brownian Motion and Stochastic Calculus, Karatzas and Shreve, 1998, Springer, seção 2.9 (The Brownian Sample Paths) páginas de 103 a 116. Att Ary Em Segunda-feira, 13 de Outubro de 2014 20:42, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Eu nao chequei, mas aqui estah uma possibilidade de resposta, pp.13-19: http://scholarworks.gsu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1043context=math_theses 2014-10-13 19:39 GMT-03:00 Amanda Merryl sc...@hotmail.com: Oi amigos, Vamos analisar a seguinte afirmação: Suponhamos que a função real f seja contÃnua no intervalo [a, b] e que f(a) f(b). Existe então um subintervalo de [a, b] no qual f é crescente. Embora isto aparentemente seja verdade, me garantiram que é falso, mas não tenho um contra exemplo. Alguém pode ajudar? Ou a afirmação é mesmo verdadeira? Se for, a prova parece difÃcil. Vamos agora substituir contÃnua por diferenciável. Pelo teorema do valor médio, existe então u em (a, b) tal que f'(u) = (f(b) - f(a)/(b - a) 0. Se admitirmos que f' é contÃnua, então existe um subintervalo I de [a, b] contendo u no qual f' é positiva, o que implica que f seja estritamente crescente em I. Logo, a afirmação torna-se verdadeira. Na realidade, para tanto basta admitir que f' é contÃnua em algum u com f'(u) 0. E ao menos um deles existe Mas, e se tudo que assumirmos é que f é diferenciável? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Intervalo no qual f é crescente
Oi amigos, Vamos analisar a seguinte afirmação: Suponhamos que a função real f seja contínua no intervalo [a, b] e que f(a) f(b). Existe então um subintervalo de [a, b] no qual f é crescente. Embora isto aparentemente seja verdade, me garantiram que é falso, mas não tenho um contra exemplo. Alguém pode ajudar? Ou a afirmação é mesmo verdadeira? Se for, a prova parece difícil. Vamos agora substituir contínua por diferenciável. Pelo teorema do valor médio, existe então u em (a, b) tal que f'(u) = (f(b) - f(a)/(b - a) 0. Se admitirmos que f' é contínua, então existe um subintervalo I de [a, b] contendo u no qual f' é positiva, o que implica que f seja estritamente crescente em I. Logo, a afirmação torna-se verdadeira. Na realidade, para tanto basta admitir que f' é contínua em algum u com f'(u) 0. E ao menos um deles existe Mas, e se tudo que assumirmos é que f é diferenciável? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Provar que D = {x | f(x-) =! f(x+)} é enumerável
Oi amigos, podem ajudar nisto aqui? Seja f uma função real definida em (a, b) e D o conjunto dos pontos de (a, b) no qual f apresenta descontinuidade do tipo salto (os limites à direita e à esquerda existem em R e são diferentes). Mostre que D é enumerável. Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Raízes irracionais
Isso não é verdade. Para a = 1, m = 2 e b = 1, obtemos raiz(2) + 1 que é raiz de P(x) = x^2 -2x - 3. As raízes de P são raiz(2) + 1 e -raiz(2) + 1. raiz(2) - 1 não é raiz de P. O que é verdade é que, se P tem coeficientes racionais e a + raiz(b) é raiz de P, com a e b 0 racionais e raiz(b) irracional, então a - raiz(b) é raiz de P com a mesma multiplicidade de a + raiz(b. Artur Costa Steiner Em 15/08/2014, às 11:41, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Correção: O número a deve ser diferente de zero. From: brped...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Raízes irracionais Date: Fri, 15 Aug 2014 13:49:19 +0300 Caros Colegas, Dados os números racionais a, b e m, sendo m positivo e m^(1/2) irracional, será que é válida a afirmação abaixo? Desde já, agradeço-lhes a atenção. Pedro Chaves Afirmação: Se a.[m^(1/2)] + b é raiz de um polinômio P(x) de coeficientes racionais, então a.[m^(1/2)] - b também é raiz de P(x) e com a mesma multiplicidade. ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
