[obm-l] Desigualdade geométrica
Eu elaborei uma desigualdade puramente geométrica utilizando trigonometria e mais algumas coisas, mas eu gostaria de ver uma demosntração dela por geometria plana apenas. Prove que se R é o circunraio de um triêngulo de lados a,b,c e semi-pérímetro p, então vale a desigualdade 9abc - 8Rp² 0. _ COPA 2006: (¯`·._.·[ Ooola ]·._.·´¯) e + frases para seu MSN Clique aqui! http://copa.br.msn.com/extra/frases/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade com substituição trigonométri ca
Inegavelmente, as substituição trigonométricas em certos casos são ferramentas poderosíssimas. Mas gostaria de saber até que ponto só há solução utilizando as mesmas. Vejam o exemplo abaixo, que gerou minha dúvida: * Mostre que, dentre quaisquer quatro reais distintos X1,X2,X3,X4 no intervalo (0,1], existem pelo menos dois Xi,Xj que satisfazem a desigualdade a seguir: 0 Xi.sqrt(1-Xj²) - Xj.sqrt(1-Xi²) 1/2. obs: Notações- sqrt(x) - Raíz quadrada de x; = - maior que ou igual a, etc... A seguir, vou mostrar uma solução com substituição trigonométrica: Solução 1:0 X1,X2,X3,X4 = 1 0º a1,a2,a3,a4 = 90º (os ai são todos distintos também) X1 = sen(a1) X2 = sen(a2) X3 = sen(a3) X4 = sen(a4) Vamos dividir o intervalo (0º, 90º] em três sub-intervalos, que são (0,30º], (30º,60º], (60º, 90º]. Pelo princípio da casa dos pombos, há dois números dentro de um mesmo sub-intervalo, ou seja, 0º ai - aj 30º , mas xi sen ai - sqrt(1-xi²) = cos(ai); xj = senj - sqrt(1-xj²) = cosj. Aplicado a função seno na desigualdade acima, 0 sen(ai).cos(aj) - sen(aj).cos(ai) 1/2 - 0 Xi.sqrt(1-Xj²) - Xj.sqrt(1-Xi²) 1/2 (c.q.d) Solução 2: Na verdade, esta foi a primeira solução que tentei. Não usei trigonometria, e fui construindo a desigualdade passo a passo no braço (pra que isso? hehehe). Analogamente, dividi em 3 sub-intervalos, mas não consegui provar no 3º. A solução ficou um pouco grande pra digitar, mas eu publiquei na internet: http://dymitri.leao.vila.bol.com.br/desigualdade.htm. Obs: Lá na solução do site, eu botei o intervalo [0,1], mas é mesmo (0,1]! Gostaria de saber se tem como resolver sem trigonometria, mais ou menos da forma como eu publiquei no site acima, ou se a substituição era realmente a chave da questão. Atenciosamente, Dymitri Cardoso Leão. _ Inscreva-se no programa beta do novo Windows Live Mail e seja um dos primeiros a testar as novidades. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Triângulo + 3 circunferências - Interseção
Não sei fazer isto não. Se alguém puder resolver, agradeço! 1- Dado um triângulo XYZ e sendo X1,Y1 e Z1 pontos arbitrários sobre os lados YZ,XZ e XY, respectivamente, prove que as três circunferências XY1Z1, YX1Z1 e ZX1Y1 têm um ponto em comum. _ Atenciosamente, Dymitri Cardoso Leão. _ Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail em seu PC. Acesse: http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Polinomios
Um tempinho depois de postar a questao, consegui resolver. Mesmo assim, obg. From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Polinomios Date: Thu, 23 Mar 2006 21:23:37 + Sauda,c~oes, Este problema apareceu na RPM 15 (1989) e nas páginas 113--114 do Manual de Indução. Sugestão: pense na desigualdade das médias geométrica e aritmética. []'s Luís From: Dymitri Cardoso Leão [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinomios Date: Wed, 22 Mar 2006 13:38:56 + Supondo que o polinomio de coeficientes reais P(x) = x^100 - 600.x^99 + a98.x^98 + . + a1.x + a0 tenha 100 raízes reais e que P(7) 1, mostre que existe pelo menos uma raiz maior do que 7. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ COPA 2006: Enfeite o seu MSN Messenger de verde e amarelo! http://copa.br.msn.com/extra/emoticons/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Polinomios
Supondo que o polinomio de coeficientes reais P(x) = x^100 - 600.x^99 + a98.x^98 + . + a1.x + a0 tenha 100 raízes reais e que P(7) 1, mostre que existe pelo menos uma raiz maior do que 7. _ COPA 2006: O horário dos jogos do Brasil na Copa Clique aqui! http://copa.br.msn.com/tabelas/tabela/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria espacial
* Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo unitário. Prove que, entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor resolver? _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos números
Gostaria de ajuda na seguinte questão: 1) Determine todos os inteiros positivos k para os quais 2^8+2^11+2^k é um quadrado perfeito. Não estou conseguindo reduzir satisfatoriamente os casos. Eu pensei assim: 2^8 + 2^11 = 2^8 . 3^2 = 2^8 + 2^11 + 2^k = (2^4 . 3)^2 + 2^k = n^2, com n inteiro. Daí, n^2 - (48)^2 = 2^k = (n+48)(n-48) = 2^k. Daqui, podemos concluir que n 48 = k 7 e que n deve ser par. Mas daí em diante não consegui desenvolver. _ Seja um dos primeiros a testar o Windows Live Messenger Beta a geração do seu MSN Messenger. http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=0eccd94b-eb48-497c-8e60-c6313f7ebb73 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Fatoracao
Bem, no original tava a+b+c=1 e a^2+b^2+c^2 =0. Mas confesso que acho que foi um equívoco de digitação, pois invertendo o enunciado e fazendo uma manipulação algébrica adequada, chegamos na resposta 1/2, que constava no gabarito. Comecei realmente a desconfiar do enunciado, por envolver complexos.Obrigado. From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: OBM-l (E-mail) obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Fatoracao Date: Thu, 23 Feb 2006 16:26:13 -0300 Naquele problema da fatoracao que gerou tantas mensagens, afinal qual era o enunciado correto? O problema foi originalmente enunciado pedindo para determinar a^4 + b^4 + c^4 sabendo-se que a + b + c = 1 e a^2 + b^2 + c^2 =0. Se a, b e c forem reais, nao ha solucao. Se a, b e c forem complexos, entao o problema tem uma infinidades de solucoes, mas a^4 + b^4 + c^4 nao eh constante, depende da solucao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Copa 2006: Juiz @#$%*!? e mais frases para seu MSN Messenger http://copa.br.msn.com/extra/frases/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fatoração
Oh só galera, me pareceu fácil, mas não estou enxergando alguma coisa, e empaquei nesta questão. Se a+b+c=1 e a^2 + b^2 + c^2 =0, calcule a^4+b^4+c^4. Sei que a resposta é 1/2. Depois de muita manipulação algébrica, cheguei em uma expressão envolvendo a soma pedida e o produto abc, deu -1/2 + 4abc, mas não consegui tirar este produto dos dados. Ajudem aí. Notação: x^y (x elevado a y) _ Com o MSN Spaces você divide seu blog, suas fotos, sua lista de música e muito mais com seus amigos! Crie já o seu espaço online e com seus amigos! E só entra no http://spaces.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Fatora ção
Eu cheguei a esta resposta: a^4 + b^4 + c^4 =-1/2 + 4abc. Eu fiz assim: (a + b + c)^2 = 1 = (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + ac + bc) = 1 = ab + ac + bc = 1/2 (1) (a^2 + b^2 + c^2)^2 = 0 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2.b^2 + a^2.c^2 + b^2.c^2) = 0 = a^4 + b^4 + c^4 = -2(a^2.b^2 + a^2.c^2 + b^2.c^2) (2) (ab + ac + bc)^2 = 1/4 = a^2.b^2 + a^2.c^2 + b^2.c^2 + 2(a^2.b.c + a.b^2.c + a.b.c^2 = 1/4 = a^2.b^2 + a^2.c^2 + b^2.c^2 +2abc(a + b + c) = 1/4 = a^2.b^2 + a^2.c^2 + b^2.c^2 = 1/4 - 2abc (3) Substituindo (3) em (2): a^4 + b^4 + c^4 =-1/2 + 4abc. Bem, a questão não fala que a,b,c são reais, então poderíamos ter complexos, embora eu também esteja desconfiado que está trocado. Vou torcar e ver no que vai dar. From: Salhab \[ k4ss \] [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Fatoração Date: Tue, 21 Feb 2006 19:08:40 -0300 caraca.. nem me liguei nisso! rs rs.. eh verdade por isso cheguei que a^4 + b^4 + c^4 = 0... hmm.. axo q deve ser ao contrario: a+b+c = 0 a^2 + b^2 + c^2 = 1 dai sim teriamos um resultado coerente! abraços Salhab Tem alguma coisa errada. Se a,b, c sao reais, entao a^2 + b^2 + c^2 =0 se, e somente se, a=b=c=0. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Dymitri Cardoso Leão Enviada em: terça-feira, 21 de fevereiro de 2006 16:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Fatoração Oh só galera, me pareceu fácil, mas não estou enxergando alguma coisa, e empaquei nesta questão. Se a+b+c=1 e a^2 + b^2 + c^2 =0, calcule a^4+b^4+c^4. Sei que a resposta é 1/2. Depois de muita manipulação algébrica, cheguei em uma expressão envolvendo a soma pedida e o produto abc, deu -1/2 + 4abc, mas não consegui tirar este produto dos dados. Ajudem aí. Notação: x^y (x elevado a y) _ Com o MSN Spaces você divide seu blog, suas fotos, sua lista de música e muito mais com seus amigos! Crie já o seu espaço online e com seus amigos! E só entra no http://spaces.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OBM Universitária, ITA e IME
Sou aluno de Engenharia Elétrica na UFCG, e este ano estou planejando uma preparação fortíssima para a OBM Universitária, bem como para as provas do ITA e do IME. Quem puder me indicar um bom material para estudo, eu agradeço. Atenciosamente, Dymitri Cardoso Leão. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
