[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre a Obm U
Também tenho interesse na OBMU, e a 1ª fase tá chegando. Se algum professor puder organizar algum material de apoio, seria de grande ajuda Em 25 de julho de 2016 10:09, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com> escreveu: > > > Pois é, se algum professor com experiência em olimpíadas, como o Nicolau > por exemplo, respondesse minha pergunta seria de grande ajuda > > Em 24 de jul de 2016, às 23:25, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > > Boa pergunta, eu também tenho interesse em participar da OBM U e gostaria > de umas dicas > > Em 16 de julho de 2016 13:29, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com> > escreveu: > >> Galera, gostaria que vocês me dessem dicas de o que estudar, como >> estudar e por quais livros e materiais estudar para a prova da Obm nÃÂvel >> universitário... >> Estou muito interessado em participar, mas fico meio confuso por onde >> estudar... >> Por favor me ajudem >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- *Raul Lima Alves* *Estagiário na Aton Engenharia* *Estudante de Engenharia de Computação - UFBA* *Telefone: (71) 9103-0878* *Facebook: *https://www.facebook.com/raul.alves.161 *LinkedIn*: https://br.linkedin.com/in/raul-alves-8b090228 <https://ie.linkedin.com/pub/raul-alves/28/902/8b0> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06
Oi Ponce! Valeu pela solução, mas vc acha que a Facamp tava querendo isso? Não é demais pros vestibulandos? Abraços e até dia 8/12... Raul - Original Message - From: lponce To: obm-l Cc: fRANK FRANK ; barzeus Sent: Thursday, November 23, 2006 10:28 PM Subject: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06 Olá Raul, Vaai abaixo uma sugestão: Sejam xi (i=1,2,..,100) as raízes reais de p(x)=0. Das relações de Girard (ou viete). x1+x2+x100 = 600. Do teorema da decomposição, p(x) = (x-x1)(x-x2)..(x-x100).Portanto, p(7) = (7-x1)(7-x2)..(7-x100). Nestas condições, provemos que: se P(7) 1, então existe ao menos uma raiz xi maior que 7. demonstração ( Redução ao absurdo) Suponhamos por absurdo que nenhuma das raízes reais xi (i=1,2,..,100) seja maior que 7. Assim, 7- xi 0 para todo i = 1,2,..,100 . Então, da desigualdade entre MA-MG,podemos escrever: [ (7-x1) + (7-x2) + + (7-x100) ] /100 = [ f(7) ] ^ (1/100) dai, [ (700 - 600)/100 ] ^100 = f(7), isto é, f(7) = 1, o que um absurdo, pois contraria a hipotese de f(7) 1. Portanto, podemos afirmar que existe ao menos uma raiz xk de P(x)=0,talque 7 - x k =0, como xk é diferente de 7,pois p(7)1, conclui-se que xk 7, finalizando a demonstração pedida. Um abraço do amigo PONCE desculpe-me por qualquer engano .. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200 Assunto: [Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06 Boa tarde! Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e possua 100 raízes reais e que p(7)1. Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7. Agradeço a ajuda, Raul -- E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente. Para alterar a categoria classificada, visite o Terra Mail -- Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 23/11/2006 / Versão: 4.4.00/4903 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ []a, L.PONCE. -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.14/548 - Release Date: 23/11/2006
[obm-l] Polinômio - Facamp06
Boa tarde! Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e possua 100 raízes reais e que p(7)1. Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7. Agradeço a ajuda, Raul
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração
Olá, Quero provar que o resultado de 2^p + 3^p, sendo p um primo, nunca será o quadrado de um número natural, nem o cubo de um número natural, nem... somente poderá ser n^1. Exemplo: 2^5+3^2=32+9=41, onde41 só pode ser escrito como potência de um número naturalna forma41^1. Agradeço antecipadamente pelas ajudas, Raul - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 23, 2006 12:14 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração Olá, cara, nao entendi o q vc quer provar... explique diferente, de um exemplo... sei la :) abraços, Salhab - Original Message - From: Raul To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, October 22, 2006 11:22 AM Subject: [obm-l] Demonstração Bom dia a todos! Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou n^3 ou... Obrigado, Raul No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.408 / Virus Database: 268.13.9/490 - Release Date: 20/10/2006 No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.408 / Virus Database: 268.13.11/493 - Release Date: 23/10/2006
[obm-l] Demonstração
Bom dia a todos! Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou n^3 ou... Obrigado, Raul
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Pensei na seguinte solução: Para que o algarismo das unidades do quadrado do número seja ímpar, o número deve ser ímpar.Podemosrepresentar qualquer natural ímpar como sendo 10a+b, onde a é natural e b é ímpar entre 1 e 9. (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 Vamos verificar a paridade do algarismo da dezena: - veja que o primeiro termo é multiplo de 100, portanto não altera o algarismo da dezena. - veja que o segundo termo é um número par (2ab) multiplicado por 10, logo só pode gerar um algarismo par para dezena. - veja que b^2 é o quadrado de um ímpar entre 1 e 9, logo deve ser:1, 9, 25, 49 ou 81. Assim sendo ele só pode contribiur para dezena adicionando 2, 4 ou 8. Não altera assim o fato da dezena ser par. Concluímos que todo número ímpar elevado ao quadrado possui algarismo da dezena par. Portanto somente há dois números naturais cujos quadrados se escrevem utilizando apenas algarismos ímpares: 1 e 3. Abraços, Raul - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:46 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Esse problema é bastante difícil. Consultando os arquivos, verifiquei que não houve resposta. Vou tentar esboçar alguns caminhos para solução. Primeiro note que oÚLTIMO algarismo do número é impar. Então para algarismos de 1 número temos que --1 --9 são os únicos númerosímpares que satisfazem esse critério. Ao pesquisar algarismos com dois números, verificamos que eles não existem. OU SEJA não existem algarismos de 2 números com quadrado perfeito composto apenas por algarismos ímpares. Vamos tentar entender porque: (10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy + y^2 onde x e y são dígitos veja que temos 3 dígitos de modo que para o número ter 2 dígitos temos que x = 0. Neste caso resta apenas y^2. Examinando todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos que não há nenhum número nestas condições. Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o raciocínio acima. Tentaremos verificar todos os números de 3 dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares. (10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 10(10x_1 +x_2) + y^2 = 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ y_2^2 = 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2) Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado perfeito de dois números então tem que ter os dois algarismos ímpares, o que não é possível. Também não podem ser de um número pois a combinação dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 tem 3 números... Não sei se dá para ir adiante com essas idéias. Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como Yuzo Shinecriticarem-nas. Ronaldo L . Alonso - Original Message - From: Felipe Sardinha To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista. E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.2.6/287 - Release Date: 21/3/2006
[obm-l] quadrados perfeitos
Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul
[obm-l] Fatoração?
Boa tarde! Essa é da Opm-02 (Alguém sabe onde encontrar os gabaritos das opm's?) Prove que a equação abaixo tem infinitas soluções inteiras positivas? x^3 + 2y^3 + 4z^3 - 6xyz = 1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] log
Bom dia a todos! Uma questão que me foi feita gerou essa dúvida: Log 3 (x + 4) + Log 2 (x - 3) = 7 Qual o valor de x? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] regra de 3
Ol Elton! A velocidade 300km / 4h = 75 Km/h Aumentar a velocidade do carro em um quinto fazer o clculo dela mais um quinto dela, assim: 75 + 75 . 1/5 = 75 + 15 = 90 Km/h Assim vc acha o tempo de 5 h. (ele anda 90Km em uma hora, ento andar 450Km em cinco horas) outra maneira: Mas tenho uma dica: vc nem precisava achar as velocidades, pois vc poderia usar a proporcinalidade (inversa ou direta) entre as grandezas. A velocidade aumentar em um quinto ela ser multiplicada por 6/5. A distncia foi multiplicada por 3/2. Assim o tempo ser dividido por 6/5 (pois quanto maior a velocidade menor o tempo) e multiplicado por 3/2 (pois quanto maior a distncia maior o tempo). Vc j acharia direto 5h. Abrao Raul - Original Message - From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, June 18, 2005 10:51 AM Subject: [obm-l] regra de 3 Percorri de carro 300km em 4 horas. quanto tempo gastarei para percorrer 450 km, se aumentar a velocidade do carro em 1/5.? ol pessoal, ser q alguem poderia me dizer como fao para aumentar a velocidade do carro (como fafo o calculo). desde ja agradeo ___ Yahoo! Acesso Grtis - Internet rpida e grtis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.323 / Virus Database: 267.7.5/18 - Release Date: 15/06/05 = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Soma de planetas
Bom dia a todos! Recebi de um aluno o problema MARS + VENUS + SATURN + URANUS = NEPTUNE . Como eu já conheci problemas parecidos iniciei uma resolução considerando que letras diferentes são algarismos diferentes e que nenhum número começa com zero. Conclui que N=1 , S=3ou4ou5 implicando E=0ou3ou6 (considerando a primeira e a última coluna da conta armada), A=7ou6ou5 (terceira coluna), R+U=5ou10ou15(segunda coluna) e M+E+A=9ou19. Combinando as possibilidades cheguei a conclusão que nenhuma se encaixava na solução. Esse problema tem solução ? Agradeço alguma ajuda. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante.
Olá ! Este problema tem uma história : "Antigamente estava muito em voga na Índia uma diversão singular: a resolução de quebra-cabeças em competições públicas. Os manuais de matemática desse país contribuíram para que se realizassem tais campeonatos de cálculo mental. No original os problemas apresentavam um aspecto mais poético, visto que estavam em versos." Esse é a tradução em prosa de um desses problemas. A resolução fica facilitada se vc chamar de x a raiz quadrada da metade de todo enxame e chamar de 2x^2 o enxame todo. Então encontrará 72 como resposta. Até mais, Raul - Original Message - From: Blue Ice To: Lista da OBM Sent: Monday, June 23, 2003 10:41 PM Subject: [obm-l] Problema Interessante. Durante um vôo,um enxame de abelhas dispersou-se.Um Grupo,igual à raiz quadrada da metade de todo enxame,pousou sobre um jasmin;outro grupo,num total de 8/9(fração) do enxame,continuou o vôo e uma das abelhas seguiu em direção a uma flor de lótus...levada pelo zumbido de uma de suas amigas,que,atraída pela fragrância dessa flor, caíra em sua armadilha.Pergunta:Quantas Éramos no total?? []´s Ice ICQ:177782914 E-mail:[EMAIL PROTECTED]Win XP/Speedy 256 Kbps PPPoE Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 18/06/2003 / Versão: 1.3.13Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
Re: [obm-l] Problema Interessante.
Aqui vai: a raiz quadrada da metade de todo o enxame: x todo o enxame : 2x^2 Assim: x + (8/9)*2x^2 + 2 = 2x^2 x + 2 = (1/9)*2x^2 9x + 18 = 2x^2 2x^2 - 9x - 18 = 0 Temos como única raiz positiva x=6, então todo enxame é 2*6^2 = 72. Tomara que tenha ficado claro, Raul - Original Message - From: Blue Ice To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 24, 2003 1:04 PM Subject: Re: [obm-l] Problema Interessante. - Original Message - From: Raul To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 24, 2003 9:46 AM Subject: Re: [obm-l] Problema Interessante. Olá ! Este problema tem uma história : "Antigamente estava muito em voga na Índia uma diversão singular: a resolução de quebra-cabeças em competições públicas. Os manuais de matemática desse país contribuíram para que se realizassem tais campeonatos de cálculo mental. No original os problemas apresentavam um aspecto mais poético, visto que estavam em versos." Esse é a tradução em prosa de um desses problemas. A resolução fica facilitada se vc chamar de x a raiz quadrada da metade de todo enxame e chamar de 2x^2 o enxame todo. Então encontrará 72 como resposta. Até mais, Olá colega Raul...Perdoe-me...Mas serei sincero: Na verdade não lhe compreendi muito bem.Podes postar sua resolução?? []´s Ice ICQ:177782914 E-mail:[EMAIL PROTECTED]Win XP/Speedy 256 Kbps PPPoE Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 18/06/2003 / Versão: 1.3.13Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
Re: [obm-l] motorista
Oi Rafael! Talvez uma maneira diferente de pensar ajude. Pense que quando o Sr. Santos chegou em casa 20 min mais cedo foi porque ele encontro o motorista a 10 min de chegar a estação (as 16:50), isto é, o motorista economizou 10 min de ida e 10 min de volta. Como na outra vez o Sr. Santos andou metade do caminho apenas, ele fará o motorista economizar metade do tempo: 5min de ida e 5min de volta. Eles se encontraram as 16:55. Chegando então 10 min mais cedo. Abraços, Raul - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, June 13, 2003 5:20 PM Subject: Re: [obm-l] motorista Oi Cláudio! Eu tinha pensado assim também e cheguei no mesmo resultado, mas depois eu pensei o seguinte: A velocidade relativa é igual enquanto os dois estão andando ao mesmo tempo, tanto o Sr. Santos indo para casa quanto o motorista indo para o metrô. Só que, suponha que o motorista saia da casa do Sr. Santos às Y horas. Na primeira vez que o Sr. Santos chegou às 4, ele saiu andando da estação em direção à sua casa, mas o motorista ainda não tinha saído. Depois de um certo tempo o motorista saiu e aí podemos contar a velocidade relativa. No segundo dia, o Sr. Santos chegou às 4:30 e aí andou menos tempo sozinho e mais algum tempo enquanto o motorista estava vindo. Os tempos em que eles estão indo em direção ao outro são diferentes, no primeiro dia esse tempo é menor porque o Sr. Santos saiu primeiro e já tinha andado mais quando o motorista saiu de casa. Enfim, acho que precisamos levar isso em conta e aí complicou! O que acha??? Abraços, Rafael. --- Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, June 13, 2003 1:16 PM Subject: [obm-l] motorista O Sr. Santos chega todo dia à estação do metrô às cinco horas da tarde. Neste exato instante, seu motorista o apanha e o leva para casa. Um belo dia, o Sr. Santos chegou à estação às quatro horas da tarde e ao invéns de esperar pelo motorista até as cinco horas da tarde resolveu ir andando para casa. No caminho, ele encontra com o seu motorista que o apanha e o leva de carro para casa e chegam em casa vinte minutos mais cedo do que de costume. Algumas semanas mais tarde, num outro belo dia , o Sr. Santos chegou à estação do metrô as 4:30h da tarde e, novamente ao invés de esperar pelo seu motorista ele resolve ir andando para casa e encontra o seu motorista no caminho. Este prontamente o apanha e o leva para casa de carro. Desta vez, o Sr. Santos chegou em casa mais cedo: a) 15minb) 10 minc)5min d)4min e)3min ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 11/06/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Caro Gugu, Foi uma confusão minha que o Carlos César Araújo já me explicou detalhadamente em mensagens muito atenciosas por fora da lista. Muito obrigado pela sua atenção também, mas agora já entendi a solução elegante que está lá (deve ter sido feita por você, né?). Abraços, Raul - Original Message - From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 03, 2003 1:54 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Caro Raul, Nao entendi sua objecao quanto a solucao que esta' em http://www.obm.org.br/provas/obm2002/obm20021fase.htm Nessa solucao, comecamos a elevar de cima para baixo (em particular 7^7^7 e' 7^823543, e nao 7^49). Qual e' a solucao que voce tem em maos ? Abracos, Gugu Obrigado Carlos pela resposta bem elaborada. Mas agora então me parece errada a resolução da questão do cartaz que pergunta o último dígito de 7^7^7^7...(onde aparecem 2002 setes). Na resolução que acompanha o gabarito é feita a análise que 7^7 termina em 3, ao elevar a 7 novamente termina em 7. Assim é feita a conclusão que ficará alternando 3 e7 ao continuar elevando. Como tem 2002 números 7, conclui-se que terminará em 3. Não está indo contra a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita? Agradeço aos que quiserem realmente ajudar. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 2:05 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Olá Carlos, na questão original não tem parêteses e nem pede para adotar outra convenção. É a questão 20 da prova OBM 2002 do nível 3. Pode-se verificar o enunciado e a resolução no site www.obm.org.br, no link provas. Queria saber se na resolução devemos adotar outra convenção ou eu não entendi direito. Obrigado pela atenção, Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 30, 2003 1:21 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Olá, Raul. Infelizmente, com o enorme volume de trabalho por aqui, ainda não pude examinar o enunciado original do seu problema. Poderia me fornecer algum link? No enunciado original, a torre de potências é escrita sem parênteses? O texto menciona alguma convenção a ser usada? Até que eu saiba mais, prefiro me omitir. Entretanto, a julgar pela sua descrição da resolução, foi mesmo utilizada a associação pela esquerda (com base num fato simples sobre congruências). Eu gostaria de sugerir alguns artigos para consulta (enquanto vasculho parte da minha biblioteca antes de sair). Torres de potências aparecem em discussões matemática e lógicas (teoria da recursão, função de Ackermann, funcionais de Hilbert, etc.) Há alguns anos, coletei vários artigos interessantes no American Mathematical Monthly. Eis alguns: [1] J. Riordan - A note on Catalan numbers, AMM, 1973, pp. 904-906; [2] R.K.Guy and J. L. Selfridge - The nesting and roosting habits of the laddred parenthesis, AMM, 1973, pp.868-876. [3] J. Spencer - Large numbers and unprovable theorems, AMM, 1983, pp. 669-675. Veja também sobre a notação de setas de Knuth em http://mathworld.wolfram.com/ArrowNotation.html e siga as referências ali mostradas. Quando tiver tempo, e se houver interesse, enviarei mais referências bibliográficas que já estudei. Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - From: Raul [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 7:29 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Obrigado Carlos pela resposta bem elaborada. Mas agora então me parece errada a resolução da questão do cartaz que pergunta o último dígito de 7^7^7^7...(onde aparecem 2002 setes). Na resolução que acompanha o gabarito é feita a análise que 7^7 termina em 3, ao elevar a 7 novamente termina em 7. Assim é feita a conclusão que ficará alternando 3 e7 ao continuar elevando. Como tem 2002 números 7, conclui-se que terminará em 3. Não está indo contra a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita? Agradeço aos que quiserem realmente ajudar. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 2:05 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Obrigado Carlos pela resposta bem elaborada. Mas agora então me parece errada a resolução da questão do cartaz que pergunta o último dígito de 7^7^7^7...(onde aparecem 2002 setes). Na resolução que acompanha o gabarito é feita a análise que 7^7 termina em 3, ao elevar a 7 novamente termina em 7. Assim é feita a conclusão que ficará alternando 3 e7 ao continuar elevando. Como tem 2002 números 7, conclui-se que terminará em 3. Não está indo contra a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita? Agradeço aos que quiserem realmente ajudar. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 2:05 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 28/05/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] Questão do cartaz
Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Agradeço a todos que puderem dizer algo. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 28, 2003 10:41 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 28/05/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
