Re: [obm-l] Identidade trigonométrica
basta multiplicar por sen(40) em cima e em baixo e usar que [sen(x).cos(x)]/2 = [sen(2x)]/2 [sen(40º).cos(40º).cos(80º).cos(160º)]/[sen(40º)] = [sen(80º).cos(80º).cos(160º)]/[2sen(40º)] = [sen(160º).cos(160º)]/[4sen(40º)] = [sen(320º)]/[8sen(40º)] como sen(320º)=sen( - 40º)= - sen(40º) Tem-se cos(40º).cos(80º).cos(160º) = -1/8 On 4/21/07, carry_bit [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas da OBM-L, Me deparei com um exercício que está custando resolver: Mostre que:cos(40º).cos(80º).cos(160º) = -1/8 Agradeço desde já!! carry_bit
Re: [obm-l] Equação irracional
é só elevar ao cubo... e depois notar que (x+9)^{1/3} - (x-9)^{1/3} = 3
elevando ao cubo temos:
x+9-(x-9)-3[(x+9)^{1/3}][(x-9)^{1/3}]{(x+9)^{1/3} - (x-9)^{1/3}} = 27
18-3.3[(x+9)^{1/3}][(x-9)^{1/3}]=27
[(x+9)^{1/3}][(x-9)^{1/3}]= -1 e elevando ao cubo novamente:
x²-81=-1
Logo as respostas sao:
x=+80^(1/2)
x=-80^(1/2)
Renato Lira.
On 1/19/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Não é tão simples. Mas há um erro no enunciado.
Na verdade a equação é:
(x+9)^{1/3} - (x-9)^{1/3} = 3
(o expoente é positivo)
Quando me propuseram pela primeira vez eu usei uma técnica
semelhante aquela que é usada para resolver equações do terceiro grau da
forma x^3 - px +q = 0.
Agora acho que alguém da lista resolve.
Se ninguem resolver eu publico a solução aqui na lista para os curiosos.
[]s
On 1/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote:
acho que e so elevar ao cubo dos dois lados.
On 1/2/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Qual valor de x ?
(x+9)^{-1/3} - (x-9)^{-1/3} = 5
--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.
Re: [obm-l] Potencias Complexos
√3 + i = 2((√3)/2 + i/2)=2(cos(pi/6) + sen(pi/6)i) =2cis(pi/6) Como cis(u)^n = cis(n.u) (√3 + i)^10 = (2cis(pi/6))^10 = (2)^10cis(10pi/6) = 1024cis(5pi/3) = 1024(cos(5pi/3) + sen(5pi/3)i) (√3 + i)^10=1024(1/2 -(√3)/2)=512 -512i√3 Logo, A resposta correta é: Z^10 = 512 - 512.√3.i espero ter ajudado. On 12/21/06, Leandro Morelato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Me deparei com o seguinte problema: Z^10 = (√3 + i)^10 A resposta correta é: Z^10 = 5120 - 5120.√3.i Ou *Z^10 = 512 - 512.√3.i (De acordo com o gabarito)* Gostaria me ajudassem a entender essa questão Leandro
Re: [obm-l] trigo (essa eh f**!)
Questao classica, jah caiu igual no IME.
seja y=cisx e a=cisz, com cisx= cosx + isenxS= a+ay+ay²+ay³+...+ay^(n-1) =a(y^n -1)/(y-1) = a(cosnx -1 +isen(nx))/(cosx -1 +isenx)como cosx -1 = -2(sen(x/2))² e senx=2sen(x/2)cos(x/2)S=a[-2(sen(nx/2))²+2isen(nx/2)cos(nx/2)]/[-2(sen(x/2))²+2isen(x/2)cos(x/2)
S=a[(2isen(nx/2))(cos(nx/2) + isen(nx/2))]/[(2isen(x/2))(cos(x/2) + isen(x/2))]S=cisz[sen(nx/2)cis(nx/2)]/[sen(x/2)cis(x/2)]=sen(nx/2)cis[nx/2 +z -x/2]/sen(x/2)S=sen(nx/2)cis[((n-1)x/2 +z]/sen(x/2)Note que a soma dos cossenos igual à parte REAL da soma dos (cis) logo, cos(a_1) + cos(a_1 +r) + cos(a_1 +2r) + ... + cos(a_1 +(n-1)r)=sen(nr/2)cos[((n-1)r/2 +a_1]/sen(r/2)
Logo, como a_n=a_1 + (n-1)r , a_1+ (n-1)r/2 = (a_1 + a_n)/2
cos(a_1) + cos(a_1 +r) + cos(a_1 +2r) + ... + cos(a_1 +(n-1)r)=sen(nr/2)cos[(a_1 + a_n)/2]/sen(r/2)
c.q.d.
Tambem dá uma outra solução.. um pouco mais simples, e nao menos elegante.. eh so multiplicar a soma de cossenos por sen(r/2) em cima e em baixo.. usar a transformacao de produto em soma.. e manipular um pouco.. que tambem chega à solucao.
Renato Lira.
On 11/6/05, Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] wrote:
prove a identidade abaixo, sabendo que os arcos estao em pa de razao r:cos(a_1) + cos(a_2) + cos(a_3) +... + cos(a_n) = {cos[(a_1/2 +
a_n/2)]*sen(nr/2)}/sen(r/2)valeu e bom domingo pra vcs!_MSN Messenger: converse online com seus amigos .
http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] RECORRENCIA
Ola Klaus. Eu nao domino muito a teoria de recorrencias, mas seu na pratica.
Quando temos uma recorrencia generica do tipo: (A_n)=r(A_n-1)+p(A_n-2)
para resolvermos chamamos (A_n) de um numero x^n obtendo a equacao: x^n=rx^(n-1) + px^(n-2)
como x diferente de zero, sobra a equacao: x²-rx-p=0
As raizes(a,b)dessa equacao forma o termo geral da recorrencia da seguinte forma:
(A_n)=i(a)^n +j(b)^n
Sabendo (A_0) e (A_1) conseguimos determinar as constantes i e j, resolvendo entaoa recorrencia!
No caso da questao, eu fiz o processo inverso. Como sabia que a equacao do termo geral era An=(5^n-3^n)/2 temos que as raizes a e b sao 5 e 3. Logo, montei a equacao cujas raizes sao 5 e 3: (x-5)(x-3)=x²-8x+15=0 Logo (x²-8x+15)x^(n-2) =0
Substituindo (A_n)=x^n, chegamos à recorrencia A_n=8(A_n-1) -15(A_n-2).
espero ter ajudado! Renato Lira.
On 10/14/05, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Claudio,
como que vc partiu a(n-1)=5*a(n-1)+3^(n-1) e chegou na recorrencia
a(n) - 8*a(n-1) + 15*a(n-2) = 0. Nao entendi os passos q vc fez!claudio.buffara
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Outra forma, chegando diretamente à recorrência, é a seguinte:
Dada uma sequência com n-1 termos, teremos 3 possibilidades:
1. A sequência obedece às condições do enunciado:
Existem a(n-1) tais sequências e o n-ésimo termo pode ser escolhido de 5 maneiras distintas.
Total = 5*a(n-1)
2. A sequência não obedece às condições do enunciado:
2a) A sequência não contém nenhum2 nem nenhum 0:
Existem 3^(n-1) tais sequências e o n-ésimo termo tem que ser 2.
Total = 3^(n-1).
2b) A sequência não contém nenhum 2 mas contém algum 0:
Não importa qual seja o n-ésimo termo, esta sequência não dará origem a uma seqûencia válida.
Total = 0.
Assim,
a(n-1) = 5*a(n-1) + 3^(n-1) ==
a(n-1) = 5*a(n-2) + 3^(n-2) ==
3^(n-1) = a(n) - 5*a(n-1) = 3*a(n-1) - 15*a(n-2) ==
a(n) - 8*a(n-1) + 15*a(n-2) = 0
Equação característica: t^2 - 8t + 15 = 0 ==
raízes: t = 3 e t = 5 ==
a(n) = P*3^(n-1) + Q*5^(n-1)
Claramente, a(1) = 1e a(2) = 8==
a(1) = P + Q = 1
a(2) = 3P + 5Q = 8 ==
P =-3/2e Q = 5/2 ==
a(n) = (5^n - 3^n)/2
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Thu, 13 Oct 2005 22:49:54 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] RECORRENCIA
vamos faser o principio fundamental da contagem(PFC) separando em n casos.O primeiro eh quando o primeiro 2 aparece logo no 1º digito. Apos ele, podem aparecer todos os outros numeros( 0,1,2,3 ou 4)Logo há 5^(n-1) possibilidades.
No segundo eh quando o primeiro 2 aparece no 2º digito. Antes dele so pode aparecer (1, 3 e 4. o 2 nao pra evitar dupla contatem). Apos ele, podem aparecer todos os outros numeros( 0,1,2,3 ou 4)Logo há 3.5^(n-2)
e assim por diante...teremos que (A_n)=5^(n-1) + 3.5^(n-2) + 3².5^(n-3) + ... + 5².3^(n-3) + 5.3^(n-2) + 3^(n-1)Note que eh uma PG de primeiro termo 5^(n-1) e razao 3/5Resposta (i): (A_n)=(5^n - 3^n)/2
Se quiser deixar em termo de recorrencia: (A_n)=8(A_n-1) -15(A_n-2)com (A_0)=0 e (A_1)=1
Logo, se quisermos deixar em funcao de (A_n) n e (A_n-1):
Resposta (ii): (A_n)=8(A_n-1) -15(5^(n-2) - 3^(n-2))/2com (A_0)=0
[]'z Renato Lira.
On 10/13/05, Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Alguém resolveu esta?Abraços,Aldo
Danilo Nascimento wrote:
Seja ano numero de sequencias de n elementos, todos pertencentes ao conjunto {0,1,2,3,4} tais que:
(i) há pelo menos um 2 na sequencia
(ii) se houver um 0 na sequencia, deve haver pelo menos um 2 antes dele.
Determine
a) an em funcao de an-1 e n.
b) an apenas em funcao de n.
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Participe!
Re: [obm-l] RECORRENCIA
vamos faser o principio fundamental da contagem(PFC) separando em n casos.O primeiro eh quando o primeiro 2 aparece logo no 1º digito. Apos ele, podem aparecer todos os outros numeros( 0,1,2,3 ou 4)Logo há 5^(n-1) possibilidades.
No segundo eh quando o primeiro 2 aparece no 2º digito. Antes dele so pode aparecer (1, 3 e 4. o 2 nao pra evitar dupla contatem). Apos ele, podem aparecer todos os outros numeros( 0,1,2,3 ou 4)Logo há 3.5^(n-2)
e assim por diante...teremos que (A_n)=5^(n-1) + 3.5^(n-2) + 3².5^(n-3) + ... + 5².3^(n-3) + 5.3^(n-2) + 3^(n-1)Note que eh uma PG de primeiro termo 5^(n-1) e razao 3/5Resposta (i): (A_n)=(5^n - 3^n)/2
Se quiser deixar em termo de recorrencia: (A_n)=8(A_n-1) -15(A_n-2)com (A_0)=0 e (A_1)=1
Logo, se quisermos deixar em funcao de (A_n) n e (A_n-1):
Resposta (ii): (A_n)=8(A_n-1) -15(5^(n-2) - 3^(n-2))/2com (A_0)=0
[]'z Renato Lira.
On 10/13/05, Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém resolveu esta?Abraços,Aldo
Danilo Nascimento wrote:
Seja ano numero de sequencias de n elementos, todos pertencentes ao conjunto {0,1,2,3,4} tais que:
(i) há pelo menos um 2 na sequencia
(ii) se houver um 0 na sequencia, deve haver pelo menos um 2 antes dele.
Determine
a) an em funcao de an-1 e n.
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Re: [obm-l] progressoes
Esse é um exemplo de PAG( progressao aritmetica e geometrica) A forma geral de se resolver, é multiplicar a igualdade pelo inverso da razao da PG, depois somar as equacoes. S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 +...2S= 2 + 2 + 3/2 + 4/4 + 5/8 + 6/16 + ... 2S-S=2+(2-1) + (3-2)/2 + (4-3)/4 + (5-4)/8 + (6-5)/16 + S= 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... S=2/(1-1/2) S=4 On 9/13/05, Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] wrote: bom dia, gostaria da ajuda de voces para resolver esse problema:S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 +... valeu_Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!http://www.msn.com.br/discador =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM - Fase 2 - questão 1
voce sabe que AF=FE=AE = todos os lados do pentagono. vamos colocar os angulos: como BA=AF , o triangulo BAF é isosceles, Logo o angulo AFB=6 consequentemente o angulo BFE=54. com esses dados, concluimos que o angulo EPF=54. Note que o triangulo EPF é isosceles de base PF, portanto FE=PE daí voce ve que o triangulo EPA tambem e isosceles, de base PA.e acha que PÂE=84 como o triangulo BCA e isosceles, BÂC=36. Logo, PÂC=84+36-108=12º On 9/6/05, Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote: olá,alguém sabe como se resolve a questão 1, da parte A, da 2a fase da OBMpara o nível 3? Na figura em anexo, ABCDE é um pentágono regular e AEF é um triânguloequilátero. Seja P um ponto sobre o segmento BF, no interior de ABCDE, etal que o ângulo PÊA mede 12°, como mostra a figura em anexo. Calcule a medida, em graus, do ângulo PÂC.Eu acho que a PC = AB = BC = CD = DE = EA= AF = FE, mas não consigoprovar isto. Alguém tem alguma idéia de como resolver o problema?Muito obrigado,Aldo= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] problema - fatoracao
perfeitamente. voce so esqueceu das sequintes possibilidades:
{(y-x)= -5 e (x-8y)= -401} ou {(y-x)= -401 e (x-8y)= -5}
essa questao caiu no nivel 3 da 2 fase da OBM.
On 9/5/05, Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,Eu recebi o seguinte problema ontem:a) fatore a expressão x^2-9xy+8y^2b) determine todos os pares de inteiros (x,y) tais que 9xy-x^2-8y^2=2005
a resposta do item a) é (x-y)(x-8y)no item b) (y-x)(x-8y)=2005=5*401é possível dizer que {(y-x)=5 e (x-8y)=401} ou {(y-x)=401 e (x-8y)=5} ?obrigado,Aldo=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Geometria
essa questao também esá no livro Exercicios de Geometria plana do Edgard de Alencar Filho. On 8/6/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Felipe,CRUX é uma revista: http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/ Em 06/08/05, Felipe Takiyama [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi,Não sei se eu fiz o desenho errado, mas não consegui enxergar as relações citadas. E desculpe a ignorância, mas o que é uma Crux, Johann? []´sFelipeCitando Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] : Esta questao esta numa Crux, so nao sei exatamente qual... --- CarlosVictor [EMAIL PROTECTED] escreveu: OláFelipe,( bonitaquestão ) Façaoseguinte: SejamABCotriângulo eH oortocentro .Trace amedianaAM , aalturaAP . DeOtraceuma paralelaaoladoBCeseja Soencontrodesta comAP.Comooortocentro , obaricentroe ocircuncentroestãoalinhados,setomarmosx = OG, teremosGH = 2x . ObservetambémqueAM = RcosA , AH = 2RcosA , PC = bcosC , AP =bsenCeAS = a/2 - PC . Agora, considereo triânguloretângulo OSH ,apliquepitágoras , ecomas leisdos senoedoscoseno emABC,vocêiráencontraropedidona questão ;ok ? Casonãoconsiga,sereimaisclaro . []´sCarlosVictor At 15:50 30/7/2005, Felipe Takiyama wrote: Alguém poderia me ajudar com este? Sejam, num triângulo ABC: O, o centro da circunferência circunscrita; G, o ponto de intersecção das medianas; a,b e c, os lados; e R, o raio da circunferência circunscrita. Demonstrar que: OG^2 = R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)/9Felipe ___ Navegue e Ganhe vale-presentes no Submarino. Inscreva-se agora na promoção Mergulhou Ganhou! www.click21.com.br/mergulhouganhou= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Quer 50% de desconto nas ligações DDD à noite e nos finais de semana ??Plano SIM 21 da Embratel. Inscreva-se grátis. Mais informações acesse www.embratel.com.br.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Álgebra dos conjuntos
A delta Blê-se diferença simetrica entre A e B... por definicao, A delta B = (A-B)U(B-A) On 7/29/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Esta meio estranha aquela identidade. O que aqueledelta significa exatamente?Arturdo--- admath [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá! Se alguém puder me ajudar no segundo exercício agradeço. http://www.admath.cjb.net - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! Start your day with Yahoo! - make it your home pagehttp://www.yahoo.com/r/hs=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Implicação
a tabela verdade do simbolo = eh:
p q p=q
V V V
V F F
F V V
F F V
resumindo em palavras, de uma coisa verdadeira, voce só pode chegar em outra verdadeira
de uma coisa falsa, você pode chegar em qualquer lugar! tanto numa verdadeira quanto numa falsa. por isso a implicacao eh verdadeira..
On 7/26/05, admath [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá!
Quero agradecer ao pessoal que me ajudou nos exercícios que mandei.
x^2 + 1 = 0 = x E {-1,1}
Não entendi porque a implicação é verdadeira.
Obrigado.
__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger
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Re: [obm-l] IME ajuda
você pode baixar no site http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime/ Renato Lira. On 7/15/05, mentebrilhante brilhante [EMAIL PROTECTED] wrote: alguem tem a versão 5 das provas do IME resolvida pelo sergio __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] problema
Seja H o ortocentro do triangulo. Note que o #BOHM é inscritível numa circunferencia, logo os angulos MOH=MBN=40 éfacil notar que HCN=40 o #OCNH é inscritivel logo HCO=HON=40 Finalmente concluimos que MON=HOM+HON=40+40=80 On 6/20/05, Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] wrote: Dado um triangulo qualquer ABC, e M , N e O os pés das alturas sobre os lados AB, AC e BC, respectivamente. Se o angulo ABN vale 40º, quanto vale o angulo MON? MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geom. Plana
Relamente esse problema eh muito famoso.. Ha outra solucao mais simples do que a postada acima(por geometria mesmo)... a resolucao está até animada!! vide site: http://agutie.homestead.com/files/LangleyProblem.html On 6/14/05, Junior jr. [EMAIL PROTECTED] wrote: Resposta em menos de 20 minutos. Obrigado!- Original Message -From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Geom. PlanaDate: Tue, 14 Jun 2005 12:59:24 -0300 junior jr. wrote: ABC é um triangulo isosceles cujo ângulo do vétice B=20º, P e Q são pontos respectivamente dos lados BC e AB, tais que CÂP=50º e ACQ=60º. Calcular o angluo APQ. Esse problema é velhão, tem um monte de resoluções na web. Buscando por triangulo isosceles 50 60 a primeira solução que apareceu foi essa aqui: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-elem/triso00.htm Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED]kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =--___Check out the latest SMS services @ http://www.linuxmail.orgThis allows you to send and receive SMS through your mailbox.Powered by Outblaze= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] geometria plana
Nao sei se essa solucao é completamente correta(gostaria que os membros dessa lista me apontem se é certa ou nao), mas vendo ela eu lembro de outra questao classica, que é a seguinte: Seja o triangulo Isosceles ABC de base BC, e os pontos E e G sobre AB e F sobre AC de tal forma que AE=EF=FG=GC=CB. Resolvendo ele concluimos que BAC=20 e FC=EF, Olhando para o seu problema fica facil perceber que eles se referem ao mesmo triangulo e(depois de ter resolvido esse) que BEC=30 On 5/17/05, Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] wrote: Esse problema parece ser fácil e provavelmente é famoso. Tou quebrando a cabeca a dias. Dado o triângulo ABC isósceles de base BC. O ângulo do vértice mede 20º. Traça-se uma ceviana CE, E em AB, tal que AE= BC. Calcule o valor do angulo BEC. MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro da Lidsky MIR
www.urss.ru vende esse livro. On Mon, 28 Mar 2005 01:10:59 -0300 (ART), André Barreto [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi amigos da lista! A algum tempo na lista o livro da Lidski foi indicado como uma excelente referência bibliográfica. Tentei encontrar este livro para comprar, tirar cópia e etc... mas a minha empreitada foi sem sucesso. Então pesquisando na internet encontrei uma versão dele digitalizada em russo. Não sei o russo. Mas pensei que na lista alguém soubesse e tive-se interesse em traduzir ao menos os exercícios. Porem me surgiu uma dúvida, creio que não seja proibido traduzir e distribuir os exercícios, pois acho que não se pode ter direitos autorais sobre estes, mas não tenho certeza. Gostaria que alguém me informa-se, caso saiba, se o livro da Lidski ainda é comercializado ou está fora da circulação? Caso alguém queira o livro eu posso enviar. Obrigado Atenciosamente, André Sento Sé Barreto __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provas do IME - versao 4
Sem dúvida essa contribuição é muito válida para os vestibulandos que prestam IME. Alguem sabe onde podemos encontrar provas antigas do IME de quimica e fisica? grato pela atencao, Renato Lira. On Thu, 24 Feb 2005 21:46:23 -0300, fabiodjalma [EMAIL PROTECTED] wrote: Obrigado pelo grande serviço prestado. A tua iniciativa é de valia inestimável. Em (19:45:32), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Caros colegas da lista, Estou disponibilizando uma nova versao do conjunto de provas do IME. Nesta nova versao, inclui a prova de 2004/2005, e ainda duas outras provas que estavam faltando anteriormente. Consegui desta vez tambem dar uma revisada no material de 1996/1997 a 2004/2005. Estes gabaritos estao bem consolidados. Os demais gabaritos ainda tem varias imperfeicoes (inclusive algumas apontadas por membros desta lista mas que eu ainda nao implementei). Procurei nesta nova versao dar todos os creditos possiveis. O site mudou um pouquinho: www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime (agora precisa do subdiretorio ime) A versao atual tem 850 KB, tem distribuicao livre. Como sempre realimentacoes positivas sao bem-vindas. Abracos a todos da lista. sergio PS Na proxima versao devo comecar a incluir os gabaritos das provas mais antigas. Comcando em 1990 e prosseguindo em ordem cronologica inversa (nossa que forma complicada de dizer algo tao simples). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Casais em travessias
Amigo, seu erro foi que você nao seguiu as regras. ela diz: Cada marido era tão ciumento que não permitia que a sua mulher permanecesse no barco, ou noutro lugar, com qualquer outro homem (ou homens), a não ser que ele próprio estivesse presente. Você feriu ela nas travessias de numero: 5(deixando M3M4M5 junto com H1H2 sem que H3H4H5 estivessem por perto) e na 6(deixando M4M5 junto com H1H2 sem que H4H5 estivessem por perto) Tentando.. consequi uma solução com 13 travessias... H1 M1 H2 M2 início H3 M3 == H4 M4 H5 M5 H1 H2 travessia 1 H3 M1M2M3 H4 M4 H5 M5 H1 H2 travessia 2 H3 M1 === M2M3 H4 M4 H5 M5 H1 H2 travessia 3 H3 M1M2M3M4M5 H4 H5 H1 H2travessia 4 H3 M1M2 === M3M4M5 H4 H5 H1M1 travessia 5 H2M2 M3H3 M4H4 M5H5 H1M1 travessia 6 H2M2 === M4H4 M5H5 H3M3 M1 travessia 7 M2 = H1 H2 H3 M4H4 M5H5 M3 M1 M2 travessia 8 M3 H1 H2 H3 H4 H5 M4 M5 M1 travessia 9 M2 = H1 H2 M3H3 M4H4 M5H5 M3H3 M1H1 travessia 10 M2H2 M3H3 M4H4 M5H5 travessia 11 M1 = H1 M2H2 M3H3 M4H4 M5H5 travessia 12 H1M1 = M2H2 M3H3 M4H4 M5H5 travessia 13 M1H1 M2H2 M3H3 M4H4 M5H5 Renato Lira. On Mon, 07 Feb 2005 21:32:45 -0800 (PST), [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Após uma cheia cinco casais ficaram cercados de água e viram-se compelidos a fugir do hotel, onde passavam férias, num barco que não comportava mais de três pessoas de cada vez. Cada marido era tão ciumento que não permitia que a sua mulher permanecesse no barco, ou noutro lugar, com qualquer outro homem (ou homens), a não ser que ele próprio estivesse presente. Qual o menor número possível de travessias para salvar os cinco casais ? Obs: No livro em que vi esse problema, o autor disse que ele tinha conseguido atravessar todos os casais em 13 travessias, mas ele não descartou a hipótese desse número ser menor e deixou isso a cargo do leitor. Tentei fazer e saiu com 9 travessias, vejam: H1 M1 H2 M2 H3 M3 == H4 M4 H5 M5 H1 H2 H3 M1M2M3 H4 M4 H5 M5 H1 H2 H3 M1 === M2M3 H4 M4 H5 M5 H1 H2 H3 M1M2M3M4M5 H4 H5 H1 H2 H3 M1 === M2M3M4 H4 H5 H3 H4 M1H1 M2H2 M3M4M5 H5 M3 H3 H4 === M1H1 M2H2 M4M5 H5 M3 = M1H1 M2H2 M4H4 M5H5 H3 M3 H3 M1H1 M2H2 M4H4 M5H5 = M1H1 M2H2 M4H4 M5H5 M3H3 Será que cometi algum erro ? Se sim, digam-me qual. Se não, é esse o menor número de travessias ? []s, Rafael Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes. (Isaac Newton) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjuntos...
eh soh fazer o diagrama de Euller... Seja A quem é favorável às duas propostas Seja B quem é favorável apenas à primeira proposta Seja C quem é favorável apenas à segunda proposta Seja X quem é desfavorável às duas propostas. Pelo enunciado... temos que A=380 e que o UNIVERSO é dado por: A+B+C+X=1000 = B+C+X=620 B+X=450 C+X=50 Logo: B+C+X+X=500 = X= -120 , B=570 , C=170 , A=380 Claramente os dados do enunciado estão errados... pois é IMPOSSÍVEL haver votos negativos. Renato Lira. On Mon, 7 Feb 2005 11:51:32 -0200, carlos gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: como saio dessa? Uma população de 1000 pessoas votou a favor ou contrariamente a duas propostas. Contados os votos observou-se que: · 50 pessoas foram contrárias à primeira proposta; · 450 foram contrárias à Segunda proposta e · 380 foram favoráveis às duas propostas. O número de pessoas que votaram contra às duas propostas é igual a: a) 80 b) 90 c) 100 d) 70 e) 110 Valeu, cg. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Associação OBM
A ficha encontra-se para download no site da Associacao( http://www.obm.org.br/frameset-associacao.htm ) Pode ser baixado diretamente pelo link: http://www.obm.org.br/aobm/ficha_socios.doc Renato Lira On Wed, 2 Feb 2005 04:40:36 -0200, fabiodjalma [EMAIL PROTECTED] wrote: E a ficha de inscrição? Caros(as) Olímpicos(as): Estou enviando informações sobre a Associação Olimpíada Brasileira de Matemática (AOBM). Por favor divulgar. Abraços, Nelly. Caros Colegas, A Olimpíada Brasileira de Matemáticaexiste desde 1979, e tem crescido muito nos últimos anos graças aos esforços de todos nós e com o apoio dediversas instituições. Em 2004, decidimos criar uma pessoa jurídica própria, aAOBM (Associação Olimpíada Brasileira de Matemática). Esperamos que a AOBMajude as Olimpíadas de Matemática no Brasil a crescerem e se consolidarem.Esperamos também que a AOBM sirva como instrumento para maior integração eorganização da comunidade olímpica. Exatamente por isso gostaríamos de convidá-lo a tornar-se sócio daAOBM. Todos os sócios terão direito de receber gratuitamente a Revista Eureka!. Excepcionalmente, aqueles que se associarem até 28 de fevereiro de2005 receberão, além dos números publicados em 2005, os números publicados em 2004. Temosduas categorias de sócios: · SóciosAspirantes: Categoria voltada para estudantes dos ensinosfundamental, médio e universitário. A anuidade é de R$20,00. · SóciosEfetivos: Categoria voltada para professores e pesquisadores. A anuidade é de R$50,00. Os sócios efetivos têm direito a voto nas assembléias da AOBM e recebemuma camiseta da OBM e o livro Olimpíadas Brasileiras de Matemática -9a. a 16a. O Estatuto da AOBM pode ser consultado nos seguintes endereços: http://www.obm.org.br/aobm/estatuto_def.doc http://www.obm.org.br/aobm/estatuto_def.ps http://www.obm.org.br/aobm/estatuto_def.pdf Para tornar-se sócio,preencha a ficha no verso e envie um cheque (cruzado e nominal à Associação Olimpíada Brasileira de Matemática) ou faça um depósito dasua anuidade na conta No. 40.000-9, Agência 1564-4, do Banco do Brasil e envie a cópia docomprovante e a ficha pelo correio para: Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jardim Botânico, Rio de Janeiro RJ CEP: 22460-320 -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero primo?
Gostaria de saber como se faz a fatoracao desse numero.. com metodos que se possa usar em uma prova de concurso, por ex. Essa questao doi um item de VouF da prova da UFPE. Com o auxilio de programas fica facil testar =P Renato Lira. On Fri, 3 Dec 2004 15:15:13 -0300 (ART), Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Voce tem o codigo-fonte? Araray Velho [EMAIL PROTECTED] wrote: Renato, Esse número não é primo, pois é divisível por 1, 19, 97, 277, 1843, 5263, 26869 e 510511 Podes baixar um programinha que testa se um número é primo ou não e, caso não seja, dá a fatoração desse número. O programa foi desenvolvido por mim em 1999 e tem apenas 17kB . O endereço para download é http://www.somatematica.com.br/zips/primos.zip Abraços, Araray Velho On Thu, 2 Dec 2004 22:22:42 -0200, Marcio Cohen wrote: Esse número é composto... Note que 30*7*11*13*17 = 11*7*11*13*(-2) = 1*11*13*(-2) = 10*(-2) = -20 = - 1 (mod 19), e portanto o seu número é divisível por 19.. - Original Message - From: Renato Lira To: Sent: Thursday, December 02, 2004! 8:31 PM Subject: [obm-l] numero primo? gostaria de saber se esse numero é primo, se nao, gostaria de saber alguma fatoracao pra achar ele 2x3x5x7x11x13x17 + 1 Grato, Renato Lira. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- ! Araray Velho [EMAIL PROTECTED] ICQ 20464041 MSN [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] numero primo?
gostaria de saber se esse numero é primo, se nao, gostaria de saber alguma fatoracao pra achar ele 2x3x5x7x11x13x17 + 1 Grato, Renato Lira. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME resultado
o resultado do IME vai sair dia 06/12/2004 On Thu, 25 Nov 2004 18:29:39 -0500, Romel Siqueira França [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber se o resultado do IME ja saiu abracos, Romel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Corredor
Um Predio possui um corredorcom paredes paralelas e que faz uma curva de "C" graus. A espessura do corredor muda na curva. Seja "a" a largura do corredor antes da curva e "b" a largura do corredor depois da curva. Deseja-se passar uma escada pelo corredor. Qual o comprimento maximo da escada para que ela consiga passar pelo corredor? ___ /C | / |b / _ | / / C / / / / / / / / / / -- a
[obm-l] Pavoes...
Alguem me ajuda nessa por favor Numa aldeia de pavões, existe um unico tipo de pavão com a seguinte caracteristica: i) Cada pavao tem uma e somente uma pena. ii) O pavao nao consegue ver a propria pena. iii) Se por acaso o pavão descobrir que perdeu a pena, então, ele comete um suicidio à noite Em uma noite ocorreu um assalto na aldeia e todos os pavões tiveram suas penas roubadas. Os pavões sabem que ocorreu o assalto mas nao sabem quantas penas foram roubadas. No 24° dia depois do assalto houve um suicídio coletivo na aldeia, todos morreram. Quantos pavões habitavam a aldeia? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 11...1222...25
vc tem ...111.25 -- (n-1) vezes 1 ... e n vezes
2...
vc separa em: 1...1 x 10^(n+1) = 10^(n+1)[1 + 10 + 100 + ... +
10^(n-2)]
22 x 10 = 20x( 1 + 10 + 100 + +
10^(n-1))
5
Se voce reparar, fomam PGs.
O numero fica: {[10^(n-1) -1]/10-1]10^(n+1)} + 20[(10^n -1)/10-1] + 5
= 1/9[10^2n + 2x5x10^n + 25] = [(10^n + 5)/3]^2
Logo, eh quadrado pefeito. Em geral essa prova do ime num foi
mto dificil nao.
Renato Lira.
- Original Message -
From: Luís Guilherme Uhlig [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, November 04, 2003 9:54 PM
Subject: Re: [obm-l] 11...1222...25
Esse numero eh igual ao quadrado de (10^n+5)/3.
Isso é o de menos, quero saber como vc fez =]
Até ;]
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Geometria II
Gostaria de saber como posso adquirir o livro Geometria II de A.C Morgado e Eduardo Wagner. Moro em Recife. Renato Lira.
Re: [obm-l] Pneus...
voce so pode utilizar estes quatro... pode trocar entre eles ex, os do eixo trazeiro com os do eixo dianteiro... - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, May 27, 2003 12:40 PM Subject: Re: [obm-l] Pneus... Vale trocar os pneus?Renato Lira [EMAIL PROTECTED] wrote: Um carro possui quatro pneus idênticos.A vida útil do pneu quando está no eixo dianteiro é de 30km e quando está no eixo trazeiro é de 50km. Qual a distância máxima que esse carro pode percorrer, utilizando apenas estes 4 pneus? Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
[obm-l] Questão interessante
Você é um piloto de um helicóptero Apache e avista uma fileira de tanques inimigosem forma de combate no vale do rio tigre, logo a frente distante 46km. Sabe-se que: a) Você se aproxima obedecendo uma P.A.(Progressão Aritmética) de números inteiros. b) Você pode atacar os tanques inimigos a partir de 7,5 km de distancia, o que ocorre entre o oitavo e o nono termo da P.A. c) O número de tanques em formação é o sétimo termo de uma P.G.(Progressão geométrica) cuja razao é o inverso da razão da P.A. d) O oposto do sexto termo da P.G. é o sêxtuplo do inverso do sétimo termo de uma P.H.(Progressão Harmônica) e também igual ao inverso do quarto termo desta mesma P.H., cujo primeiro termo vale 1/145. Pergunta-se: Sabendo-se que seu helicóptero pode destruir o numero de tanques dado pelo sétimo termo da P.A., quantos tanques em formação restarão?
[obm-l] Re: [obm-l] quadrilátero
Vejamos.. Pense num triangulo equilatero ABE. e um Segmento DC perpendicular a AE em D e que corta BE em C. Chamando o lado do triangulo ABE de a, temos que AB + BC = a + (a - CE). Temos um triangulo CDE retangulo em D com o anguloE igual a 60º. Entao, cos(60º)= DE/CE = CE = DE/cos(60º). Jogando na equacao de cima temos que AB + BC = 2a - DE/cos(60º) = 2a - 2DE = 2(a - DE) . Sabendo que a - DE = AD temos: AB + BC = 2AD c.q.d Renato Lira, Recife-PE 1ª série do EM - Original Message - From: Daniel Pini To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 05, 2002 6:51 PM Subject: [obm-l] quadrilátero ABCD é um quadrilátero no qual o ângulo D é reto e A=B=60º. Demonstrar que AB + BC=2AD. Por favor me ajudem demonstrar essa afirmação.
Re: [obm-l] Editora Mir
Primeiramente gostaria de pedir desculpas aoProfessor Augusto César Morgado por ter omitido a minha origem na mensagem anterior. Sou de Recife-PE. Para quem está à procura de livros Russos da editora MIR, descobri (pesquisando no google, que possui uma busca eficaz incluindo os arquivos desta lista)uma livraria em São Paulo que vende livros antigos, em particular os da já extinta editora Mir. Caso queira algum livro, é melhor se apressar, pois essa livraria já está fechando. Você pode pesquisar os livros pelo site: www.urss.ru lá você encontra alguns dos livros dessa editora. Essa livraria existe há 50 anos e pode-se encontrar livros de Matemática, Física , Química etc nas mais diversas línguas ( português, inglês, francês, russo ... ). A visita vale o sacrifício de ir até esse lugar mas tenha pressa pois essa livraria pode fechar a qualquer momento por falta de clientes(daqui a cerca de uma semana. 12/11/2002). Nome: Livraria S. Rosov Endereço: Rua 24 de Maio , n35 , andar 18 , sala 1812 Telefone: (0xx11) 223-5830 Fax: (0xx11) 5575-0313 - Original Message - From: Augusto César Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 13, 2002 6:34 PM Subject: Re: [obm-l] Editora Mir Insisto (estou desenvolvendo um problema grave de auto-estima; ninguém lê o que eu escrevo!) que mensagens como esta deveriam vir acompanhadas da cidade do remetente!MorgadoRenato Lira wrote: 001f01c28b45$788854c0$306ef9c8@ig" type="cite"> Alguém poderia me sugerir nomes de livros(bons para quem quer ITA e IME por ex)de uma editora russa chamada Mir? Já ouvi falar muito bem de seus livros.
[obm-l] Editora Mir
Alguém poderia me sugerir nomes de livros(bons para quem quer ITA e IME por ex)de uma editora russa chamada Mir? Já ouvi falar muito bem de seus livros.
[obm-l] Livros
Olá, eu sou estudante de Recife-PE e estou na 1ª série do Ensino Médio, eu estudo através da colecao "Fundamentos de Matemática Elementar", creio que muitos desta lista a conhecabem comoseus defeitos. Alguém poderia me apontar quais os assuntos em que tal coleção nao apresenta um bom grau de aprofundamento nos assuntos(tomando como referencia exames do IME e ITA) e, ao apontar, se possível indicar livros ou locais onde posso adquirir um material de qualidade com exercícios com um bom grau de aprofundamento. Grato pela atencao, Renato Lira
Re: [obm-l] fisica
www.fisica.net é muito completo.. coloca na busca q vc acha. - Original Message - From: diegoalonsoteixeira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, September 01, 2002 11:02 AM Subject: Re: [obm-l] fisica ogrigado pela indicação, mas meu ingles não é muito bom,vc conhece algum em portugues? __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol Vá até http://scienceworld.wolfram.com/physics/ e especifique o que quer saber: angular momentum (momento angular), moment of inertia (momento de inércia), torque (torque)... JF - Original Message - From: diegoalonsoteixeira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 31, 2002 8:12 AM Subject: [obm-l] fisica Alguem poderia me indicar algum site na internet que explique detalhadamente momento angular,momento de inércia ,torque.. obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Achar raizes na mão
Jeremias, para achar raizes, tem duas formas. Para números menores é melhor voce fatorar e depois extrair da raiz aqueles números, ex: sqrt(576), fatorando, voce acha que 576 é 2^6 x 3^2. entao sqrt(2^6x3^2) = 2^3x3=24. Mas parea números onde a raíz nao é exata e voce queira fazer uma aproximacao, há um outro método que aprendi na 8 série(ano passado). Você pega o nímero e separa por duas casas decimais da direita para a esquerda. ex: sqrt(196) fica 1 . 96 .. Após separar o número, voce sai extraindo as raízes do último número, que no exemplo foi 1. Qual eh o núimero inteiro que ao quadrado dá 1? 1 =P ai vc coloca 1. depois, separeadamente, voce pega o número que restou, multiplica ope 2 e coloca da seguinte forma... no ex fica: 2_x_ qual o número que multiplicado dá o que sobrou? 6, pois 26x6 = 96 _ \| 1.96 | 1 6 - 1 | 2_x_ = 26x6 = 96 0.96| - 96 | 0.00 Nao sei se ficou claro para voces.. lá vai outro exemplo: sqrt(1250) aproximadamente iqual a 35,35 _ \|12.50| 35,35. - 9 | 6_x_ = 65x5 = 325 3 50 | - 3 25 | 70_x_ = 703x3 = 2109 0 25 | 2500| - 2109| 706_x_ = 7065x5 = 17625 391 | 39100 | -35325| 3775 | e poraí vai Espero que tenha ajudado - Original Message - From: Jeremias de Paula Eduardo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, August 30, 2002 10:19 PM Subject: [obm-l] Achar raizes "na mão" Estou acostumado a apertar a raiz da calculadora, mas gostaria de aprender a calcular-las manualmente e não encontrei como. Obrigado por toda ajuda Jeremias de Paula Eduardo
Re: [obm-l] pergunta
Caro Rafael, Por definição, retangulo é o polígono de 4 lados que possui dois pares de retas paralelas opostas de modo que seus angulos internos sejam 90º. E o quadrado?! Ele é sim um retangulo pois se enquadra na definicao de um. Também por definicao, um losango é um polígono de 4 lados que possui dois pares de retas de medidas iguais e opostas. E o quadrado? é sim um losango pois também se enquadra na definicao de um. . - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 28, 2002 11:48 PM Subject: [obm-l] pergunta Pessoal, desculpe se a pergunta parecer muito besta pra vcs mas estou realmente em dúvida...é o seguinte: Eu sei que um retângulo não é um quadrado, mas um quadrado é um retângulo? Um quadrado é um losando de lados iguais? __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Latex
Olá, alguem poderia me informar um site onde eu possa pegar e obter instrucoes de uso de algum programa tex, como o LaTeX? Obrigado, Renato Lira
