Re: [obm-l] corpo ordenado completo
Só um pequeno comentário (atrasado, pois só hoje vi esse e-mail), Elon axiomatizou a existência de um corpo ordenado completo para não ter que discutir a construção de um. Ele axiomatizou que existe um, chamou-o de números reais, e depois mostrou que todos os corpos ordenados completos são isomorfos. A vantagem de construir um corpo ordenado completo (e não axiomatizar sua existência) como mostrou Johann em sua resposta a esse e-mail, é mostrar a existência de um c.o.c. assumindo apenas axiomas muito básicos da teoria dos conjuntos, evitando acrescentar um novo axioma. Rogério From: Bruno Lima [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM lISTA [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] corpo ordenado completo Date: Tue, 7 Jan 2003 20:29:13 -0300 (ART) No livro do Elon, Curso de analise vol1, no cap 3 ele enuncia o seguinte axioma: Existe um corpo ordenado completo , pra mim isso nao tem cara de axioma. Nao da pra provar esse fato ?? Ou seja, provar que o conjunto dos reais 'e corpo ordenado completo?? - Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet _ Protect your PC - get McAfee.com VirusScan Online http://clinic.mcafee.com/clinic/ibuy/campaign.asp?cid=3963 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Realmente, parece que eu gerei mais polêmica do que esperava. Vou indicar um site que explica muito bem o Axioma da Escolha - seu enuniado, aplicações e discussões filosóficas a respeito de seu uso. O site é: http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Axioma da Escolha Date: Tue, 17 Sep 2002 15:18:29 -0300 Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o Axioma da Escolha. Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele? JF -Mensagem Original- De: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Setembro de 2002 13:30 Assunto: RE: [obm-l] Axioma da Escolha A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é (...) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Axioma da Escolha
A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é conseguir uma propriedade que escolhe um elemento de cada conjunto. Por exemplo, os racionais são enumeráveis. Em particular, podem ser bem ordenados. De fato, podemos escrever essa boa ordem (a lexicográfica, por exemplo). Para escolhermos elementos de infinitos conjuntos de racionais, basta pegarmos o menor elemento de cada conjunto. Esse tipo de demonstração é construtiva, no sentido de que essa escolha não foi feita ao acaso, mas obedecendo uma regra explícita. É claro, como voce ressaltou, o construtivismo não aceita princípios e teoremas tidos como fundamentais na matemática. A fim de eliminar algumas coisas estranhas da matemática, criou outras mais estranhas ainda. Trata-se apenas de uma forma de matemática que não é a mais usual, mas em algum momento pode até ser útil. Hoje há quase um consenso em aceitar o axioma da escolha. Mas, para alguns, um teorema que não depende do axioma da escolha pode ter um status maior do que os outros. Existem muitos trabalhos relacionados a independência em Teoria dos Conjuntos que mostram o que seria possível sem o axioma da escolha. From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Axioma da Escolha Date: Fri, 13 Sep 2002 23:45:41 -0700 Apenas lembrando, porque costuma-se realçar quando se usa o axioma da escolha, há uma corrente filosófica de matemáticos que não aceitam o axioma da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os intuicionistas). O axioma da escolha nos garante a existência de objetos que não podemos determinar quem, exatamente, ele é. Esse tipo de coisa os construtivistas não aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca saberemos quem é, ou onde está? O teorema de Weierstrass, que diz que toda função real contínua sobre um intervalo fechado assume máximo, não é aceita pelos construtivistas, pois não podemos exibir esse ponto de máximo. [Artur Costa Steiner] Ms este teorema é um dos mais importantes da matemática Por outro lado não podemos dizer que não existe ponto de máximo, pois isso seria garantir que todos os pontos não são de máximo, o que não devemos assegurar. Por isso na lógica intuicionista A ou não A pode ser falso, e A não é equivalente a não não A. [Artur Costa Steiner] Acho que é também importante lembrar que muitas provas na matemática basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, várias das provas dos teoremas ligados à compaticidade de espaços métricos enquadram-se nesta categoria, como o que afirma que S é compacto === S é sequencialmente compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ninguém as questiona. , Todas essas complicações geradas pelo construtivismo fizeram que esse caísse um pouco no esquecimento. Hoje parece que há poucos matemáticos construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que gerou o construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos com coisas obtidas não construtivamente. Enfim, há sempre uma fagulha de construtivista em nós. É certo que os mais radicais não admitem nem prova por absurdo, mas o axioma da escolha já seria o maior crime que se poderia cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstrações, é sempre bom ressaltar o que é construtivo e o que não é. Por exemplo, o Paradoxo de Banach-Tarski, sobre a duplicação da esfera, citada pelo Paulo, é não-construtiva. Sobre o problema da violência, resta um consolo: se o conjunto dos bandidos, dado pelo problema, já estiver bem ordenado (por exemplo, se é enumerável), não precisamos do axioma da escolha, e não cometeremos uma violência contra os intuicionistas. O difícil vai ser achar bandidos bem ordenados... [Artur Costa Steiner] Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha? Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, então não precisamos do axioma? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] violencia
Olá, Vinicius Cada vez que voce retira um elemento de C e coloca em R, na verdade voce mudou o conjunto C. Ou seja, cada escolha que voce fez, no processo indutivo, foi sobre um conjunto diferente. É semelhante a demonstração de que todo conjunto infinto possui um subconjunto enumerável, em que, dado um conjunto V, construímos indutivamente um conjunto S colocando nele, a cada passo, um elemento de V que não está em S, usando o Axioma da Escolha From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] violencia Date: Sun, 8 Sep 2002 18:41:45 -0300 Oi Rogério Acho que não saquei. Em que momento foi utilizado o axioma da escolha? Eu nem tinha infinitos conjuntos! Apenas conjuntos infinitos. Até mais Vinicius - Original Message - From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, September 08, 2002 2:17 PM Subject: Re: [obm-l] violencia É bom notar que essa solução usa o axioma da escolha (de infinitos conjuntos não-vazios, escolhemos um elemento de cada). É essencial o axioma da escolha para resolvê-lo? From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] violencia Date: Sat, 7 Sep 2002 23:44:58 -0300 - Original Message - From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, September 07, 2002 8:45 PM Subject: [obm-l] violencia Olá, alguém pode dar uma ajuda nestas questões? 1.a)uma gang tem infinitos bandidos e cada um dos meliantes tem um único inimigo no interior da gang,que ele quer matar.Prove q é possivel reunir uma quantidade infinita de bandidos desta gang, semq haja o risco de q um bandido mate outro durante a reunião. Pense no seguinte algoritmo: Temos o conjunto C de candidatos à reunião que inicialmente contém todos os infinitos bandidos da gangue. Temos o conjunto R de bandidos selecionados para a reunião que inicialmente está vazio. A cada passo do algoritmo procuramos em C alguém que não que matar ninguém de R e ninguém em R quer matá-lo. Seja M o subconjunto de C de bandidos que pelo menos um de R quer matar. Como cada bandido de R só quer matar um, |M|=|R| Então, como R é finito, M será finito e V=C-M será infinito, pois C é infinito. V será o subconjunto de C dos bandidos que ninguém de R quer matar. Em V procuramos um bandido que não quer matar ninguém de R, retiramos ele de C, o inserimos em R e repete-se o processo. Se sempre for possível encontrar tal bandido, o processo se repetirá indefinidamente e com R sempre crescendo. Assim teremos infnitos bandidos na reunião sem derramamento de sangue. Se em algum momento não for possível encontrar um bandido em V, é porque todos os bandidos de V querem matar alguém de R. Ou seja, ninguém de V quer matar outro de V. Pegamos, então, V como o conjunto de bandidos para a reunião. Como V é infinito, teremos infinitos participantes na reunião. b)Se cada bandido tiver um nº finito mas indefinido de inimigos(um bandido pode ter 2 inimigos, outro somente 1, um terceiro pode ter 20 e assim por diante).Será sempre possivel promover uma reunião com infinitos bandidos sem risco de derramamento de sangue? Não é possível. Existe um contra-exemplo: Ordene os bandidos formando uma sequência. Imagine que cada bandido quer matar todos que vêm antes dele na sequência. Nunca poderemos ter dois bandidos 'a' e 'b' na reunião, pois ou a vem antes de b, ou b vem antes de, assim haverá um que vai querer matar o outro. Então só poderemos ter um bandido na reunião. Até mais Vinicius Fortuna IC-Unicamp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] violencia
É bom notar que essa solução usa o axioma da escolha (de infinitos conjuntos não-vazios, escolhemos um elemento de cada). É essencial o axioma da escolha para resolvê-lo? From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] violencia Date: Sat, 7 Sep 2002 23:44:58 -0300 - Original Message - From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, September 07, 2002 8:45 PM Subject: [obm-l] violencia Olá, alguém pode dar uma ajuda nestas questões? 1.a)uma gang tem infinitos bandidos e cada um dos meliantes tem um único inimigo no interior da gang,que ele quer matar.Prove q é possivel reunir uma quantidade infinita de bandidos desta gang, semq haja o risco de q um bandido mate outro durante a reunião. Pense no seguinte algoritmo: Temos o conjunto C de candidatos à reunião que inicialmente contém todos os infinitos bandidos da gangue. Temos o conjunto R de bandidos selecionados para a reunião que inicialmente está vazio. A cada passo do algoritmo procuramos em C alguém que não que matar ninguém de R e ninguém em R quer matá-lo. Seja M o subconjunto de C de bandidos que pelo menos um de R quer matar. Como cada bandido de R só quer matar um, |M|=|R| Então, como R é finito, M será finito e V=C-M será infinito, pois C é infinito. V será o subconjunto de C dos bandidos que ninguém de R quer matar. Em V procuramos um bandido que não quer matar ninguém de R, retiramos ele de C, o inserimos em R e repete-se o processo. Se sempre for possível encontrar tal bandido, o processo se repetirá indefinidamente e com R sempre crescendo. Assim teremos infnitos bandidos na reunião sem derramamento de sangue. Se em algum momento não for possível encontrar um bandido em V, é porque todos os bandidos de V querem matar alguém de R. Ou seja, ninguém de V quer matar outro de V. Pegamos, então, V como o conjunto de bandidos para a reunião. Como V é infinito, teremos infinitos participantes na reunião. b)Se cada bandido tiver um nº finito mas indefinido de inimigos(um bandido pode ter 2 inimigos, outro somente 1, um terceiro pode ter 20 e assim por diante).Será sempre possivel promover uma reunião com infinitos bandidos sem risco de derramamento de sangue? Não é possível. Existe um contra-exemplo: Ordene os bandidos formando uma sequência. Imagine que cada bandido quer matar todos que vêm antes dele na sequência. Nunca poderemos ter dois bandidos 'a' e 'b' na reunião, pois ou a vem antes de b, ou b vem antes de, assim haverá um que vai querer matar o outro. Então só poderemos ter um bandido na reunião. Até mais Vinicius Fortuna IC-Unicamp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = s _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] LATEX
Eu tive que aprender a usar o LaTeX em 3 dias. Para isso, peguei na biblioteca da faculdade o livro de Leslie Lamport LaTeX: A document Preparation System. É uma das referências para aprender LaTeX, e é bem objetivo e simples de entender. Eu o recomendo. From: Nandinha - IG [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] LATEX Date: Fri, 12 Jul 2002 09:15:56 -0300 OI Gente.. Preciso aprender URGENTEMENTE a usar o LATEX. Alguem poderia me ensinar ou indicar algum site q ensine a usar esse programa? Abraços Nandinha _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:
Sendo r o raio da Terra (ou da bola), o comprimento da terra é de 2pi*r. Aumentando em 1, o comprimento passa a ser 2pi*r+1. O raio dessa corda passa a ser (2pi*r+1)/2pi. Logo, a diferença dos raios é de r+1/2pi-r=1/2pi, independente se r é o raio da Terra ou da bola! From: Adherbal Rocha Filho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Date: Sun, 19 May 2002 11:51:23 + mais um probleminha: suponha q a Terra eh uma esfera e que uma corda está amarrada ao redor da linha do equador.Agora suponha que esta corda eh aumentada em um metro ,formando uma circunferencia maior,qual será a distancia entre a superficie da Terra e a corda? E se eu fizesse o mesmo pra uma bola de futebol,qual seria a distancia? valeu! []´s Adherbal _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problemão que circulou em outra lista
Alguém já sabe a solução deste problema? Não consegui fazer e estou curioso, pois não me parece ter solução. Pelo que percebi, cada vez que um fala Não sei, ele dá uma dica para o outro. Isto significa que, em cada instante, dependendo do número que ele estivesse pensando, poderia saber. Por exemplo, se o Sr. P soubesse que o produto era 121, quando o Sr. S disse que a soma é menor que 99, ele já mataria o problema, pois 121=121*1 ou 121=11*11, e não há outra opção. Sabendo que a soma é menor que 99, ele já eliminaria a primeira opção e saberia quais eram os números. Quando Sr. P disse Eu não sei, o Sr. S já percebeu que os números não podiam ser dois primos cujo produto era maior ou igual a 98, pois, se fosse, pelo argumento acima o Sr. P resolveria o problema. Mas, mesmo assim, Sr. S não resolveu o problema, e diss Eu não sei. Se o problema tem solução, isso significa que, dependendo da soma que o Sr. S conhecesse, ele teria dito Eu sei. A pergunta é: para quais números ele mataria o problema só do Sr. P dizer: Eu não sei? Para mim, isso paree não ter solução, pois as possibilidades para a soma são muitas, ao contrário do produto. From: Marcos Melo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problemão que circulou em outra lista Date: Thu, 25 Apr 2002 20:46:21 -0200 Para o caso de não ter circulado por esta lista: *** Texto do Problema * Dois amigos se encontram. Um tem o produto de dois numeros (Sr. P) e o outro tem a soma dos dois numeros (Sr. S). Nenhum dos dois sabe quais sao os numeros. Entao eles desenvolvem o seguinte dialogo: Sr. S: A soma eh menor que 99. Sr. P: Deste jeito, eu nao sei quais sao os numeros. Sr. S: Entao eu tambem nao sei quais sao os numeros. Sr. P: Se voce nao sabe ainda, eu tambem nao sei. Sr. S: Como voce nao sabe, eu tambem nao sei. Sr. P: Agora, eu sei quais sao os numeros. Sr. S: Eu tambem sei. Quais sao os numeros? * = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Filosófica...
A luz também não é matéria? Se o universo duplicar de tamanho, os fótons da luz também duplicam de tamanho, e sua velocidade também. Isso é o que eu acho, não entendo muito de física. Mas de qualquer forma, antes de tentar responder a essa pergunta (ou concluir que ela é indecidível, como eu e o Ricardo Miranda), devemos definir uma coisa: O que é tamanho? Imagino que é necessário um referencial. Se todo o universo duplicar de tamanho, como fica o referencial? Pelo pouco que sei de física, o referencial é baseado na própria velocidade da luz. Nesse caso, dizer que o universo duplicou de tamanho é absolutamente a mesma coisa que dizer que a velocidade da luz reduziu pela metade. Neste caso, sua resposta estaria certo. Mas qual seria o referencial do tempo? Rogério From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Filosófica... Date: Fri, 19 Apr 2002 22:28:36 -0300 Veja quantos metros a luz anda em um segundo. Constataremos que a velocidade da luz caiu para a metade do que conhecíamos! Será que essa resposta serviu? Vinicius Fortuna - Original Message - From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 19, 2002 5:38 PM Subject: [obm-l] Filosófica... Com a informação de que tudo no universo tinha duplicado de tamanho no decorrer da noite passada, como se poderia verificar a veracidade de tal informação? Alguém se arrisca??? Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Tax Center - online filing with TurboTax http://taxes.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Filosófica...
Eu me arrisco a responder essa pergunta com a idéia de teoria dos modelos da matemática. Não tem como constatar se o universo duplicou de tamanho ou não. Logo voce pode admitir que isso seja verdadeiro ou falso, sem chegar a contradição. Assim como a hipótese do contínuo é indepente da teoria dos conjuntos, i.e., podemos aceitá-la como verdadeira ou falso sem chegar em nenhuma contradição (não pode ser provada nem refutada), assim o fato do universo ter duplicado é independente da teoria que explica o comportamente do universo sob a ótica do homem (ou seja, a física, já que a física foi criada e é estudada pelo homem). Esse é um ponto de vista que eu tenho a respeito não só dessa, mas de todas questões filosóficas que dizem respeito ao universo em que vivemos: o determinismo do universo (o universo está completamente determinado, inclusive nosso futuro, pelas leis da física), o idealismo (a matéria não existe, o que existe é o nosso pensamento, alguém me corrija se não é bem isso), etc, etc. Costumo explicar todas essas questões sob o ponto de vista da teoria dos modelos (com ênfase ao teorema da incompletude de Godel). Admitir ou não essas coisas como verdadeira, em nada alterará a nossa concepção do universo. Não há por que elas sejam necessariamente verdadeiras, ou necessariamente falsas. Elas são independentes, indecidíveis. Portanto, se voce acreditar que o universo duplicou de ontem para hoje, e eu não acreditar, não há por que achar que um de nós está certo e o outro errado. A resposta final que eu dou à pergunta, se o universo duplicou ou não é: tanto faz. Rogério From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Filosófica... Date: Fri, 19 Apr 2002 13:38:20 -0700 (PDT) Com a informação de que tudo no universo tinha duplicado de tamanho no decorrer da noite passada, como se poderia verificar a veracidade de tal informação? Alguém se arrisca??? Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Tax Center - online filing with TurboTax http://taxes.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] En: Livros interessantes
Olá, colegas Em falar em livros interessantes, eu gostaria de saber se alguém conhecem bons livros de história da matemática. Mas gostaria de livros que não enfatizassem a história, em si, mas a matemática. Explicando melhor: eu queria conhecer melhor a matemática em seu contexto histórico, o que motivou a criação de cada área da mtemática, por que sentiram a necessidade de criar a lógica matemática como fundamento da matemática, por que criaram a topologia, a teoria dos conjuntos, o ZFC, etc. Às vezes sinto falta dessas notas históricas para apreciar e entender melhor os diversos ramos da matemática. Rogério From: Josimar [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] En: Livros interessantes Date: Thu, 7 Feb 2002 00:59:05 -0200 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 06, 2002 4:56 PM Subject: Livros interessantes Olá Josimar, Não consegui ainda me re-inscrever na lista , por isso peço que repasse este e-mail à lista obm-l. Grato !! Gente, Um livro que achei bastante interessante foi Einstein viveu aqui!, uma espécie de relato sobre a vida de Einstein, fala sobre a celebre frase eu vejo isso, mas não posso acreditar que Deus jogue dados com o universo! e também sobre várias faces de Einstein (Sabiam que ele chegou a dar aulas particulares para pagar suas contas??). Pegando carona nessa frase, indicaram-me um outro livro chamado Sútil é o Senhor!, ao que me parece também relacionado à Einstein. Um informação: o título do primeiro livro, assim como a contra-capa, são em função de um charge publicada em um jornal americano após a morte de Einstein. Há também um pequeno livreto que ganhei de um livreiro aqui no rio, dedicado à Leopoldo Nachbin, brilhante matemático brasileiro. Um trabalho bonito, preparado por seu Filho (o pesquisador do IMPA André Nachbin) em memória de seu Pai, um dos fundadores e grandes pesquisadores desta instituição. Neste trabalho há depoimentos e estórias de vários matemáticos e do próprio André Nachbin, à respeito de Leopoldo. Abraços A todos!! PS: Nicolau, seria possível verificar porque não consigo me resgistrar ao mandar e-mail para o majordomo ?? A busca mais veloz e precisa da internet. Acesse agora: http://www.zoom.com.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] [Fwd: Sobre a importância de um teorema ou conjectura, e matemáticos Brasileiros]
Não sou professor, ainda sou aluno de bacharelado, mas concordo plenamente
que livros como o TIO PETROS... (eu li e achei sensacional) deveria ser
recomendado no ensino médio. Eu posso dizer que acabei escolhendo matemática
por sorte, pois, como esses 95% dos alunos do ensino médio, eu não fazia
idéia do que era a Matemática Superior. Pensava, como a maioria, que era só
conta, onde tinha que usar bastante raciocínio. Gostava de matemática, mas
quando conhecia a matemática superior na faculdade, com toda sua beleza e
suas peculiaridades que no ensino médio nem imaginava que existia, percebi
que realmente estava no curso certo. Algumas frases que eu ouvia,e ainda
ouço, e creio que todos os matemáticos ouvem, mostram a imagem que se tem da
matemática:
Você estuda matemática? Então responde depressa: quanto é 3471*43698?
Você estuda matemática? Dá-me uma calculadora e eu faço tudo que voce
faz
Talvez bons livros de divulgação como esses citados, mostrem aos alunos o
que é matemática.
Rogério
From: Josimar [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [Fwd: Sobre a importância de um teorema ou
conjectura, e matemáticos Brasileiros]
Date: Wed, 30 Jan 2002 11:24:02 -0200
Olá amigos!
Como estou há muitos meses afastado, tenho receio de dizer algo já
mencionado.
Um outro excelente livro, na mesma linha que o do Simon Singh, é TIO
PETROS E A CONJECTURA DE GOLDBACH de Apostolos Doxiadis, editora 34.
Sendo que este não é um documentário, mas sim um romance, verdadeiramente
emocionante. Acredito que livros como esses deveriam ser levados aos alunos
do ensino médio. Estou certo de que não se trata de exagero dizer que cerca
de 95% dos alunos terminam o Ensino Médio, sem ter a mais vaga idéia de que
a Matemática ainda é feita nos dias de hoje, ou seja, não é algo pronto,
acabado, esgotado. Vejo isso como um forte indicador de que há muita coisa
errada. O pior é o aluno sai da escola com essa mentalidade mesmo depois de
estudar (sabe lá Deus como) números complexos, sistemas lineares etc. Creio
que o problema seria atenuado se o próprio professor de matemática não
tivesse também tão distante da realidade. Tento disseminar esses livros,
essa idéia, mas confesso que não raro encontro relutância entre meus
próprios colegas, mas felizmente é comum ter boa receptividade por parte de
alguns alunos. O único problema é que não me devolvem os livros. Ou jogam
fora ou gostam muito.
Alguém acredita que FERMAT tivera blefado?
É irrefutável a idéia de que FERMAT de fato não conseguira demonstrar?
[]s, Josimar
- Original Message -
From: Augusto César Morgado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, January 28, 2002 9:18 PM
Subject: [obm-l] [Fwd: Sobre a importância de um teorema ou conjectura,
e matemáticos Brasileiros]
Original Message From: - Mon Jan 28 21:11:16 2002
X-UIDL: gED!~Rc!a9'!-LN!!
X-Mozilla-Status: 0001
X-Mozilla-Status2:
Return-Path: mailto:[EMAIL PROTECTED]
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Date: Mon, 28 Jan 2002 10:22:00 -0300
From: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Sobre a importância de um teorema ou conjectura, e
matemáticos Brasileiros
To: [EMAIL PROTECTED]
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Caro Prof. Morgado,
Enviei mensagem ao Nicolau, solicitando que fosse repassada à lista de
discussão
a mensagem abaixo, porém recebi uma notificação de erro relacionado ao
e-mail
dele. Seria possível você fazer esse repasse ?
Eu não sou mais cadastrado na lista, porém ainda acompanho os arquivos
disponíveis
no site da lista e gostaria de emitir uma opinião.
Grato.
Alexandre Vellasquez (Saudações Tricolores)
--
Quanto à importância de um teorema ou conjectura, acredito que ela deva
ser dada em função dos trabalhos que estejam baseados nesse primeiro
resultado.
No livro de Simon Singh, verifica-se isso em relação à conjectura de
Taniyama-Shimura,
que em certa altura se mostra mais importante que o próprio Último Teorema
de Fermat (que não entendo porque era assim chamad
o e não apenas de Conjectura
de Fermat, uma vez que ainda não havia demonstração para ele). Segundo
o livro, há um grande número de trabalhos que se iniciam por Considerando
verdadeira a Conjectura de Taniyama-Shimura. OU seja, caso
Re: [obm-l] Teorema de Fermat
Me deixa eu ver se entendi. A função zeta(s) NÃO é soma(1/n^s), senão ela
não estaria definida para todo s complexo. Mas ela é uma extensão de
soma(1/n^s) onde está definida, para todo plano complexo. É isso? Nós vamos
estudar isso em funções analíticas?
Isso (a hipótese de Riemann) me parece mais um problema de análise do que
de teoria dos números. Por que é considerado teoria dos números?
From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
Date: Mon, 28 Jan 2002 23:38:39 -0200
At 21:27 28/01/02 +, you wrote:
Como? zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+...=0 ??
Sim, é isso mesmo, não é surpreendente?
É brincadeira! Isto está errado!!!
A série zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo) SÓ CONVERGE
PARA Re(s)1, LOGO SÓ DEFINE UMA FUNÇÃO PARA Re(s)1!!!
Já vou explicar isto melhor.
Isso nem com a lógica paraconsistente consigo entender!!!
Pode me explicar o que vc quer dizer com essa extensão para todo o plano
complexo (desculpe minha ignorância em teoria dos números e/ou análise
complexa, mas não sei o que é holomorfa, pólo nem continuação analítica).
Se a fórmula de zeta é a fórmula q vc mencionou, e a exponenciação por
complexo é a que eu conheço (expansão pelo polinômio de Taylor da função
e^x, não consigo imaginar nenhuma raíz trivial. O q me parece imediato é
que não possui raiz real (a parte imaginária não pode ser nula) posi sei
que a função a^x (a0) não tem raiz real.
Imagine uma função f:(disco unitário aberto de R^2) - R, derivável,
digamos f(x,y)=x+10. Veja que podemos estender esta função de vários modos
(e deixando a extensão ainda derivável) para um domínio maior, digamos R^2.
Por exemplo, podemos definir g:R^2-R por g(x,y)=x+10, mas há vários outros
jeitos, do tipo
g(x,y)=x+10 se x=1
g(x,y)=x^2/2+10,5 se x1
Quando trocamos funções R^2-R por funções de C em C, isto nao acontece.
Por exemplo, se temos uma função do disco unitário aberto do plano complexo
em C que é HOLOMORFA (holomorfa=derivável) SÓ HÁ UM MODO DE ESTENDÊ-LA PARA
UMA FUNÇÃO HOLOMORFA DE DOMÍNIO MAIOR. (um outro exemplo: se f é holomorfa
e conhecemos f na fronteira de um círculo, f já está determinada dentro do
círculo. - o que é fantástico, aliás...)
Veja, temos uma função (zeta) definida para Re(s)1, ok? Ela é holomorfa no
semiplano {z complexo | Re(z)1}, e pode ser estendida DE UMA ÚNICA FORMA
para uma função holomorfa no plano todo, digamos rogerio(s). Isso é a
continuação analítica!!! [na verdade ela não vai ser analítica no plano
todo, ela vai ter um ponto em que ela explode - UM POLO - em s=1]
Se re(s)1, rogerio(s)=zeta(s)=soma(1/n^s), certo?
E se re(s)1?? Embora a série de zeta não faça sentido, a função
rogerio(s) está definida!!!
Oras, então DEFINIMOS, para re(s)1, zeta(s)=rogerio(s).
Só para ser o mais repetitivo possível: zeta(s) só coincide com a série
soma (1/n^s) se Re(s)1
Logo zeta(-2) NAO É e NEM PODERIA SER 1^2+2^2+3^2...
Ah, e a exponenciação com complexos de fato é a da série de Taylor, mas é
mais fácil pensar em exp(a+bi)=e^a(cos b +i sen b). Como vc falou, é óbvio
que zeta não tem raízes nos reais 1, mas não é TAO fácil ver que ela não
se anula em todo o semiplano re(s)1.
Espero ter deixado as coisas mais claras, assim como espero não ter dito
nenhuma asneira!
Bruno Leite
www.ime.usp.br/~brleite
Outro abração,
Rogério
From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
Date: Mon, 28 Jan 2002 03:04:31 -0200
At 00:46 28/01/02 +, you wrote:
Quais são as raízes triviais da função zeta?
Olá Rogério Godel Júnior,
A função zeta é definida inicialmente pela equação
zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo)
Esta série converge se e só se a parte real de s é1. No semiplano (z
complexo | Re(z)1} não é difícil ver que zeta(s) NUNCA se anula.
de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!!
(para saber o que é mu(n), consulte o email do Nicolau que está indo
junto
com este email...lá embaixo)
Lembro-me de que quando aprendi esta fórmula acima (donde segue que zeta
nunca se anula) pensei que a hipótese de Riemann não fazia o menor
sentido.
Afinal, ela dia que os zeros não triviais (mas zeta não se anula!?) de
zeta(s) têm parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a série nem ao menos
converge )
Mas é claro que eu estava errado. Pode-se estender a definição de zeta
para
todo o plano complexo (holomorfa, com um pólo em s=1) por continuação
analítica, e agora sim a função zeta tem raízes e faz sentido falar de
zeta(1/2+bi)...
Pode-se provar que vale o seguinte:
$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$
(onde gamma é aquela função que o professor de estatística usava, lembra?
-
a que generaliza o fatorial)
Se vc botar s=2n+1 (n1 natural) na formula acima, vai descobri que
zeta(-2)=zeta(-4)=zeta(-6)=...=0
Os inteiros pares negativos são chamados zeros
Re: [obm-l] Mais Cardinalidade
Cardinalidade alef 0 é a cardinalidade dos conjuntos enumeráveis (isto é, que têm bijeção com os naturais). É a menor cardinalidade que existe para conjuntos infinitos. A próxima cardinalidade infinita, imediatamente após alef 0, é o alef 1. Depois vem o alef 2, o alef 3 e assim por diante. Depois de tudo isso vem o alef w (leia-se: alef omega), onde w, em teoria dos conjuntos, é o conjunto dos naturais, que também é o número ordinal que vem depois de todos os naturais (representa o infinito, que é maior que todos os naturais). Depois vem alef w+1, onde w+1 é o ordinal que vem imediatamente após w, depois temos w+2, w+3,..., w+w=2w, 2w+1,..., 3w,...,4w,...,ww=w^2,...,w^w,..., etc. Para estudar os números cardinais, é necessário, primeiro, estudar os cardinais. De modo geral, os ordinais generalizam a idéia da contagem. Todos os conjuntos bem ordenados (i.e., conjuntos em que todos os seus subconjuntos possuem um menor elemento) são isomorfos a algum ordinal (há uma bijeção que preserva a ordem). A cardinalidade c é a cardinalidade dos reais. A hipótese do contínuo afirma que não há conjunto infinito cuja cardinalidade é maior que alef 0 e menor que c, isto é c=alef 1. Mas a hipótese do contínuo é independente do ZFC, não podemos demonstrar que é verdadeiro nem falso. Quanto o que vc falou do conjunto das partes, a hipótese do contínuo generalizada diz exatamente o que vc imaginou: alef n+1 é a cardinalidade do conjunto das partes de um conjunto de cardinalidade alef n (observe que existe uma bijeção entre os reais e as partes dos naturais). Mas isso não pode ser provado, é independente do ZFC. Pode ser que o conjunto das partes dos naturais tenha uma cardinalidade muito maior que alef 1. Existe uma teoria muito interessante sobre os grandes cardinais (eu não a conheço). A existência de grandes cardinais também é independente do ZFC. O Halmos tem um capítulo bem explicativo sobre números ordinais (devem ser estudados antes dos cardinais), mas relaciona pouco lógica com teoria dos conjuntos (fala pouco da independência da hipótese do contínuo, os grandes cardinais, etc). Para isso, você precisa consultar um livro mais avançado de lógica e teoria dos conjuntos. Acho que o livro indicado pelo Paulo (O teorema de Godel e a hipotese do continuo) seja ideal. Para suas dúvidas iniciais, que envolve só teoria dos conjuntos, recomendo o Halmos, para um primeiro estudo (obs.: tem tradução, Teoria ingênua dos conjuntos, mas parece que a edição mais antiga tem uma tradução melhor). Rogério From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais Cardinalidade Date: Mon, 21 Jan 2002 12:33:36 -0300 (ART) estou lendo algo sobre isso..gostaria de alguns esclarecimentos Quais são os conjuntos de cardinalidade alef zero??e alef mais c???Quer dizer que temos 3 conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes (c , alef e alef mais c)??? No livro que eu estou olhando ele prova que a cardinalidade do conjunto das partes de um conjunto x é maior que a cardinalidade do conjunto x.Entao se eu conseguir uma função bijetora entre um conjunto y e o conjunto das partes de x é a mesma coisa que dizer que a cardinalidade de y é maior que a de x???è assim que ele chega a alef???Qual o conjunto que originou o conjunto das partes no qual é o contradominio da função bijetora no qual tem os irracionais como dominio???entendeu onde quero chegar??pode ser que eu entendi errado é que o livro é em ingles e a notação é muito complicadafico grato por quem puder esclarecer sobre isso --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Dec 27, 2001 at 02:07:52PM -0200, Vinicius José Fortuna wrote: Ué, eu sempre entendi que a cardinalidade de um conjunto fosse o número de elemento do mesmo. Se dois conjuntos possuem infinitos elementos, eu achava que a cardinalidade fosse a mesma. Alguém tem um conceito mais preciso de cardinalidade? Cantor. :-) Cantor começou uma revolução na matemática ao descobrir que uns infinitos são maiores do que outros. Dois conjuntos A e B têm o mesmo cardinal (segundo Cantor) se existir uma bijeção entre A e B. O cardinal de A é menor do que o de B se existir uma função injetora de A para B mas não existir uma bijeção. Cantor demostrou que |N| = |Z| = |Q| = |A| |R| = |C| onde estes são os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, algébricos, reais e complexos. Em particular, isto demonstrava a existência de números transcendentes (não algébricos), novidade na época. Tudo isto está em Naïve Set Theory de Halmos (e em um milhão de outros lugares). []s, N. ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/
Consistência da inconsistência???!!!!
Olá a todos, Desculpem incomodar vcs novamente com perguntas de lógica-matemática, metamatemática, teorema de godel, etc. Mas uma coisa me deixou realmente confuso. Pelo segundo teorema de godel, a sentença ZFC é consistente é independente de ZFC. Isto significa (se ZFC for consistente) que ZFC + ZFC é inconsistente é consistente??? Rogério _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com
Re: Historia e Matematica
Será que o Teorema de Pitágoras foi mesmo provado por Pitágoras? Ou já se o conhecia muito antes, no Egito ou outro país oriental? From: Fabio Garrido [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Historia e Matematica Date: Thu, 10 Jan 2002 13:58:45 -0200 Ola.. Se generalizarmos dessa maneira ficara´ incoerente chamarmos, por exemplo, o Teorema de Pitagoras por seu devido nome apesa dele ser o autor. Pois como vcs mesmo dizem a matematica é universal. []s Fabio At 15:17 10/01/2002 +, you wrote: Ola Pessoal, E verdade, o Prof Jose Paulo esta coberto de razao. Eu errei. Nao ha Teorema Russo : ha TEOREMA, pois a Matematica e Universal e os seus resultados, qualquer que seja a nacionalidade do autor, sao patrimonio de toda a humanidade. Mas e igualmente verdade que se num concurso de beleza nos fixarmos nossa atencao no dedo do pe da miss ele nao sera tao bonito ... Um abraco Paulo Santa Rita 5,1314,100102 From: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM-Lista [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Historia e Matematica Date: Wed, 9 Jan 2002 21:34:51 -0200 Achei curiosa esta expressao Teorema Russo. Ja imaginou se a moda pega? Teorema americano, teorema ingles, teorema indiano (olha o Ramanujan ahi), teorema frances, teorema brasileiro (eu tambem tenho um), ... Poupem-me... JP - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 09, 2002 6:42 PM Subject: Historia e Matematica Ola Pessoal, Ja que falamos anteriormente sobre uma Excelente Antologia de Logica-Matematica, peco licenca para sugerir uma outra Antologia, igualmente excelente e que trata da HISTORIA DOS METODOS MATEMATICOS, isto e, um livro didatico com forte enfoque historico. Ela consiste de trabalhos dos MAIORES MATEMATICOS RUSSOS de todos os tempos. Existe uma traducao para o Espanhol, que e um idioma que todos os brasileiros leem e e a que vou apresentar : SAO TRES VOLUMES: TITULO La Matematica : su contenido, metodos y significado AUTORES Kolmogorov, Aleksandrov, Liapunov, Laurientiev y otros EDITORA Alianza Universidad Editorial Calle Milan, 38 - Madrid ISBN : 84-206-2993-6 So para aticar o interesse de voces : Seja dy=( (x^A)*((m + n*(x^B)))^C )dx. Que condicao devem satisfazer A, B e C para que possamos exprimir a integral de dy como combinacao de funcoes elementares, sejam elas algebricas ou transcendentes ? Se voce nao conhecer a resposta a esta pergunta ( que e um Teorema Russo ) pode ser que fique tentando, tal como um *Sisifo, encontrar a integral ... E e muito comum cairmos num Binomio Diferencial assim ... Aqui mesmo na Lista ja propuserao problemas que recaem nele. A resposta a pergunta que fiz e o TEOREMA DE CHEBYSHEV : So e possivel encontrar uma funcao cuja derivada seja ( (x^A)*((m + n*(x^B)))^C se : 1) C e um inteiro 2) (A+1)/B e um inteiro 3) (A+1)/B + C e um inteiro Para cada um dos casos acima Chebyshev mostra como achar a integral atraves de uma substituicao inteligente. Mais ainda, Chebyshev mostra que o binomio acima pode vir de uma tentativa de calculo de area ou de volume por UMA medida e como usar DUAS MEDIDAS para as coisas serem sempre integraveis. Assim, conhecer este teorema pode evitar muito trabalho inutil, ou seja : todo braco tem limites ... Agora eu pergunto : No livro de calculo da sua estante tem esse teorema ? Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1634,090102 * : SISIFO e um ser mitologico que, por castigo, estava obrigado a subir um Monte muito alto empurrando uma imensa pedra em forma de esfera. Quando chegava no topo Monte a pedra se soltava e ele era obrigado a subir novamente, repetindo o sacrificante trabalho ... indefinidamente. Diz-se, portanto, que quando alguem executa repetidamente uma tentativa que com certeza sabemos que nao sera bem sucedida que e UM TRABALHO DE SISIFO Acento agudo no primeiro i ) _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.313 / Virus Database: 174 - Release Date: 02/01/2002 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.313 / Virus Database: 174 - Release Date: 02/01/2002 _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com
Re: Teorema de Godel
Um sistema é completo se não existe sentença indecidível (que não dá pra provar a sentença nem sua negação). Ou seja, um sistema incompleto é aquele que não decide tudo. A definição de consistência é semelhante. Um sistema é CONSISTENTE se não entra em contradição (não dá pra provar uma sentença E sua negação). Observe que, no teorema de godel, ao criarmos a fórmula P que diz eu não posso ser provada, uma das seguintes coisas ocorre: 1) Não dá para provar P nem ¬P. Nesse caso, o sistema é INCOMPLETO. 2) Tanto P como ¬P podem ser provados. Nesse caso, o sistema é INCONSISTENTE (i.e., entra em contradição). Observe que a sentença (A e ¬A)=B é verdadeira, para quaisquer fórmulas A e B. Portanto, se provarmos A e ¬A, podemos provar qualquer fórmula B. Ou seja, DE UMA CONTRADIÇÃO PROVAMOS QUALQUER COISA. Por isso considero o segundo teorema de godel (se um sistema é consistente, não podemos provar sua consistência) muito mais drástico que o primeiro. Se um dia, alguém provar que a matemática (o sistema ZFC de teoria dos conjuntos, que serve de base para praticamente toda matemática moderna) é inconsistente, todas as fórmulas matemáticas serão teoremas (1+1=3, todo triângulo é isósceles, nenhum triângulo é isósceles, o Último Teorema de Fermat, etc), e portanto, quase tudo que foi feito até agora, em matemática, será destruído, pois sairá como corolário do teorema a matemática é inconsistente. Mas, se a matemática é consistente (como todos acreditam), nunca o provaremos, e sempre haverá essa chance de provarmos que a matemática é inconsistente. From: Frederico Pessoa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Teorema de Godel Date: Tue, 8 Jan 2002 16:31:56 -0200 Tava tentando ignorar essa parte por enquanto... Mas já que estão falando tanto... O que é um sistema consistente ??? []'s Fred - Original Message - From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 07, 2002 5:54 PM Subject: Re: Teorema de Godel Também não entendi o que ele chama de lema diagonal, mas creio que se refere às fórmulas de 2 variáveis livres ¬ExPROVA(x,y,z) que eu mencionei. De fato, se imaginarmos essas fórmulas, substituindo y e z por número, obtemos, para cada para (y,z) uma sentença (p.ex. ¬ExPROVA(x,1000,100)). Se considerarmos as fórmulas ¬ExPROVA(x,y,z) com y=z (como fizemos) isso nos dá uma espécie de diagonal de Cantor, e uma dessas sentenças dessa diagonal (aquela da forma ¬ExPROVA(x,n,n) onde n é o número de Godel da fórmula de uma variável livre ¬ExPROVA(x,y,y)) é a sentença G que diz G não pode ser demonstrado. Para o primeiro terorema da incompletude, temos: 1)Se provarmos G, provamos que G pode ser demonstrada, isto é, provamos ¬G, e o nosso sistema é inconsistente. 2)Se provarmos ¬G, então provamos que G pode ser demonstrada, e, logo, provamos G e, novamente, obtemos um sistema inconsistente. Portanto, se o sistema for consistente, e nele conseguirmos construir uma fórmula como G, não conseguiremos provar nem G nem ¬G (nosso sistema será incompleto). Mas godel mostra que, para construirmos uma sentença como G, basta que o sistema seja capaz de exprimir a aritmética e seus axiomas e regras de inferência formem um conjunto recursivo (pode ser codificado na aritmética). Essa é a hipótese que está no site. Para o 2ºteorema, vimos que, se provarmos G, nosso sistema será inconsistente. Logo, se o sistema é consistente, não podemos provar G. Portanto, se provarmos que o sistema é consistente, provamos que não podemos provar G. Mas dizer G não pode ser provada é a própria G, portanto, nosso sistema será inconsistente (como vimos). Portanto, o segundo teorema nos diz que se um sistema é consistente e obedece as condições do teorema 1, então não podemos provar sua consistência. From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Teorema de Godel Date: Sat, 5 Jan 2002 15:48:40 -0300 (ART) Dá uma olhada neste endereço e explica-me por favor que diagonal é essa.È a mesma usada por Cantor???Ajuda-me a compreender o 1 teorema que esta neste site. http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli/teoremas_de_godel.htm --- Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] escreveu: A idéia é criar uma sentença que diz: eu não posso ser provada, ou seja, uma sentença, cujo número de godel é x, que diz que não existe demonstração para a fórmula cujo número de godel é x. Para entender a fórmula que godel criou, é necessário o conceito de variável livre. A fórmula x é primo possui uma variável livre x, não podemos deizer que ela é verdadeira ou falsa sem conhecer o valor de x. Para eliminar essa variável livre, tem duas maneiras: uma é substituir x por um número (p.ex. 7 é primo), outra é colocar um quantificador
Re: Livro sobre Godel
Dizem que o livro Godel's proof de Nagel e Newman (acho que tem tradução) é muito bom. Também tem um livro de Raymond Smullyan (não me lembro bem o nome, mas acho que é Godel's incompleteness theorem ou algo parecido). Nunca li esse livro nem ouvi nenhum comentrário sobre ele, mas o autor é um lógico muito bom e escreve bastante livros de divulgação (como, por exemplo, Os enigmas de Sherazade e Alice no país dos enigmas), e livros mais avançados, como First-Order Logic (que eu estudei no começo da minha iniciação científica e é excelente). Pelo autor, acredito que o livro dele sobre o teorema de godel deve ser bom, mas acho que o Godel's proof é mais o que vc quer. Talvez seja bom, depois de ler um dos livros acima, que são mais acessíveis, dar uma olhada no original de Godel: On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and Related Systems, da editora Dover (é baratinho, perto da maioria dos livros por aí), que tem muita coisa interessante (o livro é fino, de 72 páginas sendo que metade é um prefácio para ajudá-lo a entender o livro). Rogério From: Daniel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: Livro sobre Godel Date: Fri, 04 Jan 2002 23:49:37 -0300 Olá a todos, ocorreram alguns problemas no meu e-mail e perdi algumas das discussões. Poderiam me dizer se existe algum livro sobre o Teorema de Godel, à venda, no estilo daquele O último teorema de Fermat? Obrigado Daniel _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com
Re: Teorema de Godel
A idéia é criar uma sentença que diz: eu não posso ser provada, ou seja, uma sentença, cujo número de godel é x, que diz que não existe demonstração para a fórmula cujo número de godel é x. Para entender a fórmula que godel criou, é necessário o conceito de variável livre. A fórmula x é primo possui uma variável livre x, não podemos deizer que ela é verdadeira ou falsa sem conhecer o valor de x. Para eliminar essa variável livre, tem duas maneiras: uma é substituir x por um número (p.ex. 7 é primo), outra é colocar um quantificador (existe x t.q. x é primo). Note que uma fórmula sem variável livre (que chamamos sentença) deve ser ou verdadeira ou falsa (i.e, sua negação verdadeira) em um modelo matemático fixado (que precisa ser definido, mas, intuitivamente, é uma interpretação para o significado das fórmulas). O sistema de axiomas ideal deve provar ou a sentença ou sua negação. Pois bem, godel cria uma sentença que não pode ser provada nem ela nem sua negação. Para obter essa sentença, godel criou a fórmula PROVA(x,y,y) que significa: A sequência de fórmulas cujo número é x é uma demonstração da fórmula (de número y) de uma variável livre, substituindo sua variável livre pelo valor y. Por exemplo, se 1000 é o número da fórmula x é primo, PROVA(12345,1000,1000) diz: 12345 é o número da demonstração de 1000 é primo. A fórmula ¬ExPROVA(x,y,y) diz a fórmula de número y, substituindo sua variável livre por y, não póde ser provada. No nosso exemplo, ¬ExPROVA(x,100,1000) diz não existe demonstração de que 1000 é primo. Pois bem, ¬ExPROVA(x,y,y) tem uma variável livre y, e tem um número (seja g esse número). Portanto a fórmula ¬ExPROVA(x,g,g) é uma sentença (note que g não é uma variável, mas um número conhecido, que eu já calculei). E essa sentença diz: A fórmula de número g, substituindo sua variável livre por g, não pode ser provada. Mas quem é a fórmula de número g? É o próprio ¬ExPROVA(x,y,y). E substituindo sua variável livre por g? É a propria sentença ¬ExPROVA(x,g,g). Portanto, ¬ExPROVA(x,g,g) diz ¬ExPROVA(x,g,g) não pode ser provada, que gera o paradoxo que queríamos (uma sentença que diz eu não posso ser provada). Observe que, se um sistema for consistente, eu de fato não consigo provar ¬ExPROVA(x,g,g). Mas isso se o sistema for consistente (i.e., não provar uma fórmula e sua negação). Caso contrário, tudo vira teorema, e tudo pode ser provado (de uma contradição provamos qualquer coisa), inclusive ¬ExPROVA(x,g,g). Mas se eu provar a consistência do sistema, eu acabei de provar que ¬ExPROVA(x,g,g) não pode ser provada. Mas isso, como vimos, é o próprio ¬ExPROVA(x,g,g), e chegamos numa contradição. Concluindo: a segunda parte do Teorema de Godel (conhecido como segundo teorema de godel) diz que, se um sistema for consistente, sua consistência não pode ser provada (dentro do próprio sistema). Uma observação importante é que, apesar de dar a idéia geral da demonstração, a demonstração que está no site está longe de ser completa. Fica a pergunta: como godel criou (ou provou que existe) a fórmula PROVA(x,y,y) usando só o fato de que o sistema é capaz de exprimir a aritmética e de que seus axiomas formam um conjunto recursivo (consigo decidir, através de um algoritmo finito, se uma fórmula é axioma ou não). É interessante olhar no trabalho original de godel (On formally undecidable propositions of principia mathematica and related systens) como ele codifica cada axioma, e cada regra de inferência, em termos de relações aritméticas. Repare que a fórmula indecidível ¬ExPROVA(x,g,g), no fundo é uma gigantesca fórmula que só envolve números, conectivos lógicos, e as operações + e *. From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED] Subject: Teorema de Godel Date: Wed, 2 Jan 2002 18:43:16 -0300 (ART) neste endereço há uma demonstração do teorema de godel que aparentemente é simples de se entender.Alguem poderia ver a parte que ele usa o predicado PROVA(x,g,g) e explicar-me pq ele faz isso? http://www.pr.gov.br/celepar/celepar/batebyte/edicoes/2000/bb95/teorema.htm ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com
Cardinalidade
Olá, colegas da lista, Dados dois conjuntos, A e C, infinitos, com cardinalidade de C maior que de A, é sempre possível achar um conjunto B tal que AxB tem a mesma cardinalidade de C? Todo conjunto infinito A tem a mesma cardinalidade de AxA (como ocorre com N e com R)? Se isso vale, já temos a resposta para a pergunta de cima (considerando B=C e que card(A)card(C)). Rogério _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx
Re: beal
No livro Filosofia da Matemática, de Stephen Barker, li uma comparação muito interessante para explicar o que é o princípio da indução. Ele compara os números naturais com uma fila infinita de peças de dominó colocadas em pé. Se derrubarmos a primeira peça e, se soubermos que cada peça, ao cair, derrubará a seguinte, saberemos que todas serão derrubadas. Agora, quanto à conjectura de Beal, nunca ouvi falar. Aliás, nunca ouvi falar de nenhum matemático chamado Beal. Alguém sabe algo sobre ele? From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: beal Date: Sun, 16 Dec 2001 20:37:23 + 2) Vc quer aprender indução, é isso? Eu acho que o artigo do Elon da revista Eureka é uma boa pedida para um treino assim como para um aprendizado, está bem explicado, não está confuso...É bom ler, mas é melhor ainda ter certeza do que se pode fazer com indução. O princípio da indução diz, basicamente, que, dada uma propriedade S(n) válida para um número n natural. Se S(1) é válida e, se o fato de S(K) valer implicar que S(K+1) vale, então, S vale para todos os naturais. Vejamos um exemplo simples: Mostre que 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2 Primeiro passo: Ver se vale para n=1 1=1(2)/2 =1 (0K) Segundo: Assuma que vale para K e tente provar para K+1 Se vale para K então 1+2+...+k = k(k+1)/2 Vc quer provar para k+1, certo? Logo, o lado esquerdo está precisando de somar k+1, para não alterar, somar dos dois lados 1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2 Isto prova que vale para k+1, pois note que é a mesma fórmula de k, mas com k+1 ao invés de k. Faça como exercício esta Mostrar que 1+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 Ok valeu Marcelo From: gabriel guedes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: beal Date: Sat, 15 Dec 2001 18:46:37 -0200 tudo bem colegas da lista, 1)Alguem ja ouviu falar na conjectura de beal oque que ela propõe e etc??? 2)Estava dando uma olhada em indução finita , e queria me a profundar ,alguem conhece um bom livro ? _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com
Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
SONHO EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE EXPLICAM TODO O UNIVERSO. Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA SEMANTICA, NO FIM, NA FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como algo mais que mera filosofia barata. Se se retirar o sentido das coisas, as coisa perdem o sentido. Agora, como articular de forma consistente e seria este sentido ? Todos os danos que estamos causando ao mundo natural, que vem ha anos preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam de nossa ignorancia com respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal seria que nos nos relacionassemos com a natureza respeitando os seus acontecimentos ou o papel que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta linguagem, como sempre, e a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de Godel o primeiro passo neste sentido. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1500,141201 From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 + Olá, O que diz o teorema da completude da geometria euclideana? Alguns livros chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e parece que diz que todos os modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre si. Mas isso não implica que não existe sentenças independentes na geom. euclideana? E isso não contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria eu posso expressar a aritmética)? Rogério _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com sta _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com
Limite
Olá, a todos Eu e meus colegas tivemos dificuldade para resolver um limite, aparentemente simples, que alguns colegas do 1º ano nos pediram para resolver. Tudo indica que o resultado tem que dar 0. Acabamos chegando em alguma coisa, com muito trabalho, mas supondo (sem provar) a existência do limite. Queremos o limite quando x tende a infinito de: x^2/[(x^2-1)^(1/2)] - x Obrigado _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com
Completude da Geometria e Teorema de Godel
Olá, O que diz o teorema da completude da geometria euclideana? Alguns livros chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e parece que diz que todos os modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre si. Mas isso não implica que não existe sentenças independentes na geom. euclideana? E isso não contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria eu posso expressar a aritmética)? Rogério _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com
Re: Infinito
Um conjunto é infinito se existe uma bijeção (correspondência 1 a 1)dele com um subconjunto próprio. Por exemplo, a função f(n)=2n, definida nos naturais, é bijetora com o conjunto dos números pares, que é um subconjunto próprio dos naturais. From: Gustavo Nunes Martins [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: Infinito Date: Fri, 14 Dec 2001 12:54:17 -0200 Queria saber qual a definicao de infinito. Sempre ouvi falar disso, mas nunca me disseram o que se entende por 'infinito' exatamente. _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com
Re: Axioma da Escolha
No 2ºgrau a gente sai com uma idéia de que tudo que se prova em matemática é absoluto, incontestável, uma verdade universal. Mas na verdade, na matemática moderna, o conceito de verdade depende, dentre outras coisas (Tarski definiu formalmente o que significa verdade em matemática) dos axiomas que vc assume. Os axiomas eram usados desde Euclides, como verdades evidentes em si mesmas. Para a matemática moderna, no entanto, não existe nada evidente em si mesmo. Um conjunto de axiomas define uma teoria, e nessa teoria esses axiomas são verdadeiros, em outras não (p.ex. geometria euclideana e geometrias não-euclideanas). O axioma da escolha é um dos mais polêmicos axiomas de teoria dos conjuntos. Muitos matemáticos não o aceitam, por trazer consequências estranhas na matemática. Porém, a maioria o usa (mesmo os que não o aceitam, muitas vezes o usam sem perceber). Um interessante link sobre o assunto: http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html Entre outras coisas, lá vc vai ver uma frase muito interessante (e explicativa) de Bertrand Russel sobre o axioma da escolha. Rogério From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Axioma da Escolha Date: Fri, 7 Dec 2001 02:52:23 -0200 Ola! Em alguns textos matematicos, eu ja li a sentenca papapá segue do axioma da escolha. O que exatamente isso quer dizer? Que eh uma consequencia imediata? Por exemplo, cito duas frases: 1 - Segue do axioma da escolha que todo espaco vetorial possui uma base 2 - Segue do axioma da escolha que todo conjunto possui uma boa ordem Talvez esse assunto fuja do segundo grau, perdao. Mas alguem poderia me dar uma ideia de o que eu devo entender por essas frases? Obrigado! Eduardo. _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Não deveria existir multiplicação por 0
Multiplicação e adição são operações, i.e., são funções que associam, a cada par de números, um número. Como 0 é um número, não podemos desprezá-lo, proibindo-os de multiplicar alguém. O fato 0x=0 para todo x, não leva a contradição nenhuma. Ao contrário, prova-se que 0x=0. Cuidado, a matemática é cautelosa. Lembre-se: divisão e subtração não são (a princípio) operações. a/b não é uma operação, como a+b, mas é uma abreviatura para: um número x t.q. bx=a. Esse número pode não existir, que é o caso de x/0, para qualquer x. Como eu disse, 0x=0 pode ser provado a partir das propriedades seguintes (válidas para inteiros, racionais e reais): 1. comutatuvidade: a+b=b+a, para todo a, b. ab=ba, para todo a,b 2.associatividade: (a+b)+c=a+(b+c) e (ab)c=a(bc), para todo a,b,c 3. Elemento neutro (da adição): Existe um número x t.q. x+y=y, para todo y (esse x é o famoso 0) 4. Elemento oposto: Para todo x existe y t.q. x+y=0 (costumamos chamar y de -x) 5.Distributividade: x(a+b)=xa+xb Prova de que 0x=0: Por 1, 0x=x0. Como 0=0+0 (por 3), x0=x(0+0)=x0+x0 (por 5). Por 4, existe (-x0), t.q. x0+(-x0)=0. Mas, como x0=x0+x0, temos 0=x0+(-x0)=x0+x0+(-x0)=x0+(x0+(-x0))(por 2). Mas x0+(x0+(-x0))=x0+0=x0. Juntando as igualdades, chegamos em x0=0. Se vc não quer x0=0, vc terá que mudar uma das 5 afirmações acima, o que não parece conveniente. From: Wassermam [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Não deveria existir multiplicação por 0 Date: Tue, 27 Nov 2001 13:48:00 -0200 Na minha opinião particular esta totalmente erronio multiplicação por 0, eu acho errado acho que não deveria existir Eu posso dar mil explicaçòes pq não mas vou dar poucas 0x=1 agora de uma olhada nisto, vc não pode dividir os 2 termos por 0 e se vc fazer o 0x=0 dai isto esta errado e eu 5tb não concordo que 0^0=1 pois todo numero elevado a 0 =1 Deveria ser 0 ou infinito pois 2.2.2= 2^3 2.2=2^2 2=2^1 1=2^0 notem que esta noção deum saiu deste conceito ve que quando mais diminui o elevado vai se dividindo por 0 Mas o 0 é um caso a parte 0=0^x 0.0.0=0^3 Dai como que podeira se dividir por 0 isto não tem lógica, então nunca deveria multiplicação por 0 pois dai vc não tem o processo inverço em uma equação algébrica, e pensando concretamente vc vai pegar uma pessoa e vai multiplicar por 0, isso não deveria existir. Desculpe pela falata de linearidade no pensamento mas acho que deu pra entender _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Reformulando um problema mal definido
Eu acho que poderia escrever: a é o menor n tal que cos(x)=(n-2)/3, para algum e b é o maior n tal que Deveria especificar se n é natural, inteiro ou real. Na verdade, se é inteiro ou real não vai fazer diferença. Mas se é natural, teríamos a=0, pois n não pode ser negativo. From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Reformulando um problema mal definido Date: Fri, 23 Nov 2001 00:35:44 -0200 Gustavo Nunes Martins wrote: Caiu uma pergunta num vestibular e desconfio que ela esteja mal-formulada. Vejam: = significa menor que ou igual a e k^y significa k elevado a y. Questao: Fato 1: Sabe-se que cos(x) = (n-2)/3 Fato 2: E sabido que a=n=b Calcule a+b -Fim da questao- Como os valores de cos(x) so podem estar entre -1 (inclusive) e +1 (inclusive), 'n' pode ser qualquer coisa entre -1 (inclusive) e +5 (inclusive). Essa conclusao sera chamada de conclusao 1. Nada do que foi escrito no enunciado impede que 'b' seja, por exemplo, 10^727, pois esse valor nunca contraria o fato 2, que e o fato de que so e sabido que 'b' e um numero qualquer maior ou igual a 'n'. Tambem pelo fato 2 e pela conclusao 1, o numero 'a' pode ser -10^747, pois e menor que qualquer valor possivel de 'n'. 'a' ainda pode ser -10^767 e muitos outros valores. Concluo que a+b nao tem um valor fixo. Acho a questao mal-feita. Quem a formulou nao perguntou o que desejava perguntar: ache a soma do menor valor possivel de 'n' com o maior valor possivel de 'n'. Conheco gente que resolveu essa questao que que o que foi informado era que 'a' era o minino valor possivel de 'n' e que 'b' era o maximo possivel. Como formular bem esta questao ultizilando apenas simbolos matematicos? Hum... A única maneira que me ocorre é: a=MIN(n) b=MAX(n) Creio q esta seja a forma correta. No entanto, por ser uma questão de um vestiba, não acredito ser a mais apropriada, afinal, os alunos de 2o grau não conhecem esta notação. (Para ser sincero, não estou muito seguro desta notação.) Não sei como faria isto só com notação p/vestibulandos... Eu usaria texto mesmo... []'s Alexandre Tessarollo _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Teorema de galois
Afinal, quem provou que para as equações polinomiais de grau maior ou igual a 5 não existem fórmulas como as de Báskara? Abel ou Galois? Qual foi a contribuição de cada um na Teoria dos Grupos? Aproveitando o assunto de grupos simples, gostaria de saber um pouco sobre o chamado grupo monstro. Parece-me que é o maior grupo simples finito, ou algo parecido (alguém, por favor, corrija-me ou confirme). Quais são as aplicações desse grupo na matemática? Rogério From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Teorema de galois Date: Sun, 14 Oct 2001 20:26:02 -0200 On Sat, Oct 13, 2001 at 08:41:54PM -0300, Carlos Maçaranduba wrote: alguém poderia dar uma prova simples como funciona o teorema de galois relativo a representação das raizes de um polinomio em função de seus coeficientes.Pq a partir do 5 grau não existe formula assim como existe a fómula de baskára para o 2 grau??? Desculpe, mas acho que você está pedindo demais. Teoria de Galois é um assunto não trivial e vai ser bem difícil conseguir dar uma prova em um e-mail relativamente curto. Com o perdão do trocadilho, entretanto, a palavra chave é mesmo a que você usou: simples. Só que quem é simples não é a prova, é o grupo das permutações pares de um conjunto de 5 elementos. É o grupo de simetrias de um dodecaedro e um diagrama de Cayley dele é a bola de futebol. []s, N. _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Unicamp: Ensino Medio?!
Concordo plenamente. Mas por que tiraram limites, derivada e integral ao invés de determinantes, nos vestibulares? Por que não pedem coisas mais aplicáveis ? A idéia de basear o ensino médio baseado no vestibular não é absurda, dado que espera-se que o vestibular cobre do aluno aquilo que é esperado que ele tenha aprendido no ensino médio. Se quisermos mudar o conteúdo do ensino médio, devemos mudar o vestibular. A proposta de colocar rudimentos de cálculo diferencial e integral no vestibular, em lugar de determinantes, continua à tona. Só que não sei como os alunos propensos a cursos de humanas e biológicas, e não de exatas, iria receber isso. E estatística? Taí, uma coisa de matemática que é útil, aplicável e todos precisam saber, mesmo quem estuda humanas. Podia ser ensinado no ensino médio. Peço desculpas ao prof. Nicolau por ter interpretado mal o que ele disse. Descrevi uma opinião minha interpretando, erroneamente, como sendo, também, dele. From: David Daniel Turchick [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Unicamp: Ensino Medio?! Date: Thu, 25 Oct 2001 17:39:36 -0200 Por que não aprendemos aplicações da matemática no colegial? A resposta é simples: vestibular. Pelo menos aqui em São Paulo, a minha impressão é que quase todas as escolas tem como idéia de um bom colegial darem tudo o que é pedido no vestibular. Não que isso seja um parâmetro ruim, o vestibular realmente deve(ria) servir para ver se a pessoa já está ou não apta a continuar estudando. Mas acontece que as escolas (pelo menos essa foi a minha experiência) acabam ficando muito presas no programa do vestibular, onde se encontra determinantes, e não limites e derivada. Se um dia o manual da FUVEST (fundação p/ vestibular da USP e algumas outras instituições públicas) disser que o programa da prova de matemática consiste apenas em saber o nome dos números naturais, é isso que vai ser dado na maioria das escolas, e se disser que cai teoria de grupos e topologia diferencial, é isso que será ensinado, criando uma legião de odiadores de matemática. Eu sei que exagerei um pouquinho, mas infelizmente, é essa a impressão que eu tenho da maioria dos colegiais daqui: cursinhos de três anos... No meu curso, eu achei que ficou faltando um pouquinho de lógica matemática e, se eu bem me lembro, muitas demostrações em geometria, por exemplo essa do V-A+F=2, que alguém acabou de mencionar na lista. Às vezes, seria bom que os professores dessem pelo menos (e em muitos casos somente) uma idéia geral da demonstração, não se deve esperar que muitos alunos a faça ou a entenda. Espero que educação matemática não seja fora de tópico; se for, me desculpem! David _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Construção axiomática dos números
Vi como se constroem (em termos de conjuntos) os reais a partir dos racionais, os racionais a partir dos inteiros, e os naturais a partir do conjunto vazio. E os inteiros? como eu os construo dos naturais? (Qual é a melhor forma de colocar sinal usando conjuntos?). Outra coisa: usando essas construções, não estaria errado eu falar que os naturais estão contidos nos inteiros, que estão contidos nos racionais, etc...? Afinal, o número real 1 é diferente do número racional 1. From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Construção axiomática dos números Date: Mon, 13 Aug 2001 09:40:46 -0300 On Sun, Aug 12, 2001 at 05:09:56PM -0300, David Daniel Turchick wrote: Será que alguém da lista poderia me sugerir um livro em que eu encontre uma construção axiomática dos números (em especial, dos conjuntos IN e IR)? A frase 'construção axiomática' é um pouco estranha, se você constrói o conjunto dos números naturais dentro da teoria dos conjuntos então você não precisa de axiomas novos, um número natural passa a ser um tipo especial de conjunto e os 'axiomas' de Peano passam a ser teoremas. A construção dos números naturais dentro da teoria dos conjuntos está em explicada em 'Naïve Set Theory', de Paul Halmos, UTM (sei que existe tradução mas o que eu tenho é o original em inglês). O 'handbook of mathematical logic' discute (entre várias outras coisas) os axiomas de Peano em lógica de primeira ordem. Aqui estamos indo para o lado dos teoremas de incompletude de Gödel, por exemplo, acho que não era esta a intenção da sua pergunta. Se por outro lado você está procurando uma descrição das propriedades fundamentais (axiomas?) dos números naturais e reais voltada para estudantes de graduação e mestrado ou para matemáticos de outras áreas que não lógica ou teoria dos conjuntos então você talvez os primeiros capítulos do livro de análise do Elon (curso de análise, vol 1, projeto Euclides) estejam mais próximos do que você procura. Finalmente, se você quer ver alguma matemática com menos de 50 anos o livro 'On Numbers and Games' de John Conway começa com a construção de uma classe de números muito ampla, os números surreais, que inclui como subclasses não apenas os naturais e reais mas também os ordinais e cardinais infinitos. []s, N. _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: LIVROS BONS
Já que o assunto é livro, alguém sabe onde eu acho (de preferência por um preço acessível, usado,p.ex.) os livros de análise de Royden e Apostol? Tb queria o livro de Álgebra de Birkhoff e McLane. obs: moro em são paulo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. S pra quem quiser saber tb, eu achei uns 5 livros (algebra I) na livraria ciencia e cultura, novinhos, inclusive foi lah que eu comprei o meu. []s, MArcelo From: josimat<[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM<[EMAIL PROTECTED]> Subject: LIVROS BONS Date: Wed, 4 Jul 2001 15:08:50 -0300 H algum tempo, apareceu aqui nesta lista algum procurando pelos livros do Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Vi alguns exemplares (por R$20) novos (lgebra I e Geometria I) na livraria YAN LIVROS, na rua 7 de setembro, 169, Rio, tel. 2262-9347. Abraos, Josimar Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re:
Pq se não isso não fosse verdade (se o sol é verde a lua é quadrada), então seria verdade que o sol é verde e falso que a lua é quadrada. Mas não é verdade que o sol é verde. Quando vc tem uma condicional (se p então q), a sentença só será falsa se p for verdade e q for falso. Isso parece meio absurdo, mas não é. Para entender isso como uma coisa clara, vc deve desligar a idéia intuitiva de causa e consequência que temos de se...então... Dizer que se p é verdade então q é verdade, não quer dizer que q é verdade só porque q é verdade. Quer dizer, simplesmente, que não ocorre de p ser verdadeiro e q falso. From: P51 Mustang [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Date: Sat, 23 Jun 2001 20:29:41 -0300 (ART) PQ SE O SOL EH VERDE(O Q NAO EH) O LUA PODE SER QUADRADA(O Q TB NAO EH) ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCites. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: lógica
É verdadeira, como eu comentei na outra resposta. Se p então q é definido como sendo equivalente a (não p) ou q. Aí torna clara a veracidade da afirmação abaixo. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: lógica Date: Sat, 23 Jun 2001 17:31:13 EDT Se o sol é verde então a lua é quadrada. A afirmação acima colegas é verdadeira ou falsa? Aguardo comentários. Grato _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
quadrado mágico
Alguém pode me dizer qual é a solução do quadrado mágico (ou tapete mágico) 5 por 5? Existe uma fórmula geral para qualquer quadrado n por n? _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Aprendendo mat. sem perder o resto
A sugestão que eu daria é tratar de estudar bem para o vestibular e passar numa boa faculdade. Aí vc poderá se dedicar integralmente para o que vc escolheu (matemática, física, engenharia, etc), sem ter essas outras matérias incomodando. Mas isso não impede de vc dar ênfase a matemática e exatas ao estudar para o vestibular. Um detalhe: se vc quer aprender *bem* a Matemática faça bacharelado em matemática, iniciação científica, mestrado, doutorado, pós-doutorado no exterior, etc, etc,etc... Só assim vc vai quase conseguir o que quer. From: Gustavo Martins [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Aprendendo mat. sem perder o resto Date: Thu, 3 May 2001 16:43:47 -0300 Colegas: Estou no 3º ano do Ens. Médio e percebi que se eu desejo aprender *bem* a Matemática e outras matérias exatas, tenho que ter dedicação quase exclusiva, ficando com pouquíssimo tempo para estudar os outros assuntos (biologia, geografia, etc). Porém, se eu tiver que fazer isso, posso me dar mal. Creio que alguns já passaram por esse problema e podem me dar algum tipo de sugestão para que eu possa aprender bem as matérias exatas e sobrar algum tempo para as outras. Qualquer ajuda serve. Atenciosamente, Gustavo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
axiomas e verdades matemáticas
Caros colegas da lista, Estudando um pouco de fundamentos da matemática, me vieram grandes dúvidas sobre o que é uma "verdade absoluta" em matemática, independente de qualquer sistema de axiomas, e como prová-las. A primeira dúvida: o que é um sistema de axiomas? Em algumas disciplinas do bacharelado em matemática, como Análise Real e Álgebra, vemos demonstrações a partir de alguns axiomas, como as propriedades de adição e multiplicação, propriedades de ordenação e axioma do supremo. Porém, as deduções dos teoremas a partir dos axiomas, usam os argumentos lógicos tradicionais, tidos como verdadeiros e incontestáveis. Mas alguns sistemas mais formalizados, utilizam regras de inferência como Modus Ponens e substituição uniforme. As sentenças (as chamadas wff) passam a ser sequências de símbolos que obedecem certas regras de formação e os teoremas são obtidos mecanicamente a partir dos axiomas e regras de inferência. As sentenças acabam se tornando livres de qualquer significado intuitivo para demonstrarmos os teoremas. Ficam, aí, duas perguntas: 1-todos sistemas são formalizados dessa maneira, incluindo ZFC e Postulado de Euclides? 2-Por mais mecânico que seja, o fato de um sistema implicar tal teorema, não é uma verdade independente do sistema? Não seria uma verdade absoluta que estou admitindo como verdadeira sempre? Outra dúvida ainda mais cruel. A matemática moderna defende que todas as verdades matemáticas precisam decorrer de um sistema de axiomas, de forma que, nada que se demonstra em matemática é absoluto. Uma pergunta: O teorema de Godel depende de que axiomas? Ou melhor, a metamatemática se baseia em que axiomas, se ela, em si, estuda os sistemas de axiomas? Se dissermos: o teorema de Godel se baseia no ZFC ou em outro sistema de teoria dos conjuntos (segundo a matemática moderna, toda a matemática é baseada em um sistema de axiomas para teoria dos conjuntos), então quer dizer que, se mudássemos esse sistema, poderíamos ter que o teorema de Godel fosse falso, revendo a possibilidade de cumprir o velho sonho de termos uma matemática consistente e completa. O segundo teorema de Godel diz que, se um sistema é consistente, sua consistência não pode ser provada dentro do próprio sistema. Surge a dúvida: como provar a consistência? Um sistema é consistente ou não é consistente. Isso é absoluto. Ou ele prova uma sentença e sua negação ou ele não prova nenhuma sentença e sua negação. Não faz sentido dizermos que isso depende se estamos trabalhando no ZFC ou não. Em resumo: afinal, o que é absoluto na Matemática? Em outras palavras, o que realmente afirma, como verdade, essa ciência (ou ramo do saber, se não querem chamar a matemática de ciência) à qual dedicamos tantas horas por dia e que está tão presente no nosso cotidiano? Dizer que nada na Matemática é absoluto, é o mesmo que dizer "A matemática nada afirma, ela não existe", já que um ramo do saber que nada afirma não existe. Agradeço a atenção e paciência de terem lido tudo isso. Agradeço mais ainda se alguém responder ou pelo menos indicar um bom livro onde eu posso estudar Fundamentos da Matemática realmente "a fundo". Rogério _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: triângulo com mais de 180o?
Isso significa que poderíamos substituir o axioma das paralelas pelo axioma: "Existe um triângulo em que a soma dos ângulos é 180°"? Isto é, a existência de um triângulo cuja soma dos ângulos é 180° implica o axioma das paralelas e, consequentemente, que em todos os triângulos a soma dos ângulos é 180°? From: "Antonio" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: triângulo com mais de 180o? Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300 Até onde eu saiba, em geometrias não euclidianas, a soma dos ângulos do triângulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus. Mas como esta não é minha especialidade, deixo para os mestres da lista comentarem mais o assunto! - Original Message - From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM Subject: Re: triângulo com mais de 180o? A soma dos ângulos internos de um triângulo só é 180 graus na geometria euclidiana. Explicanco melhor : Se você verificar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, você só pode estar trabalhando com a geometria euclidiana. De fato, num triânguo esférico, a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 graus. Mas esse triângulo não é definido na geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos angulos é 180 decorre do axioma das paralelas, que só é definido na geo euclidiana. Certamente, se você considerar uma geometria na superfície de uma esfera, onde as retas são os grandes círculos, note que PAB será um triângulo sim. Mas como nessa geometria não vale o axioma das paralelas, não podemos afirmar nada sobre a soma dos ângulos (só q ela é 180). Abraços, ¡Villard! -Mensagem original- De: vinicius [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55 Assunto: triângulo com mais de 180o? considerem a forma esférica da Terra. tracemos duas linhas de seu extremo superior ou inferior (pólo norte ou pólo sul) - ponto P - até dois pontos distintos pertencentes à linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser considerado um triângulo? se a resposta for afirmativa, este triângulo possuirá soma interna de seus ângulos maior que 180o. isto está de acordo com a definição de triângulo? _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Profissional da Matemática
Olá, futuro colega Estudo Matemática na USP e não me arrependo da escolha. Na USP, o primeiro ano de Matemática é o ciclo básico, a partir do segundo vc escolhe entre: estatística, matemática e matemática aplicada. A primeira opção tem um mercado de trabalho muito bom e é mais prático. O curso de Matemática (que é o que eu estudo) é mais voltado para formação de pesquisadores. É essencial, para quem faz matemática pura, que continue com o mestrado e doutorado. Durante o bacharelado vc pode fazer iniciação científica: vc escolhe um assunto q te interessa e procura uma professor q está pedindo aluno de iniciação científica. Ele direcionará o q vc deve estudar e passará alguns problemas pra vc pensar. Vc pode pedir uma bolsa para a CNPq ou FAPESP e será pago pra estudar. Creio que é a melhor coisa do bacharelado em matemática da USP: a iniciação científica. O curso de matemática aplicada é voltado para o mercado de trabalho, como vc perguntou. No final do curso, vc escolhe um assunto à que vc quer aplicar a matemática. Vc pode escolher qq coisa, desde que sua opção seja aprovada. Então vc fará um bloco de disciplinas da área q vc escolheu: Engenharia, computação, economia, biologia, etc (os mais escolhidos são economia e computação) e atuará ajudando esses profissionais em suas "continhas". As áreas de economia e computação pedem bastante profissionais de matemática, mesmo se vc fizer matemática pura, embora essa seja mais voltada à formação acadêmica. Rogério From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista de Discussao [EMAIL PROTECTED] Subject: Profissional da Matemática Date: Wed, 21 Mar 2001 22:07:28 -0300 Sou estudante que concluiu o ensino médio recentemente,moro em Sao Paulo e gostaria de obter algumas informações sobre o curso de Bach. em Matemática. Queria saber onde esse profissional atua, se eh possivel ele se associar com engenheiros, biologos, geologos, etc, e que opções de cursos de pós graduação são recomendáveis atualmente para o graduado. Outra dúvida: eh possível complementear o curso de bach. com o de licenciatura? Quais os beneficios? Agradeceria também se pudessem me informar sobre o curso de Matemática na USP. Obrigado e abraços, Flavio Daher. ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Demonstracao impossivel.
E quanto vale (-1)^3 ? E ((-1)^2)^(3/2) ? (não deve dar o mesmo valor?). E (-1)^pi? Essas perguntas e demonstrações como essa me gera dúvida: como formalizar o conceito de exponenciação de números negativos a números racionais ou reais. Como eu formalizo isso se chegar a absurdos? From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: Demonstracao impossivel. Date: Sat, 10 Mar 2001 16:27:54 -0300 Pessoal: vi esta demonstração em outro fórum: sqrt(-1) = (-1)^(1/2) = (-1)^(2/4) = ((-1)^2)^(1/4) = 1^(1/4) = 1 Curiosa, não? Luiz _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: prob
Qual é a definição de probabilidade em amostras infinitas? Meu colega me passou um problema que me gerou a mesma dúvida. Como formaliza esse conceito de probabilidade em casos como este? From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: prob Date: Sat, 10 Feb 2001 21:18:12 -0200 Considere a aquacao do segundo grau generica: x^2+bx+c=0. Qual a probabilidade de, escolhendo aleatoriamente os coeficientes "b" e "c", sortearmos uma equacao com raizes reais? []s JOSIMAR _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Godel
Já foi citado um muito bom, aqui na lista. http://www.dmm.im.ufrj.br/diversos/godel.htm É um bom começo. Apesar de ser um pouco informal, é ótimo para dar a idéia geral do teorema. Depois vc procura algum material com a demonstração mais formal. Para isso, não conheço nenhum site, mas vc pode ler o livro "Godel's Proof" ou o teorema original de Godel: "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems", da editora Dover. Esse último é muito técnico, mas tem uma introdução que ajuda bastante a compreensão do teorema. Rogério From: "Bruno Woltzenlogel Paleo" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "Olympium" [EMAIL PROTECTED],Ciência-List [EMAIL PROTECTED],"OBMList" [EMAIL PROTECTED] Subject: Godel Date: Thu, 1 Feb 2001 08:55:57 -0200 Alguem conhece algum bom site sobre o teorema de Godel? até mais... Bruno Woltzenlogel Paleo http://br.geocities.com/dopelganger5/ [EMAIL PROTECTED] _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
lógica de segunda ordem
Caros colegas da lista Já estudei um pouco de lógica de primeira ordem, mas nem sei o que é lógica de segunda ordem, terceira, e assim por diante. Alguém pode me explicar? Rogério _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: ajuda
Considere, primeiro, que A possa ser igual a B. Temos que, para cada elemento de X: 1)Não pertence a A nem a B 2)Pertence só a B 3)Pertence a A e a B Como para cada elemento de X temos essas três possibilidades, temos um total de 3 elevado a n combinações. Como o enunciado pede que A seja diferente de B, subtrai o número de pares ordenados (A,A) em que A é subconjunto de X, ou seja, 2 elevado a n (número de subconjuntos de X) Rogério From: "filho" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: ajuda Date: Wed, 24 Jan 2001 09:24:53 -0200 Seja X um conjunto com n elementos. Mostre que o número de pares (A,B) tais que A,B são subconjuntos de X, A é um subconjunto de B, e A diferente de B é igual a 3 elevado a n menos 2 elevado a n . _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: polinomial
A função de que eu falei é o próprio polinômio. Um polinômio de grau ímpar tem número par de concavidades. Isso implica que, se ela começa crescente, ela termina crescente. Se ela começa decrescente, ela termina decrescente. Isso é suficiente para ela ser sobrejetora e, portanto, em algum lugar vale zero. Como o Daniel ressaltou, isso só vale para coeficientes reais. Rogério From: "Daniel" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: polinomial Date: Sat, 20 Jan 2001 19:28:49 -0300 Como o Rogério, o Augusto e eu dizemos, estes teoremas são válidos apenas para polinôminos com coeficientes reais, para polinôminos com coesficientes complexos não são válidos. Ajudou? Daniel - Original Message - From: Fabiano Gomes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 20, 2001 3:38 PM Subject: Re: polinomial mas então, como fica a questão da função abordada pelo Rogério isso ficou meio vago para mim... alguém se habilita?? abraços, Fabiano. - Original Message - From: Augusto Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 20, 2001 12:22 PM Subject: Re: polinomial Vou fazer um comentário idiota, mas tenho visto tanta bobagem a esse respeito em vestibulares (UNIRIO, UFF, etc...)...que penso valer a pena realçar isso. Tudo isso diz respeito a polinomios de coeficientes reais. O polinomio x-i, por exemplo, eh de grau impar e nao possui nenhuma raiz real. Rogerio Fajardo wrote: Uma equação polinomial de grau n tem n raízes (distintas ou não, reais ou não). Acontece que todas as raízes complexas vêm aos pares, pois se a+bi é uma raiz de uma equação polinomial, seu conjugado a-bi também é uma raiz dessa equação. Logo, uma equação polinomial de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real, pois tem número ímpar de raízes. Se vc pensar em no gráfico da função polinomial, fica imediato que uma função de grau ímpar cruza o eixo x pelo menos uma vez, pois se ela começa crescendo desde o menos infinito, ela terminará crescendo até o mais infinito, e vice-versa, sendo obrigatória a passagem pelo zero. Rogério From: "Henrique Lima Santana" Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: polinomial Date: Sat, 20 Jan 2001 02:40:06 -0200 Olá pessoal, Tenho uma dúvida: por quê toda equação polinomial de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real? []s, Henrique _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. -- Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: polinomial
Uma equação polinomial de grau n tem n raízes (distintas ou não, reais ou não). Acontece que todas as raízescomplexas vêm aos pares, pois se a+bi é uma raiz de uma equação polinomial, seu conjugado a-bi também é uma raiz dessa equação. Logo, uma equação polinomial de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real, pois tem número ímpar de raízes. Se vc pensar em no gráfico da função polinomial, fica imediato que uma função de grauímpar cruza oeixo x pelo menos uma vez, poisse ela começa crescendo desde o menos infinito, ela terminará crescendo até o mais infinito, e vice-versa, sendo obrigatória a passagem pelo zero. Rogério From: "Henrique Lima Santana" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: polinomial Date: Sat, 20 Jan 2001 02:40:06 -0200 Olá pessoal, Tenho uma dúvida: por quê toda equação polinomial de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real? []s, Henrique _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: limite do M.H.S.
Usando a derivada, cheguei na mesma expressão mas sem a constante 2 multiplicando. Sendo a velocidade a derivada do deslocamento, de onde veio esse 2? Onde eu errei na minha dedução? Rogério From: "José Paulo Carneiro" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: limite do M.H.S. Date: Wed, 17 Jan 2001 04:45:18 -0200 O limite procurado eh o limite de [A.cos(w(t+h)+f) - A.cos(wt+f)] / h, quando h tende a 0. Agora aplique a formula cos(p)-cos(q)=2 sen[(p+q)/2].sen[(q-p)/2], para tornar aquela expressao igual a: -2A multiplicado por sen(wt+f+wh/2) [este fator tende a sen(wt+f)], multiplicado por sen(wh/2)/h. Este ultimo fator eh o mesmo que w/2 vezes sen(u)/u, onde u=wh/2 estah tendendo a 0. Por um resultado classico de limites, sen(u)/u tende a 1 quando u tende a 0. Logo, o limite em questao eh: -2A.w/2.sen(wt+f) = -2Aw.sen(wt+f) Conferiu com o que voce achou geometricamete? JP -Mensagem original- De: Daniel <[EMAIL PROTECTED]> Para: Lista da OBM <[EMAIL PROTECTED]> Data: Quarta-feira, 17 de Janeiro de 2001 00:50 Assunto: limite do M.H.S. Por um acaso poderiam me ajudar com um limite, matéria da qual ainda não estudei tudo? É o seguinte: No Movimento Hamônico Simples, a função horária de elongação é dada por: x = A.cos(wt+f), Consegui deduzir a função da velocidade usando trigonometria, mas sei que v = lim Dx/Dt, quando Dt tende a zero, A pergunta é como calcular tal limite da função horária acima? Daniel Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: paradoxo de zenão - ajuda
From: "Jorge Peixoto Morais" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: paradoxo de zenão - ajuda Date: Sat, 2 Dec 2000 22:11:08 -0200 Dos três paradoxos só não conheço o da flecha. Pode diminuir minha curiosidade? Uma flecha que voa está em repouso, pois a cada instante ela está em repouso numa determinada posicao. Portanto, estará em repouso o tempo todo. _ Get more from the Web. FREE MSN Explorer download : http://explorer.msn.com
Re: Livros de Grande Valor
Ola, Obrigado pelo aviso. Mas vc poderia passar o telefone deles? Eu sou de São Paulo e gostaria de saber se dá para encomendar livros por telefone, pois fica difícil, para mim, visitar pessoalmente o sebo. Será que lá eu encontro o Pricipia Matematica ou as obras completas de Goedel por um preço mais acessível? Rogério From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Livros de Grande Valor Date: Wed, 08 Nov 2000 12:00:28 -0500 Ola Amigos, Nao se consegue aprender bem sem bons livros. Todos sabem disso. Ocorre que os livros costumam ser caros ... Eu recebi uma mensagem segundo a qual na Livraria Sao Jose ( Um dos melhores sebos da cidade ), na rua do Carmo, no centro da cidade do Rio de janeiro, chegou uma quantidade enorme ( mais de 5000 ) de livros de matematica excelentes. Os livros de geometria analitica do Prof Nicolay Efimov estao la... Os livros sao usados mas sempre estao em bom estado. E custam, em muitos casos, menos de um terco do valor padrao Eu nao conheco os donos da livraria, mas sei que os colegas desta lista sao verdadeiramente estudiosos e poderao encontrar obras raras, que nao sao mais publicadas e outras, a baixo preco. Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1452,08112000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: estranho
Já que o assunto é Teoria dos Conjuntos, gostaria que alguém me resolvesse
algumas dúvidas:
1)A cardinalidade do conjunto dos números reais é 2^n, onde n é a
cardinalidade do conjunto dos naturais. Existe, então, uma bijeção entre o
conjunto dos reais e o conjunto dos subconjuntos dos naturais? Como prova?
2)Existe uma bijeção entre o conjunto dos reais e o conjunto dos
subconjuntos enumeráveis dos reais?
3)Qual seria um exemplo de um conjunto maior do que o dos reais?
Rogerio Fajardo
From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: estranho
Date: Tue, 12 Sep 2000 13:53:17 -0300 (BRT)
On Mon, 11 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote:
Espera aí!
Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como
assim
ser Q um conjunto enumerável?
Estou confuso.
E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
calcule S, sendo
S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
Abraços, Eduardo
Um exemplo:
tome o conjunto dos números reais R.
lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos
numeros
irracionais) estao contidos em R.
Escolha um elemento de R aleatoriamente.
Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
evento e perfeitamente possivel.
Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
algum sentido para voce) e I, assim como R nao sao enumeraveis, ou seja
sao
"muito maiores".
Um conjunto infinito X é enumerável se existe bijeção entre X e N,
o conjunto dos naturais.
O cardinal de X é igual ao de Y se existe bijeção entre X e Y.
Escreve-se |X| = |Y|.
X é infinito enumerável se |X| = |N|.
O cardinal de X é maior ou igual do que o de Y se existir:
(a) função injetora de Y para X;
(b) função sobrejetora de X para Y.
As condições (a) e (b) são equivalentes.
Escreve-se |X| = |Y|.
Naturalmente, escreve-se |X| |Y| quando |X| = |Y| mas |X| != |Y|
(onde != significa 'diferente de', ou seja, 'não igual a').
Pode-se demonstrar que |N| = |Z| = |Q| |R| = |C|,
onde estes são os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais,
reais e complexos.
Para qualquer conjunto X, sempre temos |X| |P(X)|,
onde P(X) = {Y | Y é subconjunto de X} é o conjunto das partes de X.
Para quaisquer conjuntos infinitos X e Y temos |X| = |Y| ou |Y| = |X|
e |X U Y| = |X x Y| = max(|X|,|Y|).
O assunto é grande, veja um bom livro de teoria dos conjuntos,
como Naïve Set Theory, Halmos (existe tradução).
[]s, N.
_
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lógica e fundamentos
Olá, pessoal Sou aluno do 1° ano de Bacharelado de Matemática e comecei a me interessar muito por lógica e fundamentos da matemática. Tenho algumas dúvidas que gostaria que alguém me tirasse. A primeira é a seguinte: toda a matemática é construída a partir de axiomas, que não são provados, e a partir deles são deduzidas as verdades matemáticas dentro desse sistema. Mas essa relação de implicação é uma verdade matemática, e precisa de axiomas para o provar. Como se dá isso? Os teoremas da lógica dispensam provas? Outra coisa: a incompletude de Gödel, que diz que a aritmética não pode ser deduzida a partir de sistemas de axiomas, só vale para sistema do tipo mecânico? grato pela atenção, Rogério _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Matemática e Física
Olá, David É uma boa idéia discutir esse tipo de questão. Tenho outras: o que é Física? O que é Matemática? Essas duas ciências evoluíram enormemente nos últimos séculos, mas não se chegou a um acordo para uma definição delas, principalmente sobre a matemática. Se alguém tiver algumas idéias sobre essas questões, serão bem aceitas. grato pela atenção, Rogério From: "David Pereira" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Matemática e Física Date: Tue, 29 Aug 2000 19:41:16 -0300 "A Matemática é um método de explicar o que tem por dentro da cabeça de um físico." Eu concordo em parte com essa frase. Creio que aja um feedback entre as dua ciências. Algo como, uma não vive sem a outra. O que vocês acham de discutirmos esta questão? []s David _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
