[obm-l] Re: [obm-l] Seria por distribuição binomial ou alguma recorrência
A probabilidade do estudante acertar um número n de questões é [ (1/5)^n * (4/5)^(25-n) ] * n!*(25-n)!/25! . ( o primeiro segmento, separo por [ ...], indica a probabilidade de ele acertar n questões em uma ordem definida, enquanto a segunda parte se refere ao número de combinações possíveis em que ele acerta n questões ) . Agora é somar e fatorar On Tue, Feb 28, 2023, 11:52 Bianca Flores wrote: > Alguém poderia ajudar com essa questão: estou frustrada porque não consigo > chegar ao gabarito E. > > Um estudante preenche, aleatoriamente e de forma independente cada uma das > questões, um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais > apenas uma é correta) para cada uma de 25 questões. A probabilidade que ele > acerte um número par de questões é dada por: > > (A)(1-(4/5)^25)/2 > (B)(1-(3/5)^25)/2 > (C)((3/5)^25)/2 > (D)(1+(4/5)^25)/2 > (E)(1+(3/5)^25)/2 > > Tento de todas as formar usar a distribuição binomial, alguma recorrência, > mas sem sucesso. > Bianca > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987
Eu pensaria em trabalhar com os pontos notáveis, talvez o baricentro, e argumentar que em qualquer outro ponto é possível realizar um corte que o prejudique mais. Isso é só uma teoria e, portanto, é possível que esteja totalmente errada. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] f(x + y) = f(x) + f(y)
Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e me deparei com essa expressão. Não sei o que aconteceu, mas tive uma crise existencial e decidi provar que isso implica f(x) = ax + b( ou pelo menos acho que implica). Essa prova estaria certa?: (obs: a função é definida nos racionais) f(x + 0) = f(x) + f(0) => f(0) = 0. f(x + h) = f(x) + f(h) -> (f(x + h) - f(x))/h = f(h)/h = (f(h) - f(0))/h agora basta fazer lim h -> 0 e obtemos f’(x) = f’(0) . Mas f’(0) é uma constante, logo f(x) = ax + b (obs: tenho quase certeza que ela seria válida para os reais, porém como a função é limitada aos racionais, estou em dúvida) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Eu sei, temos f(-1)= 0, f(0) = 1, e f é bijetora. Após trabalhar a equação que cheguei na expressão: f( x + f(x) ) - f( f(x)) = x. Queria saber se essa identidade, junto com a do enunciado, é suficiente para provar a linearidade de f. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Foi da OBM 2006, nível 3, 3° fase: “Determine todas as funções f: R -> R tais que f( xf(y) + f(x) ) = 2f(x) + xy para todos x,y reais” -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Obrigado pela resposta, mas ainda tenho umas dúvidas. Poderia dar um exemplo de tal função ou explicar como construí-la? E se f fosse somente injetora, mudaria alguma coisa? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: Equações funcionais
Obs: f é bijetora > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Equações funcionais
Olá, bom dia. Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e acabei concluindo que : f( f(x) + x ) - f( f( x) ) = x para todo x real. Somente isso é suficiente para provar que f é linear? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Indução
obs: só agora fui ver o título :) , se era necessário fazer especialmente por indução, por favor desconsidere a minha resposta. On Fri, Feb 5, 2021 at 7:14 AM joao pedro b menezes < joaopedrobmene...@gmail.com> wrote: > Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo > tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p). > Logo > ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1). > Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1). > obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista. > Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :) > > On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro > wrote: > >> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide >> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a. >> >> >> Sent from my iPhone >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> >
[obm-l] Re: [obm-l] Indução
Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p). Logo ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1). Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1). obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista. Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :) On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro wrote: > Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide > [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a. > > > Sent from my iPhone > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função parte inteira
Obrigado pela dica! Honestamente creio que existe um erro nesse problema. Fazendo alguns casos na mão é possivel perceber que isso sempre resulta em 8n + 7. Essa é a prova: "Provar que ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³ < 8n + 8. Abrindo a potência, temos: 2n + 2 + 3 * ( (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)) < 8n + 8 (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3) < 2n + 2 Porém temos que (n² ( n + 2))^(1/3) < n + 2/3 , e (n(n + 2)²)^(1/3) < n + 4/3 ( eu testei elevando ambos os lados ao cubo deu certo) . Isso confirma a inequação inicial. Agora se 8n + 7 < ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³ o exercício acaba. De fato, trabalhando a expressão: (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3) > 2n + 5/3 Mas novamente, tem se que (n² ( n + 2))^(1/3) > n + 1/2 e (n(n + 2)²)^(1/3) > n + 7/6 para qualquer n > 1 ( no caso n =1 basta testar na mão). E como 1/2 + 7/6 = 5/3 , tem se que ela é verdade, logo: 8n + 7 < ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³ < 8n + 8 ==> [ ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³ ] = 8n + 7" Eu estranhei bastante porque nunca tinha acontecido de um exercicio do POTI estar errado. obs: Se a minha solução estiver errada de alguma forma, adoraria saber! On Wed, Feb 3, 2021 at 12:42 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > Sem tempo agora, mas olhando por alto eu aproximaria o que estah dentro do > () por 2(n+1)^(1/3), o que levaria imediatamente a 8(n+1). Serah que a > parte inteira daquela coisa eh 8(n+1)? > > Entao eu tentaria abrir os cubos, subtrair 8(n+1), e mostrar que o que > sobra eh menor que 1. > > Serah que funciona? > > On Wed, Feb 3, 2021 at 10:03 AM joao pedro b menezes < > joaopedrobmene...@gmail.com> wrote: > >> Olá, estava tentando fazer esta questão: >> Prove que [ ( n^(1/3) + (n + 2)^(1/3) )³] é divisível por 8. >> obs: não tinha a tecla de função parte inteira, por isso escolhi [ ] >> Se alguém tiver alguma dica ou souber como resolver, ajudaria bastante. >> >
[obm-l] Função parte inteira
Olá, estava tentando fazer esta questão: Prove que [ ( n^(1/3) + (n + 2)^(1/3) )³] é divisível por 8. obs: não tinha a tecla de função parte inteira, por isso escolhi [ ] Se alguém tiver alguma dica ou souber como resolver, ajudaria bastante.
Re: [obm-l] Limites
Olá, boa noite, obrigado pela resposta( e pela dica)! Quanto ao meu conhecimento de cálculo, embora saiba um pouco, ele é limitado e portanto não conhecia esse teorema. Já li sobre ele durante o dia e entendi sua demonstração. Mais uma vez, obrigado aos dois!
[obm-l] Limites
Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma prova para esse limite lim x-> infinito (1 + x)^(1/x) Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante Já agradeço pela ajuda :)
[obm-l] Proxima OBM
Olá, bom dia. Meu nome é João Pedro Menezes. Eu contactei vocês à um tempo atrás para saber quando seria liberada a lista de convidados para a OBM 2020 (que agora será em 2021), mas obtive uma resposta inconclusiva. se puderem me ajudar, agradeceria muito. João Pedro Menezes
[obm-l] Teorema Chinês do resto
Olá, eu estava fazendo esse exercício : " . (OBM 2005) Dados os inteiros positivos a, c e o inteiro b, prove que existe um inteiro positivo x tal que a^x + x ≡ b (mod c)." Eu pensei nessa solução, mas eu tenho quase certeza que ela está errada... "Primeiramente , suponhamos c primo. Desse modo, se escolhermos x tal que x ≡ 0 (mod c - 1) , teremos a^x + x ≡ 1 + x <=> x ≡ b - 1 (mod c) (pelo teorema de fermat) . Teríamos o sistema de congruências: x ≡ 0 ( mod c) x ≡ b - 1 (mod c-1) Como c e c-1 são primos entre sí, pelo teorema chinês do resto esse sistema infinitas soluções. Agora, suponhamos c composto. Como um número composto é nada mais que o produto de uma quantidade finita de primos, podemos chamar todos os primos divisores de c como p1, p2, p3 ... pn . Forçando x ≡ b - 1 (mod pi) para qualquer pi divisor primo de c, montamos o sistema de congruências: x ≡ 0 (mod p1 - 1) x ≡ b - 1 (mod p1) . x ≡ 0 (mod pn - 1) x ≡ b - 1 (mod pn) O único empecilho para o teorema é que pj - 1 e ph - 1 ( com j e h inteiros 1 <= j <= h <= n) possivelmente terão múltiplos em comum. Para anular esse problema, basta fazer com que x seja múltiplo de p1 - 1, p2 - 1 . pn - 1,e chamando de Z o produto de todos esses números, podemos construir: x ≡ b - 1 (mod p1) x ≡ b - 1( mod p2) x ≡ b - 1 (mod pn) x ≡ 0 (mod Z) Como p1, p2 , ... pn e Z são primos entre si, o sistema sempre terá infinitas soluções pelo teorema chinês do resto Dessa forma, comprovamos o enunciado" Se ela estiver errada( o que eu tenho quase certeza) , alguém poderia, por favor, me falar por que ? Agradeço pela ajuda e pelo tempo por ler este email gigante
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Muito obrigado pela ajuda! Entendi o exercício agora. Em dom, 25 de out de 2020 às 19:59, Otávio Araújo escreveu: > Vc resolve essa questão mostrando q p=n^2+n+1. Se n=1 acabou. Se n>1,Já > que p divide n^3-1 e é primo, temos que p divide n-1 ou n^2+n+1. Não > podemos ter p dividindo n-1 pois n divide p-1 -> n<= p-1 n-1 Portanto p divide n^2+n+1. Faca n^2+n+1 = kp, k inteiro positivo. Temos que > kp=n^2+n+1 é congruente a 1 módulo n. Do enunciado temos p congruente a 1 > módulo n, mas p é congruente a 1 módulo n e é diferente de 1(pois é primo) > -> p>= n+1 e k será congruente a 1 módulo n também. Suponha que k>1, > k>1 implica k>= n+1 daí kp>=(n+1)^2 > n^2+n+1, contradição. Portanto k=1 > e p=n^2+n+1. > > Em dom, 25 de out de 2020 17:37, joao pedro b menezes < > joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, boa tarde. >> Estou com dúvida nesse exercício: >> " Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que n >> divide p − 1 e p divide n 3 − 1. Mostre que 4p − 3 ´e um quadrado perfeito." >> Já agradeço pela ajuda e pelo tempo! >> >>
[obm-l] Teoria dos Números
Olá, boa tarde. Estou com dúvida nesse exercício: " Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que n divide p − 1 e p divide n 3 − 1. Mostre que 4p − 3 ´e um quadrado perfeito." Já agradeço pela ajuda e pelo tempo!
Re: [obm-l] Lista/ Livros Geometria IMO/OBM
Olá, boa tarde. Eu não conheço todos, mas eu sei que é possivel entrar no site da OBM : https://www.obm.org.br/2020/07/25/conheca-livros-para-iniciar-a-preparacao-para-a-proxima-obm/ Ainda assim, um livro que eu particularmente acho fantástico se chama “Challenging problems in geometry “. Ele é usado para a preparação da IMO.
