Re:[obm-l] Isometria
Mas não mostrou que T(b_n) vai cair fora de B.
Abs.
Rivaldo.
Como eu disse, T(x,y) = (x,y+1/2) eh apenas uma realizacao, ou seja,
apenas um exemplo de isometria que se encaixa no seu
contra-exemplo.
A minha demonstracao de fato prova que QUALQUER QUE SEJA A ISOMETRIA T:
B(0,1) - R^n,
se T(0) 0, entao existe r 1 tal que:
para todo b em B(0,1) com r |b| 1, as extremidades do segmento que
liga T(b) e T(-b) (e tem necessariamente T(0) como
ponto medio) nao pertencem a B(0,1).
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 18 May 2007 17:38:52 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-B,
Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo
não
funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora
de
B sem tomar um exemplo particular.
Abs.
Rivaldo.
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Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir
que
T(0)=0.
Pode-se sim.
Suponha que T(0) = a 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio
tenha
comprimento inferior a 2 - eps.
(Se a 0, entao um tal eps 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro
em a
e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) 2 - eps, desde que eps |a|^2, pois
raiz(1 - |a|^2) 1 - |a|^2/2 1 - eps/2.)
Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(-b)| =
|b - (-b)| =
2|b| =
2 - eps ==
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede
menos
que isso.
Logo, nao podemos ter a 0.
***
O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
|b_n| = 1 - 1/(2n),
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
contradominio tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B - R^2, entao uma
realizacao
concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) =
(1-1/(2n),1/2),
cuja norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) 1, se n =
4.
***
Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
De fato, mais sofisticada do que a minha...
[]s,
Claudio.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) -
T(-b)|
==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei
anteriormente,
no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em
B.
Abs.
Rivaldo
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 -
1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro
de
um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em
relacao
a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem
Re:[obm-l] Isometria
Como eu disse, T(x,y) = (x,y+1/2) eh apenas uma realizacao, ou seja, apenas um
exemplo de isometria que se encaixa no seu
contra-exemplo.
A minha demonstracao de fato prova que QUALQUER QUE SEJA A ISOMETRIA T: B(0,1)
- R^n,
se T(0) 0, entao existe r 1 tal que:
para todo b em B(0,1) com r |b| 1, as extremidades do segmento que liga
T(b) e T(-b) (e tem necessariamente T(0) como
ponto medio) nao pertencem a B(0,1).
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 18 May 2007 17:38:52 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-B,
Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo não
funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora de
B sem tomar um exemplo particular.
Abs.
Rivaldo.
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Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0.
Pode-se sim.
Suponha que T(0) = a 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha
comprimento inferior a 2 - eps.
(Se a 0, entao um tal eps 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a
e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) 2 - eps, desde que eps |a|^2, pois
raiz(1 - |a|^2) 1 - |a|^2/2 1 - eps/2.)
Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(-b)| =
|b - (-b)| =
2|b| =
2 - eps ==
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos
que isso.
Logo, nao podemos ter a 0.
***
O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
|b_n| = 1 - 1/(2n),
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
contradominio tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B - R^2, entao uma realizacao
concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2),
cuja norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) 1, se n = 4.
***
Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
De fato, mais sofisticada do que a minha...
[]s,
Claudio.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)|
==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente,
no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 -
1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de
um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao
a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n
Re:[obm-l] Isometria
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Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0.
Pode-se sim.
Suponha que T(0) = a 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha
comprimento inferior a 2 - eps.
(Se a 0, entao um tal eps 0 sempre pode ser escolhido, mas vai depender da
norma usada. Por exemplo, com a norma
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a e
paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) 2 - eps, desde que eps |a|^2, pois raiz(1 -
|a|^2) 1 - |a|^2/2 1 - eps/2.)
Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(-b)| =
|b - (-b)| =
2|b| =
2 - eps ==
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos que
isso.
Logo, nao podemos ter a 0.
***
O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e |b_n| = 1
- 1/(2n),
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o contradominio
tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B - R^2, entao uma realizacao
concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2), cuja
norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) 1, se n = 4.
***
Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
De fato, mais sofisticada do que a minha...
[]s,
Claudio.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter
a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
Re:[obm-l] Isometria
Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-B,
Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo não
funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora de
B sem tomar um exemplo particular.
Abs.
Rivaldo.
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Data: Thu, 17 May 2007 05:45:33 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0.
Pode-se sim.
Suponha que T(0) = a 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha
comprimento inferior a 2 - eps.
(Se a 0, entao um tal eps 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a
e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) 2 - eps, desde que eps |a|^2, pois
raiz(1 - |a|^2) 1 - |a|^2/2 1 - eps/2.)
Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(-b)| =
|b - (-b)| =
2|b| =
2 - eps ==
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos
que isso.
Logo, nao podemos ter a 0.
***
O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
|b_n| = 1 - 1/(2n),
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
contradominio tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B - R^2, entao uma realizacao
concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2),
cuja norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) 1, se n = 4.
***
Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
De fato, mais sofisticada do que a minha...
[]s,
Claudio.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)|
==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente,
no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 -
1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de
um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao
a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a
B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode
ter
a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que
seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que
Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0. Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
Abs.
Rivaldo.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter
a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
Re:[obm-l] Isometria
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
poderah
ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer
Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0) dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2 raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah
ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re:[obm-l] Isometria
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0) dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence a B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a (0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2 raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah
ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
Re:[obm-l] Isometria
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
-- Cabeçalho original ---
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
poderah
ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita
precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b,
a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos
em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0
Re:[obm-l] Isometria
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a como
ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2 raiz(1 -
|a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a norma de
R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re:[obm-l] Isometria
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de comprimento 2 eh
a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah ser o
centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.
Acho que agora foi...
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
estrita:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Isometria
Ola Claudio,
obrigado pela correcao..
vou tentar fazer novamente amanha..
abracos,
Salhab
On 5/9/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
O fato de ||x|| = ||T(x)|| so vale quando T e linear, quando T nao e
linear podemos afirmar apenas que ||x|| = ||T(x)-T(0)||, logo a prova
abaixo nao esta completa.
Abs.
Ola,
por ser uma isometria, temos que: ||x|| = ||T(x)||
deste modo: ||T(0)|| = ||0|| = 0
mas, se ||T(0)|| = 0, temos que T(0) = 0.
uma outra ideia seria:
suponha que T(0) = a, a diferente de 0.
assim: ||T(0)|| = 0 (isometria) e ||T(0)|| = ||a||, temos que; ||a|| = 0
o que implica que a=0.. absurdo, pois supomos a diferente de 0.
logo T(0) = 0.
pra mostrar que ||a|| = 0 sss a=0, basta utilizar uma das condicoes de
espacos metricos:
d(x, y) = 0 sss x = y
mas ||a|| = d(a, 0) = 0, o que implica, pela condicao acima, que a=0
abracos,
Salhab
On 5/8/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Abs.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo!
Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos
garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
-b
nao colineares nao garante esse fato.
Abs.
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em relacao
a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular estrita:
|T(b) - T(-b)| |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
Re: [obm-l] Isometria
Ola,
por ser uma isometria, temos que: ||x|| = ||T(x)||
deste modo: ||T(0)|| = ||0|| = 0
mas, se ||T(0)|| = 0, temos que T(0) = 0.
uma outra ideia seria:
suponha que T(0) = a, a diferente de 0.
assim: ||T(0)|| = 0 (isometria) e ||T(0)|| = ||a||, temos que; ||a|| = 0
o que implica que a=0.. absurdo, pois supomos a diferente de 0.
logo T(0) = 0.
pra mostrar que ||a|| = 0 sss a=0, basta utilizar uma das condicoes de
espacos metricos:
d(x, y) = 0 sss x = y
mas ||a|| = d(a, 0) = 0, o que implica, pela condicao acima, que a=0
abracos,
Salhab
On 5/8/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Abs.
=
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usar a lista em
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Re:[obm-l] Isometria
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Isometria
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Se T(0) = a 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em relacao a
origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
pertencem a reta que passa pela origem e por a).
Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular estrita:
|T(b) - T(-b)| |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
|b - 0| + |0 - (-b)| =
2|b| =
|2b| =
|b - (-b)| =
|T(b) - T(-b)| == contradicao.
Logo, soh pode ser T(0) = 0.
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Isometria
O fato de ||x|| = ||T(x)|| so vale quando T e linear, quando T nao e
linear podemos afirmar apenas que ||x|| = ||T(x)-T(0)||, logo a prova
abaixo nao esta completa.
Abs.
Ola,
por ser uma isometria, temos que: ||x|| = ||T(x)||
deste modo: ||T(0)|| = ||0|| = 0
mas, se ||T(0)|| = 0, temos que T(0) = 0.
uma outra ideia seria:
suponha que T(0) = a, a diferente de 0.
assim: ||T(0)|| = 0 (isometria) e ||T(0)|| = ||a||, temos que; ||a|| = 0
o que implica que a=0.. absurdo, pois supomos a diferente de 0.
logo T(0) = 0.
pra mostrar que ||a|| = 0 sss a=0, basta utilizar uma das condicoes de
espacos metricos:
d(x, y) = 0 sss x = y
mas ||a|| = d(a, 0) = 0, o que implica, pela condicao acima, que a=0
abracos,
Salhab
On 5/8/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Abs.
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[obm-l] Isometria
Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||1} e T: BB uma isometria.
Provar que T(0)=0.
Abs.
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[obm-l] Isometria
Pessoal alguem sabe mostrar dados a e b na esfera unitaria do espaço R^(n+1), Isto é , dados a e b na esfera unitaria S^n , existe uma isometria f: S^n -S^n tal que f(a)=b ? Abraços. _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Isometria
On Wed, Apr 04, 2007 at 01:54:09PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal alguem sabe mostrar dados a e b na esfera unitaria do espaço
R^(n+1), Isto é , dados a e b na esfera unitaria S^n , existe uma
isometria f: S^n -S^n tal que f(a)=b ?
Uma forma fácil de explicitar uma tal isometria é tomar uma reflexão
no plano bissetor do segmento ab:
w = (a-b)/|(a-b)|, f(v) = v - 2 v,w w
onde v,w representa o produto interno.
Esta construção só falha no caso a = b.
Pensei em deixar este caso para o leitor mas achei
que seria mais instrutivo observar que
w = (a+b)/|(a+b)|, f(v) = - v + 2 v,w w
funciona exceto para a = - b.
Aliás, para n par é impossível definir f_{a,b} continuamente
nos parâmetros a e b mesmo fixando a = e_1 pois isso
permitiria definir um campo de vetores tangente à esfera: f_{e_1,b}(e_2).
Como a característica de Euler de S^n é igual a 2 para n par
tal coisa é impossível.
[]s, N.
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