Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Ola Denisson, Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Pessoal, penso que e natural que esta convivencia informal que cultivamos aqui inevitavelmente nos leva a desenvolver certa simpatia por algumas pessoas... Estou seriamente preocupado com o nosso amigo Nehab, pois, pelo que estou sabendo das ultimas mensagens, ele esta em seu escritorio, atracado com um violento Sangaku. Alguem tem noticias dele ? Bom, amenidades a parte, vamos tentar domar este violento sangaku. Vou usar a figura sugerida pelo Denisson, na mensagem abaixo. Seja AP=X. Sejam tambem : 1) T1, T2 e T3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R2 ) inscrito no traingulo ABP respectivamente nos lados AB, AP e PB 2) Q1, Q2 e Q3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R1) inscrito no triangulo PCD respectivamente nos lados CD, DP e PC. R3 e o raio do circulo inscrito no triangulo BPC E facil ver que a area do triangulo BPC e sempre 1/2, independente do valor de AP=X que escolhermos. Sabemos que esta area pode ser expressa assim : 1/2 = R3 *( semi-perimetro do traingulo BPC ) E quem e o semi-perimetro do traingulo BPC ? Vejamos : PB = PT3 + T3B = X - R2 + 1 - R2 = 1 + X -2*R2 PC = PQ3 + Q3C = (1-X) - R1 + 1 - R1 = 2 - X - 2*R1 BC = 1 Logo : semi-perimetro = (4 -2*R1 - 2*R2)/2 = 2 - R1 - R2. E daqui segue : R3*(2 - R1 - R2) = 1/2 = 2 - ( 1/2*R3 ) = R1 + R2 Ou seja, a relacao acima entre os 3 raios independe do valor AP=X que escolhermos. Agora vamos a pergunta dois : Existe X tal que R1:R2:R3 = 1:2:3 ? Se existir um tal X entao R1 + R2 + R3 / 6 = R3/3. Substituindo R1 + R2 por 2 - ( 1/2*R3), ficara : 2 - (1/2*R3) + R3 = 2*R3 = R3 = (2 - raiz_quad(2) ) / 2 ( a outra raiz nao serve por ser maior que 1 ) E facil ver que este valor so ocorre quando AP=X=0, reduzindo-se um dos circulos a um ponto. Assim, nao existe X 0 que torne R1:R2:R3 = 1:2:3. Um Abraco a todos ! PSR, 61505090B21 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Santa Rita, O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, que é do terceiro grau... Aliás, os problemas de geometria ditos quadráticos são quase sempre triviais. Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre cubicos. To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a mão Denilson... :-) Abraços Nehab 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta PC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Puxa ! Que ótimo! Terei fim de semana Graças a você, desatraquei :-) Grande abraço, Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Denisson, Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Pessoal, penso que e natural que esta convivencia informal que cultivamos aqui inevitavelmente nos leva a desenvolver certa simpatia por algumas pessoas... Estou seriamente preocupado com o nosso amigo Nehab, pois, pelo que estou sabendo das ultimas mensagens, ele esta em seu escritorio, atracado com um violento Sangaku. Alguem tem noticias dele ? Bom, amenidades a parte, vamos tentar domar este violento sangaku. Vou usar a figura sugerida pelo Denisson, na mensagem abaixo. Seja AP=X. Sejam tambem : 1) T1, T2 e T3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R2 ) inscrito no traingulo ABP respectivamente nos lados AB, AP e PB 2) Q1, Q2 e Q3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R1) inscrito no triangulo PCD respectivamente nos lados CD, DP e PC. R3 e o raio do circulo inscrito no triangulo BPC E facil ver que a area do triangulo BPC e sempre 1/2, independente do valor de AP=X que escolhermos. Sabemos que esta area pode ser expressa assim : 1/2 = R3 *( semi-perimetro do traingulo BPC ) E quem e o semi-perimetro do traingulo BPC ? Vejamos : PB = PT3 + T3B = X - R2 + 1 - R2 = 1 + X -2*R2 PC = PQ3 + Q3C = (1-X) - R1 + 1 - R1 = 2 - X - 2*R1 BC = 1 Logo : semi-perimetro = (4 -2*R1 - 2*R2)/2 = 2 - R1 - R2. E daqui segue : R3*(2 - R1 - R2) = 1/2 = 2 - ( 1/2*R3 ) = R1 + R2 Ou seja, a relacao acima entre os 3 raios independe do valor AP=X que escolhermos. Agora vamos a pergunta dois : Existe X tal que R1:R2:R3 = 1:2:3 ? Se existir um tal X entao R1 + R2 + R3 / 6 = R3/3. Substituindo R1 + R2 por 2 - ( 1/2*R3), ficara : 2 - (1/2*R3) + R3 = 2*R3 = R3 = (2 - raiz_quad(2) ) / 2 ( a outra raiz nao serve por ser maior que 1 ) E facil ver que este valor so ocorre quando AP=X=0, reduzindo-se um dos circulos a um ponto. Assim, nao existe X 0 que torne R1:R2:R3 = 1:2:3. Um Abraco a todos ! PSR, 61505090B21 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Santa Rita, O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, que é do terceiro grau... Aliás, os problemas de geometria ditos quadráticos são quase sempre triviais. Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre cubicos. To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a mão Denilson... :-) Abraços Nehab 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta PC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Oi, DENISSON Desculpe-me pois, ululantemente, padeço do mesmo mal... Por favor aguarde o fim de semana para postar a solução do sandaku proposto. Abraços, Nehab Denisson escreveu: Nehab, é interessante como nunca acertam meu nome :) É Denisson, não Denilson hehehehe 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br mailto:ne...@infolink.com.br Oi, Santa Rita, O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, que é do terceiro grau... Aliás, os problemas de geometria ditos quadráticos são quase sempre triviais. Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre cubicos. To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a mão Denilson... :-) Abraços Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com mailto:denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Denisson
[obm-l] Problemas de Sangaku
Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
De fato, a única dificuldade nessa questão são as contas. Mas o objetivo era mostrar os problemas de sangaku mesmo que por sinal achei que eram bem conhecidos. No link do email anterior tem explicações sobre suas origens. Existem outros problemas de sangaku e alguns deles tem um grau de dificuldade bem grande... É um bom exercício em geral :) 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com http://www.rpm.org.br/conheca/49/1/sangaku.htm 2009/5/14 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Denisson -- Denisson
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Estou quase um spammer :P Bem, no ensino médio um professor sempre trazia esses problemas. E o objetivo era sempre achar a solução mais simples, em geral traçando alguma reta auxiliar ou traçando circulos. Bem, eu acho eles legais :) Dá uma olhada lá pra ver se te interessa também. 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com De fato, a única dificuldade nessa questão são as contas. Mas o objetivo era mostrar os problemas de sangaku mesmo que por sinal achei que eram bem conhecidos. No link do email anterior tem explicações sobre suas origens. Existem outros problemas de sangaku e alguns deles tem um grau de dificuldade bem grande... É um bom exercício em geral :) 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com http://www.rpm.org.br/conheca/49/1/sangaku.htm 2009/5/14 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Denisson -- Denisson -- Denisson
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Oi, Santa Rita, O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, que é do terceiro grau... Aliás, os problemas de geometria ditos quadráticos são quase sempre triviais. Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre cubicos. To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a mão Denilson... :-) Abraços Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Sangaku
Nehab, é interessante como nunca acertam meu nome :) É Denisson, não Denilson hehehehe 2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Santa Rita, O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, que é do terceiro grau... Aliás, os problemas de geometria ditos quadráticos são quase sempre triviais. Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre cubicos. To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a mão Denilson... :-) Abraços Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Denisson e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu acho que voce queria dizer : trace a reta BP e a reta PC, certo ? Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1. Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de AP=X.). Lancando mao da expressao : R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p onde p e o semi-perimetro do triangulo de lados a, b e c, obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios ( funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos : R1 = R2/2 R2/2 = R3/3 Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou a lhe responder, apresentando uma solucao forca bruta como esta, foi sobretudo outro motivo ... O que sao estes Problemas de Sangaku ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso. Um abraco a todos ! PSR, 51405091108 2009/5/14 Denisson denisso...@gmail.com denisso...@gmail.com: Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular que eu não consegui fazer: Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D. Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3 círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. -- Denisson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Denisson
