Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
O único problema é a loja virtual em si, a navegação é horrível, isso quando
funciona,
quando fui comprar, deu um monte de erro de Java, e é bem lento.
Ops, desculpem-me.
- Mensagem original -
De: Tiago hit0...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 13 de Fevereiro de 2011 1:13:35
Assunto: Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
Excelente e barato. Tem na loja virtual do IMPA.
2011/2/12 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com
pois é.. definindo e como sendo 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., você
prova que o limite dessa soma infinita é igual ao limite de (1+1/n)^n.
Pra isso, você expande o binômio de newton (1+1/n)^n = 1 + n/n +
n(n-1)/2!n^2 + n(n-1)(n-2)/3!n^3 + ... + 1/n^n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +
(1-1/n)(1-2/n)/3! + ... + (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)...(1/n)/n! Pra mostrar
que de fato é igual tem que analisar com cuidado esses dois limites,
mas pra acreditar basta ver que cada termo, por exemplo o
(1-1/n)(1-2/n)/3!, converge pra 1/3!
Agora, se a sua definição de e é a base do log neperiano, log(e)=1,
ou seja, 1=exp(1), você mostra que e=lim(1+1/n)^n observando que lim
quando x tende a zero de [log(1+x)]/x é 1; (pois esse limite é, por
definição, a derivada de log(t) em t=1). Mas pela regra do peteleco,
[log(1+x)]/x é igual a log[(1+x)^(1/x)]. Então (todos os lim que eu
vou escrever são com x-0), como lim log[(1+x)^(1/x)] = 1, aplicando
exp dos dois lados, temos lim exp{log[(1+x)^(1/x)]} = exp(1). Mas exp
do log de (1+x)^(1/x) é igual ao próprio (1+x)^(1/x), ou seja: lim
(1+x)^(1/x) = exp(1), que é igual a e.
Ambas as demonstrações foram adaptadas do livro Análise Real, volume
1 do Elon Lages Lima, do IMPA. É um excelente livro para se estudar
esses conceitos fundamentais da análise.
abraço
2011/2/12 Tiago hit0...@gmail.com :
Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe e
depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por
exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo que
eu me lembro não é nada fácil.
2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental?
lim (1 + 1/z)^z = e
para z- infnito
[]s
João
--
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com
--
,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia
((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444
`-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo
\_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm
nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar
perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi)
[obm-l] Prova de Limite Fundamental
Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental? lim (1 + 1/z)^z = e para z- infnito []s João
Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe e depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo que eu me lembro não é nada fácil. 2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental? lim (1 + 1/z)^z = e para z- infnito []s João -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
pois é.. definindo e como sendo 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., você
prova que o limite dessa soma infinita é igual ao limite de (1+1/n)^n.
Pra isso, você expande o binômio de newton (1+1/n)^n = 1 + n/n +
n(n-1)/2!n^2 + n(n-1)(n-2)/3!n^3 + ... + 1/n^n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +
(1-1/n)(1-2/n)/3! + ... + (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)...(1/n)/n! Pra mostrar
que de fato é igual tem que analisar com cuidado esses dois limites,
mas pra acreditar basta ver que cada termo, por exemplo o
(1-1/n)(1-2/n)/3!, converge pra 1/3!
Agora, se a sua definição de e é a base do log neperiano, log(e)=1,
ou seja, 1=exp(1), você mostra que e=lim(1+1/n)^n observando que lim
quando x tende a zero de [log(1+x)]/x é 1; (pois esse limite é, por
definição, a derivada de log(t) em t=1). Mas pela regra do peteleco,
[log(1+x)]/x é igual a log[(1+x)^(1/x)]. Então (todos os lim que eu
vou escrever são com x-0), como lim log[(1+x)^(1/x)] = 1, aplicando
exp dos dois lados, temos lim exp{log[(1+x)^(1/x)]} = exp(1). Mas exp
do log de (1+x)^(1/x) é igual ao próprio (1+x)^(1/x), ou seja: lim
(1+x)^(1/x) = exp(1), que é igual a e.
Ambas as demonstrações foram adaptadas do livro Análise Real, volume
1 do Elon Lages Lima, do IMPA. É um excelente livro para se estudar
esses conceitos fundamentais da análise.
abraço
2011/2/12 Tiago hit0...@gmail.com:
Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe e
depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por
exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo que
eu me lembro não é nada fácil.
2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental?
lim (1 + 1/z)^z = e
para z- infnito
[]s
João
--
Tiago J. Fonseca
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental
Excelente e barato. Tem na loja virtual do IMPA.
2011/2/12 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com
pois é.. definindo e como sendo 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., você
prova que o limite dessa soma infinita é igual ao limite de (1+1/n)^n.
Pra isso, você expande o binômio de newton (1+1/n)^n = 1 + n/n +
n(n-1)/2!n^2 + n(n-1)(n-2)/3!n^3 + ... + 1/n^n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +
(1-1/n)(1-2/n)/3! + ... + (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)...(1/n)/n! Pra mostrar
que de fato é igual tem que analisar com cuidado esses dois limites,
mas pra acreditar basta ver que cada termo, por exemplo o
(1-1/n)(1-2/n)/3!, converge pra 1/3!
Agora, se a sua definição de e é a base do log neperiano, log(e)=1,
ou seja, 1=exp(1), você mostra que e=lim(1+1/n)^n observando que lim
quando x tende a zero de [log(1+x)]/x é 1; (pois esse limite é, por
definição, a derivada de log(t) em t=1). Mas pela regra do peteleco,
[log(1+x)]/x é igual a log[(1+x)^(1/x)]. Então (todos os lim que eu
vou escrever são com x-0), como lim log[(1+x)^(1/x)] = 1, aplicando
exp dos dois lados, temos lim exp{log[(1+x)^(1/x)]} = exp(1). Mas exp
do log de (1+x)^(1/x) é igual ao próprio (1+x)^(1/x), ou seja: lim
(1+x)^(1/x) = exp(1), que é igual a e.
Ambas as demonstrações foram adaptadas do livro Análise Real, volume
1 do Elon Lages Lima, do IMPA. É um excelente livro para se estudar
esses conceitos fundamentais da análise.
abraço
2011/2/12 Tiago hit0...@gmail.com:
Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe
e
depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por
exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo
que
eu me lembro não é nada fácil.
2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental?
lim (1 + 1/z)^z = e
para z- infnito
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