[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Boa tarde! Corrigindo, a resposta do gabarito está correta colocando o fator 10^5 para fora da expressão, ´ q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 q = 777*10^5* ( 10^990+ 10^889+...+ 10^6 + 1) +77 a última parcela será 1. Portanto o B está correto Serão 166, 777000, seguidos da sequência 77 ou 777*B*10^5 + 77, com B igual ao proposto no gabarito. Saudações. Em 11 de junho de 2015 09:58, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! O final do texto deu erro na formatação. O correto está abaixo: como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) se 9 não dividisse, bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Saudações, PJMS Em 11 de junho de 2015 09:54, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Seja um número da forma 1000..01 com n algarismos zeros, e multiplicarmos por um número na forma aaa.a com n+1 algarismos. Teremos como resultado ...a com 2*(n+1) algarismos. Portanto, 777 = 1001*777 logo A = 1001*777 ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) + 7 o resto será o resto da divisão de 7 por 1001, como 7 = 77*1001 +700 podemos escrever A= 1001*(777 * ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77) +700 Como 0700 1001 == r = 700 Já q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 Que darão 166 777000 na sequência, seguidos de três algarismos zero e dois algarismos 7, ou seja, q =77700070...7770077 166 pois (995 - 5)/6+1 ou de outra maneira colando 777 em evidência q = 777* (1010...101000)*10^5 +77 A resposta deveria ter no final do número B a seguinte sequência de algarismos 10 ao invés do algarismo 1 destacado em amarelo. ou então usar B da forma exposta e corrigir a potência de 10 em q de 5 para 8. q = 777*B*10^8 + 77 Saudações, PJMS Para achar o resto dava para usar mod., mas para o quociente creio que não. A = 7 + 7*10^1 + 7*10^2 +...+ 7*10^999 + 7*10^1000 Por soma da PG A = 7*(10^1001-1)/9 9A ≡ 7* (10^1001-1) (mod1001) como 10^6 ≡ 1 (mod 1001) temos que 9a ≡ 7*(10^5-1) (mod1001) como 9 | (10^5 -1) (| significa divide) pode-se: a ≡ 7*(1) (mod1001) == a ≡ 700 (mod1001) se 9 não dividisse, como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Em 9 de junho de 2015 22:03, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da divisão de A por 1001 Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700 o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no final Mas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 10101...1(166 1`s ) Não entendi a resposta do gabarito. Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Seja um número da forma 1000..01 com n algarismos zeros, e multiplicarmos por um número na forma aaa.a com n+1 algarismos. Teremos como resultado ...a com 2*(n+1) algarismos. Portanto, 777 = 1001*777 logo A = 1001*777 ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) + 7 o resto será o resto da divisão de 7 por 1001, como 7 = 77*1001 +700 podemos escrever A= 1001*(777 * ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77) +700 Como 0700 1001 == r = 700 Já q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 Que darão 166 777000 na sequência, seguidos de três algarismos zero e dois algarismos 7, ou seja, q =77700070...7770077 166 pois (995 - 5)/6+1 ou de outra maneira colando 777 em evidência q = 777* (1010...101000)*10^5 +77 A resposta deveria ter no final do número B a seguinte sequência de algarismos 10 ao invés do algarismo 1 destacado em amarelo. ou então usar B da forma exposta e corrigir a potência de 10 em q de 5 para 8. q = 777*B*10^8 + 77 Saudações, PJMS Para achar o resto dava para usar mod., mas para o quociente creio que não. A = 7 + 7*10^1 + 7*10^2 +...+ 7*10^999 + 7*10^1000 Por soma da PG A = 7*(10^1001-1)/9 9A ≡ 7* (10^1001-1) (mod1001) como 10^6 ≡ 1 (mod 1001) temos que 9a ≡ 7*(10^5-1) (mod1001) como 9 | (10^5 -1) (| significa divide) pode-se: a ≡ 7*(1) (mod1001) == a ≡ 700 (mod1001) se 9 não dividisse, como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Em 9 de junho de 2015 22:03, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da divisão de A por 1001 Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700 o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no final Mas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 10101...1(166 1`s ) Não entendi a resposta do gabarito. Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Bom dia! O final do texto deu erro na formatação. O correto está abaixo: como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) se 9 não dividisse, bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Saudações, PJMS Em 11 de junho de 2015 09:54, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Seja um número da forma 1000..01 com n algarismos zeros, e multiplicarmos por um número na forma aaa.a com n+1 algarismos. Teremos como resultado ...a com 2*(n+1) algarismos. Portanto, 777 = 1001*777 logo A = 1001*777 ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) + 7 o resto será o resto da divisão de 7 por 1001, como 7 = 77*1001 +700 podemos escrever A= 1001*(777 * ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77) +700 Como 0700 1001 == r = 700 Já q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 Que darão 166 777000 na sequência, seguidos de três algarismos zero e dois algarismos 7, ou seja, q =77700070...7770077 166 pois (995 - 5)/6+1 ou de outra maneira colando 777 em evidência q = 777* (1010...101000)*10^5 +77 A resposta deveria ter no final do número B a seguinte sequência de algarismos 10 ao invés do algarismo 1 destacado em amarelo. ou então usar B da forma exposta e corrigir a potência de 10 em q de 5 para 8. q = 777*B*10^8 + 77 Saudações, PJMS Para achar o resto dava para usar mod., mas para o quociente creio que não. A = 7 + 7*10^1 + 7*10^2 +...+ 7*10^999 + 7*10^1000 Por soma da PG A = 7*(10^1001-1)/9 9A ≡ 7* (10^1001-1) (mod1001) como 10^6 ≡ 1 (mod 1001) temos que 9a ≡ 7*(10^5-1) (mod1001) como 9 | (10^5 -1) (| significa divide) pode-se: a ≡ 7*(1) (mod1001) == a ≡ 700 (mod1001) se 9 não dividisse, como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Em 9 de junho de 2015 22:03, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da divisão de A por 1001 Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700 o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no final Mas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 10101...1(166 1`s ) Não entendi a resposta do gabarito. Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Questão simples
Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da divisão de A por 1001 Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no finalMas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 10101...1(166 1`s )Não entendi a resposta do gabarito.Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
2015-02-09 0:49 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Eu não conheço o project Euler, Bernardo. Dei uma olhadinha bem rápida depois da sua citação. Essa questão eu formulei porque um colega mandou uma mensagem com uma brincadeira dizendo que ´´às vezes a sorte ajuda´´1/4 = 16/64(cancelando os seis).Eu notei que valia para outros números como 19/95 e tentei uma explicação.como não obtive sucesso eu recorri à lista. Vou dar a dica básica, que você já pensou no resto: um número ab é na verdade (10a + b). Agora, você pode cancelar dígitos em 2 posições em cima e 2 embaixo. Cada uma dessas 2*2 = 4 possibilidades dá uma equação com a,b,c,d. Depois, se não me falha a memória, é na força bruta mesmo... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
2015-02-08 21:14 GMT-02:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2015-02-07 14:07 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: 16/64 = 1/4(´´cancelando´´ 6 com 6´) e 19/95 = 1/5(´´cancelando´´ 9 com 9) Quais são os números ab e bc tais que ab/bc = a/c ? Essa questão é do Project Euler. Não respondam... Me apressei, a questão é MUITO POUCO diferente. Marcone: seja mais preciso com a sua pergunta (e o project Euler já dá uma dica para você), por exemplo dizendo o que você já tentou fazer nela. Ou, se é para compartilhar um problema que você achou legal, seja explícito que este é o caso, pois é muito raro... (não que faltem problemas legais na lista, mas falta um pouco a iniciativa de pessoas como o Artur que postavam problemas apenas para que nós aproveitássemos) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Questão simples
Eu não conheço o project Euler, Bernardo.Dei uma olhadinha bem rápida depois da sua citação.Essa questão eu formulei porque um colega mandou umamensagem com uma brincadeira dizendo que ´´às vezes a sorteajuda´´1/4 = 16/64(cancelando os seis).Eu notei que valia para outros números como 19/95 e tentei uma explicação.como nãoobtive sucesso eu recorri à lista. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
2015-02-07 14:07 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: 16/64 = 1/4(´´cancelando´´ 6 com 6´) e 19/95 = 1/5(´´cancelando´´ 9 com 9) Quais são os números ab e bc tais que ab/bc = a/c ? Essa questão é do Project Euler. Não respondam... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Questão simples
16/64 = 1/4(´´cancelando´´ 6 com 6´) e 19/95 = 1/5(´´cancelando´´ 9 com 9)Quais são os números ab e bc tais que ab/bc = a/c ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Questão simples(equações polinomiais?)
Seja x um número que satisfaz a equação x^2 + x - 1 = 0,determine o valor da expressão x^8 - 7x^4 + 1 Eu fiz ´´na marra´´.x^2 = 1 - x (1)Calculei x^4 e x^8(elevando ao quadrado)usei também x^3 = x -x^2 de (1)Encontrei zero como respostaDever existir um modo mais interessante.Agradeço por um esclarecimento. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples(equações polinomiais?)
Eu tenho outra solução também na marra, mas de outro tipo: se você me dá uma questão qualquer deste tipo com polinômios não exageradamente horrorosos, o que eu tento fazer é dividir um polinômio pelo outro: P(x)=x^8-7x^4+1=Q(x)(x^2+x-1)+R(x) Algumas contas depois, temos R(x). Botando x=a=raiz de x^2+x-1, vem que P(a)=R(a), que seria a resposta. No seu caso, fazendo isso eu descobriria (surpreso!) que x^8-7x^4+1 pode ser fatorado como (x^2+x-1)(x^6-x^5+2x^4-3x^3-2x^2-x-1), então R(a)=0. --//-- Outra ideia mais mágica é partir para a fatoração mesmo completando quadrados de maneira esperta: x^8-7x^4+1=(x^8+2x^4+1-9x^4)=(x^4+1)^2-(3x^2)^2=(x^4-3x^2+1)(x^4+3x^2+1) e de novo x^4-3x^2+1=(x^4-2x^2+1)-x^2=(x^2-1)^2-x^2=(x^2+x-1)(x^2-x-1) Então, puxa!, um é divisível pelo outro, a resposta é 0... Mas estou roubando: só suspeitei que isso ia dar certo depois que eu vi a sua resposta... :) :) Abraço, Ralph. On Aug 26, 2013 11:44 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Seja x um número que satisfaz a equação x^2 + x - 1 = 0,determine o valor da expressão x^8 - 7x^4 + 1 Eu fiz ´´na marra´´. x^2 = 1 - x (1) Calculei x^4 e x^8(elevando ao quadrado) usei também x^3 = x -x^2 de (1) Encontrei zero como resposta Dever existir um modo mais interessante. Agradeço por um esclarecimento. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
O menor n é mesmo 8.
n = 13 não satisfaz. Pode ser verificado, por exemplo, seguindo o raciocínio do
Bernardo Freitas Paulo da Costa (aperfeiçoado pelo João Maldonado), da
condição
n^2 + n - 2.m^2 = 0 ,
onde m natural. Aplicando a dita fórmula de Bhaskara
n = [-1 + sqrt(1+8.m^2)]/2 ,
verificamos que 1 + 8.m^2 (portanto, também sua raiz quadrada) é impar ; assim
é coerente obtermos n natural desta fórmula.
pode-se verificar que o menor natural m que produz um discriminante quadrado
(perfeito; não sei o que vem a ser um quadrado imperfeito???...) é 6,
resultando
n = 8.
Para n= 13, 1 + 8.m^2 teria que ser 729 , logo m^2 = 91... ( talvez tenha
havido confusão com 81...
[ ]s.
--- Em sex, 23/12/11, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com escreveu:
De: LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com
Assunto: RE: [obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br, LEANDRO L RECOVA
leandrorec...@msn.com
Data: Sexta-feira, 23 de Dezembro de 2011, 15:38
Eu encontrei 13.
O numero e dado por.
Y=sqrt((n+1)n)*(n-1)!
Sent from my HTC Touch Pro2 on the Now Network from Sprint®.
-Original Message-
From: LEANDRO L RECOVA
Sent: 12/23/2011 4:31:23 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
Marcone,
Escreva cada termo usando a fatoracao: (n^2-1)=(n+1)(n-1).
O resultado sai bem rapido.
Saudacoes,
Leandro Recova
Los Angeles, California.
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Questão simples
Date: Fri, 23 Dec 2011 13:39:17 +
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Qual é o menor natural n para o qual (2^2 - 1).(3^2 - 1).(4^2 -1)...(n^2 - 1) é
um quadrado perfeito?
Como se diz aqui,essa eu fiz ??no braço``.Fui calculando cada fator e pareando
os fatores iguais ou seus fatores primos.
Encontrei n=8.Mas deve haver solução mais interessante.Obrigado por qualquer
esclarecimento,abraço.
[obm-l] Questão simples
Qual é o menor natural n para o qual (2^2 - 1).(3^2 - 1).(4^2 -1)...(n^2 - 1) é um quadrado perfeito? Como se diz aqui,essa eu fiz ´´no braço``.Fui calculando cada fator e pareando os fatores iguais ou seus fatores primos. Encontrei n=8.Mas deve haver solução mais interessante.Obrigado por qualquer esclarecimento,abraço.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
2011/12/23 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Qual é o menor natural n para o qual (2^2 - 1).(3^2 - 1).(4^2 -1)...(n^2 - 1) é um quadrado perfeito? Como se diz aqui,essa eu fiz ´´no braço``.Fui calculando cada fator e pareando os fatores iguais ou seus fatores primos. Veja que você pode fatorar n^2 - 1 = (n+1)(n-1). Portanto, a partir de um certo momento, a única coisa que importa é que o fim seja maios ou menos um quadrado. Seja F(n) o seu número, defina também M(n) = (2+1)(3+1)(4+1)...(n+1) (M de Mais) m(n) = (2-1)(3-1)(4-1)...(n-1) (m de menos) M*n = F. Veja o que acontece com n = 5: M(5) = 3*4*5*6 m(5) = 1*2*3*4 Note que o 3 e o 4 aparecem 2 vezes, logo seu produto é um quadrado. Para que o produto M*m seja um quadrado, o resto tem que ser um quadrado também, ou seja 2*5*6 = 60, o que não é o caso. Repare que a parte não imediatamente quadrada de F(n) é portanto (após cancelações mágicas) 1*2*n*(n+1) Queremos assim que 2n^2 + 2n = k^2 para algum inteiro k. Como esse número é par, temos k = 2l, logo n(n+1)/2 = l^2, e o valor à esquerda é notável (são as somas de 1 até n). Mas não acho que isso ajude. O que me ajuda é o seguinte: n*(n+1) = 2*l^2, onde n e n+1 são primos entre si. O que quer dizer que ocorre exatamente uma das duas possibilidades a seguir: - n é um quadrado perfeito, (n+1)/2 é um quadrado perfeito - n/2 é um quadrado perfeito, n+1 é um quadrado perfeito. No primeiro caso, por exemplo, temos que n = a^2, n+1 = 2*b^2 e portanto a^2 + 1 = 2b^2 Isso é uma equação de Pell (http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/diofantinas.doc, http://www.dcc.ufrj.br/~collier/CursosGrad/cripto/ED%28Pell1%29.pdf, http://erdos.ime.usp.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Pell, http://www.ma.utexas.edu/users/ecarneiro/Pell.pdf), que você pode resolver (= achar *todas* as soluções) mas se eu não me engano, você tem que começar com um chute inicial que dê certo. Um que dá certo é a = 1, b = 1, que dá n = 1, mas que não serve. A segunda solução desta equação será a = 7, a^2 + 1 = 50 = 2*5^2 que dá n = 49. A outra equação leva a n/2 = a^2, n+1 = b^2, logo 2a^2 + 1 = b^2, que tem uma solução (a sua) a = 2, b = 3 e portanto n/2 = 4. A solução seguinte é a = 12, que dá 2a^2 + 1 = 289 = 17^2. Mas pensando bem, se você tem que achar as soluções iniciais de Pell no chute (ou qualquer outro método um pouco mais difícil), o melhor mesmo é calcular os primeiros valores de n(n+1)/2 e ver quando dá um quadrado perfeito o que é bem fácil (mais fácil ainda se você separa em n par e n ímpar na hora de dividir, e se você lembra que cada um dos fatores tem que ser um quadrado!) n par 2 - 1*3 x 4 - 2*5 x 6 - 3*7 x 8 - 4*9 OK 10 - 5*11 x n ímpar 1 - 1*1 OK (mas não serve) 3 - 3*2 x 5 - 5*3 x 7 - 7*4 x 9 - 9*5 x ... 49 - 49*25 OK Encontrei n=8.Mas deve haver solução mais interessante. Eu (usando meu braço mecânico) achei n=49 e 288. Daí, dá pra entrar na On-line Encyclopedia of Integer Sequences e ver um monte de propriedades legais http://oeis.org/search?q=8%2C+49%2C+288language=englishgo=Search Obrigado por qualquer esclarecimento,abraço. Nota histórica: lendo o pdf do Collier, a Equação de Pell é mais um dos múltiplos enganos de nomenclatura em matemática, sendo conhecida de muita, muita gente, muito, muito antes! Ah, e curiosamente, os números que a gente achou também se encontram aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Pell_number (que também mostra o quão antigos eles são...) Abraços quase-natalinos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
(2² -1)(3²-1)(4²-1)...(n²-1) = (2-1)(2+1)(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)(5-1)(5+1)(n-1)(n+1) = (n-1)!².n.(n+1)/2 Temos que ter n.(n+1)/2 um quadrado perfeito. Como n e n+1 são primos entre si, devemos ter n/2 = x² e n+1 = y² - y²-2x² = 1 ou n = x² e (n+1)/2 - 2y²-x² = 1 Imediatamente já achamos o par (3,2) para primeira e o par (5, 7) para a segund, dando as primeiras soluções n = 8 ou n = 49 (a equação admite infinitas soluções nos inteiros) Vamos dizer que as soluções fossem por exemplo (3000, 671), muito grandes para serem calculadas. Devemos então usar achar TODAS as raízes dessas equações Tais equações são chamadas equações de Pell, Leia a Eureka! número 7, artigo sobre Equações Diofantinas, ele explica um método de resolver tais equações (e aliás, as duas que mencionamos aqui são resolvidas diretamente na revista) []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Questão simples Date: Fri, 23 Dec 2011 13:39:17 + Qual é o menor natural n para o qual (2^2 - 1).(3^2 - 1).(4^2 -1)...(n^2 - 1) é um quadrado perfeito? Como se diz aqui,essa eu fiz ´´no braço``.Fui calculando cada fator e pareando os fatores iguais ou seus fatores primos. Encontrei n=8.Mas deve haver solução mais interessante.Obrigado por qualquer esclarecimento,abraço.
[obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
Marcone, Escreva cada termo usando a fatoracao: (n^2-1)=(n+1)(n-1). O resultado sai bem rapido. Saudacoes, Leandro Recova Los Angeles, California. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Questão simples Date: Fri, 23 Dec 2011 13:39:17 + Qual é o menor natural n para o qual (2^2 - 1).(3^2 - 1).(4^2 -1)...(n^2 - 1) é um quadrado perfeito? Como se diz aqui,essa eu fiz ´´no braço``.Fui calculando cada fator e pareando os fatores iguais ou seus fatores primos. Encontrei n=8.Mas deve haver solução mais interessante.Obrigado por qualquer esclarecimento,abraço.
RE: [obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
Eu encontrei 13. O numero e dado por. Y=sqrt((n+1)n)*(n-1)! Sent from my HTC Touch Pro2 on the Now Network from Sprint®. -Original Message- From: LEANDRO L RECOVA Sent: 12/23/2011 4:31:23 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Questão simples Marcone, Escreva cada termo usando a fatoracao: (n^2-1)=(n+1)(n-1). O resultado sai bem rapido. Saudacoes, Leandro Recova Los Angeles, California. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Questão simples Date: Fri, 23 Dec 2011 13:39:17 + Qual é o menor natural n para o qual (2^2 - 1).(3^2 - 1).(4^2 -1)...(n^2 - 1) é um quadrado perfeito? Como se diz aqui,essa eu fiz ??no braço``.Fui calculando cada fator e pareando os fatores iguais ou seus fatores primos. Encontrei n=8.Mas deve haver solução mais interessante.Obrigado por qualquer esclarecimento,abraço.
[obm-l] Questão simples
Pessoal, Esta é uma questão bem simples, mas gostaria que os colegas me indicassem a maneira mais didática de ensiná-la a um aluno sem muita prática com matemática. Curiosamente, dois atendentes de um banco observaram que, durante o expediente bancário, o número de clientes que cada um havia atendido era inversamente proporcional às suas respectivas idades, 36 e 38 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi...? A resposta é 12. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Retificando... Curiosamente, dois atendentes de um banco observaram que, durante o expediente bancário, o número de clientes que cada um havia atendido era inversamente proporcional às suas respectivas idades, 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi...? - Original Message - From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 24, 2006 2:15 PM Subject: [obm-l] Questão simples Pessoal, Esta é uma questão bem simples, mas gostaria que os colegas me indicassem a maneira mais didática de ensiná-la a um aluno sem muita prática com matemática. Curiosamente, dois atendentes de um banco observaram que, durante o expediente bancário, o número de clientes que cada um havia atendido era inversamente proporcional às suas respectivas idades, 36 e 38 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi...? A resposta é 12. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Henrique, no meu ponto de vista, acho facil que voce explique, primeiramente, o que e' ser inversamente proporcional. Chamando de N_a o numero de pessoas que o atendente de 36 anos atendeu e N_b o numero de pessoas que o atendente de 48 anos atendeu, N_a = k * 1/36 e N_b = k * 1/48 Como voce sabe que quem atende mais pessoas e' o de menor idade, ja' que estes numeros sao inversamente proporcionais, quem atendeu mais pessoas foi o atendente de 36 anos e: N_a = N_b + 4 de onde voce tira k = 12*48 Jogando este valor na formula de N_b, voce encontra N_b = 12 atendimentos. Espero ter ajudado. Abracos, Leonardo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão Simples
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 23 Dec 2004 09:38:08 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] Questão Simples Fabio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: IgOr C. O. said: Olá, Essa questão é muito simples mas eu não encontro uma resposta não gráfica ou não óbvia dela, e também deve ser bem conhecida. Resolva a equação 3^x + 4^x = 5^x. [...]Observe inicialmente que x = 2 é uma solução. Se x = 2 + h, h 0, temos que5^x = 25*5^h = 16*5^h + 9*5^h 16*4^h + 9*3^h = 4^x + 3^x.Uma desigualdade análoga, porém no sentido contrário, pode ser obtida se h 0. Logo a igualdade só vale para x = 2. x2 não é solução pelo Último Teorema de Fermat ;) *** Cuidado:o UTF soh se aplica a x inteiro *** []s,--André Scaranto Cardoso
