[obm-l] RE: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel
Olá Bouskela e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Tão simples ! Tão simples quanto afirmar que para todo natural N 2 não existe inteiros A, B e C tais que A^N + B^N = C^N ? A beleza e a profundida estão justamente na simplicidade ... O enunciado é pitoresco e talvez por isso mesmo dá origem a diversas interpretações. Vou enunciar aqui os pressupostos que entendo estarem contidos no enunciado da questão : 1) a expressão correnteza desprezível significa que se o nadador resolver boiar, ele ficará parado. Sem essa hipótese o problema torna-se trivial, pois caso a correnteza fosse significativa, bastaria ele boiar e observar a direção em que corre o rio. A seguir, tomando qualquer outra direção não paralela, bastaria nadar sempre nesta direção que necessariamente chegaria à margem. 2) com escuridão ou peixes vorazes devoram os olhos o criador da questão quer dizer que o nadador pode saber que fez uma curva para a direita ou para a esquerda EM RELAÇÃO A DIREÇÃO ANTERIOR, mas não é capaz de calcular o valor exato do ãngulo que esta nova direção tem com a anterior. Esta hipótese também é necessária, sob pena, mais uma vez, do problema tornar-se trivial ... Acho razoável supor o seguinte : 3) O nadador nada a velocidade constante em cada trecho retilineo, digamos, 1 braçada/segundo. 4) O nadador, até por ser nadador, sabe o quanto avança em cada braçada, digamos, 1 braçada avança 50 cm Agora considere a seguinte situação : Ao ficar cego, ele dá um numero arbitrário de braçadas, digamos, K braçadas. Toma então uma nova direção. Nesta nova direção ele dá novamente K braçadas e para ( bóia ). Temos aqui um triangulo isósceles ( lados : K braçadas, k braçadas, distancia ao ponto original fornecido pelo sistema de navegação ). Se podemos supor que o nadador é também um Matemático não-medíocre, ele esta neste momento boiando e analisando o triãngulo acima - do qual conhece as medidas dos três lados - e projetando o que deverá fazer para atingir uma margem ... É preciso parar aqui e esperar a próxima manifestação do Bouskela neste sentido, pois introduzi muitas hipóteses e bem pode suceder que algumas delas não estejam no rol daquelas admitidas pelo criador da questão. De qualquer forma, afirmo que gostei da questão e gostaria de pensar um pouco mais sobre ela. Um Abraço a todosPSR, 620051109AA From: bousk...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel Date: Thu, 19 May 2011 15:54:18 -0300 Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações,Albert bouskelabousk...@msn.com
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Nehab Isso mesmo. LogoWriter REPETE 4[PF 10 GD 90] e tínhamos o quadrado... Boas lembranças... Abs Walter -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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acredito que a trajetória parabólica minimize o trajeto, pensando-se no problema análogo de gravitação Em 19 de maio de 2011 22:57, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu: Hahaha, Adorei Bruno! Este negócio de andar (nadar) prá frente, para trás, girar, etc, etc, me fez fazer uma viagem no tempo, pois me lembrei do velho LOGO ainda em DOS! Como não sei sua idade, posso estar falando japonês, mas há 1 anos atrás (como diria o Raul Seixas), quando a IBM encampou um interessante projeto de Logo nas escolas, minha empresa (na época) era chancelada para apresentar treinamentos desta (boa) geringonça aos professores. O velho e eficaz construtivismo ainda pouco usado nas escolas, mesmo hoje (neguinho ainda anda muito conteudista pro meu gosto). Se não estou delirando, acho que na época ainda havia muito Windows 3.11... na praça (mas certamente eu já era viciado no malditoTetris usual e em uma versão tridimensional ótima). Caraca! Que viagem! Afetuoso abraço, Nehab Em 19/5/2011 17:23, Bruno França dos Reis escreveu: Em aberto? Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva mínima, e continuar até chegar às margens. Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente encontrará a margem, não? O algoritmo seria: n- 1 Enquanto não achar a margem, repita: - dar n braçadas para frente - virar 90 graus para a esquerda - dar n braçacas para frente - virar 90 graus para a esquerda - n- n + 1 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito! Tem alguma falha que eu não vi nesse processo? Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/19 Albert Bouskelabousk...@msn.com Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela bousk...@msn.com = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Opa, Bruno, o processo que você descreveu certamente faz o nadador achar uma das margens. Mas o Bouskela quer mais - ele quer saber a melhor maneira (que faz o nadador nadar menos) de se achar uma das margens. Acho que isso cai para uma área da matemática que os matemáticos puros não estudam muito - a área de algoritmos. E esse problema tem a maior cara de *busca exponencial*. --- Imagine que o nadador está a uma distância N de uma das margens. Ele deve fazer o seguinte... x - 1 Enquanto não achar a margem, repita: [1] Nada x metros pra frente. Volta. Nada 2x metros para trás. Volta. [2] Nada x metros pra esquerda. Volta. Nada 2x metros pra direita. Volta. x - 4x As noções de frente e esquerda estão erradas no máximo 45 graus. Assim, na pior das hipóteses o nadador vai ter que nadar sqrt(2)*N metros em uma das direções (agora, até fazer isso, ele nadou nessa direção várias vezes). Note que [1] e [2] são processos independentes. Quanto ele nada em função de N? Pense um pouco pra ver que é C*N, onde C é uma constante. Ignorando constantes, essa é a melhor maneira, já que mesno enxergando ele teria que nadar 1*N metros. 2011/5/19 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com Em aberto? Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva mínima, e continuar até chegar às margens. Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente encontrará a margem, não? O algoritmo seria: n - 1 Enquanto não achar a margem, repita: - dar n braçadas para frente - virar 90 graus para a esquerda - dar n braçacas para frente - virar 90 graus para a esquerda - n - n + 1 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito! Tem alguma falha que eu não vi nesse processo? Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela bousk...@msn.com
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Ahhh, fato. Só depois de ler sua resposta, e reler o problema do Albert, é que vi que o problema pergunta a respeito da distância mais curta! Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/20 Pedro Cardoso pedrolaz...@gmail.com Opa, Bruno, o processo que você descreveu certamente faz o nadador achar uma das margens. Mas o Bouskela quer mais - ele quer saber a melhor maneira (que faz o nadador nadar menos) de se achar uma das margens. Acho que isso cai para uma área da matemática que os matemáticos puros não estudam muito - a área de algoritmos. E esse problema tem a maior cara de *busca exponencial*. --- Imagine que o nadador está a uma distância N de uma das margens. Ele deve fazer o seguinte... x - 1 Enquanto não achar a margem, repita: [1] Nada x metros pra frente. Volta. Nada 2x metros para trás. Volta. [2] Nada x metros pra esquerda. Volta. Nada 2x metros pra direita. Volta. x - 4x As noções de frente e esquerda estão erradas no máximo 45 graus. Assim, na pior das hipóteses o nadador vai ter que nadar sqrt(2)*N metros em uma das direções (agora, até fazer isso, ele nadou nessa direção várias vezes). Note que [1] e [2] são processos independentes. Quanto ele nada em função de N? Pense um pouco pra ver que é C*N, onde C é uma constante. Ignorando constantes, essa é a melhor maneira, já que mesno enxergando ele teria que nadar 1*N metros. 2011/5/19 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com Em aberto? Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva mínima, e continuar até chegar às margens. Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente encontrará a margem, não? O algoritmo seria: n - 1 Enquanto não achar a margem, repita: - dar n braçadas para frente - virar 90 graus para a esquerda - dar n braçacas para frente - virar 90 graus para a esquerda - n - n + 1 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito! Tem alguma falha que eu não vi nesse processo? Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela bousk...@msn.com
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Em aberto? Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva mínima, e continuar até chegar às margens. Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente encontrará a margem, não? O algoritmo seria: n - 1 Enquanto não achar a margem, repita: - dar n braçadas para frente - virar 90 graus para a esquerda - dar n braçacas para frente - virar 90 graus para a esquerda - n - n + 1 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito! Tem alguma falha que eu não vi nesse processo? Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela bousk...@msn.com
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Hahaha, Adorei Bruno! Este negócio de andar (nadar) prá frente, para trás, girar, etc, etc, me fez fazer uma viagem no tempo, pois me lembrei do velho LOGO ainda em DOS! Como não sei sua idade, posso estar falando japonês, mas há 1 anos atrás (como diria o Raul Seixas), quando a IBM encampou um interessante projeto de Logo nas escolas, minha empresa (na época) era chancelada para apresentar treinamentos desta (boa) geringonça aos professores. O velho e eficaz construtivismo ainda pouco usado nas escolas, mesmo hoje (neguinho ainda anda muito conteudista pro meu gosto). Se não estou delirando, acho que na época ainda havia muito Windows 3.11... na praça (mas certamente eu já era viciado no malditoTetris usual e em uma versão tridimensional ótima). Caraca! Que viagem! Afetuoso abraço, Nehab Em 19/5/2011 17:23, Bruno França dos Reis escreveu: Em aberto? Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva mínima, e continuar até chegar às margens. Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente encontrará a margem, não? O algoritmo seria: n- 1 Enquanto não achar a margem, repita: - dar n braçadas para frente - virar 90 graus para a esquerda - dar n braçacas para frente - virar 90 graus para a esquerda - n- n + 1 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito! Tem alguma falha que eu não vi nesse processo? Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/19 Albert Bouskelabousk...@msn.com Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela bousk...@msn.com = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
