[obm-l] Re: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Ola Jorge, Albert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Talvez esteja ocorrendo alguma confusao aqui ... E possivel fazer o seguinte : 1/3 1/4 1/4 = 1/4 somando as duas desgigualdades : 1/3 + 1/4 1/4 + 1/4 = 1/2 1/5 1/8 1/6 1/8 1/7 1/8 1/8 = 1/8 somando as 4 desigualdades : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2 Prosseguindo assim vamos concluir que : 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... 1 + 1/2 + 1/2 + ... Como a segunda serie, obviamente, diverge, pelo criterio de comparacao segue que a primeira serie ( serie harmonica ) tambem diverge. E entao jorge, e isso o que voce queria dizer ? Eu conheco um problema sobre series, bonitinho e nao-trivial. Ele e assim : Seja S=A1 + A2 + A3 + ... uma serie ( de numeros reias ) condicionalmente convergente. Sabemos, pelo teorema de Riemann, que com um arranjo inteligente dos indices podemos fazer com que esta serie convirja para um real r qualquer. Seja b:N - N uma bijecao. Caracterize as bijecoes b tais que Ab(1) + Ab(2) + Ab(3) + ... converge OBS : aqui, Ab(n) deve ser entendido com A con indice b(n) Um Abracao a Todos PSR, 10305090E24 2009/5/1 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com: Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
+ 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) Chame esta equação de [eq A]. [3] É óbvio que: S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) Logo: S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) Chame esta equação de [eq B]. [4] Subtraia a [eq A] da [eq B]: [4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim: S/2 - S/2 = 0 [4.2] Já o lado direito... soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) = soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) Mas... soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... 1/2 [5] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 -Original Message- From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Paulo Santa Rita Sent: Sunday, May 03, 2009 3:37 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA! Ola Jorge, Albert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Talvez esteja ocorrendo alguma confusao aqui ... E possivel fazer o seguinte : 1/3 1/4 1/4 = 1/4 somando as duas desgigualdades : 1/3 + 1/4 1/4 + 1/4 = 1/2 1/5 1/8 1/6 1/8 1/7 1/8 1/8 = 1/8 somando as 4 desigualdades : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2 Prosseguindo assim vamos concluir que : 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... 1 + 1/2 + 1/2 + ... Como a segunda serie, obviamente, diverge, pelo criterio de comparacao segue que a primeira serie ( serie harmonica ) tambem diverge. E entao jorge, e isso o que voce queria dizer ? Eu conheco um problema sobre series, bonitinho e nao-trivial. Ele e assim : Seja S=A1 + A2 + A3 + ... uma serie ( de numeros reias ) condicionalmente convergente. Sabemos, pelo teorema de Riemann, que com um arranjo inteligente dos indices podemos fazer com que esta serie convirja para um real r qualquer. Seja b:N - N uma bijecao. Caracterize as bijecoes b tais que Ab(1) + Ab(2) + Ab(3) + ... converge OBS : aqui, Ab(n) deve ser entendido com A con indice b(n) Um Abracao a Todos PSR, 10305090E24 2009/5/1 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com: Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! === == Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html === == = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Olá! Apesar da minha cegueira fracionária, coloquei meus pesados óculos e me ocupei da última desigualdade: 1+1/2+1/3+1/4+... 1+1/2+1/2+1/2+... Com a qual discordo veja o porquê: O 1º termo é a Série Harmônica, a qual, sabidamente, diverge. O 2º termo, obviamente, diverge também, já que reflete a soma de uma constante positiva infinitas vezes. Então, procurei calcular o seguinte limite: Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) ] = Limite [n--+oo] [ 2(soma(1/k), k=1...n) / ( n+1 ) ] = = 2 . Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / n ] = 0 Pode-se, também, confirmar este resultado numericamente: (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) = ... 0.5325396825 para n=10 ; 0.1027203469 para n=100 ; 0.0149559857 para n=1000 ; 0.287854 para n=100 ... Logo: 1+1/2+1/3+1/4+... [ É MENOR DO QUE ] 1+1/2+1/2+1/2+... Sds., AB bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis Sent: Friday, May 01, 2009 10:37 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA! Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! _ Turbine seu Messenger com emoticons! Clique http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx já, é GRÁTIS!
Re: [obm-l] RE: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Oi, Jorge (e Bouskela), Acho que você, Jorge, deu um enunciado incompleto prá galera. Acho que você quis dizer 1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + ... + 1/16 + ... 1 + (1/2 + 1/2) +(1/4 +1/4 +1/4 +1/4 ) + (1/8 +...+1/8) + (1/16+...) +... pois este é o caminho para mostrar que a série hamônica vai pro beleléu... Nehab Albert Bouskela escreveu: Olá! Apesar da minha cegueira fracionária, coloquei meus pesados óculos e me ocupei da última desigualdade: 1+1/2+1/3+1/4+... 1+1/2+1/2+1/2+... Com a qual discordo -- veja o porquê: O 1º termo é a Série Harmônica, a qual, sabidamente, diverge. O 2º termo, obviamente, diverge também, já que reflete a soma de uma constante positiva infinitas vezes. Então, procurei calcular o seguinte limite: Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) ] = Limite [n--+oo] [ 2(soma(1/k), k=1...n) / ( n+1 ) ] = = 2 . Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / n ] = 0 Pode-se, também, confirmar este resultado numericamente: (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) = ... 0.5325396825 para n=10 ; 0.1027203469 para n=100 ; 0.0149559857 para n=1000 ; 0.287854 para n=100 ... Logo: 1+1/2+1/3+1/4+... [ É MENOR DO QUE ] 1+1/2+1/2+1/2+... Sds., /AB/ bousk...@msn.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of *Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis *Sent:* Friday, May 01, 2009 10:37 PM *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Subject:* [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA! Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Olá Bouskela, não olhei suas contas... mas veja isso: 1 1/2 1/2 + 1/3 1/2 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 8 * 1/16 = 1/2 somando tudo, temos 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... alias, na minha opiniao, esta é uma das demonstracoes mais simples de que a serie harmonica diverge... abraços, Salhab 2009/5/2 Albert Bouskela bousk...@msn.com Olá! Apesar da minha “cegueira fracionária”, coloquei meus pesados óculos e me ocupei da última desigualdade: 1+1/2+1/3+1/4+... 1+1/2+1/2+1/2+... Com a qual discordo – veja o porquê: O 1º termo é a Série Harmônica, a qual, sabidamente, diverge. O 2º termo, obviamente, diverge também, já que reflete a soma de uma constante positiva infinitas vezes. Então, procurei calcular o seguinte limite: Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) ] = Limite [n--+oo] [ 2(soma(1/k), k=1...n) / ( n+1 ) ] = = 2 . Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / n ] = 0 Pode-se, também, confirmar este resultado numericamente: (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) = ... 0.5325396825 para n=10 ; 0.1027203469 para n=100 ; 0.0149559857 para n=1000 ; 0.287854 para n=100 ... Logo: 1+1/2+1/3+1/4+... [ É MENOR DO QUE ] 1+1/2+1/2+1/2+... Sds., *AB* bousk...@msn.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of *Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis *Sent:* Friday, May 01, 2009 10:37 PM *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Subject:* [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA! Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! -- Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS!http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
