Beleza.
Vou supor que D e E pertencem ao interior do segmento BC.
Como 2 BD = 2 DE = EC (e lembrando que as áreas dos triângulos formados
quando traçamos AD e AE são proporcionais às razões de suas bases (já que
têm a mesma altura)), podemos escrever:
i) S_ABD = S_ADE (S_XYZ é a área do triângulo de vértices X, Y e Z). Assim,
teremos, necessariamente: AB = AE = l (isso vale porque o enunciado afirma
que os raios dos círculos inscritos a todos os triângulos é o mesmo e S = p
. r, onde p é o semi-perímetro de um triângulo).
ii) S_AEC = 2 . S_AED. Vamos chamar AC de b e AD de m (também estou
considerando BD = DE = 2x e EC = x). Usando pensamento semelhante a i),
podemos escrever o seguinte sobre os semi-perímetros: b + l + 2x = 2 (x + l
+ m) - m = (b - l)/2.
Vamos usar Stewart agora:
I) No triângulo ABE, sendo AD a ceviana: l^2 / (2x . x) - (b - l)^2 /
(4.x.x) + l^2 / (2x . x) - 4l^2 - (b - l)^2 = 4x^2 (I)
II) No triângulo ADC, sendo AE a ceviana: (b - l)^2 / (4 . 3x . x) - l^2 /
(x . 2x) + b^2 / (3x . 2x) - (b - l)^2 - 6l^2 + 2b^2 = 12x^2 (II)
Podemos fazer, agora, (II) - 3. (I): - 12l^2 + 3(b - l)^2 + (b - l)^2 -
6l^2 + 2b^2 = 0 - 4(b - l)^2 - 8bl - 14l^2 = 0 - 3b^2 - 4bl - 7l^2 = 0.
As duas soluções para esta equação são b = 7l / 3 ou b = - l.
Geometricamente falando, apenas a primeira tem sentido. Podemos obter x
como função de l também. Basta substituir em (I): 4x^2 = 4l^2 - (7l / 3 -
l)^2 = 20l^2 / 9 - x = l sqrt(5) / 3.
Aplicando lei dos co-senos no triângulo AEC, teremos (alpha é o ângulo cujo
seno queremos calcular):
l^2 = b^2 + 4x^2 - 4bx . cos(alpha) - l^2 = 49l^2 / 9 + 20l^2 / 9 - 4 . 7
. sqrt(5) l^2 . cos(alpha) / 9 - 9 = 69 - 28 . sqrt(5) . cos(alpha) -
cos(alpha) = 3 . sqrt(5) / 7. Assim, alpha pertence ao primeiro quadrante
(é menor que 90 graus) e seu seno vale sqrt(1 - 45 / 49) = 2/7.
Em 30 de julho de 2013 21:51, Bruno Rodrigues
brunorodrigues@gmail.comescreveu:
Perfeito Marcos.Também suspeitava de algum erro no enunciado,e descobri
qual é agorinha tendo acesso a questao original.
A diferença é que a igualdade é definida como 2BD=2DE*=EC*
Consegue fazer a construção agora? =D
Em 27 de julho de 2013 11:54, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:
Acho que dá pra provar que não existem pontos D e E pertencentes à BC e
que satisfaçam as outras condições do enunciado.
i) supondo que D e E pertencem ao interior do segmento de reta BC.
Já que BD = DE = EC e a altura desde o vértice A até estas bases é a
mesma, as áreas dos triângulos ABD, ADE e AEC são iguais. Sabemos que a
área de um triângulo qualquer é igual a seu semi-perímetro multiplicado
pelo raio do círculo inscrito. Pelo enunciado, os raios de todos os
círculos inscritos são iguais. Logo o semi-perímetro destes três triângulos
são também iguais.
Assim, devemos ter: AB = AE e AD = AC. Seja alpha o ângulo ABD e beta o
ângulo ACE.
Como os triângulos ABE e ACD são isósceles, temos: AED = alpha e ADE =
beta. Portanto: DAE = 180 - (alpha + beta).
Mas, agora, vamos olhar pra soma dos ângulos internos de ABC: ABC + ACB +
BAD + DAE + EAC = alpha + beta + (180 - alpha - beta) + BAD + EAC = 180 +
BAD + EAC 180, já que, por construção, BAD e EAC são positivos.
Isso nos mostra que, pelo menos um dos pontos (D ou E) deve estar fora do
interior do segmento BC.
ii) supondo que D esteja à esquerda de B. Como BD = DE e já que E não
pode coincidir com B, devemos ter E à esquerda de D. Mas, claramente,
teríamos EC 2 . BD. Absurdo pois EC = BD.
iii) supondo que D esteja à direita de C. Como BD = DE e já que E não
pode coincidir com B, devemos ter E à direita de D. Mas, claramente,
teríamos EC DE. Absurdo pois EC = DE.
Por isso que eu acredito ter algo errado no enunciado.
Em 26 de julho de 2013 20:19, Bruno Rodrigues
brunorodrigues@gmail.com escreveu:
Pelo que eu entendi da questão,sim.
Saudações
Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
escreveu:
Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são
iguais mesmo?
Brigado.
Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues
brunorodrigues@gmail.com escreveu:
pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição
segundo a questão é válida.
Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.com escreveu:
Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC?
Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros.
Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues
brunorodrigues@gmail.com escreveu:
Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de
geometria?
Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que
2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos
inscritos
nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo
ACB.
Saudações
Bruno
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