[obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatória
Olá. O problema em sua solução é que estás a considerar a ordem em que as caixas são pintadas como fator diferenciador de duas pinturas. Sejam A, B, C e D as cores azul, amarelo, verde e vermelho, respectivamente. Note como falas em primeira caixa, segunda caixa, etc. Assim, as pinturas: ABCDABCDAB e DCBADCBABA seriam distintas na tua contagem, quando, em verdade, não o são, tendo em vista que as caixas são idênticas. Portanto, o que interessa é que em ambos exemplos anteriores há 3 caixas pintadas de A, 3 de B, 2 de C e 2 de D, significando que se trata do mesmo modo de pintá-las. É conveniente lembrar sempre que, o Princípio Multiplicativo, que usaste pra obter os valores 4^10 e 3^10, traz em si a diferenciação pela ordem das decisões. Neste caso, a solução consiste em aplicar o conceito de combinações completas (com repetições). Sejam x, y, z e w as quantidades de caixas pintadas de azul, amarelo, verde e vermelho., nesta ordem. Deve-se impor que x + y + z + w = 10 (total de caixas), com a condição adicional de x 0 (e, nitidamente, y, z e w inteiros não negativos, bem como x inteiro positivo). Fazendo x = a + 1, garante-se que a pode ser qualquer inteiro não negativo, incluindo o zero, o que é excelente, tendo em vista que a equação pode ser re-escrita como (a + 1) + y + z + w = 10 = a + y + z + w = 9, e as incógnitas, agora, têm que ser todas inteiros não negativos (eventualmente, iguais a zero). Portanto, a resposta pedida corresponde (biunivocamente) à quantidade de soluções inteiras e não negativas de a + y + z + w = 9, que é dada pelo número de combinações simples de 12 elementos, tomados 3 a 3 (ou o número de permutações de 12 objetos, sendo 9 iguais entre si e outros 3 idênticos entre si, mas distintos dos primeiros), ou seja: 12!/(9!3!)=12.11.10/6 = 220. Suponho que conheces esse último resultado. Qualquer dúvida, uma explicação pode ser obtida em http://www.ime.usp.br/~iesus/verao2008/gablista3.pdf Até mais. --- Em seg, 6/4/09, Marcelo Gomes elementos@gmail.com escreveu: De: Marcelo Gomes elementos@gmail.com Assunto: [obm-l] Uma difícil de Combinatória Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 6 de Abril de 2009, 18:37 Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
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Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Neste caso as caixas seriam distinguiveis. O raciocinio original que voce empregou seria válido. Um problema de alguma forma proximo ao que voce propos, porem nao tao simples, pode ser formulado assim : IMAGINE 10 pequenas bolas, duas a duas indistinguiveis. Dispondo de 4 cores e suponto que cada bola sera pintada de uma unica cor, quantos colares distintos podemos fazer ? SUGESTAO : IMAGINE uma pintura qualquer das bolas. Essa pintura corresponde a uma solucao da equacao A+B+C+D=10. Todavia, com esta particular pintura, em geral, sera possivel fazer diversos colares ... Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 30704091200 2009/4/7 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Olá Professor Paulo, bom dia. Muito obrigado por sua preciosa explicação, entendi..bem a utilização da quádrupla para se obter as soluções não negativas, onde a ordem não é relevante (este foi o meu erro). Muito Obrigado, abração, Marcelo. Queria lhe perguntar uma outra dúvida. Se as caixas fossem numeradas de 1 a 10 ou em outras palavras, importa 2009/4/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Sejam : A - caixas na cor azul B - caixas na cor amarelo C - caixas na cor verde D - caixas na cor vermelho. Uma solucao de A+B+C+D=10 na qual so figurem numeros inteiros nao-negativos pode ser interpretada como uma maneira de pintar as caixas. Assim, a 4-upla (A,B,C,D)=(3,2,0,5) significa que tres caixas foram pintadas de azul, duas caixas foram pintadas de amarela, nenhuma caixa foi pintada verde e cinco caixas foram pintadas de vermelho. O total de solucoes inteiras nao-negativas de A+B+C+D=10 nos da, portanto, o numero de maneiras possiveis de pintarmos as 10 caixas com as quatro cores disponiveis - claro, supondo-se que duas caixas ainda nao pintadas sao indistinguíveis ! Isto posto, fica facil ver que considerando agora as solucoes de A+B+C+D=10 nas quais A 0 ( A e positivo ), vale dizer, todas as solucoes de A+B+C+D=9, teremos todas as maneiras de pintar as caixas nas quais AO MENOS UMA CAIXA FOI PINTADAS DE AZUL. Existe um algoritmo direto, mesmo uma formula, para o total de solucoes inteiras e nao negativas de uma equacao diofantina da forma X1 + ... + Xn = M, o que responde a sua questao. A formula e : Binom(N+M-1,M) No seu caso : N=4 e M=9. Logo : Binom(4+9-1,9)=220 Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 20604092020 2009/4/6 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Uma difícil de Combinatória
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) Sejam : A - caixas na cor azul B - caixas na cor amarelo C - caixas na cor verde D - caixas na cor vermelho. Uma solucao de A+B+C+D=10 na qual so figurem numeros inteiros nao-negativos pode ser interpretada como uma maneira de pintar as caixas. Assim, a 4-upla (A,B,C,D)=(3,2,0,5) significa que tres caixas foram pintadas de azul, duas caixas foram pintadas de amarela, nenhuma caixa foi pintada verde e cinco caixas foram pintadas de vermelho. O total de solucoes inteiras nao-negativas de A+B+C+D=10 nos da, portanto, o numero de maneiras possiveis de pintarmos as 10 caixas com as quatro cores disponiveis - claro, supondo-se que duas caixas ainda nao pintadas sao indistinguíveis ! Isto posto, fica facil ver que considerando agora as solucoes de A+B+C+D=10 nas quais A 0 ( A e positivo ), vale dizer, todas as solucoes de A+B+C+D=9, teremos todas as maneiras de pintar as caixas nas quais AO MENOS UMA CAIXA FOI PINTADAS DE AZUL. Existe um algoritmo direto, mesmo uma formula, para o total de solucoes inteiras e nao negativas de uma equacao diofantina da forma X1 + ... + Xn = M, o que responde a sua questao. A formula e : Binom(N+M-1,M) No seu caso : N=4 e M=9. Logo : Binom(4+9-1,9)=220 Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 20604092020 2009/4/6 Marcelo Gomes elementos@gmail.com: Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma mão, ok ? Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? Minha resolução: Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, e na segunda 4 e na terceira 4 e.assim até a décima caixa. Então o número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta seria 4^10. Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na segunda 3 cores, na terceira 3 corese na décima 3 cores. Então pela minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muito! O gabarito deu 220 modos. Não entendi nada! Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. Abração a todos. Marcelo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
