[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade e números primos

[Pedro José]

Desculpem-me,

Li tudo errado.p^2 é quem divide.

Em 10 de abril de 2017 10:22, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Essa aí eu boiei.
>
> Os únicos números que dividem p^2 são 1, p e p^2. Serão sempre 3 divisores.
>
> O universo de n, deveria ser limitado a 3*p^2 números, sempre, não faz
> muito sentido.
>
> Não entendi o problema.
>
> Saudações,
> PJFMS.
>
> Em 8 de abril de 2017 08:48, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Eu estava assistindo a um vídeo do Barghava sobre número square-free, e
>> ele diz que a probabilidade de um número n não ser squarefree é igual 1/p²
>>
>> Em 8 de abril de 2017 00:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 2017-04-07 21:53 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
>>> :
>>> > Olá pessoal, eu gostaria de saber como provar que a probabilidade de p²
>>> > dividir um número n é igual a 1/p²(onde p é um número primo).
>>>
>>> Probabilidade é sempre mais difícil quando você tem que adivinhar
>>> alguma coisa.  Nesta questão, qual é a distribuição de n?  Não pode
>>> ser uniforme (que é a que a gente "chuta" quando o enunciado é claro
>>> como lama, imaginando que o cara que fez a pergunta é preguiçoso mas
>>> não mal-intencionado), porque não faz sentido uniforme no conjunto N.
>>> Sem isso, eu posso até tentar resolver o "problema inverso" de achar a
>>> distribuição de probabilidades em N tal que P[ n é divisível por p² ]
>>> = 1/p² para todo primo p, mas agora está tarde demais ;-)
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade e números primos

[Pedro José]

Bom dia!

Essa aí eu boiei.

Os únicos números que dividem p^2 são 1, p e p^2. Serão sempre 3 divisores.

O universo de n, deveria ser limitado a 3*p^2 números, sempre, não faz
muito sentido.

Não entendi o problema.

Saudações,
PJFMS.

Em 8 de abril de 2017 08:48, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Eu estava assistindo a um vídeo do Barghava sobre número square-free, e
> ele diz que a probabilidade de um número n não ser squarefree é igual 1/p²
>
> Em 8 de abril de 2017 00:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2017-04-07 21:53 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
>> :
>> > Olá pessoal, eu gostaria de saber como provar que a probabilidade de p²
>> > dividir um número n é igual a 1/p²(onde p é um número primo).
>>
>> Probabilidade é sempre mais difícil quando você tem que adivinhar
>> alguma coisa.  Nesta questão, qual é a distribuição de n?  Não pode
>> ser uniforme (que é a que a gente "chuta" quando o enunciado é claro
>> como lama, imaginando que o cara que fez a pergunta é preguiçoso mas
>> não mal-intencionado), porque não faz sentido uniforme no conjunto N.
>> Sem isso, eu posso até tentar resolver o "problema inverso" de achar a
>> distribuição de probabilidades em N tal que P[ n é divisível por p² ]
>> = 1/p² para todo primo p, mas agora está tarde demais ;-)
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
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> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade e números primos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu estava assistindo a um vídeo do Barghava sobre número square-free, e ele
diz que a probabilidade de um número n não ser squarefree é igual 1/p²

Em 8 de abril de 2017 00:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2017-04-07 21:53 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
> :
> > Olá pessoal, eu gostaria de saber como provar que a probabilidade de p²
> > dividir um número n é igual a 1/p²(onde p é um número primo).
>
> Probabilidade é sempre mais difícil quando você tem que adivinhar
> alguma coisa.  Nesta questão, qual é a distribuição de n?  Não pode
> ser uniforme (que é a que a gente "chuta" quando o enunciado é claro
> como lama, imaginando que o cara que fez a pergunta é preguiçoso mas
> não mal-intencionado), porque não faz sentido uniforme no conjunto N.
> Sem isso, eu posso até tentar resolver o "problema inverso" de achar a
> distribuição de probabilidades em N tal que P[ n é divisível por p² ]
> = 1/p² para todo primo p, mas agora está tarde demais ;-)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
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>  acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade e números primos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2017-04-07 21:53 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
:
> Olá pessoal, eu gostaria de saber como provar que a probabilidade de p²
> dividir um número n é igual a 1/p²(onde p é um número primo).

Probabilidade é sempre mais difícil quando você tem que adivinhar
alguma coisa.  Nesta questão, qual é a distribuição de n?  Não pode
ser uniforme (que é a que a gente "chuta" quando o enunciado é claro
como lama, imaginando que o cara que fez a pergunta é preguiçoso mas
não mal-intencionado), porque não faz sentido uniforme no conjunto N.
Sem isso, eu posso até tentar resolver o "problema inverso" de achar a
distribuição de probabilidades em N tal que P[ n é divisível por p² ]
= 1/p² para todo primo p, mas agora está tarde demais ;-)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade - dado cúbico

[Sávio Ribas]

Ops, li errado... perdao!
"a probabilidade de que *b *seja sucessor de *a *e que *c *seja sucessor de
*b*"
Aqui soh existem 4 casos: (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6)
Observe que isso nao tem interseção com os caras sendo todos primos, entao
a resposta eh 4/216 + 9/216 = 13/216

Em 14 de outubro de 2015 17:10, Sávio Ribas 
escreveu:

> Sim, voce considerou 2 vezes (casos 1 e 2) o caso onde c eh sucessor de b
> e b eh sucessor de a. Entao tem que subtrair esse caso...
>
> Em 14 de outubro de 2015 16:54, Vitório Batista Lima da Silva <
> vitorio.si...@trf1.jus.br> escreveu:
>
>> Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado
>> três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior
>> do dado, formando-se uma seqüência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que 
>> *b
>> *seja sucessor de *a *e que *c *seja sucessor de *b *OU que *a*, *b *e *c
>> *sejam primos?
>>
>>
>>
>> Total = 6^3 = 216
>>
>> 1) a probabilidade de que *b *seja sucessor de *a:*
>>
>>
>>
>> *5*1*6 = 30 , então P1 = 30/216*
>>
>>
>>
>> 2) a probabilidade de que *c *seja sucessor de *b:*
>>
>>
>>
>> *6*5*1 = 30, então P2 = 30/216*
>>
>>
>>
>> 3) que *a*, *b *e *c *sejam primos:
>>
>>
>>
>> *Primos={2,3,5}*
>>
>>
>>
>> *São 9 possibilidades*
>>
>>
>>
>> P = (30+30-9)/216 = 51/216 ...
>>
>>
>>
>> Algum erro???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade - dado cúbico

[Sávio Ribas]

Sim, voce considerou 2 vezes (casos 1 e 2) o caso onde c eh sucessor de b e
b eh sucessor de a. Entao tem que subtrair esse caso...

Em 14 de outubro de 2015 16:54, Vitório Batista Lima da Silva <
vitorio.si...@trf1.jus.br> escreveu:

> Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três
> vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do
> dado, formando-se uma seqüência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que *b
> *seja sucessor de *a *e que *c *seja sucessor de *b *OU que *a*, *b *e *c
> *sejam primos?
>
>
>
> Total = 6^3 = 216
>
> 1) a probabilidade de que *b *seja sucessor de *a:*
>
>
>
> *5*1*6 = 30 , então P1 = 30/216*
>
>
>
> 2) a probabilidade de que *c *seja sucessor de *b:*
>
>
>
> *6*5*1 = 30, então P2 = 30/216*
>
>
>
> 3) que *a*, *b *e *c *sejam primos:
>
>
>
> *Primos={2,3,5}*
>
>
>
> *São 9 possibilidades*
>
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>
> P = (30+30-9)/216 = 51/216 ...
>
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>
> Algum erro???
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> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par

[Lucas Prado Melo]

Correção: a recorrência é Pn = p (1-P(n-1)) + (1-p) P(n-1)

2015-10-12 21:42 GMT-03:00 Lucas Prado Melo :

> É possível mostrar que Pn = p *( 1-  P(n-1)) + (1-p) Pn
>
> Disso conclui-se que Pn = p + (1-2p)P(n-1)   e, dividindo a equação por
> (1-2p)^n (para p != 1/2), encontramos uma formula fechada para Pn/(1-2p)^n.
>
> Finalmente chegamos que Pn = (1 + (1-2p)^n)/2, mesmo quando p = 1/2.
>
> 2015-10-12 20:17 GMT-03:00 Amanda Merryl :
>
>>
>> Oi amigos
>>
>> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
>> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
>> sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?
>>
>> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>>
>> Obrigada.
>>
>> Amanda
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá, Amanda,

Você pode usar a fórmula da distribuição binomial, restringindo apenas aos
valores pares. Assim:
Pn = \sum_{k=0..piso(n/2)} C(n, 2k) * p^{2k} (1-p)^{n - 2k}, onde C(n, 2k)
= n! / [(2k)! (n - 2k)!].

Mas acho que fica difícil calcular lim{n-> inf} Pn usando essa equação.

Para resolver com n -> inf, acho que o mais fácil é encontrar uma recursão.

Veja que existem duas formas de termos uma quantidade par com n+1
realizações. Ou com n é par e temos um insucesso, ou com n é impar e temos
um sucesso. Assim:

P{n+1} = p(1 - Pn) + (1-p)*Pn, com P0 = 1.

Como essa é uma recursão linear, é fácil encontrar uma fórmula fechada para
ela. Fica como exercício pra você. :)

Para o limite, quando n -> inf, e supondo que Pn converge, temos:
lim{n->inf} Pn = a.
Assim:
a = p(1-a) + (1-p)*a
a = p - pa + a - pa
2pa = p
a = 1/2

Assim, se Pn convergir, ele irá convergir para 1/2. Falta só provar que Pn
converge quando n -> inf. Fica como exercício pra você. :)

Obs: Dá para mostrar que converge usando apenas desigualdades.
Obs2: Com a fórmula fechada, é bem fácil mostrar que Pn converge.

Abraços,
Marcelo

2015-10-12 20:17 GMT-03:00 Amanda Merryl :

>
> Oi amigos
>
> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
> sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?
>
> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>
> Obrigada.
>
> Amanda
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par

[Artur Costa Steiner]

Sendo X a variável aleatória número de sucessos nas n realizações, X tem
distribuição binomial com parâmetros n e p (estou supondo que só há dois
resultados possíveis, sucesso e fracasso, é um experimento de Bernouille se
0 < p < 1)

Assim, para k = 0, 1,... n, P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k), C(n, k)
a combinação de n, k a k.

Desta forma, Pn é obtida somando-se os termos acima para os valores pares
de k, ou seja

Pn = Soma (k par) C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k)

No somatório de Pn, k vai de 0'até o maior par menor ou igual a n.

Para obtermos uma fórmula fechada para Pn, observemos que, pelo Binômio de
Newton,

C(n, 0) p^0 (1 - p)^(n) +  C(n, 1) p^1 (1 - p)^(n - 1) +  C(n, n) p^n
(1 -p)^0 = 1

C(n, 0) (-p)^0 (1 - p)^(n)  + C(n, 1) (-p)^1 (1 - p)^(n - 1) +  C(n, n)
(-p)^n (1 -p)^0 = C(n, 0) (p)^0 (1 - p)^(n)  - C(n, 1) (-p)^1 (1 - p)^(n -
1) +  C(n, n) (-p)^n (1 -p)^0 = (-p + 1 - p)^n = (1 - 2p)^n

No segundo somatório, substituímos p por - p e mantivemos 1 - p. Assim, os
termos com k par se mantém e os com k ímpar permutam seu sinal. Desta
forma, somando as duas equações e considerando a definição de Pn, obtemos

2 Pn = 1 + (1 - 2p)^n

Pn = (1 + (1 - 2p)^n)/2

E se vc quiser a prob. de que haja um número ímpar de sucessos, chega a 1 -
Pn =  (1 -(1 - 2p)^n)/2.

Se p estiver em (0, 1) (experimento de Bernouille), então |1 - 2p| < 1, (1
-2p)^n --> 0 e, portanto, temos de fato que Pn --> 1/2. Isto bate com a
intuição. Não há nenhum motivo para que, à medida em que se aumenta n, os
estados pares sejam mais visitados que os ímpares, e vice versa.

Mas se p = 0, só há fracassos, temos sempre 0 sucessos, que é par, e Pn = 1
para todo n. o que é confirmado pela fórmula acima. Logo, o limite é 1,

Se p = 1, há sempre n sucessos e Pn = 1 se n for par e Pn = 0 se n for
ímpar. Logo, não existe limite quando n --> oo.

Abraços



Artur Costa Steiner

Em 12 de out de 2015, às 21:17, Ary Medino 
escreveu:

Cara Amanda

Suponho que o experimento a que se refere admite apenas dos resultados: Um
chamado de "sucesso", com probabilidade 0 < p < 1 de ocorrer, e outro
chamado de "fracasso", com probabilidade 1 - p de ocorrer.
Experimentos aleatórios com essas características são chamados de
"ensaios de Bernoulli".
Em n realizações independentes de tais experimentos, isto é, n ensaios
de Bernoulli independentes, o número de sucessos tem distribuição
Binomial com parâmetros n e p. Ou seja, a probabilidade de se obter k
sucessos em n ensaios é dada por B(n,k)p^k(1 - p)^(n-k), onde B(n,k) é o
número Binomial n tomados k a k.
A probabilidade Pn que você busca, isto é, a probabilidade de se obter um
número par de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes,  é a soma
dos valores B(n,k)p^k(1 - p)^(n-k) com k restrito aos números pares de 0 a
n.

Você pode fazer uma busca na internet por esses termos para saber mais
Abraço
Ary



Em Segunda-feira, 12 de Outubro de 2015 20:46, Amanda Merryl <
sc...@hotmail.com> escreveu:



Oi amigos

Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçōes
independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?

Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?

Obrigada.

Amanda


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Em segunda-feira, 12 de outubro de 2015, Amanda Merryl 
escreveu:

>
> Oi amigos
>
> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
> sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?
>
> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>
> Obrigada.
>
> Amanda
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par

[Lucas Prado Melo]

É possível mostrar que Pn = p *( 1-  P(n-1)) + (1-p) Pn

Disso conclui-se que Pn = p + (1-2p)P(n-1)   e, dividindo a equação por
(1-2p)^n (para p != 1/2), encontramos uma formula fechada para Pn/(1-2p)^n.

Finalmente chegamos que Pn = (1 + (1-2p)^n)/2, mesmo quando p = 1/2.

2015-10-12 20:17 GMT-03:00 Amanda Merryl :

>
> Oi amigos
>
> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
> sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?
>
> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>
> Obrigada.
>
> Amanda
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de construir o triângulo

[Adalberto Dornelles]

Olá

Esse é um problema clássico em Probabilidade, e a resposta depende
muito de como o aleatoriamente é definido. Em uma variação do
problema isso significa

escolher 3 valores x, y e z aleatórios e uniformemente distribuidos
no intervalo [0,1] e verificar se os segmentos de tamanhos x, y, e z
formam um triangulo

em outra versão isso significa

escolher 2 valores x e y uniformemente distribuidos no intervalo
[0,1] e verificar se os segmentos de tamanhos L1 = min(x,y), L2 =
max(x,y) - min(x,y) e L3 = 1 - max(x,y) formam um triangulo

As respostas não são iguais!

Na Revista do Professor de Matemática saiu um artigo de Nelson Tunala
sobre o problema.

TUNALA, N. Determinação de probabilidades por métodos geométricos. Revista
do Professor de Matemática, São Paulo, v. 20, p. 16.22, 1995.

WAGNER, E. Probabilidade geométrica - o problema do macarrão e um paradoxo
famoso. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, v. 34, p. 28.35, 1997.

Também há alguma informação aqui:
http://www.ds.unifi.it/VL/VL_EN/buffon/buffon4.html
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml


Abraço,
Adalberto


Em 10 de setembro de 2010 19:42, Paulo  Argolo
pauloarg...@bol.com.br escreveu:
 Prezados Colegas,

 Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo.

 QUESTÃO

 Determinar a probabilidade de construção de um triângulo, escolhendo-se
 aleatoriamente três segmentos de reta.


 Desde já, agradeço-lhes.
 Paulo Argolo
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=

[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade! Parece difícil, mas não e facil.

[jose silva]

Na realidade, esta questão e uma contextualização do loto facil. Confiram 
as probabilidades no endereço: 
http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp.
 



Date: Thu, 2 Oct 2008 22:18:03 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!
Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 
1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um 
dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 
ou  11 números? 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
_
Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos 
com até 6,000 fotos!
http://www.amigosdomessenger.com.br

[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade! Parece difícil, mas não e facil.

[jose silva]

Na realidade, esta questão e uma contextualização do loto facil. Confiram 
as probabilidades no endereço: 
http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp.
 




Date: Thu, 2 Oct 2008 22:18:03 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: 
Re: [obm-l] Probabilidade!
Oi, Leandro.Quantos alunos?NehabLEANDRO L RECOVA escreveu: 
Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial. 
From: jose silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Probabilidade! Date: Thu, 2 Oct 2008 
02:45:49 + Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a 
aplicação de probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 
bolas marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os 
alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do número 
1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números 
aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a 
retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de um 
dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13 ou 12 
ou  11 números? 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 
_
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[obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade do triâng ulo

[carry_bit]

Obrigado, pela resolução!

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Ralph Teixeira
Enviada em: segunda-feira, 18 de junho de 2007 23:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo

 

-Original Message- 
From: Ralph Teixeira 
Sent: Thu 6/7/2007 3:57 PM 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Subject: RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo


Sem perda de generalidade, suponha que o comprimento de AB eh 1.
Sejam AC=x e AD=y, tambem sem perda de generalidade.
 
Agora, este negocio de marcados ao acaso eh mais ambiguo do que
parece -- existem varias maneiras diferentes de escolher os pontos ao acaso,
que podem dar resultados diferentes. A maneira mais comum de interpretar
isso (pontos independentes, distribuicao uniforme) dah o seguinte argumento:
 
Considere o ponto (x,y) no plano cartesiano. Como 0=x=1 e 0=y=1,
este ponto estah no quadrado de lado 1 com vertice na origem (faca a
figura!). Quais destas escolhas sao validas? Bom, uma escolha eh valida se
os 3 segmentos sao menores que 1/2 (pois entao o maior serah menor que a
soma dos outros dois).
 
Se x=y, os segmentos sao x, y-x e 1-y. Assim, queremos x=1/2,
y-x=1/2 e y=1/2. Marque estas regioes no quadrado dentro de y=x.
Se x=y, a situacao eh simetrica: queremos agora x=1/2, x-y=1/2 e
y=1/2. A regiao valida eh entao algo assim (viva arte ASCII!!):
 
0=x   1/2=x1=x
ooox y=1
ooxx
oxxx

ooox
ooxx
oxxx
 y=1/2
oooo
oooxxxoo
oooxxooo
ooox
oooo
oooxxxoo
oooxxooo
ooox  y=0
 
A interpretacao usual de escolher ao acaso eh de que a
probabilidade de o ponto escolhido estar numa area seria proporcional a esta
area (distribuicao uniforme). Entao a probabilidade pedida eh a area da
regiao com x sobre a area total do quadrado. Dah 1/4=25%.
 
Abraco,
  Ralph

-Original Message- 
From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of carry_bit 
Sent: Sat 5/19/2007 8:57 PM 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Subject: [obm-l] Probabilidade do triângulo



Olá integrantes da obm-l,

 

Eu me deparei com o seguinte problema e não consegui
resolver! 

 

* Dado um segmento de reta AB qualquer, dois pontos
(C e D) são marcados ao acaso nesse segmento. Qual é a probabilidade de os
três segmentos assim formados poderem constituir um triângulo?

 

 

Agradeço, Carry_bit


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo

[Fellipe Rossi]

Pelo que eu entendi do enunciado, os segmentos determinados seriam AC, CD
e DB. Não? Na solução você considera AC = x, AD = y e DB = 1 -y, certo? Não
seria talvez AC = x, CD = y e DB = 1 - y - x?

Pelo que eu entendi na sua resolução, y nao tem que ser menor que 1/2.
Poderíamos ter, p.ex., y = 2/3, x = 1/3 por exemplo e mesmo assim AC, CD e
DB seriam iguais a 1/3 e formariam um triangulo equilátero. Certo?

De qqer forma achei muito legal a solução.


Em 30/06/07, carry_bit [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Obrigado, pela resolução!

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Ralph Teixeira
Enviada em: segunda-feira, 18 de junho de 2007 23:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo



   -Original Message-
   From: Ralph Teixeira
   Sent: Thu 6/7/2007 3:57 PM
   To: obm-l@mat.puc-rio.br
   Cc:
   Subject: RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo


   Sem perda de generalidade, suponha que o comprimento de AB eh 1.
Sejam AC=x e AD=y, tambem sem perda de generalidade.

   Agora, este negocio de marcados ao acaso eh mais ambiguo do que
parece -- existem varias maneiras diferentes de escolher os pontos ao
acaso,
que podem dar resultados diferentes. A maneira mais comum de interpretar
isso (pontos independentes, distribuicao uniforme) dah o seguinte
argumento:

   Considere o ponto (x,y) no plano cartesiano. Como 0=x=1 e
0=y=1,
este ponto estah no quadrado de lado 1 com vertice na origem (faca a
figura!). Quais destas escolhas sao validas? Bom, uma escolha eh valida
se
os 3 segmentos sao menores que 1/2 (pois entao o maior serah menor que a
soma dos outros dois).

   Se x=y, os segmentos sao x, y-x e 1-y. Assim, queremos x=1/2,
y-x=1/2 e y=1/2. Marque estas regioes no quadrado dentro de y=x.
   Se x=y, a situacao eh simetrica: queremos agora x=1/2, x-y=1/2 e
y=1/2. A regiao valida eh entao algo assim (viva arte ASCII!!):

   0=x   1/2=x1=x
   ooox y=1
   ooxx
   oxxx
   
   ooox
   ooxx
   oxxx
    y=1/2
   oooo
   oooxxxoo
   oooxxooo
   ooox
   oooo
   oooxxxoo
   oooxxooo
   ooox  y=0

   A interpretacao usual de escolher ao acaso eh de que a
probabilidade de o ponto escolhido estar numa area seria proporcional a
esta
area (distribuicao uniforme). Entao a probabilidade pedida eh a area da
regiao com x sobre a area total do quadrado. Dah 1/4=25%.

   Abraco,
 Ralph

   -Original Message-
   From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of carry_bit
   Sent: Sat 5/19/2007 8:57 PM
   To: obm-l@mat.puc-rio.br
   Cc:
   Subject: [obm-l] Probabilidade do triângulo



   Olá integrantes da obm-l,



   Eu me deparei com o seguinte problema e não consegui
resolver!



   * Dado um segmento de reta AB qualquer, dois pontos
(C e D) são marcados ao acaso nesse segmento. Qual é a probabilidade de os
três segmentos assim formados poderem constituir um triângulo?





   Agradeço, Carry_bit


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=





--
Fellipe Rossi

[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo

[Ralph Teixeira]

 

-Original Message- 
From: Ralph Teixeira 
Sent: Thu 6/7/2007 3:57 PM 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Subject: RE: [obm-l] Probabilidade do triângulo


Sem perda de generalidade, suponha que o comprimento de AB eh 1. Sejam 
AC=x e AD=y, tambem sem perda de generalidade.
 
Agora, este negocio de marcados ao acaso eh mais ambiguo do que 
parece -- existem varias maneiras diferentes de escolher os pontos ao acaso, 
que podem dar resultados diferentes. A maneira mais comum de interpretar isso 
(pontos independentes, distribuicao uniforme) dah o seguinte argumento:
 
Considere o ponto (x,y) no plano cartesiano. Como 0=x=1 e 0=y=1, 
este ponto estah no quadrado de lado 1 com vertice na origem (faca a figura!). 
Quais destas escolhas sao validas? Bom, uma escolha eh valida se os 3 
segmentos sao menores que 1/2 (pois entao o maior serah menor que a soma dos 
outros dois).
 
Se x=y, os segmentos sao x, y-x e 1-y. Assim, queremos x=1/2, 
y-x=1/2 e y=1/2. Marque estas regioes no quadrado dentro de y=x.
Se x=y, a situacao eh simetrica: queremos agora x=1/2, x-y=1/2 e 
y=1/2. A regiao valida eh entao algo assim (viva arte ASCII!!):
 
0=x   1/2=x1=x
ooox y=1
ooxx
oxxx

ooox
ooxx
oxxx
 y=1/2
oooo
oooxxxoo
oooxxooo
ooox
oooo
oooxxxoo
oooxxooo
ooox  y=0
 
A interpretacao usual de escolher ao acaso eh de que a probabilidade 
de o ponto escolhido estar numa area seria proporcional a esta area 
(distribuicao uniforme). Entao a probabilidade pedida eh a area da regiao com x 
sobre a area total do quadrado. Dah 1/4=25%.
 
Abraco,
  Ralph

-Original Message- 
From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of carry_bit 
Sent: Sat 5/19/2007 8:57 PM 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Subject: [obm-l] Probabilidade do triângulo



Olá integrantes da obm-l,

 

Eu me deparei com o seguinte problema e não consegui resolver! 

 

* Dado um segmento de reta AB qualquer, dois pontos (C 
e D) são marcados ao acaso nesse segmento. Qual é a probabilidade de os três 
segmentos assim formados poderem constituir um triângulo?

 

 

Agradeço, Carry_bit


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade da união

[Filipe de Carvalho Hasché]

=


Teorema 2: Se A, B e C são três eventos  quaisquer, então

P(A U B U C)  =  P(A) + P(B) + P(C) – P(A inter B) – P(A inter C) – P(B 
inter C) + P(A inter B inter C).



=

Podemos partir utilizando o Princípio da Inclusão-Exclusão (P.I.E.) para 3 
conjuntos.


#(A U B U C) = + #A + #B + #C
  - #(A U B) - #(A U C) - #(B U C)
 + #(A inter B inter C)


Obs1: Notação: #X significa nº de elementos do conjunto X.

Obs2: Pesquise a generalização do P.I.E. em algum site ou livro.

Voltando... agora basta pegar aquela equação e dividi-la pela cardinalidade 
do espaço amostral.


Assim, teremos:

P(A U B U C) = + P(A) + P(B) + P(C)
 -  P(A U B) - P(A U C) - P(B U C)
 + P(A inter B inter C)


Abraços,
FC.

==

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http://messenger.msn.com.br


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade do triângulo

[Luiz Alberto Duran Salomão]

Carry_bit,
Este problema está resolvido na página 129 do livro A Matemática do Ensino 
Médio, 
Volume 2, de A. C Morgado e outros autores, editado pela SBM. O livro é muito 
bom
e deve ser utilizado por este e muitos outros motivos.
Caso você não tenha oportunidade de consultar este livro, mande-me uma 
mensagem e eu lhe enviarei a solução.
Atenciosamente,
Luiz Alberto Salomão
[EMAIL PROTECTED]

  - Original Message - 
  From: carry_bit 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, May 19, 2007 8:57 PM
  Subject: [obm-l] Probabilidade do triângulo


  Olá integrantes da obm-l,

   

  Eu me deparei com o seguinte problema e não consegui resolver! 

   

  · Dado um segmento de reta AB qualquer, dois pontos (C e D) são 
marcados ao acaso nesse segmento. Qual é a probabilidade de os três segmentos 
assim formados poderem constituir um triângulo?

   

   

  Agradeço, Carry_bit



--


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  Version: 7.5.467 / Virus Database: 269.7.6/813 - Release Date: 20/5/2007 07:54

[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade dos paletós.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Deve ser assim (eu acredito).
Suponha que o primeiro homem pegue um 
paletó.

A probabilidade de que ele pegue o próprio paletó é 
1/n.

Se ele pegar o próprio paletó a probabilidade de 
pelo menos um 
dos homens consiga seu próprio paletó é 1, já que 
esse cara foimuito sortudo !! ;)
 Senão há n-1 homens e n-1 
paletós.
Porém note o seguinte:
  Pelo menos um dos homens 
restantes irá 
com certeza pegar paletó errado (por que)? 


 Continuamos esse raciocínio até que 
sobre somente um homem.

Será que o últimopaletó que restou para ele é 
o seu? Pergunta:Essa é a menor
probabilidade de que pelo menos um dos homens 
consiga seu próprio paletó?
Justifique.


- Original Message - 

  From: 
  Eder 
  Albuquerque 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, March 15, 2006 4:14 
  PM
  Subject: [obm-l] Probabilidade
  
  Pessoal, tô com dúvidas nesta:
  
  Suponha que n homens, numa festa, atirem seus paletós no 
  guarda-roupas. Os paletós são misturados e cada um deles deverá selecionar 
  aleatoriamente um paletó. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos 
  homens selecione o seu prórpio paletó.
  
  Se alguém puder me mostrar como faz, agradeço.
  
  Eder
  
  
  
  
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[obm-l] Re: [obm-l] probabilidade geométrica

[Ronaldo Luiz Alonso]

olá gente...

desculpem pelo off-topic, mas estou precisando de material que fale
sobre probabilidade geométrica, no estilo do problema das agulhas de
Buffon e do problema dos discos...
gostaria de qualquer referência, como livros, material na internet, etc...

   Bem... Tem essa página
  http://www.riskglossary.com/articles/monte_carlo_method.htm

   Minha sugestão:  digite Monte Carlo e Buffon no Google que vão aparecer
milhões de páginas a respeito.  Acho que quaisquer livros que falem sobre
método
Monte-Carlo irão abordar esse assunto.

[]s e boa sorte.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios

[David Cardoso]

 
 Evento A[k]: k digitos 
 ocoparem suas posicoes 
 corretas, com k=n, 
 natural.
 
 P[k=1]=1-P[0]
 P[0] corresponde a prob. 
 de que cada um dos 
 digitos nao esteja em 
 sua posicao correta.
 Na posicao 1 podem entrar  
 (n-1) digitos tendo 
 uma prob de (n-1)/n 
 de ocorrer (note que os n 
 digitos sao todos 
 distintos), para o seg. 
 digito (n-2)/(n-1) ja que 
 um dos digitos foi fixado 
 na posicao 1 

E se na posição 1 tiver se fixado o numero 2? Sobrariam (n-1) dígitos para serem 
escolhidos no 2o. dígito.. nessa parte que eu to me enrolando...

David
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios

[David M. Cardoso]

Bem.. eu vou pensar um pouco sobre isso que vc fez.. mas ta meio dificil pra
mim..

Obrigado a todos..

[]s
David

 
 A solução era C(n) = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + ... + 
 (-1)^(n+1)/n!. No limite quando n - oo, isso tende para 1 - e^(-1).
 
 Eu cheguei a fazer esse desenvolvimento por conta própria na 
 época (depois de vários equívocos, como sempre), mas ficou 
 extremamente extenso, usando diversas induções... Considerei 
 basicamente seqüências P(i), que correspondiam ao número de 
 permutações da matriz identidade que mantinham a i-ésima 
 linha inalterada e que não repetiam permutações já 
 consideradas anteriormente; era assim:
 
 P(1) = (n-1)!
 P(2) = (n-1)! - (n-2)!
 P(3) = (n-1)! - 2*(n-2)! + (n-3)!
 ...
 P(k) = Somatório(i=0,k-1) (k-1)!/(i!*(k-i)!)*(-1)^i*(n-1-i)!
 
 Somam-se os P(k) e dividi-se tudo por n! para obter a expressão C(n).
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - D ígitos aleatórios

[Claudio Buffara]

on 28.10.04 15:36, David M. Cardoso at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 
 
 Qual a probabilidade de que exatamente n-1 digitos ocupem o
 seu lugar proprio?
 
 
 zero? :o
 
Yes, sir!

Pro problema original, tente encontrar uma recorrencia pro numero C(n) de
permutacoes caoticas de n simbolos (aquelas em que ninguem estah no lugar
certo).

As condicoes iniciais sao faceis:
C(1) = 0;
C(2) = 1;
C(3) = 2.

Dica: mediante um argumento combinatorio, eh possivel expressar C(n) em
funcao de C(n-1), C(n-2) e n.

***

Um problema que eu nunca consegui resolver eh o de dar uma demonstracao
combinatoria de que C(n) = n*C(n-1) + (-1)^n


[]s,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios

[David M. Cardoso]

 
 
  Qual a probabilidade de que exatamente n-1 digitos ocupem o 
 seu lugar 
  proprio?
  
 
 zero? :o

Desculpa o enunciado pouco esclarecedor(pouco é pouco?), mas é que não pode
aparecer dígito repetido.. aí se (n-1) dígitos ocupam seu lugar próprio, o
dígito que falta pôr é justamente o dígito correspondente a posição e aí
ficariam n dígitos ocupando seu lugar próprio.. são permutações de números
de n dígitos.. deu pra entender?


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios

[kleinad]

Uma observação: vc escreveu dígitos e exemplificou pondo 1,2,3, ..., n. O
que eu respondi foi considerando isso como se fossem os n primeiros números
naturais e a ordem sendo aquela mesma que vc está pensando...

[]s,
Daniel

David M. Cardoso ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:


Bem.. eu vou pensar um pouco sobre isso que vc fez.. mas ta meio dificil pra
mim..

Obrigado a todos..

[]s
David


 A solução era C(n) = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + ... +
 (-1)^(n+1)/n!. No limite quando n - oo, isso tende para 1 - e^(-1).

 Eu cheguei a fazer esse desenvolvimento por conta própria na
 época (depois de vários equívocos, como sempre), mas ficou
 extremamente extenso, usando diversas induções... Considerei
 basicamente seqüências P(i), que correspondiam ao número de
 permutações da matriz identidade que mantinham a i-ésima
 linha inalterada e que não repetiam permutações já
 consideradas anteriormente; era assim:

 P(1) = (n-1)!
 P(2) = (n-1)! - (n-2)!
 P(3) = (n-1)! - 2*(n-2)! + (n-3)!
 ...
 P(k) = Somatório(i=0,k-1) (k-1)!/(i!*(k-i)!)*(-1)^i*(n-1-i)!

 Somam-se os P(k) e dividi-se tudo por n! para obter a expressão C(n).



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios

[David M. Cardoso]

Puxa.. não consegui encontrar a solução..
Encontrei isso aqui:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200212/msg00040.html.
A única coisa que eu vi eh que tem a ver com e^(-1).

Conheço pouco(nada)... Mas estava tentando fazer assim (ta errado):

Dada uma sequência qualquer, se P_k for a probabilidade de o k-ésimo dígito
não ser k,
eu encontrei, meio que intuitivamente, que P_k = 1 - (1/n).

Depois, pensei que se eu quero que todos sejam diferentes, eu deveria ter
P(n) = (1 - (1/n))^n.
E aí, pra inverter a situação, bastaria fazer 1 - P(n) no final... Mas
percebi que estava errado, pois pra n=3 é fácil ver que a probabilidade
seria 2/3.

Pra completar a questão, o exercício pede que você estude o limite desta
probabilidade quando n é grande.. Enfim... de qualquer forma, obrigado.

Abraço,
David

 -Original Message-
 From: [EMAIL PROTECTED] 
 [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Johann Peter 
 Gustav Lejeune Dirichlet
 Sent: Wednesday, October 27, 2004 6:31 PM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: Re: [obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios
 
 Bem, diversas vzes na lista foui discutido o problema 
 inverso: a probabilidade de nenhum digito estar em sua 
 posicao. Dai, procure nos servidores e acabou!
 
 David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED] wrote: 
 
 
   Tentei, tentei, tentei um pouco mais e não consegui 
 encontrar uma solução:
   
   Suponha que os n dígitos 1,2,3,...,n sejam escritos em 
 ordem aleatória. Qual
   é a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu 
 lugar próprio?
   
   Alguém ajuda?
   
   Abraço,
   David
   
   
   
 ==
 ===
   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
   
 ==
 ===
   
 
 
 
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios

[Osvaldo Mello Sponquiado]

 
 Tentei, tentei, tentei 
um pouco 
mais e não consegui 
encontrar uma 
solução:
 
 Suponha que os n 
dígitos 
1,2,3,...,n sejam 
escritos em ordem 
aleatória. Qual
 é a probabilidade de 
que ao 
menos um dígito ocupe seu 
lugar 
próprio?
 


Evento A[k]: k digitos 
ocoparem suas posicoes 
corretas, com k=n, 
natural.

P[k=1]=1-P[0]
P[0] corresponde a prob. 
de que cada um dos 
digitos nao esteja em 
sua posicao correta.
Na posicao 1 podem entrar  
(n-1) digitos tendo 
uma prob de (n-1)/n 
de ocorrer (note que os n 
digitos sao todos 
distintos), para o seg. 
digito (n-2)/(n-1) ja que 
um dos digitos foi fixado 
na posicao 1 e assim por 
diante ate 
(n-(n-1))/(n-(n-1))
P[0]=(n-1).(n-2)...(n-(n-
1))/n.(n-1)...(n-(n-1)))=
(n-1)!/n!=1/n
Dai P[0]=1-1/n=(n-1)/n

Bem, acho que seja isto.
[]`s.

Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 
2ºano 
UNESP - Ilha Solteira

 
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[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] probabilidade - aniversário

[claudio.buffara]

Oi, Rogerio e Bruno:

Acho que o problema eh um pouco mais complicado do que isso.

Por exemplo, vamos tomar o exemplo simples que o Bruno mencionou: 3 pessoas e 5 dias.

Considerando as pessoas indistinguiveis (o que me parece razoavel para este problema),o numero de possibilidades para os aniversarios eh igual ao numero de solucoes inteiras e nao-negativas da equacao: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3 (no caso xi = no. de pessaos aniversariando no i-esimo dia).
Este numero eh igual a Binom(7,3) = 35.

Temos 3 casos a considerar:
1) Duas pessoas quaisquer fazem aniversario em dias diferentes.
Isso pode acontecer de Binom(5,3) = 10 maneiras diferentes.

2) Duas pessoas fazem aniversario no mesmo dia e a terceira num dia diferente. 
Isso pode ocorrer de 5*4 = 20 maneiras diferentes.

3) Temos os tres aniversarios no mesmo dia.
Isso pode acontecer de 5 maneiras diferentes.

Agora, vamos calcular a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso faca aniversario no dia (ou num dos dias) em que mais se faz aniversario.

No caso 1, qualquer que seja a pessoa escolhida, ela farah aniversario num dos dias em que mais se faz aniversario. Logo, a probabilidade eh 1.

No caso 2, a probabilidade eh 2/3.

No caso 3, a probabilidade eh novamente 1.

Assim, a probabilidade desejada eh:
1*(10/35) + (2/3)*(20/35) + 1*(5/35) = 17/21

Serah que o Bruno achou esta resposta tambem? 
Alguem discorda da solucao acima?

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Tue, 22 Jun 2004 14:08:25 +




Assunto:
[obm-l] RE: [obm-l] probabilidade - aniversário






 Olá Bruno,
 a probabilidade de que você faça aniversário em um determinado dia do ano é 
 simplesmente 1 / 365 .
 
 A reposta ainda seria a mesma, se a pergunta fosse ¨qual a probabilidade de 
 que vc faça aniversário uma semana depois do dia com mais aniversários do 
 ano¨ .
 
 Abraços,
 Rogério.
 
 
 From: Bruno França dos Reis
 
 Olá a todos.
 Já participei desta lista há muito, muito tempo. Talvez alguns se lembrem 
 de
 mim, talvez não. Enfim, sou Bruno Reis, estou no 3o. colegial, participei 
 uma
 vez de olimpíada de matemática brasileira e paulista (apenas uma pois nunca
 mais consegui me inscrever, sempre faltava tempo). Fiz na época (estava na
 8a. serie) um curso preparatório no Etapa, com várias outras pessoas.
 
 Continuo amante da matemática. Uns colegas e eu às vezes nos propomos
 problemas, algumas vezes relativamente simples, outras mais trabalhosos. O
 último que me propuseram, nem o cara que propôs sabia a resposta, nossa
 professora falou que ia dar muito trabalho e ela também não fez. Gostaria 
 de
 saber se alguém aqui teria alguma idéia:
 
 "Considerando um ano de 365 dias, imagine-se integrante de um grupo de 200
 pessoas. Qual a probabilidade de que você faça aniversário no dia em que 
 mais
 se faz aniversário?"
 
 O objetivo é depois fazermos um ano de "d" dias e um grupo de "p" pessoas.
 
 Minha idéia inicial foi considerar 5 dias e 3 pessoas. Fácil, dá até pra
 desenhar as possibilidades. Bom, para pensar em mais dias e mais pessoas,
 preciso fazer o seguinte: distribuo as pessoas nos dias, exceto por mim, ou
 seja, no problema inicial distribuiríamos 199 pessoas. Então pegamos o dia 
 em
 que mais se faz aniversário e posso me colocar lá: uma possibilidade. Caso
 haja dois ou mais dias com o mesmo número de aniversariantes, sendo estes 
 os
 dias com mais aniversariantes do ano, posso colocar-me em qualquer um 
 desses
 dias e contar as possibilidades também.
 Como calcular isso tudo? Primeiro considero cada pessoa fazendo num dia, 
 pra
 cada forma, somo 199 possibilidades. Depois considero 2 pessoas num mesmo
 dia, e o resto cada uma em um dia. Etc, etc, etc. Acontece que isso é
 absurdamente grande, impraticável essa resolução. Não conseguimos pensar em
 outra. Será que alguém consegue ajudar?
 
 abraço
 Bruno
 
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Re: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] probabilidade - aniversário

[Bruno França dos Reis]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

On Wednesday 23 June 2004 21:49, claudio.buffara wrote:
 [...]
 Assim, a probabilidade desejada eh:
 1*(10/35) + (2/3)*(20/35) + 1*(5/35) = 17/21

 Serah que o Bruno achou esta resposta tambem?
 Alguem discorda da solucao acima?

tb considero as pessoas indistinguíveis.
eu cheguei em uma resposta diferente. Pensei da seguinte forma: distribuo *2* 
pessoas nos 5 dias e me ponho no dia com mais aniversários:
sum(i=1..5,x_i)=3
isso tem C(7,3)=35 soluções, como você disse.
Veja o esquema: p = pessoa, | = divisao de dias:
pp, |pp|||, ||pp||, |||pp|, pp = 5 formas
p|p|||, p||p||, p|||p|, pp, |p|p||, |p||p|, |p|||p, ||p|p|, ||p||p, |||p|p 
= 10 formas

na primeira linha, tenho, para cada forma de distribuição, uma forma de me 
colocar de forma que eu faça aniversário no dia em que mais se faz 
aniversário. Ficariam 3 pessoas no mesmo dia, de 5 formas diferentes: total 
5.
na segunda linha, tnho, para cada forma de distribuição, _duas_ formas de me 
colocar de forma que eu faça aniversário no dia em que mais se faz 
aniversário. Ficariam 2 pessoas no mesmo dia (eu e alguém), e uma pessoa em 
outro dia: total 2*10=20

tenho entao 25/35 = 5/7 de cair no dia em que mais se faz aniversário

Logo, tenho (5+20)/35 = 25/35=5/7


note que o problema diz: imagine-SE num grupo [...] qual a probabilidade de 
que VOCÊ faça aniversário [...]. suponho que devamos considerar uma pessoa 
definida e as outras indiferentes. Acho que é esse ponto em que nossas 
resoluções discordaram.

até

- -- 
Bruno França dos Reis
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icq: 12626000
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Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux)

iD8DBQFA2jHssHdDIT+qyroRAgPGAKCMplnfbssphL2OSmMv19bQvSfXFQCgrCoG
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=PbSF
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[obm-l] RE: [obm-l] probabilidade - aniversário

[Rogerio Ponce]

Olá Bruno,
a probabilidade de que você faça aniversário em um determinado dia do ano é 
simplesmente 1 / 365 .

A reposta ainda seria a mesma, se a pergunta fosse ¨qual a probabilidade de 
que vc faça aniversário uma semana depois do dia com mais aniversários do 
ano¨ .

Abraços,
Rogério.

From: Bruno França dos Reis

Olá a todos.
Já participei desta lista há muito, muito tempo. Talvez alguns se lembrem 
de
mim, talvez não. Enfim, sou Bruno Reis, estou no 3o. colegial, participei 
uma
vez de olimpíada de matemática brasileira e paulista (apenas uma pois nunca
mais consegui me inscrever, sempre faltava tempo). Fiz na época (estava na
8a. serie) um curso preparatório no Etapa, com várias outras pessoas.

Continuo amante da matemática. Uns colegas e eu às vezes nos propomos
problemas, algumas vezes relativamente simples, outras mais trabalhosos. O
último que me propuseram, nem o cara que propôs sabia a resposta, nossa
professora falou que ia dar muito trabalho e ela também não fez. Gostaria 
de
saber se alguém aqui teria alguma idéia:

Considerando um ano de 365 dias, imagine-se integrante de um grupo de 200
pessoas. Qual a probabilidade de que você faça aniversário no dia em que 
mais
se faz aniversário?

O objetivo é depois fazermos um ano de d dias e um grupo de p pessoas.
Minha idéia inicial foi considerar 5 dias e 3 pessoas. Fácil, dá até pra
desenhar as possibilidades. Bom, para pensar em mais dias e mais pessoas,
preciso fazer o seguinte: distribuo as pessoas nos dias, exceto por mim, ou
seja, no problema inicial distribuiríamos 199 pessoas. Então pegamos o dia 
em
que mais se faz aniversário e posso me colocar lá: uma possibilidade. Caso
haja dois ou mais dias com o mesmo número de aniversariantes, sendo estes 
os
dias com mais aniversariantes do ano, posso colocar-me em qualquer um 
desses
dias e contar as possibilidades também.
Como calcular isso tudo? Primeiro considero cada pessoa fazendo num dia, 
pra
cada forma, somo 199 possibilidades. Depois considero 2 pessoas num mesmo
dia, e o resto cada uma em um dia. Etc, etc, etc. Acontece que isso é
absurdamente grande, impraticável essa resolução. Não conseguimos pensar em
outra. Será que alguém consegue ajudar?

abraço
Bruno
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade - Poker

[peterdirichlet1985]

Bicho sei nao mas e que agora to desprevenido-vou pegar as RPM's de 1 ate
6 e pesquisar.La tinha as probabilidades de tudo quanto e jogo de poquer
desde um Royal atev um Nada de Interesse(nenhum ppremio especial).Sei ate
que dependendo de um certo ponto era mais facil ter um par do que ter nada
na mao.

-- Mensagem original --

Ola colegas da lista. Gostaria que me ajudassem em um problema que esta

me incomodando um pouco...ai vai
Qual é a probabilidade de um jogador obter um par no poker com a carta

Reis, em um baralho de 32 cartas
Para os que não jogam poker, considere as cartas 7,8,9,10,Q,J,K,A 
disponiveis nos 4 naipes..cada jogador recebe 5 cartas quero saber a 
probabilidade de obter um jogo do tipo KK782 ou KKAJ8 mas nunca do

tipo KKJJJ ou KK8AA trocando em miudos só é permitido 2 cartas 
iguais (porem de naipes diferentes) e nesse caso a de Reis.

Sei que isso pode ser imediato para muitos da lista, mas gostaria que 
analisassem a minha resolucao e apontassem o erro no meu raciocinio..vou

apresentar duas solucoes.

Primeira tentativa de solucao :

Seja A o evento tirar uma  carta de reis,  B o evento não tirar uma

carta de reis C o evento nao tirar reis nem do evento B e D nao 
tirar reis, nem B nem C

A probabilidade desses eventos ocorrem simultaneamente, constituindo 
então um par no poker é :

   A  A   B CD
(4/32)(3/31)   (28/30)(24/29)   (20/28)  

Multiplicando todas essas probabilidades eu chego em  6/899...porem a 
resposta é 60/899

Fiquei me perguntando se deveria ainda multiplicar esse resultado por 
5!/2! (para os eventos A,B,C,D trocarem de ordem) mas depois de pensar

um pouco vi que nao fazia sentido..pois o evento C não pode ocorrer 
antes do B por exemplo


Segunda tentativa
Notacao C[x,y]  combinacao de x elementos tomados y a y.

P =  (C[4,2] * (C[7,1] * C[4,1]) * (C[6,1] * C[4,1]) * (C[5,1] * 
C[4,1])) / C[32,5]

Separei em bolocos lógicos de parentesis para explicar melhor ..

C[4,2] é o numero de possibilidades p/ escolher os 2 K entre os 4..
o bloco
(C[7,1] * C[4,1]) é o numero de possibilidades de se escolher um outro

valor de carta *  o numero de maneiras de escolher um naipe
retirada outra carta..sobram 6 possibilidades..mas os 4 naipes sao 
constantes.. entao
(C[6,1] * C[4,1])...e analogamente
(C[5,1] * C[4,1])...tudo isso sobre o total de eventos possiveis C[32,5]

E isso me deu 360/899, alias esse resultado é igual ao da resolucao 
anterior se na resolucao anterior eu de fato tivesse multiplicado a 
probabilidade por 5!/2!

Agradeço qualquer ajuda.

niski





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En: msg p/JF (prob-2) En: [obm-l] Re: [obm-l] probabilidade

[Jose Francisco Guimaraes Costa]

Se a bola que V tirou é branca, ela veio da gaveta 1 ou da 3. Podemos
esquecer a gaveta 2; daqui para a frente temos apenas 2 gavetas: a 1 e a 3.

Se a bola que V tirou saiu da gaveta 1, a outra bola é branca. Se saiu da 3,
a outra é preta.

Logo, a probabilidade da outra bola ser branca, isto é, de V ter tirado a
primeira bola da gaveta 1, é 1/2.

JF

-Mensagem Original-
De: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
Para: Alice [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 2 de Outubro de 2002 14:15
Assunto: msg p/JF (prob-2) En: [obm-l] Re: [obm-l] probabilidade



 -Mensagem Original-
 De: [EMAIL PROTECTED]
 Para: [EMAIL PROTECTED]
 Enviada em: Quarta-feira, 2 de Outubro de 2002 01:46
 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] probabilidade


 Temos 3 bolas brancas ao todo, 2 na primeira gaveta e uma na
terceira.
  Se você retirou uma bola branca, há 2/3 de probabilidade de ter aberto a
  primeira gaveta e 1/3 de ter aberto a segunda. A outra bolinha será
branca
  caso a gaveta aberta tenha sido a primeira, logo a probabilidade é de
2/3.
   Camilo
 
  -- Mensagem original --
 
  Dadas 3 gavetas. Em cada gaveta há duas bolas, como se segue :
  primeira gaveta: duas bolas brancas
  segunda gaveta: duas bolas pretas
  terceira gaveta: uma bola branca e uma preta
  Você abre aleatoriamente uma gaveta e tira uma bolinha branca. Qual é a
 
  probabilidade da outra bolinha também ser branca?
  
 
 
 
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[obm-l] Re: En: msg p/JF (prob-2) En: [obm-l] Re: [obm-l] probabilidade

[camilojr]

   Os eventos tirar bola branca da gaveta 1 e tirar bola branca da gaveta
3 não são equiprováveis, logo você não pode concluir que a probabilidade
seja 1/2.
   Se você admite que é equiprovável que a bola branca tenha saído da gaveta
1, que tem 2 bolas brancas e 0 pretas, ou da gaveta 3, que tem 1 de cada
cor, por que você exclui a gaveta 2? Se a probabilidade é a mesma independentemente
do número de bolas brancas e pretas que estão na gaveta, então podemos concluir
que existe 1/3 de chance de termos tirado 1 bola branca de uma gaveta que
continha apenas bolas pretas. 
abraço,
   Camilo

-- Mensagem original --

Se a bola que V tirou é branca, ela veio da gaveta 1 ou da 3. Podemos
esquecer a gaveta 2; daqui para a frente temos apenas 2 gavetas: a 1 e
a
3.

Se a bola que V tirou saiu da gaveta 1, a outra bola é branca. Se saiu
da
3,
a outra é preta.

Logo, a probabilidade da outra bola ser branca, isto é, de V ter tirado
a
primeira bola da gaveta 1, é 1/2.

JF

-Mensagem Original-
De: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
Para: Alice [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 2 de Outubro de 2002 14:15
Assunto: msg p/JF (prob-2) En: [obm-l] Re: [obm-l] probabilidade



 -Mensagem Original-
 De: [EMAIL PROTECTED]
 Para: [EMAIL PROTECTED]
 Enviada em: Quarta-feira, 2 de Outubro de 2002 01:46
 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] probabilidade


 Temos 3 bolas brancas ao todo, 2 na primeira gaveta e uma na
terceira.
  Se você retirou uma bola branca, há 2/3 de probabilidade de ter aberto
a
  primeira gaveta e 1/3 de ter aberto a segunda. A outra bolinha será
branca
  caso a gaveta aberta tenha sido a primeira, logo a probabilidade é
de
2/3.
   Camilo
 
  -- Mensagem original --
 
  Dadas 3 gavetas. Em cada gaveta há duas bolas, como se segue :
  primeira gaveta: duas bolas brancas
  segunda gaveta: duas bolas pretas
  terceira gaveta: uma bola branca e uma preta
  Você abre aleatoriamente uma gaveta e tira uma bolinha branca. Qual
é a
 
  probabilidade da outra bolinha também ser branca?
  
 
 
 
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[obm-l] Re: [obm-l] probabilidade

[camilojr]

   Temos 3 bolas brancas ao todo, 2 na primeira gaveta e uma na terceira.
Se você retirou uma bola branca, há 2/3 de probabilidade de ter aberto a
primeira gaveta e 1/3 de ter aberto a segunda. A outra bolinha será branca
caso a gaveta aberta tenha sido a primeira, logo a probabilidade é de 2/3.
 Camilo 
  
-- Mensagem original --

Dadas 3 gavetas. Em cada gaveta há duas bolas, como se segue :
primeira gaveta: duas bolas brancas
segunda gaveta: duas bolas pretas
terceira gaveta: uma bola branca e uma preta
Você abre aleatoriamente uma gaveta e tira uma bolinha branca. Qual é a

probabilidade da outra bolinha também ser branca?




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[obm-l] Re: [obm-l] probabilidade

[ghaeser]

a resposta do Augusto e do Angelo sao equivalentes, a probabilidade é 
1400/19683=0.0711274

-- Mensagem original --

A probabilidade de as tres primeiras bolas (que o macaco coloca) irem 
para a primeira caixa, as tres seguintes para a segunda e as quatro 
ultimas para a terceira caixa(ou seja, a ordem 111222) eh 
[(1/3)^3].[(1/3)^3].[(1/3)^4]=(1/3)^10.
A probabilidade de isso acontecer em outra ordem determinada, por 
exemplo, as bolas 1, 3 e 7 irem para a primeira caixa, as bolas 2, 4 e

10 irem para a segunda, e as demais irem para a terceira (ou seja, a 
ordem 1212331332) eh igual.
A resposta eh (1/3)^10 multiplicado pelo numero de ordens possiveis, 
isto eh, 10!/[3!3!4!].

René Retz wrote:

Um probleminha que não entendi direito; alguém poderia
me ajudar ?

Um macaco é colocado numa sala onde existem 10 bolas e
três caixas vazias. Em um dado momento o macaco começa
a colocar as bolas (de maneira aleatória) nas caixas.
Qual a probabilidade dele colocar 3 bolas na primeira
caixa, 3 bolas na segunda e 4 bolas na terceira ?


Não sei se respondi corretamente, mas cheguei em 1/121. Gostaria de saber
a
resposta, caso correta, mostro como resolvi!

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Mathematicus nascitur, non fit
Matemáticos não são feitos, eles nascem


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