Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Oi, Paulo,
Simplemente delicioso o texto e o conteúdo, mas... implore a sua esposa
para não acordá-lo quando dormir sobre o teclado...
Sonhe mais, por favor...
Abraços,
Nehab
Paulo Santa Rita escreveu:
Ola Benedito e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
From: "benedito" bened...@ufrnet.br
para paulo.santar...@gmail.com
data 2 de maio de 2009 09:16
assunto Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Paulo,
Desculpe-me a intimidade explÃcita na mensagem.
Na verdade, estava passando esta beleza de raciocÃonio para um Amigo, também Professor de Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os Ãntimos Paulinho.
Por engano, repassei a mensagem para obm-lista.
Desculpe-me.
Benedito
Tudo bem, nao fiquei chateado.
Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos
decolar. Vamos ver os elementos iniciais de "um sonho de uma noite de
verao".
Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei
exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima (
http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux (
http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante
sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais
sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como
Problema 2N+1 ).
Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido
sobre o teclado.
Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que constituem o
triangulo de Pascal eram interpretados e representados de outra
forma... Ao inves de interpretar Bi(N,P) como o numero de combinacoes
de P elementos que se pode fazer com N elementos, interpretava-se
Bi(N,P) como o numero de permutacoes de N elementos, N-P de um tipo,
iguais entre si e indistinguiveis; P de outro tipo, iguais entre si e
indistinguiveis.
No sonho, Bi(N,P), com esta nova interpretacao, era representado assim : [N-P,P]
Eu fiquei curioso com esta ligeira modificacao na interpretacao e
queria saber o motivo. Foi entao quando escutei uma voz distante dizer
: "E para que voce, ao ver as faces ocultas do triangulo de Pascal,
continue podendo dar uma unica e uniforme interpretacao combinatoria".
Na hora nao entendi direito, pois, afinal, o que seriam estas "faces
ocultas do traingulo de Pascal ?" Mas deduzi imediatamente que :
[m,n] = (m+n) ! / ( m! * n! ) =Bi(m+n,n)
Foi logo apos esta simples deducao que surgiu na minha frente um
triangulo de Pascal com os numeros binomiais na sua nova
representacao. Ele apareceu assim :
...
[0,4] ...
[0,3], [1,3] ...
[0,2], [1,2], [2,2] ...
[0,1], [1,1], [2,1], [3,1] ...
[0,0], [1,0], [2,0], [3,0], [4,0] ...
Quando olhei esse triangulo, ficou claro para mim que a notacao "entre
colchetes", [m,n], era para diferenciar as coordenadas (m,n) de um
ponto do valor [m,n]=(m+n)! / (m! * n!) ATRIBUIDO ao ponto (m,n).
Assim, entendi logo que [m,n] era o valor ( ou "imagem") de uma funcao
no ponto (m,n). Assim, com a notacao [m,n] voce representava tanto o
valor como o "lugar" no plano cartesiano XoY onde o valor deveria ser
colocado.
O triangulo de Pascal era portanto apenas uma particular funcao de N x
N em N ( aqui, devemos supor N={0,1,2,3, ...}, isto e, com o zero ).
Mas o que me causou surpresa, mesmo, foi ver como eram representados
os coeficientes numericos ( coeficientes trinomiais ) da expansao de
(a+b+c)^N. Naquele estranho lugar que eu estava, eles simplesmente
representavam o triangulo de Pascal na forma como descrevi acima nos
tres pares de eixos coordenados, acrescentando simplesmente um zero de
forma conveniente. Assim :
Triangulo no plano XoY ( acrescente um zero no fim )
...
[0,4,0] ...
[0,3,0], [1,3,0] ...
[0,2,0], [1,2,0], [2,2,0] ...
[0,1,0], [1,1,0], [2,1,0], [3,1,0] ...
[0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ...
Triangulo no plano XoZ ( acrescente um zero no meio )
...
[0,0,4] ...
[0,0,3], [1,0,3] ...
[0,0,2], [1,0,2], [2,0,2] ...
[0,0,1], [1,0,1], [2,0,1], [3,0,1] ...
[0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ...
Triangulo no plano YoZ ( acrescente um zero no inicio )
...
[0,0,4] ...
[0,0,3], [0,1,3] ...
[0,0,2], [0,1,2], [0,2,2] ...
[0,0,1], [0,1,1], [0,2,1], [0,3,1] ...
[0,0,0], [0,1,0], [0,2,0], [0,3,0], [0,4,0] ...
Eu logo entendi porque se procedia assim, pois, dado a uniformidade de
interpretacao e de calculo, um trio [m,n,p] so podia ser interpretado
como o numero de permutacoes de m+n+p objetos dos quais "m" sao de um
tipo, indistinguiveis entre si; "n" sao de outro tipo, indistinguiveis
entre si e, finalmente, "p", sao de um terceiro tipo, tambem
indistinguiveis entre si. Portanto :
[m,n,p]=(m+n+p) ! / (m! * n! * p! )
como, obviamente, [m,n,p]=[m,p,n]=[n,m,p]=[n,p,m]=[p,n,m]=[p,m,n],
acrescentar um zero em qualquer posicao de [m,n] e equivalente ao
numero [0,m,p] e teremos :
[0,m,n]= (0+m+n)! / (0! m
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Ola Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce gostou do Conto ? Fico Feliz ! Ser casado com uma escritora traz algumas vantagens ... Aqui vai uma implicacao do sonho : Eu precisaria, previamente, ter caracterizados as folheacoes ou faces ocultas do triangulo de Pascal que descrevi no sonho. Usando a notacao que la introduzi as coisas ficam mais faceis e diretas. Mas vou seguir um atalho aqui. Estarei imaginando o Triangulo de Pascal ( doravante chamado de TP ) com a seguinte disposicao : Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) . . . As colunas sao entendidas como numeradas da esquerda para a direita a partir de zero. Verifique que se tomarmos 3 elementos consecutivos Ai+1, Ai e Ai+1 da coluna 2 teremos : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = 1^2 = 1 Exemplo : Bi(2,2) - 2Bi(3,2) + Bi(4,2) = 1 - 2*3 + 6 = 1 Se tomarmos 4 elementos consecutivos Ai+2, Ai+1, Ai e Ai-1 da coluna 3 termos que : Ai+2 - 3Ai+1 + 3Ai _ Ai-1 = 1^3 = 1 E, de maneira geral, se tomarmos N+1 elementos consecutivos da coluna N, usamos os coeficientes numericos do desenvolvimento de (a+b) ^N, com os sinais alternativamente trocados, teremos que a soma do tipo acima exemplificada resulta em 1 : ( nao vou provar estas coisas aqui porque isso e muito mais coisas deriva naturalmente das diversas faces ocultas do TP ) Esse numero 1, um valor constante em todo TP, sera chamado de NIC* ( ele e muito importante ). Assim, o TP e um triangulo aritmetico com NIC = 1 O fato de no TP o NIC ser 1 esconde muitas coisas ... De fato, a expressao geral para o NIN de um triangulo aritmetico e um polinomio de coeficientes interessantes ( que depende das faces, conforme ja falei ) na variavel NIC. No TP, ao introduzirmos meios aritmeticos em todos o triangulo, vale dizer, usar os coeficientes de (a+b) ^(N/2), N = ... -2,-1,0,1,2,..., teremos que : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = (1/2)^2 na coluna 2 Ai+2 - 3Ai+1 + 3 Ai - Ai-1 = (1/2)^3 na coluna 3 e assim sucessivamente Se, no TP, introuzirmos os termos aritmeticos, vale dizer, colocarmos entre as linhas os coeficientes de (a+b)^(N/3), N = ... -2, -1, 0, 1, 2, ... teremos que : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = (1/3)^2 na coluna 2 Ai+2 - 3Ai+1 + 3 Ai - Ai-1 = (1/3)^3 na coluna 3 Agora, va introduzindo meior, tercos, quartos etc aritmeticos no TP e use este resultado para obter algo inedito, vale dizer, a expressao de 1 + (1/2)^3 + (1/3) ^3 + ... Como uma soma de coeficiente binomiais ( conforme ja propus aqui ) sem nenhuma NENHUMA potencia negativa. Isso, que por si so e inedito e que levaria muito matematico correr para publicar, e uma mera e simples aplicacao do sonho de uma noite de verao *O NIC e o nucleo dessa teoria. Nao e tao simples descobrir a expressao dele. Um primeiro passo e descobri as faces ocultas de ja falei. O Termo NIC deriva de NICOLAU SALDANHA. Eu descobri e desenvolvi estas coisas pouco antes de ingressar nesta lista, ha cerca de 10 anos atras. O Nicolau, alem de criar este maravilhoso espaco de discussao, me recebeu ( como recebe a todos ) muito bem e foi o meu modelo de Inicial de Matematico. Assim, nada mais justo que dar a um elemento importante da minha teoria o nome do amigo e mestre que no inicio me guiou e que desde sempre mereceu e merce a minha mais elevada estima e consideracao.. Assim, e uma forma de um Matematico ( Eu, Paulo Santa Rita ) homenagear outro Matematico ( Nicolau Saldanha ). Um Abraco a Todos PSR, 10305091629 2009/5/3 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Oi, Paulo, Simplemente delicioso o texto e o conteúdo, mas... implore a sua esposa para não acordá-lo quando dormir sobre o teclado... Sonhe mais, por favor... Abraços, Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Benedito e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) From: benedito bened...@ufrnet.br para paulo.santar...@gmail.com data 2 de maio de 2009 09:16 assunto Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz Paulo, Desculpe-me a intimidade explícita na mensagem. Na verdade, estava passando esta beleza de raciocíonio para um Amigo, também Professor de Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os íntimos Paulinho. Por engano, repassei a mensagem para obm-lista. Desculpe-me. Benedito Tudo bem, nao fiquei chateado. Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos decolar. Vamos ver os elementos iniciais de um sonho de uma noite de verao. Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima ( http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux ( http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como Problema 2N+1 ). Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido sobre o teclado. Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Show de bola, Paulinho. Benedito - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, April 29, 2009 10:54 AM Subject: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz Ola Pessoal, O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio. Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui nesta. Um aspecto curioso deste tema e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta, numa ordem implicita. Assim : (a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n E nos falamos com naturalidade no primeiro termo da expansao, no segundo termo e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de b ( ou de a) que funcionam como um indice. Inclusive os livros falam em algo como, excontre o decimo termo da expansao de (2x-3y)^15, implicitamente admitindo este tipo de ordenacao. E na expancao, digamos, de um trinomio do tipo (2x-3y+y)^15 ? Quem e o decimo termo ? Aqui, NA AUSENCIA DE UMA REPRESENTACAO CONSISTENTE, uma tal questao e INDETERMINADA, pois precisamos acrescentar mais algumas informacoes. Seria possivel uma representacao consistente ? Uma maneira de olhar as coisas que preservasse a visao habitual e lhe acrescentasse alguma novidade ? Eu lembro que a ordem habitual no Binomio de Newton segue o triangulo de Pascal ... Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) ... Onde Bi(N,P)=N!/( (P!)*( (N-P)! ) ) Portanto, usando o triangulo de Pascal ( preservando sua principais leis e propriedades ) e possivel encontrar uma representacao consistente, um lugar onde colocar os termos da expansao de (X1 + X2 + + Xm)^N ? Note que uma tal construcao significaria, em parte ( existe uma outra parte, mais dificil ), ver o famoso triangulo pascalino apenas como a ponta de um iceberg, descortinando parte da superestrutura que lhe da suporte ... Entao : como e a parte imersa do iceberg ? Um Abraco a Todos ! PSR, 42904091050 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Ola Benedito e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
From: benedito bened...@ufrnet.br
para paulo.santar...@gmail.com
data 2 de maio de 2009 09:16
assuntoRe: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Paulo,
Desculpe-me a intimidade explícita na mensagem.
Na verdade, estava passando esta beleza de raciocíonio para um Amigo, também
Professor de Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os
íntimos Paulinho.
Por engano, repassei a mensagem para obm-lista.
Desculpe-me.
Benedito
Tudo bem, nao fiquei chateado.
Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos
decolar. Vamos ver os elementos iniciais de um sonho de uma noite de
verao.
Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei
exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima (
http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux (
http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante
sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais
sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como
Problema 2N+1 ).
Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido
sobre o teclado.
Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que constituem o
triangulo de Pascal eram interpretados e representados de outra
forma... Ao inves de interpretar Bi(N,P) como o numero de combinacoes
de P elementos que se pode fazer com N elementos, interpretava-se
Bi(N,P) como o numero de permutacoes de N elementos, N-P de um tipo,
iguais entre si e indistinguiveis; P de outro tipo, iguais entre si e
indistinguiveis.
No sonho, Bi(N,P), com esta nova interpretacao, era representado assim : [N-P,P]
Eu fiquei curioso com esta ligeira modificacao na interpretacao e
queria saber o motivo. Foi entao quando escutei uma voz distante dizer
: E para que voce, ao ver as faces ocultas do triangulo de Pascal,
continue podendo dar uma unica e uniforme interpretacao combinatoria.
Na hora nao entendi direito, pois, afinal, o que seriam estas faces
ocultas do traingulo de Pascal ? Mas deduzi imediatamente que :
[m,n] = (m+n) ! / ( m! * n! ) =Bi(m+n,n)
Foi logo apos esta simples deducao que surgiu na minha frente um
triangulo de Pascal com os numeros binomiais na sua nova
representacao. Ele apareceu assim :
...
[0,4] ...
[0,3], [1,3] ...
[0,2], [1,2], [2,2] ...
[0,1], [1,1], [2,1], [3,1] ...
[0,0], [1,0], [2,0], [3,0], [4,0] ...
Quando olhei esse triangulo, ficou claro para mim que a notacao entre
colchetes, [m,n], era para diferenciar as coordenadas (m,n) de um
ponto do valor [m,n]=(m+n)! / (m! * n!) ATRIBUIDO ao ponto (m,n).
Assim, entendi logo que [m,n] era o valor ( ou imagem) de uma funcao
no ponto (m,n). Assim, com a notacao [m,n] voce representava tanto o
valor como o lugar no plano cartesiano XoY onde o valor deveria ser
colocado.
O triangulo de Pascal era portanto apenas uma particular funcao de N x
N em N ( aqui, devemos supor N={0,1,2,3, ...}, isto e, com o zero ).
Mas o que me causou surpresa, mesmo, foi ver como eram representados
os coeficientes numericos ( coeficientes trinomiais ) da expansao de
(a+b+c)^N. Naquele estranho lugar que eu estava, eles simplesmente
representavam o triangulo de Pascal na forma como descrevi acima nos
tres pares de eixos coordenados, acrescentando simplesmente um zero de
forma conveniente. Assim :
Triangulo no plano XoY ( acrescente um zero no fim )
...
[0,4,0] ...
[0,3,0], [1,3,0] ...
[0,2,0], [1,2,0], [2,2,0] ...
[0,1,0], [1,1,0], [2,1,0], [3,1,0] ...
[0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ...
Triangulo no plano XoZ ( acrescente um zero no meio )
...
[0,0,4] ...
[0,0,3], [1,0,3] ...
[0,0,2], [1,0,2], [2,0,2] ...
[0,0,1], [1,0,1], [2,0,1], [3,0,1] ...
[0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ...
Triangulo no plano YoZ ( acrescente um zero no inicio )
...
[0,0,4] ...
[0,0,3], [0,1,3] ...
[0,0,2], [0,1,2], [0,2,2] ...
[0,0,1], [0,1,1], [0,2,1], [0,3,1] ...
[0,0,0], [0,1,0], [0,2,0], [0,3,0], [0,4,0] ...
Eu logo entendi porque se procedia assim, pois, dado a uniformidade de
interpretacao e de calculo, um trio [m,n,p] so podia ser interpretado
como o numero de permutacoes de m+n+p objetos dos quais m sao de um
tipo, indistinguiveis entre si; n sao de outro tipo, indistinguiveis
entre si e, finalmente, p, sao de um terceiro tipo, tambem
indistinguiveis entre si. Portanto :
[m,n,p]=(m+n+p) ! / (m! * n! * p! )
como, obviamente, [m,n,p]=[m,p,n]=[n,m,p]=[n,p,m]=[p,n,m]=[p,m,n],
acrescentar um zero em qualquer posicao de [m,n] e equivalente ao
numero [0,m,p] e teremos :
[0,m,n]= (0+m+n)! / (0! m! p!) = (m+n)! /(m! * p!) = [m,n]
E aqui eu finalmente entendi porque usar a interpretacao com base em
permutacoes, pois, caso em parmanecesse com a interpretacao de
combinacoes nao seria capaz de expandir a representacao com a mesma
facilidade e uniformidade.
Com esta representacao, que no meu sonho era chamada de PIRAMIDE DE
[obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Ola Pessoal, O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio. Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui nesta. Um aspecto curioso deste tema e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta, numa ordem implicita. Assim : (a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n E nos falamos com naturalidade no primeiro termo da expansao, no segundo termo e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de b ( ou de a) que funcionam como um indice. Inclusive os livros falam em algo como, excontre o decimo termo da expansao de (2x-3y)^15, implicitamente admitindo este tipo de ordenacao. E na expancao, digamos, de um trinomio do tipo (2x-3y+y)^15 ? Quem e o decimo termo ? Aqui, NA AUSENCIA DE UMA REPRESENTACAO CONSISTENTE, uma tal questao e INDETERMINADA, pois precisamos acrescentar mais algumas informacoes. Seria possivel uma representacao consistente ? Uma maneira de olhar as coisas que preservasse a visao habitual e lhe acrescentasse alguma novidade ? Eu lembro que a ordem habitual no Binomio de Newton segue o triangulo de Pascal ... Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) ... Onde Bi(N,P)=N!/( (P!)*( (N-P)! ) ) Portanto, usando o triangulo de Pascal ( preservando sua principais leis e propriedades ) e possivel encontrar uma representacao consistente, um lugar onde colocar os termos da expansao de (X1 + X2 + + Xm)^N ? Note que uma tal construcao significaria, em parte ( existe uma outra parte, mais dificil ), ver o famoso triangulo pascalino apenas como a ponta de um iceberg, descortinando parte da superestrutura que lhe da suporte ... Entao : como e a parte imersa do iceberg ? Um Abraco a Todos ! PSR, 42904091050 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
