Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
Vinicíus, acho que não está correto ( ou eu não entendi o que fez). Por quê impôs que 1-(senx)^2=0? . poderia explicar melhor? - Original Message - From: Vinícius Meireles Aleixo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, February 12, 2005 7:03 PM Subject: Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos... Algum colega pode me ajudar com essa: Suponha que x, y, z e w são números reais tais que: senx+seny+senz+senw=0(I) cosx+cosy+cosz+cosw=0(II) Mostre que : (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0 Olá Temos que: cosx=sqrt(1-(senx)^2) cosy=sqrt(1-(seny)^2) cosz=sqrt(1-(senz)^2) cosw=sqrt(1-(senw)^2) sqrt(1-(senx)^2)+sqrt(1-(seny)^2)+sqrt(1-(senz)^2)+sqrt(1-(senw)^2)=0 Não é difícil notar que: 1-(senx)^2=0 == senx = +-1,analogamente para y, z e w.seny= +-1, senz= +-1, senw=+-1, ou seja, por (I) temos que a soma desses valores deve se anular, ou seja, 2 devem ser positivos, enquanto 2 negativos, o mesmo ocorrendo para sua soma elevada a 2003, e finalmente, sua soma será 0. Abraços Vinícius Meireles Aleixo-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
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carlos gomes escreveu:
| Algum colega pode me ajudar com essa:
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| Suponha que x, y, z e w são números reais tais que:
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| senx+seny+senz+senw=0
| cosx+cosy+cosz+cosw=0
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| Mostre que :
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| (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0
| [...]
Definição: S_r = {v | |v| = r} e B_r = {v | |v| = r} (ou seja, S_r e
B_r são a circunferência e a bola fechada de raio r.
Lema: Todos os vetores de B_2\{0} se escrevem unicamente (a menos da
ordem dos elementos) como soma de dois elementos de S_1.
Demonstração: Pela lei dos cossenos, se u e v estão em S_1 e fazem um
ângulo de x, então |u+v| = sqrt(2 + 2cos x), que é uma bijeção do
intervalo [0, pi) no intervalo (0, 2]. Aplicando uma rotação conveniente
a u e v, podemos fazer u e v assumir qualquer vetor de S_{sqrt(2 + 2cos
x)}. Logo o lema está demonstrado.
Considere 4 vetores a, b, c e d em S_1, tais que a+b+c+d = 0. (note que
os argumentos desses vetores satisfazem as hipóteses do enunciado, já
que as coordenadas dos vetores podem ser expressas como (sen x, cos x) e
assim sucessivamente).
Então, a+b = -(c+d). Mas (-c) + (-d) = -(c+d) = a + b, logo, pelo lema,
podemos supor s.p.d.g. que a = -c e, analogamente, b = -d. Logo, se x,
y, z, w são os argumentos de a, b, c e d, temos que sen x = -sen z, cos
x = -cos z, sen y = -sen w e cos y = -cos w, e segue trivialmente que
(sen x)^2003 + (sen y)^2003 + (sen z)^2003 + (sen w)^2003 =
(sen x)^2003 + (sen y)^2003 - (sen x)^2003 - (sen y)^2003 = 0.
(A demonstração acima tem um pequeno erro que não afeta a
afirmação-chave do problema, mas que precisa ser corrigido. Qual?)
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
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=L5CT
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
Que tal assim (alerta: canhao geometrico em acao! Considere isto uma vinganca cearense da geometria contra trigonometria e analitica. ;) ;) ): Sejam A(cosx,senx), B(cosy, seny), C(cosz,senz) e D(cosw,senw) no plano cartesiano. Entao ABCD eh um quadrilatero inscritivel no circulo de centro O e raio 1. Bom, considere o triangulo ABC, seu circuncentro O, baricentro G e ortocentro H. Sabemos que (canhao!) os pontos O, G e H estao alinhados nesta ordem, com OH=3OG (da reta de Euler). Mas, como as coordenadas de G sao a media aritmetica das coordenadas de A, B e C, temos entao que as coordenadas de H serao (cosx+cosy+cosz,senx+seny+senz). Sua condicao entao eh equivalente a dizer que H e D sao simetricos com relacao a O, isto eh, H estah tambem na circunferencia que contem A, B, C e D. -- Pera ai, se o ortocentro H de ABC estah no circulo que contem A, B e C, entao H deve ser um dos pontos A, B ou C e o triangulo ABC deve ser retangulo! Digamos, sem perda de generalizacao, que H=A. Como D eh o simetrico de H com relacao ao centro O, ABDC serah um retangulo, ou seja, A=-D e B=-C e dai segue o resultado final. -- Talvez este passo mereca mais atencao. Cada altura de ABC corta o circulo circunscrito em dois pontos: A e um ponto do arco BC que nao contem A; B e um ponto do arco AC que nao contem B; C e um ponto do arco AB. Se H nao fosse A nem B nem C, teria de estar nos arcos AB, AC e BC ao mesmo tempo, o que eh um absurdo. ---///--- Agora, se voce preferir algebra e trigonometria... Temos que (senx+seny+senz)^2+(cosx+cosy+cosz)^2=1. Abrindo tudo, usando identidades: senxseny+senysenz+senxsenz+cosxcosy+cosycosz+cosxcosz+1=0 cos(x-y)+cos(x-z)+cos(y-z)+1=0 Usando cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) e cos2A=2cos^2(A/2)-1 2cos(x-(y+z)/2)cos((y-z)/2)+2cos^2((y-z)/2)=0 cos((y-z)/2) . (cos(x-(y+z)/2)+cos(y-z)/2) = 0 cos((y-z)/2).cos((x-z)/2).cos((x-y)/2)=0 Sem perda de generalidade, digamos que o ultimo eh que dah zero (os outros casos sao analogos). Entao: (x-y)/2=kpi+pi/2 x-y=2kpi+pi cosx=-cosy e senx=-seny Jogando de volta na equacao original, temos que cosz=-cosw e senz=-senw. Acabou. Abraco, Ralph -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of carlos gomes Sent: Sat 2/12/2005 4:05 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Subject: [obm-l] Senos e cossenos estranhos... Algum colega pode me ajudar com essa: Suponha que x, y, z e w são números reais tais que: senx+seny+senz+senw=0 cosx+cosy+cosz+cosw=0 Mostre que : (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0 Grato, e um forte abraço a todos, Cgomes. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. winmail.dat
[obm-l] Senos e cossenos estranhos...e outro exerc.
Subject: Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos... Vinicíus, acho que não está correto ( ou eu não entendi o que fez). Por quê impôs que 1-(senx)^2=0? . poderia explicar melhor? Sim, claro! Cara, como antes tinha declarado que era um soma de raízes que igualariam-se a zero ex( raiz(a)+...+raiz(n)=0), implica que todas as raízes sejam iguais a 0 , ouseja a=...=n=0,pois não existe uma raiz negativa q compensaria umnúmero positivo.Mas o erro é que é +- a raiz, mas analisei apenas o +. Ah, alguem conseguiu resolver aquela q pedia todos os n, tal q [Sen(A)]^n+[Cos(A)]^n=1?? Abraços Vinícius Meireles Aleixo
[obm-l] Senos e cossenos estranhos...
Algum colega pode me ajudar com essa: Suponha que x, y, z e w são números reais tais que: senx+seny+senz+senw=0 cosx+cosy+cosz+cosw=0 Mostre que : (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0 Grato, e um forte abraço a todos, Cgomes.-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
Algum colega pode me ajudar com essa: Suponha que x, y, z e w são números reais tais que: senx+seny+senz+senw=0(I) cosx+cosy+cosz+cosw=0(II) Mostre que : (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0 Olá Temos que: cosx=sqrt(1-(senx)^2) cosy=sqrt(1-(seny)^2) cosz=sqrt(1-(senz)^2) cosw=sqrt(1-(senw)^2) sqrt(1-(senx)^2)+sqrt(1-(seny)^2)+sqrt(1-(senz)^2)+sqrt(1-(senw)^2)=0 Não é difícil notar que: 1-(senx)^2=0 == senx = +-1,analogamente para y, z e w.seny= +-1, senz= +-1, senw=+-1, ou seja, por (I) temos que a soma desses valores deve se anular, ou seja, 2 devem ser positivos, enquanto 2 negativos, o mesmo ocorrendo para sua soma elevada a 2003, e finalmente, sua soma será 0. Abraços Vinícius Meireles Aleixo
