[obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Minhas mensagens não chegam quando faço reply. Tenho sempre que começar uma nova. Segue a que mandei ontem, agora incluindo o Gugu (parece que é assim que ele gosta de ser chamado). %% Saudações, Obrigado aos que responderam. É por aí, Ralph. Seu argumento é quase uma cópia do que veio no e-mail. Coloco aqui sem editá-lo. Vou encaminhar sua resposta ao correspondente (não o conheço). Obrigado novamente. Luís === Navegando pela Internet Youtube encontrei um desafio atinente à composição de FRVR .A F função seguinte: (FoF)(X) = e^(-X) Após mostrar que a função exponencial é decrescente e^(-X) Se X(FoF)(Y) é verdadeiro! FD. Se Xhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Por outro lado existem funções (necessariamente descontínuas) de R em R que satisfazem essa equação funcional. Vou tentar descrever uma delas. Seja a=LambertW(1)~0,5671432904... a solução real de e^(-x)=x, como o Ralph mencionou. Vou escrever g(x)=e^(-x). Queremos f(f(x))=g(x). Vamos definir recursivamente g^n(x) por g^0(x)=x, g^(n+1)(x)=g(g^n(x)). Vou usar o seguinte fato, que deixo como exercício: para todo y real diferente de a existe um único x em (-infinito,0] e um único n natural tais que y=g^n(x). Definimos f(x) para x em (-infinito,-1] como f(x)=-(x+1)/x (assim f leva (-infinito,-1] em (-1,0]), e definimos f em (-1,0] para termos f(f(x))=g(x) se x está em (-infinito,-1], ou seja, f(y)=e^(1/(y+1)) para y em (-1,0]. A partir daí, se y=g^n(x) com n natural e x em (-infinito,0], definimos f(y)=g^n(f(x)).Finalmente definimos f(a)=a. Abraços, Gugu On Sat, Sep 23, 2023 at 9:32 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > P.S.: Existe um argumento simples para mostrar que NÃO existe *f:R->R* > *contínua* com f(f(x))=g(x) que serve para qualquer g estritamente > decrescente (como esta g(x)=e^(-x)). Funciona assim: > > i) f teria que ser bijetiva. Afinal, f(a)=f(b) implica f(f(a))=f(f(b)) e, > daqui (g bijetiva) vem a=b. > ii) Mas f bijetiva continua em R implica f (estritamente) monótona! > iiia) se f (estritamente) crescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria > crescente; > iiib) se f (estritamente) decrescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria > crescente de novo! > > Ralph. > > On Sat, Sep 23, 2023 at 9:03 PM Ralph Costa Teixeira > wrote: > >> Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a >> onde a=LambertW(1)~0,56714... (a raiz de e^(-x)=x). ;D ;D ;D >> >> Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela >> ser contínua, pelo menos? >> >> >> On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes wrote: >> >>> Saudações, >>> >>> Existe tal f? Se sim, qual seria? >>> >>> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, >>> tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube. >>> >>> LuÃs >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)
P.S.: Existe um argumento simples para mostrar que NÃO existe *f:R->R* *contínua* com f(f(x))=g(x) que serve para qualquer g estritamente decrescente (como esta g(x)=e^(-x)). Funciona assim: i) f teria que ser bijetiva. Afinal, f(a)=f(b) implica f(f(a))=f(f(b)) e, daqui (g bijetiva) vem a=b. ii) Mas f bijetiva continua em R implica f (estritamente) monótona! iiia) se f (estritamente) crescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria crescente; iiib) se f (estritamente) decrescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria crescente de novo! Ralph. On Sat, Sep 23, 2023 at 9:03 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a > onde a=LambertW(1)~0,56714... (a raiz de e^(-x)=x). ;D ;D ;D > > Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela > ser contínua, pelo menos? > > > On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes wrote: > >> Saudações, >> >> Existe tal f? Se sim, qual seria? >> >> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, >> tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube. >> >> LuÃs >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a onde a=LambertW(1)~0,56714... (a raiz de e^(-x)=x). ;D ;D ;D Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela ser contínua, pelo menos? On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes wrote: > Saudações, > > Existe tal f? Se sim, qual seria? > > Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, tal > f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube. > > LuÃs > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Se f(x) puder ser constante, a aproximação de ~10^(-8) de diferença é 0.567143290 Em sáb., 23 de set. de 2023 20:25, Luís Lopes escreveu: > Saudações, > > Existe tal f? Se sim, qual seria? > > Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, tal > f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube. > > LuÃs > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Saudações, Existe tal f? Se sim, qual seria? Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube. Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =