Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Caro Rogério, Eu não consegui entender o que você não entendeu: qual seria o objetivo de um comentário a não ser emitir uma opinião que pode ou não ter algum fundamento? Não me queira mal, por favor. Você nem sequer precisaria ter mutilado o meu minúsculo comentário para comentá-lo... Não, você não escreveu que 'a' e 'b' deveriam ser distintos e, em momento algum, disse que o havia feito. Salientiei, e espero que você tenha compreendido, que o trecho escrito por você estava entre aspas. Sim, você me deu um contra-exemplo sobre o qual eu não havia pensado e que eu encaminharei para o autor do livro que escreveu esses absurdos. Tudo esclarecido? Espero que sim. Obrigado, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Rogério Moraes de Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 15, 2004 12:36 PM Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!! Ola Rafael, Eu realmente nao consegui entender o objetivo dos seus comentarios. De qualquer modo, eu estou comentando-os parte por parte. Seu comentario: --- Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é racional.. Meu comentario: --- No texto que eu escrevi, eu nao afirmei em momento algum que a e b devem ser distintos, mas simplesmente racionais. A sua conclusao sobre a^2 e a^2 - b serem racionais e' obvia, mesmo que a e b sejam racionais iguais. Isto e' consequencia da propriedade de fechamento das operacoes de adicao e multiplicacao do conjunto dos numeros racionais. Seu comentario: --- Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será irracional. Meu comentario: --- Esta sua conclusao nao tem o menor embasamento teorico. De qualquer modo, segue um contra-exemplo bem simples que comprova que a sua conclusao e' falsa. Suponha a = 5/2 (racional) e b = 4 (racional), entao teremos a^2 - b = (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 4 = 9/4. Sendo assim, sqrt(a^2 - b) = sqrt(9/4) = 3/2, que e' racional. Portanto, a sua conclusao de que sqrt(a^2 - b) será irracional esta' errada. Seu comentario: --- Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são *naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo. Meu comentario: --- Esta conclusao tambem nao tem o menor embasamento teorico. A reducao de radicais duplos em radicais simples nao exige que a, b e sqrt(a^2 - b) sejam naturais. Vamos a um exemplo de reducao de radicais duplos em radicais simples em que a, b e sqrt(a^2 - b) sao racionais nao inteiros. No radical duplo sqrt(5/3 + sqrt(7/3)), temos a = 5/3, b = 7/3 e sqrt(a^2 - b) = sqrt[(5/3)^2 - 7/3] = sqrt(25/9 - 7/3) = sqrt[(25 - 21)/9] = sqrt(4/9) = 2/3. Sendo assim, podemos converter o radical duplo para radical simples, como segue: sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt[(5/3 + 2/3) / 2] + sqrt[(5/3 - 2/3) / 2] sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt(7/6) + sqrt(1/2) De qualquer modo, eu agradeco pela sua atencao. Abracos, Rogério Moraes de Carvalho = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Olá Rafael, Pode ficar tranqüilo, pois eu não fiquei ofendido em momento algum. Quando eu disse que não havia entendido o objetivo dos seus comentários, foi exatamente por eles não terem fundamento. Porém, eu estou certo de que você teve a melhor das intenções, pois o objetivo de um grupo de discussões é a ajuda mútua. Se você achou que eu havia cometido um erro, então procedeu corretamente. Peço desculpas se fui rude em meus comentários, mas a intenção é que ficasse claro para os participantes do grupo que eu havia procurado ser o mais rigoroso e preciso possível nas minhas considerações. Ao atingirmos um determinado nível em Matemática, eu acho muito importante que nós questionemos tudo aquilo que lemos, afinal de contas há muitos erros em livros de Matemática. Para mim está tudo esclarecido e espero que este mal entendido não atrapalhe as nossas discussões sobre Matemática. Pode se sentir a vontade para comentar os meus e-mails que eu estarei sendo mais cordial daqui para frente. Abraços, Rogério. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Rafael Sent: sexta-feira, 16 de abril de 2004 04:01 To: OBM-L Subject: Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!! Caro Rogério, Eu não consegui entender o que você não entendeu: qual seria o objetivo de um comentário a não ser emitir uma opinião que pode ou não ter algum fundamento? Não me queira mal, por favor. Você nem sequer precisaria ter mutilado o meu minúsculo comentário para comentá-lo... Não, você não escreveu que 'a' e 'b' deveriam ser distintos e, em momento algum, disse que o havia feito. Salientiei, e espero que você tenha compreendido, que o trecho escrito por você estava entre aspas. Sim, você me deu um contra-exemplo sobre o qual eu não havia pensado e que eu encaminharei para o autor do livro que escreveu esses absurdos. Tudo esclarecido? Espero que sim. Obrigado, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Rogério Moraes de Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 15, 2004 12:36 PM Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!! Ola Rafael, Eu realmente nao consegui entender o objetivo dos seus comentarios. De qualquer modo, eu estou comentando-os parte por parte. Seu comentario: --- Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é racional.. Meu comentario: --- No texto que eu escrevi, eu nao afirmei em momento algum que a e b devem ser distintos, mas simplesmente racionais. A sua conclusao sobre a^2 e a^2 - b serem racionais e' obvia, mesmo que a e b sejam racionais iguais. Isto e' consequencia da propriedade de fechamento das operacoes de adicao e multiplicacao do conjunto dos numeros racionais. Seu comentario: --- Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será irracional. Meu comentario: --- Esta sua conclusao nao tem o menor embasamento teorico. De qualquer modo, segue um contra-exemplo bem simples que comprova que a sua conclusao e' falsa. Suponha a = 5/2 (racional) e b = 4 (racional), entao teremos a^2 - b = (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 4 = 9/4. Sendo assim, sqrt(a^2 - b) = sqrt(9/4) = 3/2, que e' racional. Portanto, a sua conclusao de que sqrt(a^2 - b) será irracional esta' errada. Seu comentario: --- Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são *naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo. Meu comentario: --- Esta conclusao tambem nao tem o menor embasamento teorico. A reducao de radicais duplos em radicais simples nao exige que a, b e sqrt(a^2 - b) sejam naturais. Vamos a um exemplo de reducao de radicais duplos em radicais simples em que a, b e sqrt(a^2 - b) sao racionais nao inteiros. No radical duplo sqrt(5/3 + sqrt(7/3)), temos a = 5/3, b = 7/3 e sqrt(a^2 - b) = sqrt[(5/3)^2 - 7/3] = sqrt(25/9 - 7/3) = sqrt[(25 - 21)/9] = sqrt(4/9) = 2/3. Sendo assim, podemos converter o radical duplo para radical simples, como segue: sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt[(5/3 + 2/3) / 2] + sqrt[(5/3 - 2/3) / 2] sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt(7/6) + sqrt(1/2) De qualquer modo, eu agradeco pela sua atencao. Abracos, Rogério Moraes de Carvalho = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ol Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expresses com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando so realizadas as redues para expresses com
radicais simples equivalentes. Existe uma frmula para a reduo, mas o importante
entender como deduzi-la, pois o raciocnio muito simples.
Reduo de radicais duplos em radicais simples equivalentes
---
Dada a expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b
irracional e a + b positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos tais
que: (a + b) = x1 + x2.
Observe que de acordo com as condies dadas, ambos os membros da igualdade so
positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da
igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua
vlida.
[(a + b)] = (x1 + x2)
a + b = x1 + 2x1x2 + x2
a + b = (x1 + x2) + (4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e b irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 so razes da seguinte equao quadrtica:
x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
= (-a) - 4.1.(b/4) = = a - b
Sendo assim, a nossa expresso somente poder ser reduzida a radicais simples se o
discriminante (a - b) for um quadrado de um racional. Se esta condio for
satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + (a - b)] / 2 = [a + (a - b)] / 2
x2 = [-(-a) - (a - b)] / 2 = [a - (a - b)] / 2
Ou vice-versa.
Concluso:
A expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b irracional e
a + b positivo, pode ser transformada em uma expresso com radicais simples quando
a - b for um quadrado de um racional. A transformao dada pela seguinte
frmula:
(a + b) = {[a + (a - b)] / 2} + {[a - (a - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expresso com radicais duplos
(a - b), com a e b racionais, b irracional e a - b positivo, pode ser
transformada em uma expresso com radicais simples quando a - b for um quadrado de
um racional. A transformao dada pela seguinte frmula:
(a - b) = {[a + (a - b)] / 2} - {[a - (a - b)] / 2}
Resoluo do problema proposto:
---
Simplifique a expresso:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)]
Vamos verificar se possvel reduzir as expresses com radicais duplos para
expresses com radicais simples.
Na expresso (2 + 3), temos a = 2 e b = 3. Como a - b = 4 - 3 = 1, que o
quadrado de um racional (1 = 1), a transformao possvel.
(2 + 3) = [(2 + 1) / 2] + [(2 - 1) / 2] = (3/2) + (1/2) = 3/2
+ 1/2
Analogamente, teremos:
(2 - 3) = 3/2 - 1/2
Logo:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)] =
= (2 + 3) / [2 + (3/2 + 1/2)] + (2 - 3) / [2 - (3/2 -
1/2)] =
= (2 + 3) / [(2 + 3 + 1)/2] + (2 - 3) / [(2 - 3 + 1)/2] =
= 2(2 + 3) / (3 + 3) + 2(2 - 3) / (3 - 3) =
= [2(2 + 3)(3 - 3) + 2(2 - 3)(3 + 3)] / [(3 + 3) (3 - 3)] =
= [2(6 - 23 + 33 - 3) + 2(6 + 23 -33 - 3)] / (9 - 3) =
= 2[(3 + 3) + (3 - 3)] / 6 = 62 / 6 = 2
Portanto, a expresso simplificada igual a 2.
Atenciosamente,
Rogrio Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
errado...
(2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))
Daniel S. Braz
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Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Rogrio,
Farei apenas um comentrio sobre as condies de reduo dos radicais duplos
a radicais simples. Voc escreveu: Dada a expresso com radicais duplos (a
+ b), com a e b racionais, b irracional e a + b positivo, (...)
Se a e b so racionais distintos, ento a^2 racional e a^2 - b
racional. Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se- sqrt[a +- sqrt(b)]
numa soma ou diferena de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) ser
irracional. Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um nmero inteiro
no-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) so
*naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo.
Abraos,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Rogrio Moraes de Carvalho [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, April 15, 2004 8:05 AM
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ol Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expresses com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando so realizadas as redues para expresses com
radicais simples equivalentes. Existe uma frmula para a reduo, mas o
importante entender como deduzi-la, pois o raciocnio muito simples.
Reduo de radicais duplos em radicais simples equivalentes
---
Dada a expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b
irracional e a + b positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos
tais que: (a + b) = x1 + x2.
Observe que de acordo com as condies dadas, ambos os membros da igualdade
so positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro
membro da igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo
que a volta continua vlida.
[(a + b)] = (x1 + x2)
a + b = x1 + 2x1x2 + x2
a + b = (x1 + x2) + (4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e b irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 so razes da seguinte equao quadrtica:
x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
= (-a) - 4.1.(b/4) = = a - b
Sendo assim, a nossa expresso somente poder ser reduzida a radicais
simples se o discriminante (a - b) for um quadrado de um racional. Se esta
condio for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + (a - b)] / 2 = [a + (a - b)] / 2
x2 = [-(-a) - (a - b)] / 2 = [a - (a - b)] / 2
Ou vice-versa.
Concluso:
A expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b
irracional e a + b positivo, pode ser transformada em uma expresso com
radicais simples quando a - b for um quadrado de um racional. A
transformao dada pela seguinte frmula:
(a + b) = {[a + (a - b)] / 2} + {[a - (a - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expresso com radicais duplos
(a - b), com a e b racionais, b irracional e a - b positivo, pode ser
transformada em uma expresso com radicais simples quando a - b for um
quadrado de um racional. A transformao dada pela seguinte frmula:
(a - b) = {[a + (a - b)] / 2} - {[a - (a - b)] / 2}
Resoluo do problema proposto:
---
Simplifique a expresso:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)]
Vamos verificar se possvel reduzir as expresses com radicais duplos para
expresses com radicais simples.
Na expresso (2 + 3), temos a = 2 e b = 3. Como a - b = 4 - 3 = 1, que
o quadrado de um racional (1 = 1), a transformao possvel.
(2 + 3) = [(2 + 1) / 2] + [(2 - 1) / 2] = (3/2) + (1/2) = 3/2
+ 1/2
Analogamente, teremos:
(2 - 3) = 3/2 - 1/2
Logo:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)] =
= (2 + 3) / [2 + (3/2 + 1/2)] + (2 - 3) / [2 - (3/2 -
1/2)] =
= (2 + 3) / [(2 + 3 + 1)/2] + (2 - 3) / [(2 - 3 + 1)/2] =
= 2(2 + 3) / (3 + 3) + 2(2 - 3) / (3 - 3) =
= [2(2 + 3)(3 - 3) + 2(2 - 3)(3 + 3)] / [(3 + 3) (3 - 3)] =
= [2(6 - 23 + 33 - 3) + 2(6 + 23 -33 - 3)] / (9 - 3) =
= 2[(3 + 3) + (3 - 3)] / 6 = 62 / 6 = 2
Portanto, a expresso simplificada igual a 2.
Atenciosamente,
Rogrio Moraes de Carvalho
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Rogério,
como você pode perceber (abaixo)..infelizmente não
consegui ler nada na sua msg...
Daniel S. Braz
==
--- Rogério_Moraes_de_Carvalho [EMAIL PROTECTED]
escreveu: Olá Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expressões com
radicais duplos podem ser resolvidos facilmente
quando são realizadas as reduções para
expressões com radicais simples equivalentes.
Existe uma fórmula para a redução, mas o
importante é entender como deduzi-la, pois o
raciocÃnio é muito simples.
Redução de radicais duplos em radicais simples
equivalentes
---
Dada a expressão com radicais duplos â(a + âb),
com a e b racionais, âb irracional e a + âb
positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais
positivos tais que: â(a + âb) = âx1 + âx2.
Observe que de acordo com as condições dadas,
ambos os membros da igualdade são positivos.
Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do
primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos
os membros ao quadrado garantindo que a volta
continua válida.
[â(a + âb)]² = (âx1 + âx2)²
a + âb = x1 + 2âx1âx2 + x2
a + âb = (x1 + x2) + â(4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e âb irracional, a
igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 são raÃzes da seguinte equação
quadrática:
x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x² - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
Π= (-a)² - 4.1.(b/4) = Π= a² - b
Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser
reduzida a radicais simples se o discriminante (a²
- b) for um quadrado de um racional. Se esta
condição for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + â(a² - b)] / 2 = [a + â(a² - b)]
/ 2
x2 = [-(-a) - â(a² - b)] / 2 = [a - â(a² - b)]
/ 2
Ou vice-versa.
Conclusão:
A expressão com radicais duplos â(a + âb), com
a e b racionais, âb irracional e a + âb
positivo, pode ser transformada em uma expressão
com radicais simples quando a² - b for um quadrado
de um racional. A transformação é dada pela
seguinte fórmula:
â(a + âb) = â{[a + â(a² - b)] / 2} + â{[a
- â(a² - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expressão
com radicais duplos
â(a - âb), com a e b racionais, âb irracional
e a - âb positivo, pode ser transformada em uma
expressão com radicais simples quando a² - b for
um quadrado de um racional. A transformação é
dada pela seguinte fórmula:
â(a - âb) = â{[a + â(a² - b)] / 2} - â{[a
- â(a² - b)] / 2}
Resolução do problema proposto:
---
Simplifique a expressão:
(2 + â3) / [â2 + â(2 + â3)] + (2 - â3) /
[â2 - â(2 - â3)]
Vamos verificar se é possÃvel reduzir as
expressões com radicais duplos para expressões com
radicais simples.
Na expressão â(2 + â3), temos a = 2 e b = 3.
Como a² - b = 4 - 3 = 1, que é o quadrado de um
racional (1 = 1²), a transformação é possÃvel.
â(2 + â3) = â[(2 + 1) / 2] + â[(2 - 1) / 2]
= â(3/2) + â(1/2) = â3/â2 + 1/â2
Analogamente, teremos:
â(2 - â3) = â3/â2 - 1/â2
Logo:
(2 + â3) / [â2 + â(2 + â3)] + (2 - â3) /
[â2 - â(2 - â3)] =
= (2 + â3) / [â2 + (â3/â2 + 1/â2)] + (2 -
â3) / [â2 - (â3/â2 - 1/â2)] =
= (2 + â3) / [(2 + â3 + 1)/â2] + (2 - â3) /
[(2 - â3 + 1)/â2] =
= â2(2 + â3) / (3 + â3) + â2(2 - â3) / (3
- â3) =
= [â2(2 + â3)(3 - â3) + â2(2 - â3)(3 +
â3)] / [(3 + â3) (3 - â3)] =
= [â2(6 - 2â3 + 3â3 - 3) + â2(6 + 2â3
-3â3 - 3)] / (9 - 3) =
= â2[(3 + â3) + (3 - â3)] / 6 = 6â2 / 6 =
â2
Portanto, a expressão simplificada é igual a â2.
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of
Daniel Silva Braz
Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problemas com radicais -
CORRIGINDO!!
corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
errado...
(2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))
Daniel S. Braz
__
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Instale agora!
http://br.download.yahoo.com/messenger/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ola Rafael, Eu realmente nao consegui entender o objetivo dos seus comentarios. De qualquer modo, eu estou comentando-os parte por parte. Seu comentario: --- Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é racional.. Meu comentario: --- No texto que eu escrevi, eu nao afirmei em momento algum que a e b devem ser distintos, mas simplesmente racionais. A sua conclusao sobre a^2 e a^2 - b serem racionais e' obvia, mesmo que a e b sejam racionais iguais. Isto e' consequencia da propriedade de fechamento das operacoes de adicao e multiplicacao do conjunto dos numeros racionais. Seu comentario: --- Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será irracional. Meu comentario: --- Esta sua conclusao nao tem o menor embasamento teorico. De qualquer modo, segue um contra-exemplo bem simples que comprova que a sua conclusao e' falsa. Suponha a = 5/2 (racional) e b = 4 (racional), entao teremos a^2 - b = (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 4 = 9/4. Sendo assim, sqrt(a^2 - b) = sqrt(9/4) = 3/2, que e' racional. Portanto, a sua conclusao de que sqrt(a^2 - b) será irracional esta' errada. Seu comentario: --- Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são *naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo. Meu comentario: --- Esta conclusao tambem nao tem o menor embasamento teorico. A reducao de radicais duplos em radicais simples nao exige que a, b e sqrt(a^2 - b) sejam naturais. Vamos a um exemplo de reducao de radicais duplos em radicais simples em que a, b e sqrt(a^2 - b) sao racionais nao inteiros. No radical duplo sqrt(5/3 + sqrt(7/3)), temos a = 5/3, b = 7/3 e sqrt(a^2 - b) = sqrt[(5/3)^2 - 7/3] = sqrt(25/9 - 7/3) = sqrt[(25 - 21)/9] = sqrt(4/9) = 2/3. Sendo assim, podemos converter o radical duplo para radical simples, como segue: sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt[(5/3 + 2/3) / 2] + sqrt[(5/3 - 2/3) / 2] sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt(7/6) + sqrt(1/2) De qualquer modo, eu agradeco pela sua atencao. Abracos, Rogério Moraes de Carvalho -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Rafael Sent: quinta-feira, 15 de abril de 2004 10:52 To: OBM-L Subject: Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!! Rogério, Farei apenas um comentário sobre as condições de redução dos radicais duplos a radicais simples. Você escreveu: Dada a expressão com radicais duplos v(a + vb), com a e b racionais, vb irracional e a + vb positivo, (...) Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é racional. Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será irracional. Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são *naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Rogério Moraes de Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 15, 2004 8:05 AM Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!! Olá Daniel, Muitos dos problemas que envolvem expressões com radicais duplos podem ser resolvidos facilmente quando são realizadas as reduções para expressões com radicais simples equivalentes. Existe uma fórmula para a redução, mas o importante é entender como deduzi-la, pois o raciocínio é muito simples. Redução de radicais duplos em radicais simples equivalentes --- Dada a expressão com radicais duplos v(a + vb), com a e b racionais, vb irracional e a + vb positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos tais que: v(a + vb) = vx1 + vx2. Observe que de acordo com as condições dadas, ambos os membros da igualdade são positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua válida. [v(a + vb)]² = (vx1 + vx2)² a + vb = x1 + 2vx1vx2 + x2 a + vb = (x1 + x2) + v(4.x1.x2) Sendo a, b, x1 e x2 racionais e vb irracional, a igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos: x1 + x2 = a 4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4 Portanto, x1 e x2 são raízes da seguinte equação quadrática: x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x² - ax + b/4 = 0 Calculando o discriminante, encontramos: ? = (-a)² - 4.1.(b/4) = ? = a² - b Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser reduzida a radicais simples se o discriminante (a² - b) for um quadrado de um racional. Se esta condição for satisfeita, teremos: x1 = [-(-a) + v(a² - b)] / 2 = [a + v(a² - b)] / 2 x2 = [-(-a) - v(a² - b)] / 2 = [a - v(a² - b)] / 2 Ou vice-versa. Conclusão: A expressão com radicais duplos v(a + vb), com a e b racionais, vb irracional e a + vb positivo, pode ser transformada em uma
RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ola Daniel,
Infelizmente a minha mensagem original ficou completamente ilegivel. Segue a
mensagem reescrita sem acentuacao e sem caracteres especiais.
Muitos dos problemas que envolvem expressoes com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando sao realizadas as reducoes para expressoes com radicais
simples equivalentes. Existe uma formula para a reducao, mas o importante e' entender
como deduzi-la, pois o raciocinio e' muito simples.
Reducao de radicais duplos em radicais simples equivalentes
---
Dada a expressao com radicais duplos sqr[a + sqr(b)], com a e b racionais no nulos,
sqr(b) irracional e a + sqr(b) positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais
positivos tais que: sqr[a + sqr(b)] = sqr(x1) + sqr(x2).
Observe que, de acordo com as condicoes dadas, ambos os membros da igualdade sao
positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da
igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua
valida.
{sqr[a + sqr(b)]}^2 = [sqr(x1) + sqr(x2)]^2
a + sqr(b) = x1 + 2sqr(x1)sqr(x2) + x2
a + sqr(b) = (x1 + x2) + sqr(4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e sqr(b) irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 sao raizes da seguinte equacao quadratica:
x^2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x^2 - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
delta = (-a)^2 - 4.1.(b/4) = delta = a^2 - b
Sendo assim, a nossa expressao somente podera ser reduzida a radicais simples se o
discriminante (a^2 - b) for igual ao quadrado de um racional. Se esta condicao for
satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + sqr(a^2 - b)] / 2 = [a + sqr(a^2 - b)] / 2
x2 = [-(-a) - sqr(a^2 - b)] / 2 = [a - sqr(a^2 - b)] / 2
Ou vice-versa.
Concluso:
A expresso com radicais duplos sqr[a + sqr(b)], com a e b racionais no nulos,
sqr(b) irracional e a + sqr(b) positivo, pode ser transformada em uma expressao com
radicais simples quando a^2 - b for igual ao quadrado de um racional. Portanto, a
transformacao e' dada pela seguinte formula:
sqr[a + sqr(b)] = sqr{[a + sqr(a^2 - b)]/2} + sqr{[a - sqr(a^2 - b)]/2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expressao com radicais duplos sqr[a - sqr(b)],
com a e b racionais nao nulos, sqr(b) irracional e a - sqr(b) positivo, pode ser
transformada em uma expressao com radicais simples quando a^2 - b for igual ao
quadrado de um racional. Neste caso, a transformacao e' dada pela seguinte formula:
sqr[a - sqr(b)] = sqr{[a + sqr(a^2 - b)]/2} - sqr{[a - sqr(a^2 - b)]/2}
Resolucao do problema proposto:
---
Seja a expressao:
[2+sqr(3)]/{sqr(2)+sqr[2+sqr(3)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-sqr[2-sqr(3)]}
Vamos verificar se e' possivel reduzir as expressoes com radicais duplos para
expressoes com radicais simples.
Na expressao sqr[2+sqr(3)], temos a = 2 e b = 3. Como a^2 - b = 4 - 3 = 1, que e' o
quadrado de um racional (1 = 1^2), entao a transformacao e' possivel.
sqr[2+sqr(3)] = sqr[(2 + 1) / 2] + sqr[(2 - 1) / 2] = sqr(3/2) + sqr(1/2) =
sqr(3)/sqr(2) + 1/sqr(2)
Analogamente, teremos:
sqr[2+sqr(3)] = sqr(3)/sqr(2) - 1/sqr(2)
Logo:
[2+sqr(3)]/{sqr(2)+sqr[2+sqr(3)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-sqr[2-sqr(3)]} =
= [2+sqr(3)]/{sqr(2)+[sqr(3)/sqr(2)+1/sqr(2)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-[
sqr(3)/sqr(2)-1/sqr(2)]} =
= [2+sqr(3)]/{[2+sqr(3)+1]/sqr(2)} + [2-sqr(3)]/{[2-sqr(3)+1]/sqr(2)} =
= sqr(2)[2+sqr(3)]/[3+sqr(3)] + sqr(2)[2-sqr(3)]/[3-sqr(3)] =
= {sqr(2)[2+sqr(3)][3-sqr(3)] + sqr(2)[2-sqr(3)][3+sqr(3)]}/{[3+sqr(3)] [3-sqr(3)]} =
= {sqr(2)[6-2sqr(3)+3sqr(3)-3] + sqr(2)[6+2sqr(3)-3sqr(3)-3]}/(9-3) =
= sqr(2){[3+sqr(3)]+[3-sqr(3)]}/6 = 6sqr(2)/6 = sqr(2)
Portanto, a expressao simplificada e' igual a sqr(2).
Rogerio Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: quinta-feira, 15 de abril de 2004 10:54
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Rogrio,
como voc pode perceber (abaixo)..infelizmente no
consegui ler nada na sua msg...
Daniel S. Braz
==
--- Rogrio_Moraes_de_Carvalho [EMAIL PROTECTED]
escreveu: Ol Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expresses com
radicais duplos podem ser resolvidos facilmente
quando so realizadas as redues para
expresses com radicais simples equivalentes.
Existe uma frmula para a reduo, mas o
importante entender como deduzi-la, pois o
raciocnio muito simples.
Reduo de radicais duplos em radicais simples
equivalentes
---
Dada a expresso com radicais duplos (a + b),
com a e b racionais, b irracional e a + b
positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais
positivos tais que: (a + b) = x1 + x2.
Observe que de acordo com as condies dadas,
ambos os membros da igualdade so positivos.
Portanto, a fim de eliminar o
